problema 1 - abcservicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/revistacomponents/re...aquí α es el ángulo...

Problema 1Para el taller de diseño industrial los alumnos tienen que realizar una rampa. Deci-

dieron elegir aquella propuesta en la cual la rampa tiene mayor ángulo de inclinación

con el suelo.

Dos grupos propusieron los siguientes diseños:

¿En cuál de los dos diseños el ángulo de inclinación de la rampa con el suelo es mayor?

Si se realiza el cociente entre la altura de la rampa y su longitud, se obtiene en ambos casos

1,5 ___ 3 = 0,5 y 2 __ 4 = 0,5

Por lo tanto, 1,5 ___ 3 = 2 __ 4 ⇒ 1,5 ___ 2 = 3 __ 4

TRIGONOMETRÍA6

CONTENIDOS

❚ Las relaciones trigonométricas

en un triángulo rectángulo

❚ Seno y coseno de un ángulo

❚ Tangente de un ángulo

❚ Relación entre la tangente y la

pendiente de una recta

❚ Teoremas del seno y del coseno

Existen varias situaciones que

para ser resueltas requieren del

establecimiento de relaciones

entre las medidas de los lados

de un triángulo y las medidas

de sus ángulos. Hasta ahora en

un triángulo se han estudiado

las relaciones que se establecen

entre sus lados. Y también las que

se establecen entre sus ángulos.

Diseño 1 Diseño 2

3 m1,5 m

4 m2 m

En este capítulo se tratarán

las relaciones que se pueden

establecer entre las medidas

de los lados y los ángulos de

un triángulo. La rama de la

matemática que se encarga

de estudiar estas relaciones es

la trigonometría, palabra que

significa medida de triángulos.

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M:

122 Capítulo 6. Trigonometría.

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NIP: 222503 - Pág.: 122 - MAT

*0000-222503-122-MAT-9*

Los lados de los esquemas que representan las rampas y sus alturas son proporcionales.

Como los triángulos son rectángulos se puede calcular la medida del otro lado usando

el Teorema de Pitágoras:

Estos lados también guardan la misma proporción:

3 __ 2 √__

3 : √___

12 = 3 __ 2 . √___

3 ___ 12 = 3 __ 2 . 1 __ 2 = 3 __ 4

Por lo tanto si en dos triángulos sus tres lados son proporcionales, son semejantes, enton-

ces los ángulos son iguales.

De este modo se pueden superponer los trián-

gulos coincidiendo los ángulos de inclinación

con el suelo pues sus ángulos son congruentes.

¿Cualquier rampa que tenga el mismo cociente entre la altura y la longitud tendrá el

mismo ángulo de inclinación con el suelo?

Si se procede como se hizo previamente, se obtiene que los triángulos son semejan-

tes. Por lo tanto el ángulo que forman las rampas con el suelo es el mismo.

Dos triángulos son seme-

jantes cuando sus lados co-

rrespondientes son proporciona-

les y sus ángulos respectivamente

congruentes.

Si AΔB C y D

ΔEF son triángulos seme-

jantes.

Entonces

^A = ^D ; ^B = ^E ; ^C = ^F

a __ d

= b __ e = c _ f

D

F

E

f

e

d

A

B

C

b

c

a

Diseño 1 32 = 1,52 + x2 x = 3 __ 2 √

__ 3

Diseño 2 42 = 22 + y2 y = √

___ 12

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

123



NIP: 222503 - Pág.: 123 - MAT

*0000-222503-123-MAT-9*

Las relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Se tienen dos triángulos rectángulos ABC y PMN con un ángulo agudo igual.

Como ambos triángulos tienen ^C = ^N , por ser rectos y ^P = ^A = α , son triángulos

semejantes, por lo tanto sus lados correspondientes son proporcionales, entonces:

___

AB ____ ___

MP =

__ AC ___

___

PN =

__ BC ____

___

MN

Si se toma una proporción

___

AB ___ ___

MP =

__ BC ___

___

MN ⇔

__ BC ___

___

AB =

___ MN ___

___

MP

Es decir que si se toman dos lados de un triángulo rectángulo, la razón entre ellos es

la misma que si se toman los lados correspondientes del otro triángulo rectángulo con un

ángulo agudo igual. Por lo tanto, los cocientes entre dos lados de un triángulo rectángulo

solo dependen del ángulo agudo α .Si se utiliza la terminología propia para triángulos rectángulos se tiene que:

cateto opuesto a α (en A

Δ BC) ________________________

hipotenusa (en AΔ BC)

= cateto opuesto a α (en M

ΔNP) ________________________

hipotenusa (en MΔNP)

De este modo resulta que cualquiera que sea el triángulo rectángulo con un ángulo α,

este cociente es siempre igual. Por este motivo, tiene un nombre específico: seno de α y

se escribe sen α.

