problemas 1gdl
TRANSCRIPT
PROBLEMA 1.- Se tiene una losa rectangular, maciza, simplemente apoyada en sus cuatro bordes de concreto armado (E=230,000 kg/cm2, γconcreto = 2400kg/m3) de 20cm de espesor y de 6m de luz y 4 de ancho. Se desea calcular el periodo de vibración de la losa ante una fuerza vertical de personas saltando sobre la misma. Para representar la losa se puede suponer que está constituida por dos “vigas” de 1m de ancho. También se puede suponer que la masa asociada con la vibración es la dada por la zona central de la viga (un área rectangular de 2m x 3m de lado centrada con la losa). a) Calcular el periodo y frecuencia natural. (4 puntos) SOLUCIÓN 1 : a) Nuestro modelo será: Calculando las Rigideces de las vigas que poseen longitudes distintas:
6m
1m
1m 4m 1m 0.2m
fig. a fig. b fig. d
fig. c
HzfT
f
sTT
srad
mK
cmskgmxxx
gPm
cmkgKxxxxK
KKKRigidezL
EIK
T
TT
VVT
VV
34.11088.011
088.0256.71
22
256.71936.2
5.14907
936.2981
)2400)2.032((
5.149071150042.3407400
6666725000048600
6666725000048
48
2
33
21
3
=→==
=→==
=→==
−=→==
=→+=+=
+==
=
πωπ
ωω
Calculando lo solicitado, tenemos que:
De la figura b:
43
V cm6666712
20x100I ==; De la figura c:
PROBLEMA 2.- La viga doblemente empotrada de la figura es de acero, E=2 100 000 kg/cm2, I=4000 cm4. La viga sola es muy flexible y para comodidad de los que transitan sobre ella se desea que tenga una frecuencia natural mayor o igual a 20 Hertz. Para reducir la vibración se puede colocar una varilla de acero al centro de la luz. Determine el diámetro de la varilla (en los valores comerciales usados en nuestro medio) necesario para cumplir con esta condición. El peso colocado al centro es de 2t. (5 puntos) SOLUCIÓN 2: Debido a que se debe usar un diámetro comercial y ϕ 1”=2.54cm > 2.36 Entonces: ϕ 1”=2.54cm [Es el diámetro a usar]
3 m
10 m
P Hz20fkg2000t2P
cm40000Icmkg250000E
TOTAL
4V
2
≥==
=
=
(Condición)
( ) ( ) [ ]
cmDxADDDespejando
DAcircularesbarralaComo
cmALK
AAdespejandoL
EAKqueYa
cmkgKK
emplazandocmkgKx
LEIK
ComoKKKdespejandoKKKqueSabemos
cmkgK
cmkgKxxmxK
tieneseKDespejando
HzmK
HzfcondiciónlaDecm
skggPm
VarillaVarilla
VarillaVarilla
VigaSolaVigaSola
VigaSolaTVarillaVarillaVigaSolaT
mínTTT
T
T
TOTAL
36.237.444:""
4:
37.42100000
:"":
6.305818.16124.32194
:Re
8.16121000
40002100000192192
::
4.321944.32194039.2220220
:
2021
2
20:
039.2981
2000
2
2
33
22
2
=→==
=
=→==
=→−=
=→==
−=+=
=→≥→=≥
≥=
≥
−===
ππ
π
ππ
ππω
X
Y
2m
2m
Columna Viga
PROBLEMA 3.- Se tiene un edificio de un piso que en la dirección Y está conformado por dos pórticos a los extremos y otros dos que están conformados por una columna y un muro de albañilería Los muros tienen 25cm de espesor y un módulo de elasticidad de 25 000 kg/cm2. Las columnas son de concreto armado y tienen 25cm x 40cm (E=250 000 kg/cm2). Para facilitar los cálculos se puede suponer que las vigas son de rigidez infinita y las columnas están empotradas en ambos extremos. El peso total a la altura del techo se puede considerar 96 toneladas. La altura total es de 2.4m y la losa del techo tiene 20cm de espesor.
