MÁQUINAS ELÉCTRICASEXAMEN ORDINARIO

2008/2009

Problema No 1Una instalación industrial está alimentada por un transformador trifásico,

con conexión Yy, que alimenta a tres motores asíncronos trifásicos de jaulade ardilla, como se indica en el esquema de la Fig. 1.

Figura 1: Esquema de la instalación.

Los tres motores trifásicos son idénticos, tienen 10 polos, tensiones nomi-nales 220/380 V, y los parámetros de su circuito eléctrico equivalente son lossiguientes:

R1 = 0, 5 Ω.

R21 = 0, 8 Ω.

X1 = 3 Ω.

X21 = 3, 5 Ω.

Se puede despreciar la rama en paralelo y las pérdidas mecánicas en losmotores asíncronos. La tensión de alimentación del transformador es 13200V. Los motores M1 y M2 están trabajando con un deslizamiento del 4% y elmotor M3 del 2%. Se pide

1. Calcular la tensión en el secundario del transformador.

1

2. Calcular la potencia total (activa y reactiva) suministrada por el trans-formador al conjunto de los tres motores.

3. Calcular el par desarrollado por cada uno de los motores.

4. Calcular el rendimiento global de la instalación.

ANTECEDENTES:

Este problema está basado en el problema no 9 del boletín deproblemas de máquinas asíncronas, realizado en el Grupo A el 9 deenero de 2009 y en el problema no 8 de los problemas resueltos delmismo boletín. Otros problemas similares del boletín de problemas:

Boletín de Transformadores: no 22, no 25 (Grupo C, 17/12/2008),no 30, no 32, no 34 (Grupo A, 17/12/2008) y problema resueltono 7.

Boletín de Máquina Asíncrona: no 40 (Grupo A, 14/1/2009),no 41 (Grupo B, 14/1/2009), no 44, y problema resuelto no 9.

SOLUCIÓN:

En este problema, un transformador trifásico Yy alimenta a tres motoresasíncronos (alimentados en paralelo como se puede observar en la Fig. 1,incluida en el enunciado). Los motores tienen tensiones nominales 220 y 380V. El primer valor corresponde a la configuración en triángulo del estator y elsegundo a la configuración en estrella. El secundario del transformador tieneuna tensión nominal de 380 V y por lo tanto, los 3 motores están conectadosen estrella. Por supuesto, no hace falta recordarlo, todos los valores antesmencionados corresponden a valores de línea.

Para resolver el problema, suponiendo que el sistema es trifásico equili-brado, emplearemos el circuito monofásico equivalente del conjunto mostradoen la Fig. 2. El circuito monofásico es muy sencillo de construir puesto quetodos los elementos están conectados en estrella, y por tanto, no es necesariorealizar ningún tipo de transformación. Se va a resolver el problema toman-do como referencia el secundario del transformador. Como los motores estánconectados en el secundario, no es necesario transformar las impedancias quelos modelan. El circuito monofásico del transformador está referido a su se-cundario. El circuito monofásico equivalente es el que se muestra en la Fig.2.

2

Figura 2: Circuito monofásico equivalente del sistema mostrado en la Fig. 1referido al secundario del transformador.

A partir de los datos del transformador, mostrados en la Fig. 1, se puedecalcular su impedancia interna, referida al secundario. Al no tener datossuficientes para su cálculo, se desprecia la rama de vacío.

La potencia nominal del transformador es Sn = 400 kVA. Los valoresnominales de las tensiones de línea son los siguientes:

U1nL = 13200 V.

U2nL = 380 V.

Tanto el primario como el secundario del transformador están conectadosen estrella y, por lo tanto, las tensiones nominales de fase son las siguientes:

U1nf =13200√

3V (1)

U2nf =380√

3V (2)

La relación de transformación de fase es:

mf =13200/

√3

380/√

3= 34, 73 (3)

3

La corriente secundaria nominal de fase es:

I2nf =Sn

3 · U2nf= 17, 5 A (4)

A partir de las caídas de tensión relativas se obtienen los valores de laresistencia y reactancia internas referidas al secundario:

Rcc2 =�Rcc100

U2nfI2nf

= 0, 01083 Ω/fase (5)

Xcc2 =�Xcc100

U2nfI2nf

= 0, 01444 Ω/fase (6)

Cada motor asíncrono estará modelado por su impedancia interna y laresistencia equivalente de carga. La impedancia interna de los tres motoresse obtiene a partir de los valores del enunciado:

~Zm = Rccm+j ·Xccm = (R1 +R21)+j ·(X1 +X21) = 1, 3+j ·6, 5 Ω/fase (7)

La impedancia total del cada motor se obtiene sumando a la impedanciainterna la resistencia equivalente de carga. Los motores M1 y M2 están tra-bajando con un deslizamiento del 4%.