Del mismo modo, el cociente entre el cateto adyacente al ángulo α y la hipotenusa

resulta ser siempre igual dependiendo solo del ángulo α.

Esta razón se llama coseno de α y se escribe cos α.

Usualmente se utilizan para

designar ángulos las letras

griegas. Algunas de ellas son:

α alfa

β beta

δ delta

γ gamma

φ fi

En un triángulo rectángulo,

a los lados que están

incluidos en las semirrectas que

forman el ángulo recto se los llama

catetos. Y al lado que se encuentra

opuesto al ángulo de 90º se lo

llama hipotenusa.

___

AB es la hipotenusa

___

CB es el cateto opuesto al ángulo α ___

CA es el cateto adyacente al

ángulo α

Para todo ángulo α con

0º < α < 90º se define:

sen α = cateto opuesto

_____________ hipotenusa

cos α = cateto adyacente

______________ hipotenusa

Como el seno y el coseno de

un ángulo son el resultado

de un cociente de longitudes no

tienen unidades y resultan ser

números reales.

4

Siempre que se construyan

triángulos rectángulos en

los que α sea uno de sus ángulos

interiores no recto se obtienen

triángulos semejantes.

4

4

M

Nα

P

B

C Aα

A

B

C α

Por ejemplo, si se tiene uno de los

triángulos rectángulos del problema

1, el seno del ángulo α es igual a

1,5 ___ 3 = 0,5 y se escribe sen α = 0,5.

3 m1,5 m

α

4

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M:




NIP: 222503 - Pág.: 124 - MAT

*0000-222503-124-MAT-9*

¿Cómo calcular el valor de un ángulo?

Problema 2Un grupo de alumnos del taller de diseño industrial propusieron hacer una rampa de

9 metros con una base de 4,5 metros. Si la construyen de esta manera, ¿tendrá un

ángulo de inclinación mayor que una rampa de 6 metros y 3 metros de altura?

Para la primera rampa se puede dibujar el siguiente esquema:

donde β es el ángulo que forma la rampa con el suelo.

En este triángulo rectángulo solo se cuenta con las medidas de la hipotenusa y del

cateto adyacente al ángulo β, por lo tanto se puede calcular el coseno de β.

cos β = 4,5 ___ 9 = 0,5

Para la segunda rampa se puede hacer el siguiente esquema:

Aquí α es el ángulo que forma la rampa con el suelo.

Como en este caso se tiene la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo y la

medida del cateto opuesto a α se puede calcular el seno de α sen α = 3 __ 6 = 0,5

Con la información del seno de α y del coseno de β, ¿alcanza para saber cuál es el

mayor ángulo de inclinación? ¿α será igual a β? ¿Cuánto mide α y cuánto mide β?

Para calcular el valor de α se puede proceder con la calculadora del siguiente modo:

Sabiendo que sen α = 0,5, tecleando o o y luego 0,5

aparecerá en el visor el número 30, lo que significa que α mide 30º. En algunas calculado-

ras hay que oprimir 0,5 y luego las teclas y .

Con el mismo procedimiento pero con las teclas o o y se

obtiene el ángulo β. cos β = 0,5 ⇒ β = 60°

Por lo tanto la primera rampa tiene mayor inclinación que la segunda.

Antes de la invención de

la calculadora científica, la

única forma de conocer la medida

de un ángulo a partir del valor del

seno o el coseno era a través de

tablas.

Hoy en las calculadoras científicas

se encuentran los valores de los

senos y cosenos de los ángulos

medidos en grados. No se necesita

recurrir más a esas tablas.

En la calculadora verán las teclas

y .