Se desea determinar el periodo de vibración en la dirección Y. (4 puntos) SOLUCIÓN 3: * Calculando la Rigidez Total ( KT ) : KT = 8xKColumna + 2xKmuro - Cálculo de KColumna = KC : - Cálculo de KMuro = KM :
PLANTA
X
4m
8m
4m 4mY
2m
2m
m42m200
kg0
cmkg0
m250cmkg
2
2
..
.
=
=
cmkg6537565K
20240133333x250000x12K
4cm13333312
40x25IcomohEI12
K
C3C
3
C3C
C
.)(
=→−
=⇒
===
cmkg1772472K
22042x3
22042x4
25x2500
Lhx3
Lhx4
EK muro33
tMuro .
....=→
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
s0930T5445469
859972T
cmskg85997
98196000
gPmcon
Km2T
cmkg5445469K1772472x26537565x8K
2
T
TT
..
.
..
...
=→=⇒
====
=→+=∴
π
π
PROBLEMA 4.- Se desea investigar la vibración de una porción de la losa de un edificio para un local comercial. Se considera que extrayendo un paño típico formado por una parrilla de sólo dos vigas cruzadas se puede representar adecuadamente, por lo menos para un análisis preliminar. Sobre esta parrilla se considera un peso trasmitido por la losa de 48t y que se puede concentrar en el cruce de las vigas. Las vigas son todas de 25 x 40 cm de sección, 6m de longitud. y E= 250,000 kg/cm². Considere que este sistema puede representarse por un sólo grado de libertad que es la deformación vertical al centro del cruce. Considere 5% de amortiguamiento. Determine:
a) La frecuencia circular, la frecuencia natural y el período de este sistema. (3 puntos). b) Sobre este piso el propietario va a realizar sesiones de aeróbicos lo que incluye muchos saltos
conjuntos. Supóngase que las personas que realizan estos ejercicios lo hacen con una frecuencia natural de 2 saltos por segundo. ¿Cuál será la máxima amplificación dinámica que se produce y cuál el máximo desplazamiento al centro si se consideran 10 personas de 70 kg de peso saltando con esa frecuencia alrededor de este punto?. (2 puntos)
c) ¿Cuál tendría que ser la frecuencia natural de los saltos que el entrenador debe evitar llegar para evitar la resonancia? (1 punto).
d) ¿Cuál sería el máximo desplazamiento que se produciría en ese caso,.(2 puntos). SOLUCIÓN 4: a) Calculando las frecuencias y periodos
F(t)
L
M
F(t)
M
(25x40)
4V
2
cm133333I5
cmkg250000E
m6Lt48P
=
=
=
==
%β
Hz7692f36101
T1f
s3610T4017
22T
srad4017
934814815
mK
cmskg9348
98148000
gPm
cmkg14815K
600133333x250000x482
LEI482K2KRigidez
2
33V
..
..
..
.
=→==
=→==
=→==
−===
=→====
πωπ
ωω
Procediendo al calculo de lo solicitado, tenemos que:
b) Calculando la Máxima Amplificación Dinámica Para ello haremos uso de: c) Recordando que la Resonancia se da cuando: c) Calculo del máximo desplazamiento bajo las condiciones anteriores : Sabemos que el Máximo en Resonancia: PROBLEMA 5.- Se tienen un sistema de un grado de libertad con 5% de amortiguamiento. Si se aplica un desplazamiento inicial a la masa y se la deja vibrar libremente en que porcentaje desciende la máxima amplitud en cada ciclo. (3 puntos) Cuantos ciclos se necesitan para que la amplitud esté por debajo de 10% de la inicial. (2 puntos) Depende este número del período del sistema (1 punto). Un sistema rígido tardaría mas o menos tiempo en alcanzar este nivel de desplazamiento. (1 punto). SOLUCIÓN 5: a) Calculando cuanto desciende en cada ciclo:
( )[ ] ( ) [ ]
mmUcmxxFADUU
cmUKFU
LuegokgxF
FADxxx
FAD
fHzf
FAD
máxmáxEstáticomáx
EstáticoEstático
máxmáx
Saltos
máx
110.0098.0067.2047.0
047.014815
700:
7007010
067.2229.005.04229.01
1
722.005.04722.01
1
722.040.17
442
2
41
1
1
1
222222
22
22
=→≈===
=→==
==
=→+−
=+−
=
=Ω
→=Ω
⇒
=Ω→=Ω=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Ω+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Ω−
=
ωπ
ω
ππ
ωβ
ω
Identificando los términos:
Con la fuerza exitadora:
Hz772f2
40172
fs
rad40171 Saltossonacia
Saltossonacia ... ReRe =→=
Ω=∴==Ω⇒=
Ωππ
ωω
mm74Ucm47010x0470xFADUU
10FAD050x2
121FAD
máximosonacia
máximosonaciaEstático
máximosonacia
máximosonacia
máximosonacia
....