~Zm1 = ~Zm2 = ~Zm +R21

(1

0.04− 1

)= 20, 5 + j · 6, 5 Ω/fase (8)

El motor M3 está trabajando con un deslizamiento del 2% y su impedan-cia total es la siguiente:

~Zm3 = ~Zm +R21

(1

0.02− 1

)= 40, 5 + j · 6, 5 Ω/fase (9)

Los tres motores están acoplados en paralelo y la impedancia equivalentees la siguiente:

~Zeq =

(1

~Zm1+

1

~Zm2+

1

~Zm3

)−1= 8, 21 + j · 2, 33 Ω/fase (10)

El circuito monofásico equivalente queda reducido al mostrado en la Fig.3. Se conoce que la tensión de alimentación del transformador es 13200 V. Elvalor de fase correspondiente, referido al secundario, se escoge como origende fases:

U1L = 13200 V; U1f =13200√

3V; ~U12f =

380√36 0o V (11)

4

Figura 3: Simplificación del circuito de la Fig. 2 por asociación en paralelode la impedancia de los tres motores.

La corriente suministrada por el transformador al conjunto de los 3 mo-tores se calcula a continuación:

~U12f =(~Zcc2 + ~Zeq

)· ~I2f

~I2f =~U12f

~Zcc2 + ~Zeq= 25, 666 −15, 91o A (12)

La tensión en el secundario del transformador se calcula de la siguienteforma:

~U2f = ~Zeq · ~I2f = 219, 026 −0.073o V (13)El secundario del transformador está conectado en estrella y la tensión

de línea en este devanado es:

U2L =√

3 · U2f = 379, 36 V (14)

La potencia total consumida por los tres motores es la potencia cedidapor el transformador:

~S2 = 3 · ~U2f · ~I∗2f = 1, 6222 · 104 + j · 4, 6011 · 103 VA (15)

También resulta sencillo calcular la potencia aparente consumida por eltransformador:

~S1 = 3 · ~U12f · ~I∗2f = 1, 6243 · 104 + j · 4, 6297 · 103 VA (16)

5

La tensión en el secundario del transformador es la tensión de alimenta-ción de los tres motores. Con este valor y el deslizamiento se puede deter-minar el par interno desarrollado por cada motor. Como en estos motores sedesprecian las pérdidas mecánicas, el par interno y el par útil coinciden.

Mi =3R21

sU22f

2π60n1

((R1 +

R21s

)2+X2cc

)Par interno desarrollado por los motores M1 y M2:

Mi1 = Mi1 =3R21

0.04219, 022

2π60n1

((R1 +

R210.04

)2+X2cc

) = 99, 05 Nm (17)El par interno desarrollado por el motor M3 es el siguiente:

Mi3 =3R21

0.02219, 022

2π60n1

((R1 +

R210.02

)2+X2cc

) = 54, 45 Nm (18)donde la velocidad de sincronismo vale:

n1 =60 · f1p

=60 · 50

5= 600 rpm

Como se ha explicado en las clases de problemas, cuando no se conoce deforma explícita, se debería suponer que la frecuencia de alimentación son 50Hz, por ser la frecuencia en España.

La potencia activa consumida por la instalación es la parte real de lapotencia aparente ~S1 consumida por el propio transformador. La potenciaútil de la instalación es la suma de las potencias útiles desarrolladas porcada uno de los tres motores (Pum = Mi · Ω = Mi(1− s)n12π/60).

ηInstalación =Pum1 + Pum2 + Pum3

real(~S1)(19)

ηInstalación =2Mi1(1− 0.04)n12π/60 +Mi3(1− 0.02)n12π/60

P1(20)

ηInstalación = 0, 942 (21)

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MÁQUINAS ELÉCTRICASEXAMEN ORDINARIO

2008/2009

Problema No 2Una industria absorbe una potencia activa de 2000 kW con fdp 0,6 in-

ductivo de una red de 6000 V. Se coloca un motor síncrono conectado enestrella para elevar el factor de potencia de la instalación a la unidad. Delmotor síncrono se conoce:

Resistencia del inducido despreciable.

