Problema 3.3

El campo eléctrico en el interior y exterior de una superficie esférica de radio R es:

E⃗={ AR (−cosθ i⃗r+senθ i⃗θ ) ; r<R

A R2

r3 (2cosθ i⃗r+senθ i⃗θ ) ;r>R}Donde A es una constante:

Determine:

a. La densidad de carga volumétrica en el interior y exterior de la esfera.b. La densidad de carga superficial η en r=Rc. Si rot E⃗=0 en cada Regiond. La carga total en la superficie de la esfera

Grafica

Desarrollo:

a. Para r<R:¿ (ε0 E⃗ )=ρV

ρ v=ε0[ 1r2

∂ (r2 Er )∂ r

+ 1rsenθ

∂(senθ Eθ)∂θ

+ 1rsenθ

∂ (Eφ)∂φ ]

ρ v=ε0[ 1r2

∂∂ r (r2(−A

Rcosθ))+ 1

rsenθ∂

∂θ (senθ AR

senθ)]ρ v=ε0[ 1

r2 (−2 r ( AR

cosθ))+ 1rsenθ (2 A

Rsenθcosθ)]

ρ v=ε0[−2 AcosθrR

+ 2 AcosθrR ]=0

Para r>R:¿ (ε0 E⃗ )=ρV

ρ v=ε0[ 1r2

∂ (r2 Er )∂ r

+ 1rsenθ

∂(senθ Eθ)∂θ

+ 1rsenθ

∂ (Eφ)∂φ ]

ρ v=ε0[ 1r2

∂ (r2 Er )∂ r

+ 1rsenθ

∂(senθ Eθ)∂θ ]

ρ v=ε0 [ 1r2

∂∂ r ( r2 2 A R2cosθ

r3 )+ 1rsenθ

∂∂θ ( senθ2 A R2

r3 )]ρ v=ε0[−2 A R2cosθ

r4 + 2 A R2cosθr 4 ]=0

b.

E1n−E2n=ηε0

E1 r−E2 r=ηε0

A R2

R3 (2cosθ )−(−AR

cosθ)= ηε0

2 AR

cosθ+ AR

cosθ= ηε0

η=3 ε0 Acosθ

Rc. Para r>R

rot E⃗= 1rsenθ ( ∂ ( Eφ senθ)

∂θ−

∂ (Eθ )∂φ )i⃗r+

1r¿

rot E⃗=1r ( ∂

∂ r (r A R2

r3 senθ)− ∂∂θ

( A R2

r3 2 cosθ )) i⃗θrot E⃗=1

r (−2 A R2

r 3 senθ+ 2 A R2

r3 senθ )=0

Para r<R

rot E⃗= 1rsenθ ( ∂ ( Eφ senθ)

∂θ−

∂ (Eθ )∂φ )i⃗r+

1r¿

rot E⃗=( AR

senθ− AR

senθ )=0

d.

QT=∬ηdS=∫

0

2 π

∫0

π

3 ε 0AR

cosθ R2 senθdθdφ=0

S

Problema 3.8

Una capa cilíndrica de Radios R1 y R2 con (R2>R1) tiene una densidad de carga volumétrica definida por la expresión:

ρ={ 0 ρ<R1

ρ0rR

R1<ρ<r 2

0 ρ<R1}

Encuentre el campo en las 3 regiones ρ<R1; R1<ρ<r 2 ; ρ<R1.Grafique los campos

Desarrollo:

Por definición ¿(ε0 E⃗)=ρ en coordenadas polares la ¿ es igual a:

¿ (ε0 E⃗ )=1ρ

∂ (ε0 ρ E⃗ρ )∂ ρ

+ 1ρ

∂ (ε 0 E⃗θ )∂θ

+∂ (ε0 E⃗ z )

∂z

¿ (ε0 E⃗ )=ε0( 1ρ

∂ (ρ E⃗ρ )∂ ρ )=ρ

Región 1 (ρ<R1)

¿ (ε0 E⃗ )=1ρ

∂ ( ρ ε0 E⃗ρ 1 )∂ ρ

=ρ=0

1ρ

∂ (ε 0 ρ E⃗ρ1)∂ ρ

=0

ε 0 ρ E⃗ρ 1=C 1

E⃗ρ1=C 1ε 0 ρ

Si ρ=0 tenemos singularidad, por lo tanto para evitar esto c 1=0entonces:

E⃗ρ1=0

Región 2 (R1<ρ<R2)

