Taller: Resolución de problemas

Universidad de Colima, Facultad de Ciencias de la Educación

22-24 Mayo 2013Juan Carlos Ponce Campuzano

Problema 1

• ¿Cuántos cubos tiene esta pirámide?

• ¿Cómo encontraste tu respuesta?

• ¿Cuántos cubos tiene una pirámide de 12 cubos de altura?

• ¿Cuántos cubos se necesitan para construir una pirámide con una altura de n cubos?

Problema 2

• Para 3 puntos no colineales ¿cuántas rectas se pueden dibujar de tal manera que todos los puntos queden unidos?

• Para 4 puntos no colineales ¿cuántas rectas se pueden dibujar de tal manera que todos los puntos queden unidos?

• Para 5 puntos no colineales ¿cuántas rectas se pueden dibujar de tal manera que todos los puntos queden unidos?

Orden

• Considerar los puntos en una circunferencia.• En lugar de rectas, segmentos que llamaremos

aristas.

• ¿Cuántas aristas se pueden dibujar de tal manera que todos los puntos estén conectados?

• ¿Cómo se puede establecer un caso general?

2

1321

nnn

Problema 3

• Demostrar la identidad

2

1321

nnn

122321 nnn

12112321 nnn

• Demostrar

Problema 4

• Números primos:• Números naturales mayores que 1 que tiene únicamente dos

divisores distintos: él mismo y el 1.

41)( 2 nnnP

• 1, 2, 3, 4, 5…• Hasta el 40.

41)( 2 nnnP

Problema 5

• Funciones trigonométricassencostan

senCB

cosCA

2 2sen cos 1

tanEF

sen cos tan

sen 10 cos

cos

2

2

rA

Problema 6

• Los cuadrados en el interior del cuadrado ABCD forman una sucesión.

• ¿Cuál es la medida del lado del primer cuadrado?

• ¿Y del segundo?• Etc…

• Todo parece indicar que los cuadrados en el interior del cuadrado original convergen a un cuadrado cuyo lado es de longitud 1.

• http://www.geogebratube.org/material/show/id/39138

Problema 7

• ¿Qué preguntas se pueden hacer?

• ¿Qué problema se puede plantear?

Problema 8

• ¿Qué preguntas nos podemos hacer?• Ver Cabri 3D

• Demostrar que se forma un hexágono regular. • Si el lado del cubo mide x, demostrar que el área del

hexágono es:

23 3

4x

Paréntesis

Conjeturas

Conjeturas

• En matemáticas, el concepto de Conjetura se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha.

Conjeturas

• Christian Goldbach (1690-1764) conjeturó que:

• Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

• Data: 1742

2 2 4 5 3 8 11 3 14 7 3 10

¡Sin solución!

• Conjetura débil:• Todo número impar mayor que 5 puede

expresarse como suma de tres números primos.

Conjeturas

• Pierre de Fermat (1601-1665) conjeturó que:• Si n es un número entero mayor que 2,

entonces no existen números enteros x, y y z, tales que se cumpla la igualdad:

• Data: 1637

n n nx y z

Conjeturas

• Andrew Wiles en 1995, demostró la conjetura de Fermat.

• La conjetura de Fermat se convirtió en Teorema:

• Último Teorema de Fermat

Problema 9

• Hay un famoso restaurante de comida rápida en donde se pueden pedir nuggets de pollo los cuales vienen en cajas de varios tamaños.

• En este restaurant, sólo se pueden comprar cajas de 6, 9 o de 20 nuggets.

• Usando estos tamaños, puedes pedir, por ejemplo, 32 nuggets de pollo. En este caso has pedido una caja de 20 y dos cajas de 6.

• Si deseas comprar 21 nuggets, ¿podrías comprar 21?

• Si deseas comprar 31 nuggets, ¿podrías comprar 31? De hecho, no se pueden comprar 31 nuggets, ¿por qué?

• ¿Hay un mayor número nuggets que no puedes comprar? Y si existe, ¿qué número es? ¿Cómo sabes que tu respuesta es correcta?

Problema 10

Se planea construir una torre de una compañía celular en la parte oeste de una montaña.

• Se planea construir una torre de una compañía celular en la parte oeste de una montaña como se muestra en la figura:

• ¿Qué información es necesaria para resolver el problema? ¿Qué información no es importante saber?

• Piensa geométricamente o algebraicamente, ¿cómo podrías matematizar el problema?

• http://www.geogebratube.org/student/m37286

• Usa la siguiente información para dibujar un modelo más preciso:

• La torre tiene una altura de 60 metros. • La montaña tiene una altura de 243 metros y tiene una

base de 853 metros desde el este hasta el oeste.• La montaña es simétrica.• El lago inicia en la base de la montaña (este) y tienen un

ancho de 182 metros.

Problema 11

• Ustedes son los propietarios de 5 pizzerías en la Ciudad de Colima. Para optimizar el servicio de pedidos a domicilio deben diseñar un sistema en el cual los clientes llaman a un número central y son transferidos a la pizzería más cercana.

• En el mapa, el cual abarca un área de 64 cuadras, se muestra la posición de 5 pizzerías. Necesitan dividir el mapa en cinco regiones de tal manera que los clientes ordenan su pizza desde la pizzería más cercana.

• Determinen primero cómo se debería dividir el mapa si solo hay 2 pizzerías. Después para 3 y finalmente para 4 pizzerías.

• ¿Qué elementos matemáticos necesitan construir para crear las regiones para cada caso?

Referencias• Apostol, T. M. (2001). Calculus. Vol. I. 9a. Re-impresión.

México. Editorial Reverté. • Bondy, J. A. & Murty, U. S. R. (2008). Graph Theory. Springer.• Espinosa, H. Ponce, J.C. & Reyes, A. (2011). Matemáticas 1.

Serie Encuentro. (2nd ed.). México: SM de Ediciones. ISBN. 978-607-471-874-4.

• Everest, G. & Ward, T. (2005). Introduction to Number Theory. Springer-Verlag London Limited.

• NCTM. (2013). Illiminations: Resources for teaching math. Disponible en: http://illuminations.nctm.org/