Reactancia síncrona: 2 ohmios/fase.

Tensión nominal: 6000 V.

Curva de vacío: E0L = 9000Ie/(30 + Ie), donde E0L es la fem inducidaen vacío (valor de línea) expresada en V e Ie es la corriente de excitaciónexpresada en A.

Pérdidas mecánicas: 50 kW.

Potencia nominal: 500 kW.

Cuando el motor trabaja en vacío compensando toda la reactiva que consumela planta industrial, calcular:

1. Potencia (activa y reactiva) consumida por el motor.

2. Corriente consumida por el motor.

3. Tensión inducida en vacío.

4. Corriente de excitación.

5. Dibujar el diagrama fasorial.

Si el motor trabaja a plena carga y compensa la mitad de la potencia reactivaconsumida por la planta industrial, calcular:

6. Potencia (activa y reactiva) consumida por el motor.

7. Corriente consumida por el motor.

1

8. FEM inducida en vacío.

9. Dibujar el diagrama fasorial.

Si el motor trabaja a plena carga y la corriente de excitación se fija en 40 A,calcular:

10. FEM inducida en vacío (módulo y angulo de par).

11. Corriente consumida por el motor.

12. Potencia total (activa y reactiva) consumida por el motor y la plantaindustrial.

13. Factor de potencia total del conjuto motor y planta industrial.

14. Dibujar el diagrama fasorial.

ANTECEDENTES:

Este problema está basado en el problema no 13 del boletín deproblemas, realizado en el Grupo A el 16 de enero de 2009. Otrosproblemas similares del boletín de problemas: no 6 (realizado en elGrupo B), no 11, no 15 (realizado en el Grupo C), no 17, no 30,problemas resueltos no 1 y no 2.

SOLUCIÓN:

Una planta industrial consume una potencia activa de 2000 kW (Pi) conun factor de potencia 0,6 inductivo (fdpi). La potencia reactiva inductivaque consume es la siguiente:

tg(arccos(fdpi)) =QiPi

Qi = Pi · tg(53, 13o) = 2, 6667 · 103 kVAr (1)

Se monta en la instalación industrial un motor síncrono (ver Fig. 1), queademás de accionar una carga mecánica, se va a emplear para mejorar elfactor de potencia global. En una determinada situación de funcionamiento,el motor está trabajando en vacío y está compensando toda la potencia reac-tiva que consume la planta industrial (1). Aparte de las pérdidas mecánicas,este motor no presente otro tipo de pérdidas de energía (la resistencia delinducido es despreciable y por tanto no hay pérdidas por efecto Joule en el

2

Figura 1: Esquema básico de la instalación industrial y el motor síncrono.

inducido; tampoco hay pérdidas en el hierro asociadas al inducido). Por lotanto, toda la potencia activa consumida será igual a la potencia mecánicadesarrollada. Cuando está trabajando en vacío, el motor no acciona ningunacarga pero como está girando consumirá la potencia correspondiente a laspérdidas mecánicas. Además tiene que regularse su excitación de tal maneraque entregue (Q negativa según el criterio de signos motor) una potenciareactiva igual a la que consume la planta industrial (1):

~Sm = Pm + j ·Qm = Pmec − j ·Qi = 50000− j · 2, 6667 · 106 VA (2)

El motor está alimentado a 6000 V. Como el inducido está conectadoen estrella, la tensión de fase de alimentación es la siguiente (se toma comoorigen de fases):

~U1f =6000√

36 0o V (3)

A partir de las expresiones (2) y (3) se puede calcular la corriente de faseque consume el motor:

~Sm = 3 · ~U1f · ~I∗mf

~Imf =

[~Sm

3 · ~U1f

]∗~Imf = 256, 656 88, 92

o A (4)

3

Figura 2: Circuito monofásico equivalente del motor síncrono.

Como el inducido está conectado en estrella, el módulo del valor de líneade la corriente consumida coincide con el módulo de la corriente de fase.Una vez conocida la corriente (4), de acuerdo con el circuito monofásicoequivalente de la Fig. 2, la fem inducida en vacío se obtiene a continuación:

~e0f = ~U1f − j ·Xs · ~Imf

~e0f =6000√

36 0o − j · 2 · 256, 656 88, 92o

~e0f = 3977, 316 −0, 1386o V (5)Con la expresión de la curva de magnetización o vacío se puede calcular la

corriente de excitación necesaria para que el motor síncrono pueda trabajaren las condiciones anteriores.