¿ (ε0 E⃗ )=1ρ

∂ ( ρ ε0 E⃗ρ 2 )∂ ρ

=ρ0ρR

∫ ∂ ( ρ ε0 E⃗ρ2 )=∫ ρ0ρ2

R∂ ρ

ρ ε0 E⃗ρ 2=ρ0ρ3

3 R+C 2

E⃗ρ2=ρ0ρ3

3 ρ ε0 R+ C 2

ρ ε 0

Por condiciones de frontera entre E⃗ρ1y E⃗ρ2 encontramos C2

Eρ 1−Eρ 2=0∧ρ=R1∧R=R1

ρ0ρ3

3 ρ ε0 R+ C 2

ρ ε0=0

c 2=−ρ0 R1

2

3

E⃗ρ2=ρ0 ρ3

3 ρ ε0 R+

ρ 0 R12

3 ρ ε0

Región3 (R2<ρ)

¿ (ε0 E⃗ )=1ρ

∂ ( ρ ε0 E⃗ρ 3 )∂ ρ

=0

E⃗ρ3=C 3ρ ε 0

Por condiciones de Frontera entre E⃗ρ2 y E⃗ρ3 encontramos C3

E⃗ρ2−E⃗ρ 3=0∧ ρ=R2∧R=R2

E⃗ρ2=E⃗ρ 3

ρ0 R22

3R2ε 0+

ρ0 R12

3R2 ε0= C 3

R2ε 0

C 3=ρ0 R2

2

3−

ρ0 R12

3

Entonces:

E⃗ρ3=ρ0 R2

2−ρ0 R12

3 ρ ε0

Problema 3.19

Un Cilindro de radio R y longitud infinita tiene una densidad:

J⃗=J 0(1−( ρR )

2

) i⃗z

Encuentre el campo magnético en el interior y exterior del cilindro. Grafique los campos

Desarrollo:

Como la densidad de corriente solo está en función de la distancia radial y un desplazamiento en z o una rotación en φ no afecta su valor.

Por estar en simetría:

∂∂ z

= ∂∂φ

=0 y ∂∂ ρ

≠ 0

Por la ley de Ampere

rot ( H⃗ )= j⃗+∂(ε 0 E⃗)

∂ t

Como no depende del tiempo ∂(ε 0 E⃗)

∂ t=0, entonces:

rot ( H⃗ )=[ 1ρ

∂H z

∂φ−

∂H φ

∂ z ] i⃗ρ+[ ∂ H ρ

∂ z−

∂ H z

∂ ρ ] i⃗φ+1ρ [∂ (ρ Hφ )

∂ ρ−

∂H ρ

∂φ ]i⃗ z

rot ( H⃗ )=−∂H z

∂ ρi⃗φ+

1ρ

∂ (ρ Hφ )∂ ρ

i⃗ z

Región 1 (ρ>R)

Tomamos rot (H⃗ 1 )=0 ya que no hay distribución de corriente en el exterior.

rot (H⃗ 1 )=−∂H 1 z

∂ ρi⃗φ+

1ρ

∂ (ρ H1φ )∂ ρ

i⃗z=0

Igualando las componentes:

∂H 1 z

∂ ρ=0

H 1 z=C 1

∂ ( ρ H 1φ )∂ρ

=0

ρ H1φ=C 2

H 1φ=C 2ρ

Vemos que H 1 z es una solución extraña, decimos esto porque las líneas de campo H⃗ se cierra en círculos alrededor de las líneas j⃗ por lo que C 1=0

H1 z=0

Región 2 (ρ<R)

rot (H⃗2 )=−∂ H 2 z

∂ ρi⃗φ+

1ρ

∂ ( ρ H 2φ )∂ ρ

i⃗z=J 0(1−( ρR )

2)i⃗ z

Igualando las componentes:

−∂ H 2 z

∂ρ=0

H2 z=C 3

Se realiza el mismo análisis que se hizo paraH 1 z a H 2 z:

C 3=0

H 2 z=0

1ρ

∂ ( ρ H 2φ )∂ρ

=J0(1−( ρR )

2)

∫ ∂ ( ρ H 2φ )=∫(J 0 ρ−J0ρ3

R2 )∂ρ

ρ H2φ=J 0 ρ2

2−J0

ρ4

4 R2 +C 4

H 2φ=J 0 ρ2

−J 0ρ3

4 R2 +C 4ρ

Se Observa que en C 4ρ se tiene una singularidad cuando ρ=0 entonces C 4=0 obteniendo así:

H 2φ=J 0 ρ

2−

J0 ρ3

4 R2

Condiciones de contorno de las componentes tangenciales:

H 1φ−H2φ=K

Pero como no hay densidad superficial de corriente, entonces se tiene:

H 1φ=H2φ∧ ρ=R

C 2R

=J 0 R

2−J0

R3

4 R2

C 2R

=J 0 R

2−

J 0 R4

C 2=J0 R2

4

H 1φ=J 0 R2

4 ρ

H⃗ 1=H p i⃗ ρ+H φ i⃗φ+H z i⃗ z=J 0 R2

4 ρpara ρ>R

H⃗ 1=H p i⃗ ρ+H φ i⃗φ+H z i⃗ z=J 0 ρ2

−J 0 ρ3

4 R2 para0< ρ<R