PROBLEMA 3.

El plano Z es perpendicular a la diagonal EC del cubo ABCDEFGH y, al intersecarlo, determina el hexágono PQRSTU. ¿Cómo calculamos su área? (Fig. 1):

- En primer lugar, supongamos que el cubo tienen la arista con medidaau. - En segundo lugar, la sección del cubo es un hexágono regular: todos su lados miden la mitad de la diagonal de la cara del cubo. Ello se aprecia en la cara FGCB, donde, por el teorema de los puntos medios aplicado al triángulo FBG (BG

diagonal de FGCB), PQ mide a√22u.

- Finalmente, calculamos el área del hexágono. Como este se puede descomponer en seis triángulos regulares, basta con calcular el área de uno de ellos y multiplicarla por 6. Hagamos ello en el triángulo MPQ. Su área se calcula

mediante la expresión ( a√ 22 )2

. √ 3

4

Sextuplicando el cociente obtenido, se tiene

que el área del hexágono es 3a2√34

u2.

PROBLEMA 4.

Pensar en un plano paralelo a las aristas opuestas a AD y BC que corta a la arista AB en M significa pensar en términos del siguiente teorema: sean L1 y L2

dos rectas alabeadas y S es un punto del espacio. Existe un único plano que contiene a S y es paralelo a L1 y L2. Para obtenerlo, hay que trazar la paralela a AD que pasa por M, así como la paralela a BC por M. El resultado se puede apreciar en la siguiente figura (Fig. 2):

Como se puede apreciar, la sección formada por la intersección del plano con el tetraedro es un cuadrilátero. “Arrastrando” el punto M podremos apreciar que el cuadrilátero es un rectángulo y, mediante las herramientas de medida, observaremos que en, cuando el punto M se encuentra en la mitad de AB, se tiene un cuadrado. Por lo tanto, en ningún momento se forma un rombo.

PROBLEMA 5.

Sea el paralelepípedo ABCDEFGH.

1º) Hay que probar que EM = MC y AM = MG.

EC y AG determinan un plano que, al intersecarse con el paralelepípedo forma el paralelogramo EGAC. Luego, todo se reduce a probar que las diagonales del paralelogramo se cortan en su punto medio. Mediante el teorema ALA de congruencia de triángulos, EA = GC, ángulo EAG = ángulo AGC, ángulo AEC = ángulo ECG (ángulos alternos internos). Por lo tanto los triángulos AEM y CGM son congruentes. Luego, EM = MC y AM = MG.

2º) De forma análoga se procede en el plano determinado por HB y DG (hay que probar que HM = MB y DM = MF).

Con ello, queda probado que M es el baricentro del paralelepípedo ABCDEFGH.

PROBLEMA 6.

Sean AB y BD dos aristas opuestas del tetraedro ABCD, así como E y G sus puntos medios, respectivamente.