E0L =9000 · Ie30 + Ie

Ie =E0L · 30

9000− E0L

Ie =

(3977, 31 ·

√3)· 30

9000−(3977, 31 ·

√3) = 97, 89 A (6)

El diagrama fasorial se puede representar con el siguiente programa deMatlab:

%Diagrama fasorial del primer modo de funcionamientoXs = 2;

4

U1f = [0 6000/sqrt(3)];Imf = [0 256.65*exp(i*88.92*pi/180)];eof = [0 3977.31*exp(i*(-0.1386)*pi/180)];

h1 = figure;polar(angle(eof), abs(eof), ’b’)hold on;polar(angle(Imf), abs(Imf),’r’)polar(angle(U1f), abs(U1f), ’g’)

legend(’eof’,’Imf’,’U1f’)

En el siguiente tipo de funcionamiento, el motor está a plena carga, esdecir, la potencia útil que entrega a la máquina que acciona es su potencianominal. Ahora, la potencia activa consumida por el motor es la potenciaútil desarrollada más las pérdidas de origen mecánico:

Pm = Pmec + Pnominal = 50000 + 500000 = 550000 W (7)

Ahora, el motor sólo aporta la mitad de la potencia reactiva consumidapor la planta industrial. Por lo tanto, la potencia aparente consumida por elmotor es la siguiente:

~Sm = Pm + j ·Qm = (Pmec + Pnominal)− j ·Qi2

= 550000− j · 2, 6667 · 106

2VA(8)

~Sm = 1442316, 816 −67, 58o VA (9)

La corriente consumida por el motor en esta situación de funcionamientoes la siguiente:

~Sm = 3 · ~U1f · ~I∗mf

~Imf =

[1442316, 816 −67, 58o

3 · ~U1f

]∗~Imf = 138, 796 67, 58

o A (10)

La fem inducida en vacío se calcula a continuación:

~e0f = ~U1f − j ·Xs · ~Imf

~e0f =6000√

36 0o − j · 2 · 138, 796 67, 58o

5

~e0f = 3722, 216 −1, 63o V (11)Para que el motor pueda trabajar en estas condiciones, es necesario fijar

la corriente de excitación del motor en el siguiente valor:

Ie =

(3722, 21 ·

√3)· 30

9000−(3722, 21 ·

√3) = 75, 76 A (12)

A continuación, el motor sigue desarrollando su potencia nominal, perola corriente de excitación se cambia y se fija en 40 A. Con la curva de vacíodel motor se puede calcular el valor de la fem inducida en vacío:

E0L =9000 · 4030 + 40

= 5142, 86 V

~e0f =5142, 86√

36 δ V (13)

En principio el ángulo de par es desconocido, pero como la resistenciadel inducido es despreciable, se puede emplear la siguiente ecuación para sudeterminación:

Pm = 3U1f · e0fXs

sen(δ)

50000 + 500000 = 3

6000√3· 5142,86√

3

2sen(δ) (14)

δ = arcsen

[550000 · 236000√

3

5142,86√3

]= −2, 0429o (15)

A continuación se determina la nueva corriente consumida por el motor:

~Imf =~U1f − ~e0fj ·Xs

=

6000√36 0o − 5142,86√

36 −2, 0429o

j · 2

~Imf = 253, 956 −77, 97o A (16)La potencia aparente consumida por el motor es:

~Sm = 3 · ~U1f ~I∗mf = 36000√

36 0o (253, 956 −77, 97o )∗

~Sm = 2639172, 186 77, 79o VA (17)

Como se puede observar, ahora el motor está subexcitado y consume potenciareactiva inductiva. El consumo global del conjunto motor síncrono-plantaindustrial es el siguiente:

~STotal = ~Sm + ~Si = 5834627, 876 64, 1o VA (18)

6

El nuevo factor de potencia:

fdp = cos(64, 1o) = 0, 44 (inductivo) (19)

Los diagramas fasoriales de los otros modos de funcionamiento se dibujancon el mismo programa de Matlab, introduciendo los valores correctos paralos módulos y los ángulos de fases de las distintas variables.

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