Para calcular el seno de un ángulo

de 38º deberán teclear 38 =

así aparecerá en el visor el número

0,615661475, lo que significa que el

seno de 38º es aproximadamente

igual a 0,61566.

En algunas calculadoras científicas,

el orden en que se deben presionar

las teclas para realizar los cálculos

es distinto. Se deberá consultar el

manual de la calculadora para estar

seguros de su manejo.

1. Calculen los siguientes valores utilizando la calculadora científica:

sen 45º cos 36º sen 5º cos 89º sen 1º

2. Busquen con la calculadora para qué valor de α entre 0° y 90° se

cumple cada una de las siguientes igualdades:

cos α = 0,0001 sen α = 0,89 sen α = 0,32 cos α = 0,99999

4,5 m

9 m

β

6 m3 m

α

4

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

125



NIP: 222503 - Pág.: 125 - MAT

*0000-222503-125-MAT-9*

Relaciones entre el seno y el coseno de un ángulo agudo

Si en un triángulo rectángulo se llama α a uno de sus ángulos agudos

la relación entre las medidas de los lados con el ángulo α permite establecer las siguien-

tes igualdades:

sen α = a __ b cos α = c __

b

Pero estas no son las únicas relaciones que hay en un triángulo rectángulo.

Si se aplica el Teorema de Pitágoras también se puede establecer una relación entre

los lados del triángulo rectángulo, b 2 = a 2 + c 2 .

¿Es posible relacionar estas tres igualdades planteadas?

sen α = a __ b ⇒ b . sen α = a

cos α = c __ b ⇒ b . cos α = c

Si se reemplazan a y c en b 2 = a 2 + c 2 , se obtiene

b 2 = (b sen α ) 2 + (b cos α) 2

Por lo tanto:

b 2 = b 2 se n 2 α + b 2 co s 2 αSi se saca factor común b 2 :

b 2 = b 2 (s en 2 α + co s 2 α)

Al dividir ambos miembros por b 2 , que no es cero pues b es la hipotenusa del triángu-

lo, queda:

1 = se n 2 α + co s 2 α

Esta igualdad se verifica para cualquier valor de α entre 0º y 90º.

Es decir, que para cualquier valor de α siempre se puede relacionar el valor del sen α

y del cos α.

A esta igualdad se la llama identidad pitagórica.

Teorema de Pitágoras: “En todo triángulo

rectángulo el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de

los cuadrados de los catetos”

Si se tiene un triángulo rectángulo

con las medidas de sus lados

por el Teorema de Pitágoras se

obtiene la siguiente igualdad

b2 = a2 + c2

b

c

a

Usualmente (sen α)2 se

escribe como sen2 α.

a

b

cα

Identidad Pitagórica:Si 0º < α < 90º se tiene

sen2 α + cos2 α = 1

3. Un pueblo está atravesado por un río. Para pedir la construcción de

un puente, los pobladores quieren medir el ancho de ese río. Pero como

es demasiado ancho y no cuentan con los instrumentos necesarios

no pueden hacerlo. Los chicos de la escuela del pueblo que están

estudiando trigonometría pensaron en utilizar sus conocimientos para

ayudar a la comunidad. Ellos afirman que, utilizando el gran árbol que

se encuentra sobre una de las orillas del río es posible medir el ancho

del mismo. Dicen que para eso solo necesitan conocer la altura del

árbol y parándose uno de ellos en la orilla opuesta del río, frente al árbol

y mirando hacia la punta del árbol medir el ángulo de visión. De este

modo, utilizando las razones trigonométricas que aprendieron en clase

podrán dar un cálculo aproximado del ancho del río.

¿Consideran que es posible lo que dicen estos alumnos? ¿Por qué? ¿En

qué conocimientos de trigonometría se están apoyando para hacer estas

afirmaciones? Si les dicen que el árbol mide 4,7 metros y que el ángulo de

visión es de 10º, ¿cuál será el ancho del río?

4

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M:




NIP: 222503 - Pág.: 126 - MAT

*0000-222503-126-MAT-9*

Relaciones entre seno y coseno de ángulos complementarios

Problema 3Si se conoce el valor del sen 36º, ¿es posible conocer el valor del cos 54º?

En principio, parece que no hay ninguna relación entre sen 36º y cos 54º.

Si se construye un triángulo rectángulo con un ángulo α = 36º, como la suma de los ángu-

los interiores de cualquier triángulo es igual a 180º, para calcular la medida del otro ángulo, β:

α + β + 90° = 180° ⇒ β = 180°– 90°– α ⇒β = 90°– 36° ⇒ β = 54°

Por lo tanto α y β son ángulos complementarios.

Esto sucede en cualquier triángulo rectángulo, sus ángulos agudos son complementarios.

α + β = 90º

Si se plantea el sen α y el cos β se obtiene:

sen α = cateto opuesto a α ________________

hipotenusa = b __ a

cos β = cateto adyacente a β

__________________ hipotenusa

= b __ a

Luego:

sen α = cos β

Pues el cateto opuesto al ángulo α resulta ser el cateto adyacente al ángulo β.

Del mismo modo

cos α = c __ a y sen β = c __ a

Se tiene entonces que:

sen α = cos βcos β = sen α

Si en el problema α = 36º y β =54º , como 36º + 54º = 90º se obtienen las siguientes

igualdades:

sen 36º = cos 54º

cos 36º = sen 54º

Se llaman ángulos comple-

mentarios a los ángulos cuyas

amplitudes suman 90º.

Por ejemplo, dos ángulos que miden

36º y 54º son complementarios.

4. Sabiendo que cos 38º es aproximadamente 0,78 calculen:

sen 38º = cos 52º = sen 52º =

5. Sabiendo que sen 47º es aproximadamente 0,73 calculen:

cos 47º = sen 43º = cos 43º =

βa

b

αc

β

Si 0º < α < 90º, 90º – α es el

complementario de α y por

lo tanto se verifican las siguientes

relaciones:

sen α = cos (90º – α)

cos α = sen (90º – α)

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

127



NIP: 222503 - Pág.: 127 - MAT

*0000-222503-127-MAT-9*

Cálculo de seno y coseno para ángulos de 30º, 45º y 60º

Problema 4Calcular el valor del sen 45º sin utilizar la calculadora.

Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 45º, también el otro ángulo mide 45º. Si

en un triángulo se tiene dos ángulos iguales entonces se oponen a dichos ángulos, lados

iguales. Con lo cual el triángulo es isósceles.

Se puede afirmar que

sen 45º = a __ h

y también

cos 45º = a __ h

Por lo tanto el sen 45º y el cos 45º resultan ser iguales.

Si se aplica la identidad pitagórica, se obtiene

sen2 45º + cos2 45º = 1

pero como sen 45º = cos 45º,

De este modo se obtiene:

⎪sen 45º⎪ = √__

1 __ 2 = 1 ___ √__

2 = 1 ___

√__

2 .

√__

2 ____ √__

2 =

√__

2 ______ (

√__

2 )2 =

√__

2 ___ 2

Por lo tanto | sen 45°| = √__

2 ___ 2

Como el sen 45° es positivo por que es el cociente ente las longitudes de dos lados,

que son números positivos, se tiene que:

sen 45º = √__

2 ___ 2 y también cos 45º = √__

2 ___ 2

a h

a

α

sen2 45º + sen2 45º = 1 Se reemplaza cos 45° por sen 45°.

2 . sen2 45º = 1 Se opera.

sen2 45º = 1 __ 2

Se despeja.

⎪sen 45º⎪= √__

1 __ 2 Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros.

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 10430 C




NIP: 222503 - Pág.: 128 - MAT

*0000-222503-128-MAT-9*

Problema 5Se obtuvo con la calculadora científica que el sen 30º = 1 __ 2 .

Si no se tuviera una calculadora, ¿cómo se podría calcular el sen 30º?

Si se considera un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de 30º, su complemento

será de 60º.

Se sabe que sen 30º = c __ b

Si se ponen juntos dos triángulos como el anterior:

El triángulo original tenía un ángulo de 30º y otro de 60º. Al juntar en un vértice dos

ángulos de 30º se obtiene uno de 60º, entonces este triángulo tiene los tres ángulos de

60º, por lo tanto es equilátero.

Luego el lado 2c es igual a b, y si 2c = b entonces resulta c = b __ 2

De este modo se tiene que sen 30º = c __ b = b __ 2 : b = 1 __ 2

se puede concluir que sen 30º = 1 __ 2

que ya se había calculado anteriormente utilizando una calculadora.

6. Sabiendo que el sen 30º = 1 __ 2 , calculen el cos 30º.

7. Determinen sin utilizar la calculadora científica el sen 60º.

8. Dibujen tres triángulos rectángulos diferentes en los cuales el valor

del seno de uno de sus ángulos agudos sea 1 __ 2 . ¿Cuántos se podrán

dibujar?

9. El dibujo representa un triángulo rectángulo, en el cual m es altura:

Intenten comprobar,

utilizando sen α,

que a . b = m . h

10. ¿Qué medidas deben tener los lados del siguiente rectángulo para

que, al trazar la diagonal, queden formados dos triángulos rectángulos

cuyos ángulos agudos midan 30° y 60°? ¿Hay una única posibilidad?

En un triángulo equilátero

todos sus ángulos son

iguales.

Como la suma de los ángulos

interiores de un triángulo es igual

a 180º, entonces cada ángulo de

un triángulo equilátero es igual

a 60º.

Como 60º y 30º son

complementarios, por la

relación para ángulos com-

plementarios resulta:

sen 30º = cos 60º = 1 __ 2

4

a b

c

30º

60º

2c

b

c

30º

60º c

60º

30º

60ºb

a

bα

mh

B

C A

M

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

129



NIP: 222503 - Pág.: 129 - MAT

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Tangente de un ángulo

Otra relación entre lados y ángulos de un triángulo es la que se presenta a partir del siguien-

te problema:

Problema 6Si el triángulo ABC es isósceles con

___ AB =

___ AC y con base igual a 8 cm y altura igual a

11 cm, ¿cuál es la medida de sus ángulos?

Para resolver este problema se puede hacer el siguiente esquema donde ___

AD es la altura

del triángulo:

Como el triángulo es isósceles, la altura divide a la base en partes iguales, quedando

determinados dos triángulos rectángulos congruentes.

Para hallar, por ejemplo, el ángulo C con los datos con que se cuentan, no alcanza con

recurrir al seno y al coseno. En este caso se necesita una relación entre el cateto adyacen-

te al ángulo C y su cateto opuesto.

El cociente entre el cateto opuesto de un ángulo α y su cateto adyacente se llama

tangente de α y se escribe tg α o tan α.

Por lo tanto tg C = 11 ___ 4 = 2,75

Si se procede como cuando se calculó el ángulo teniendo el valor del seno o del cose-

no; del mismo modo se usa la calculadora y se teclea (según la calculadora que se usa):

o o 2,75

Aparece en el visor 70,0168934; lo que significa que el ángulo C mide 70,017° aproxi-

madamente.

Para todo ángulo α con

0º ≤ α ≤ 90º se define:

tg α = cateto opuesto

______________ cateto adyacente

11. A cierta hora del día, los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo de 30º. Si un árbol tiene una altura de 2,5 m,

¿cuál será la longitud de su sombra a esa hora del día?

A

11 cm

B C

8 cmD

11 cm

C4 cm

A

D

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 10430 C




NIP: 222503 - Pág.: 130 - MAT

*0000-222503-130-MAT-9*

M: 10430 C1: 10731 C2: 10830 C3: 10000 C4: 10000

Relación entre coseno, seno y tangente de un ángulo

Es posible establecer relaciones entre seno, coseno y tangente de un ángulo, tal

como se propone en el siguiente problema:

Problema 7 Sin utilizar calculadora científica, calcular la tg 30º.

Primero se analiza el siguiente triángulo con ángulo agudo

Entonces

Se obtiene para cualquier ángulo agudo α:

tg α = sen α ______ cos α

En el problema se debe calcular tg 30°, entonces:

tg 30° = sen 30° ________ cos 30°

Si se usa lo que se calculó en el problema 5 se tiene que sen 30° = 1 __ 2 , falta calcular el

cos 30°.

Por la relación pitagórica:

sen2 30° + cos2 30° = 1 ⇒ ( 1 __ 2 ) 2+ cos2 30° = 1

( 1 __ 4 ) + cos2 30° = 1 ⇒ cos2 30° = 3 __ 4

Nuevamente como el coseno es el cociente entre dos medidas su valor es positivo,

por lo tanto:

cos 30° = √__

3 ___ 2

Con lo cual

tg 30° = 1 __ 2 : √__

3 ___ 2 = 1 ____ √__

3 = 1 ____

√__

3 .

