problema2
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September 30, 2015
PROBLEMA 2
tn tal que tn divida a t1 + t2 + ... + tn1 + tn
consideremos la suma de los numeros triangulareski=1 ti = t1 + t2 + ... + tn1 + tk
un numero triangular definido como
tn =n(n+1)
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reescribiendoki=1 ti =
ki=1
i(i+1)2
simplificando
12 (k
i=1 i(i + 1)) =12 (k
i=1(i2 + i)) = 12 [
ki=1 i
2 +k
i=1 i]
de estas sumatoria ya se conoce el resultado parcial hasta algun kki=1 i =
k(k+1)2k
i=1 i2 = k(k+1)(2k+1)6
sustituimos
12 [k
i=1 i2 +k
i=1 i] =12 [
k(k+1)2 +
k(k+1)(2k+1)6 ]
Simplificando14 [
k(k+1)1 +
k(k+1)(2k+1)3 ] =
14 [3k(k+1)+k(k+1)(2k+1)
3 ] =14 (
k(k+1)[3+(2k+1)]3 ) =
14 (
k(k+1)(2k+4)3 ) =
14 (
2k(k+1)(k+2)3 ) =
12 (
k(k+1)(k+2)3 ) =
k(k+1)(k+2)6
segun la proposicion se tiene que k(k+1)2 divide ak(k+1)(k+2)
6entonces debe complir lo siguiente:k(k+1)(k+2)
6 = [k(k+1)
2 ] P para P enteromultiplicando por 2 ambos ladosk(k+1)(k+2)
3 = [k(k+1)
1 ] P = k(k + 1)(k + 2) = [3k(k + 1)] Pquitando el factor comun k(k+1)k + 2 = 3P k = 3P 2 con p > 0
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la identidad tn tal que tn divida a t1 + t2 + ... + tn1 + tn funciona para nigual a:1,4,7,10,13,..., 3k-2
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