ReReRe
ReRe
=→===
=→==β
%5=β
b) ¿Cuántos ciclos se necesitan para que baje al 10% ? c) ¿Depende este número del periodo ? Como se puede apreciar no. Depende mas bien del amortiguamiento d) ¿Un sistema tardaría más o menos tiempo ? Un Sistema Rígido tiene periodo más corto. Por lo tanto tardaría menos tiempo. PROBLEMA 6.- El pórtico de la figura soporta una máquina vibratoria que ejerce una fuerza horizontal al nivel de la viga de F(t) = 500 sen 11t kilos. Suponiendo 4 % del amortiguamiento crítico, cuál es la amplitud de la vibración permanente. Las columnas laterales y la viga tienen una sección transversal de 25 x 40 cm. y a nivel de la viga hay una peso total de 30t. El módulo de elasticidad del material es 250,000 kg/cm². L=8m, h=4m. (5 puntos) SOLUCIÓN 6: :
%..
.
.Re
.:
...
.
.
27Desciende2707301Desciende
730U
UoInvirtiend
UU3691
UUeemplazando
UUedespejando
UULnLDTambien
3140DL050x22LD
CadaCiclo
CadaCiclo
n
1n
1n
n
1n
n3140
1n
nLD
1n
n
=→=−=
=
=→=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=→==
+
++
++
ππβ
Luego lo que desciende cada ciclo:
Al desarrollar la expresión de la parte a) en “n” términos obtenemos:
( )
( ) ciclos337n730100n100730n100730
100U
UcondiciónlaCon
730U
U
730UU730
UU730
UU730
UU
n
1
1n
n
1
1n
1
2
2n
1n
1n
n
n
1n
..log.log.log.log..
.:
.
.........
=→=→=→=
=
=
====
+
+
−
−
−
+
Multiplicando los “n” términos:
Reemplazando la condición en la expresión anterior se tiene ahora:
"."β
w
L
h
F(t)
8m
4m
F(t) Nuestro modelo es el que se muestra
[ ]
2
t
cmkg250000E
t30P4
kgFt11Sen500F
=
==
=
%
;)(.)(
β
Con “P” calculamos “m”: Calculando la “K”:
43
VC cm13333312
40x25II ===γγ
6461
hEI24
K 3C
Pórtico ++
=
cmkgK
xxxxKK
EntoncesLh
hILI
KK
PPPórtico
c
v
C
V
71435.0645.061
40013333325000024
:
5.05.084
)/()/(
3 =→++
==
=→===== γγ
cmskg5830
98130000
gPm
2−=== .
srad28315
58307143
mK P .
.=→== ωω
( )[ ] ( )
mmUcmxxFADUUFinalmente
cmUKFU
Luego
FADx
FAD
ykgFtsenFtsentF
FAD
máxmáxEstáticomáx
EstáticoP
Estático
máxmáx
máx
44.1144.006.207.0:
07.071435001
:
06.272.004.0472.01
1
72.0283.15
1111500
)()11(.500)(
41
1
2222
.1
.1
22
22
=→===
=→==
=→+−
=
=Ω
→=Ω
⇒
=Ω=Ω==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Ω+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Ω−
=
ωω
ωβ
ω
Identificando los términos de: