problema do transporte2

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Departamento Matemtica da Universidade de Aveiron

Profa. Marli

II. Programao Linear (PL)
Captulo 7.2:
Resoluo do Problema de Transporte (PT).

Obteno de uma SBA inicial.

Mtodo do canto N-W;

Mtodo do mnimo da matriz de custos;

Mtodo de Vogel.

Obteno da soluo ptima.

Mtodo de Dantzig.

Problema de Transporte. Exemplo Prottipo
Uns dos principais produtos da firma Lactosal o leite.

Os pacotes de leites so empacotados
em 3 fbricas
e depois so distribudos de camio
para quatro armazns
Conhecendo os custos de transporte, a procura prevista para cada armazm e as capacidades de produo de cada fbrica, pretende-se:

OPTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIO DIRIO DO LEITE.

24 cargas dirias de leite devem ser produzidas e distribudas

Problema de Transporte. Exemplo Prottipo

Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinao fbrica-armazm e das ofertas(produo) e procuras, em cargas de camio/dia, so os seguintes:
Custo por carga de camioArmaznsFbricas1234Oferta1123462432483022110Procura4767

Para o exemplo prottipo a oferta total igual procura total

Quadro do Problema de Transporte

A SBA verifica o critrio de optimalidade?

Obteno de uma SBA inicial

FIM !!!
a soluo ptima

Mover-se para uma SBA "melhor"

Sim

No

Algoritmo para a resoluo do PT.

Passo 1: Obteno de uma SBA Inicial
Mtodo do Canto Noroeste
A varivel bsica escolhida , em cada quadro,a varivel situada no canto superior esquerdo (daqui o nome do canto do NW).

A primeira varivel bsica escolhida ser sempre x11, depois consoante tenha sido traada a coluna 1 ou a linha 1,
ser escolhida como varivel bsica x12 ou x21 respectivamente, e assim sucessivamente at terem sido traadas todas as linhas e todas as colunas.

Este mtodo de aplicao muito fcil, mas tem como grande inconveniente o facto de no considerar os custos na identificao da SBA inicial.

4

2

5

3

7

3

1. x11 =min (4,6 )= 4

2

2. x12 =min (7,2 )= 2

3. x22 =min (5,8 )= 5

5

4. x23=min (6,3 )= 3

3

3

7

5. x33=min (3,10 )= 3

6. x34=min (7,7 )= 7

SBA inicial: X0 = ( 4 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 ) ; z0 = 42

Exemplo Prottipo. Mtodo do Canto Noroeste

1

2

4

4

3

4

3

2

0

2

1

2

4 7 6 7

6

8

10

Passo 1: Obteno de uma SBA Inicial
Mtodo do Mnimo da Matriz dos Custos.
A varivel bsica escolhida a varivel que corresponde ao menor custo(em caso de empate a escolha arbitrria).

A primeira varivel bsica escolhida ser sempre a de menor custo, depois ser escolhida como varivel bsica a de menor custo no quadro resultante consoante o que foi traado, e assim sucessivamente, at terem sido traadas todas as linhas e todas as colunas.

Este mtodo, em princpio, fornece solues iniciais mais prximas da soluo ptima que o mtodo anterior, j que so considerados os custos na identificao da SBA inicial.

4

6

1

6

6

1

1: min (cij )= c31= 0
x31 =min (4,10)= 4

1

2: min (cij) =c34= 1 x34 = min ( 7, 6 )= 6

3: min (ci) = c12=c23= 2
x12 = min ( 7, 6 ) = 6

1

4: min (cij) =c23= 2
x23= min ( 6, 8 ) = 6

2

1

6

5: min (cij)= c22= 3 x22= min ( 2, 1 ) = 1

6: min (cij) =c24= 4 x24=min (1, 1 ) =1

SBA inicial: X0 = ( 0 , 6, 0, 0, 0, 1, 6, 1, 4,0, 0,6) ; z = 38

Exemplo Prottipo.Mtodo do Mnimo dos Custos

1

2

4

4

3

4

3

2

0

2

1

2

4 7 6 7

6

8

10

Passo 1: Obteno de uma SBA Inicial.
Mtodo de Vogel
A varivel bsica escolhida , em cada quadro,a varivel que corresponde ao menor custo da linha ou coluna associada maior das diferenas entre os dois menores custos de cada linha e cada coluna(em caso de empate a escolha arbitrria).
Este mtodo identifica uma SBA inicial, em geral, melhor do que as obtidas pelos mtodos anteriores.

3

7

1: acrescentar uma linha e uma coluna, com as diferenas entre os dois menores custos, em coluna e em linha respectivamente.

2: Seleccionar a maior das diferenas: max (diferenas) = 3 , coluna 4.

3: Seleccionar o menor dos custos para esta coluna:
min (cij: j=4)= c34= 1
x34= min ( 7, 10 ) = 7

Iterao 1: x34= 7

4 7 6 7

mximo

mnimo

Exemplo Prottipo.Mtodo de Vogel.
Quadro 1

1

0

0

3

1

2

4

4

3

4

3

0

2

1

2

2

1

1

1

10

8

6

2

4 7 6

7

1

3

1: calcular as novas diferenas relativas apenas aos elementos no traados

2: Seleccionar a maior das diferenas:
max (diferenas) = 2 e corresponde linha 3.

3: Seleccionar o menor dos custos para esta linha:
min (cij: i=3)= c31= 0
x31= min ( 4, 3 ) = 3

Iterao 2: x31= 3

mximo

mnimo

2

4 7 6

7

1

3

1: calcular as novas diferenas relativas apenas aos elementos no traados

2: Seleccionar a maior das diferenas:
max (diferenas) = 2 e corresponde linha 3.

3: Seleccionar o menor dos custos para esta linha:
min (cij: i=3)= c31= 0
x31= min ( 4, 3 ) = 3

Iterao 2: x31= 3

mximo

mnimo

Exemplo Prottipo. Mtodo de Vogel.
Quadro 2

1

2

3

4

4

3

4

3

8

6

0

2

1

2

1

0

0

1

1

2

1

2

3

4

4

3

4

3

8

6

0

2

1

2

1

0

0

1

1

2

7

1

1

1: calcular as novas
diferenas relativas
apenas aos elementos
no traados

2: Seleccionar a maior
das diferenas :
max (diferenas) = 3
e corresponde coluna 1.

3: Seleccionar o menor
dos custos para esta
coluna:
min (cij: j=1) = c11= 1
x11= min ( 1, 6 ) = 1

Iterao 3: x11= 1

mnimo

5

mximo

Exemplo Prottipo. Mtodo de Vogel.
Quadro 3

4

3

4

8

6

0

2

1

2

1

2

3

2

4 7 6

3

4

3

1

1

1

1

As restantes quadrculas podem ser preenchidas imediatamente:
x22= 2
x23= 6

8

2 6

7

3

1

5

2

6

SBA inicial: X0 = ( 1 , 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3,0, 0,7) ; z = 36

Exemplo Prottipo. Mtodo de Vogel
Quadro 5

3

4

3

4

2

0

2

1

2

4

2

1

z0 = 36

X0 = ( 1 , 5, 0, 0,
0, 2, 6, 0,
3, 0, 0, 7)

X0 = ( 4 , 2, 0, 0,
0, 5, 3, 0,
0, 0, 3, 7)

X0 = ( 0 , 5, 1, 0,
0, 2, 6, 0,
4, 0, 0, 6)

z0 = 42

z0 = 38

mais fcil

menos fcil

"pior" SBA

"melhor" SBA

Passo 1: Obteno de uma SBA Inicial.
Exemplo Prottipo

Mtodo

SBA inicial

f.o.

Canto do NW

Mnimo de custos

Voguel

A soluo dual admissvel:
ui + vj- cij 0 ,
( i , j ) IB ?

Passar ao passo seguinte

FIM
a soluo ptima !!!

Sim

No

Determinar a soluo dual complementar
ui , vj , ( i=1,2,m , j=1,2,n ),
por resoluo do Sistema de Dantzig:
ui + vj = cij ( i , j ) IB

Passo 2: Obteno da soluo ptima
Mtodo de Dantzing. Critrio de optimalidade

Obteno da soluo ptima.Mtodo de Dantzing.
Passo 1: Critrio de optimalidade.

O primeiro passo, que consiste em testar a optimalidade da SBA actual pode ser executado recorrendo Dualidade.
Para o efeito necessrio determinar a correspondente soluo dual.

Enquanto na apresentao tabular do mtodo simplex esta soluo pode ser lida directamente no quadro respectivo, com a apresentao tabular do problema de transporte isso no acontece.
Contudo, atendendo simplicidade da estrutura do problema dual de transporte,
fcil determinar a soluo dual.

u1 livre
u2 livre
u3 livre
v1 livre
v2 livre
v3 livre

v4 livre

= 6
= 8 = 10

= 4
= 7
= 6
= 7

1 2 3 4 4 3 2 4 0 2 2 1

x110 x120 x130 x140 x210 x220 x230 x240 x310 x320 x330 x340

Min z

Problema dual

Problema primal

Diagrama de Tucker

Max w

Formulao do Problema Dual de Transporte.

1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1

Maximizar w = 6 u1 + 8 u2 + 10 u3 +
4 v1 + 7 v2 + 6 v3 + 7 v4

sujeito a:
u1 + v1 1
u1 + v2 2
u1 + v3 3

u1 + v4 4
u2 + v1 4
u2 + v2 3
u2 + v3 2
u2 + v4 4
u3 + v1 0
u3 + v2 2
u3 + v3 2
u3 + v4 1

ui , v j livres ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )

Formulao do Problema Dual de Transporte.

x11= 4

u1 + v1 = 1

x12 = 2

u1 + v2 = 2

x22 = 5

u2 + v2 = 3

x23 = 3

u2 + v3 = 2

x33 = 3

u3 + v3 = 2

x34 = 7

u3 + v4 = 1

Para a SBA inicial obtida pelo Mtodo do Canto N-W
X0 = ( 4 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 ) tem-se:

De acordo com a propriedade dos desvios complementares, a cada varivel bsica do problema primal se encontra associada uma restrio saturada no problema dual .

Sistema de Dantzig para a SBA actual

Exemplo Prottipo. Sistema de Dantzing

Dado que uma das (m+n) restries do problema primal redundante, este sistema de equaes indeterminado de grau 1, pelo que a sua resoluo efectuada atribuindo um valor arbitrrio a qualquer das variveis duais e calculando a partir desta as restantes
( habitual fazer u1 =0 )

v1 =1

v2 =2

u2 =1

v3 =1

u3 =1

v4 =0

u1 =0

1. Determinar a soluo dual.

Exemplo Prottipo. Obteno da soluo ptima.
Passo 1: Critrio de Optimalidade

u1 + v1 = 1

u1 + v2 = 2

u2 + v2 = 3

u2 + v3 = 2

u3 + v3 = 2

u3 + v4 = 1

Esta soluo para as variveis duais pode ser obtida directamente no quadro de transporte correspondente SBA em presena.
Em sntese, fixando u1 =0, desloca-se em linha atravs das quadrculas correspondentes s variveis bsicas, para obter os vj. Uma vez obtidos estes, desloca-se em coluna atravs das quadrculas correspondentes s variveis bsicas para obter os ui .

v1=1

v2=2

v3=1

v4=0

u3=1

u2=1

u1=0

( 1 ) u1+ v1=1
0 + v1=1

( 2 ) u1+ v2=2
0 + v2=2

( 4 ) u2+ v3=2
1 + v3=2

( 6 ) u3+ v4=1
1 + v4=1

( 3 ) u2+ v2=3
u2+ 2 =3

( 5 ) u3+ v3=2
u3+ 1=2



1

2

4

4

3

4

3

2

0

2

1

2

6

8

10

4 7 6 7

24

4

2

5

3

7

3

Como so satisfeitas as restries duais de igualdade do Sistema de Dantzig que correspondem s variveis primais bsicas, resta apenas verificar se as restantes restries duais de desigualdade correspondentes s variveis primais no bsicas do primal, so igualmente satisfeitas,
o que significa que a soluo dual admissvel e consequentemente
a soluo primal em presena ptima.

Isto equivalente a verificar que todos os custos reduzidos para as variveis no bsicas sejam no positivos.

A verificao de que ui + vj cij , ( i , j ) IB , equivalente a (ui + vj ) - cij 0 ,
sendo o primeiro membro desta expresso de obteno imediata no quadro de transporte.

Esta soluo no ptima, pois existem valores positivos para
ui + vj- cij nas quadrculas (3,1) e (3,2), o que significa que as correspondentes restries duais no esto satisfeitas.

3. Existe algum ui + vj- cij > 0 , ( i , j ) IB ?


1

2

4

3

4

3

2

2

1

2

0

6

8

10

4 7 6 7

24

4

4

2

5

3

7

3

v1=1

v2=2

v3=1

v4=0

u3=1

u2=1

u1=0

-4

-2

-3

-2

2

1

max {ui + vj - cij : ui + vj - cij> 0 }

A varivel a entrar na base escolhida de acordo com o critrio:

Em caso de empate a escolha arbitrria.

mximo

A varivel a entrar x31

Passo 2: Critrio de Entrada

1

2

4

3

4

3

2

2

1

2

0

6

8

10

4 7 6 7

24

4

4

2

5

3

7

3

v1=1

v2=2

v3=1

v4=0

u3=1

u2=1

u1=0

-4

-2

-3

-2

2

1

Passo 3: Critrio de Sada
1. Seleccionar o percurso relativo varivel que entra atribuindo s quadrculas nele includas sinais de - ou + .
Ao incrementar a varivel bsica que entra desde zero at um valor positivo 0, inicia-se um processo em cadeia" que garante que as restries de oferta e procura continuem satisfeitas. Este processo segue um percurso no quadro a partir da quadrcula da varivel que entra, onde so identificadas quais so as quadrculas onde ser preciso subtrair o valor 0, (com sinal -) e aquelas onde ser preciso adiciona-lo (com sinal +).
Tudo com o objectivo de as somas em cada linha e coluna permanecerem inalteradas.

2. Seleccionar a varivel que sai de acordo com o critrio:

min {xij percurso relativo varivel que entra : xij tem sinal -} = 0

Em caso de empate a escolha arbitrria.

1. Seleccionar o percurso relativo varivel x31 atribuindo s quadrculas nele includas sinais de
- ou + .

2. Seleccionar a varivel
que sai:
0 = min ( 4, 5, 3 ) = 3
a varivel x33 sai

-

+

-

+

-

Determinar a varivel que sai.

mnimo

Passo 3: Critrio de Sada

x31

Passo 4: Obteno de uma nova SBA

A nova SBA obtm-se adicionando e subtraindo s variveis que formam o ciclo o valor de 0, consoante estejam afectadas com ou , respectivamente;
as restantes variveis mantm os seus valores inalterados.

-

+

1

5

2

0

7

6

x13= 3

3

x11=4 -3 = 1

x12=2 + 3 = 5

x22=5 -3 = 2

x23=3 +3 = 6

x23=3 -3 = 0

X1 = ( 1 , 5, 0, 0, z1 = 36
0, 2, 6, 0,
3, 0, 0, 7 )

Exemplo Prottipo.Obteno da soluo ptima.
Passo 4: Obteno de uma nova SBA

1

2

4

4

3

4

3

2

0

2

1

2

x31

4

2

5

3

7

3

-

+

-

+

-

1

2

4

4

3

4

3

2

0

2

1

2

v1=1

v2=2

v3=1

v4=2

u3=-1

u2=1

u1=0

( 1 ) u1+ v1=1
0 + v1=1

( 2 ) u1+ v2=2
0 + v2=2

( 4 ) u2+ v3=2
1 + v3=2

( 6 ) u3+ v4=1
-1 + v4=1

( 3 ) u2+ v2=3
u2+ 2 =3

( 5 ) u3+ v1=0
u3+ 1=0

3


Iterao 2, Passo 1: Critrio de Optimalidade.

1

2

4

4

3

4

3

2

0

2

1

2

6

8

10

4 7 6 7

24

1

5

2

6

7

( 6 ) u3+ v3 -2
=-1+ 1 -2= -2

( 3 ) u2+ v1 -4
= 1+ 1 -4=-2

( 5 ) u3+ v2-2
=-1+ 2 -2= -1

( 1 ) u1+ v3 -3
= 0+ 1 -3=-2

( 2 ) u1+ v4 -4
= 0+2 -4=-2

(4 ) u2+ v4 -4
= 1+ 2 -4=-1

3

2. Calcular os custos reduzidos para as variveis no bsicas.

Iterao 2, Passo 1: Critrio de Optimalidade

1

2

4

3

4

3

2

2

1

2

0

6

8

10

4 7 6 7

4

1

5

2

6

7

v1=1

v2=2

v3=1

v4=2

u3=-1

u2=1

u1=0

-2

-2

-1

-2

-1

- 2

Esta soluo ptima, pois para todas as variveis no bsicas
ui + vj - cij 0

Soluo ptima: X1 =(1 , 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7); z1 = 36

3. Existe algum ui + vj- cij > 0 , ( i , j ) IB ?

Iterao 2, Passo 1: Critrio de Optimalidade

1

2

4

3

4

3

2

2

1

2

0

6

8

10

4 7 6 7

4

1

5

2

6

7

v1=1

v2=2

v3=1

v4=2

u3=-1

u2=1

u1=0

-2

-2

-1

-2

-1

- 2

3

Destino

Origem

1 2 3 4

1 2 3 4

Oferta

1

1

2

2

3

3

6

6

8

8

10

10

Procura

4

4

7

7

6

6

7

7

24

24

=

=

24

24

1

1

2

2

4

4

4

4

3

3

4

4

x

x

11

11

x

x

12

12

x

x

14

14

x

x

21

21

x

x

22

22

x

x

24

24

3

3

x

x

13

13

2

2

x

x

23

23

0

0

2

2

1

1

x

x

31

31

x

x

32

32

x

x

34

34

2

2

x

x

33

33

Destino

Origem

Destino

Origem

1 2 3 4

1 2 3 4

Oferta

1

1

2

2

3

3

6

6

8

8

10

10

Procura

4

4

7

7

6

6

7

7

24

24

=

=

24

24

1

1

1

1

2

2

2

2

4

4

4

4

4

4

4

4

3

3

3

3

4

4

4

4

x

x

11

11

x

x

12

12

x

x

14

14

x

x

21

21

x

x

22

22

x

x

24

24

3

3

3

3

x

x

13

13

2

2

2

2

x

x

23

23

0

0

0

0

2

2

2

2

1

1

1

1

x

x

31

31

x

x

32

32

x

x

34

34

2

2

2

2

x

x

33

33

Custo por carga de

camio

Armazns

10

1

2

2

0

3

7

4

4

4

4

4

1

1

7

3

2

2

6

2

3

3

Procura

8

2

6

1

Oferta

Fbricas

Custo por carga de

camio

Armazns

10

1

2

2

0

3

7

4

4

4

4

4

1

1

7

3

2

2

6

2

3

3

Procura

8

2

6

1

Oferta

Fbricas

6

6

8

8

10

10

4

4

7

7

6

6

7

7

24

24

1

1

2

2

4

4

4

4

3

3

4

4

4

4

2

2

5

5

3

3

2

2

3

3

2

2

1

1

7

7

2

2

3

3

0

0

-4

-2

-3

problema do transporte2

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