√__

3 ___ √__

3 =

√__

3 ___ 3

12. ¿Qué ángulo forma con la horizontal un cable de 6 m que se tensa

desde el extremo de un poste de 4 m de altura hasta el piso?

13. Se tiene tirantes de madera de 4 m de longitud que se usarán para

armar el esqueleto de un techo a dos aguas de una casa. La altura

del techo no debe superar 1,5 m. ¿Bajo qué ángulo de inclinación se

deberán colocar los tirantes de madera?

14. A una distancia de 1,5 metros de una pared se apoya una escalera

de 3,5 metros de largo. ¿Cuál es el ángulo de inclinación que forma la

escalera con el suelo?

15. Calculen:

a. tg 45º b. tg 60º

Si α es un ángulo entre

0° y 90° ⇒ tg α = sen α _____ cos α

b

c

a

α

sen α = b __ a a . sen α = b

cos α = c __ a a . cos α = c

tg α = b __ c ⇒ tg α = a . sen α ________ a . cos α = sen α ______ cos α

131



NIP: 222503 - Pág.: 131 - MAT

*0000-222503-131-MAT-9*

Valores posibles del seno y el coseno de un ángulo

Problema 8Hallar, si existe, el ángulo α cuyo coseno es igual a 2.

Se sabe que en un triángulo rectángulo en el cual α es uno de los ángulos agudos, el

coseno de α es igual al cociente entre el cateto adyacente de α y la hipotenusa.

Como la medida de la hipotenusa siempre será mayor que la medida de los catetos,

entonces el cociente

cos α = cateto adyacente a α

___________________ hipotenusa

debe dar un número menor a 1, porque se divide un número por otro mayor que él, por lo

tanto no existe un ángulo α cuyo coseno sea 2.

Problema 9¿Qué sucede con el ángulo de un triángulo rectángulo si su coseno toma valores cada

vez más próximos a 1?

En un triángulo rectángulo con un ángulo agudo igual a α:

cos α = cateto adyacente a α

___________________ hipotenusa

Si este cociente resulta un número próximo a 1 significa que el cateto adyacente y la

hipotenusa van a tener longitudes casi iguales, ¿qué sucede con el ángulo?

Si 0º < α < 90º entonces el

seno y el coseno de α varían

de 0 a 1.

Si en la calculadora se

quiere obtener el ángulo

cuyo coseno es 2, se hace:

y se obtiene “error”.

Esto significa que no hay ningún

ángulo cuyo coseno sea 2.

4

16. En cada triángulo rectángulo, determinen la medida indicada con

la letra x.

a. b.

c. d.

17. a. Calculen sen 0˚, cos 90˚, sen 90˚, tg 0˚ y tg 90˚.

b. ¿Entre que valores se encuentra la tangente de un ángulo?

x4,3 cm

36º

x54º

6,7 cm

Decir que el cateto adyacente va

siendo igual a la hipotenusa es

como ir “aplastando” el triángulo,

es decir, que el cateto opuesto ___

AB

se hace cada vez más chico y de esta

forma el ángulo también se aplasta-

rá, se parece a “no tener ángulo”.

En ese caso cos 0º = 1

A

A

A

B

α

1,17 cm

2,5 cm

3,7 cm

5,4 cmx x

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 10430 C




NIP: 222503 - Pág.: 132 - MAT

*0000-222503-132-MAT-9*

En el capítulo de función

lineal se analizó que

la pendiente de una recta se

interpreta como:

m= b __ a → variación de las ordenadas _______________________ → variación de las abscisas

entre dos puntos cualquiera.

Si y = m x + b, con m > 0,

es la ecuación de una recta

creciente; entonces el ángulo, α,

que forma la recta con el eje de las

abscisas hacia la derecha verifica:

tg α = m

α 0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚

sen α

cos αtg α

Relación entre la tangente y la pendiente de una recta

Problema 10Dada la función lineal f(x) = 2 __ 3 x – 4. ¿Cuál es el ángulo de inclinación que forma el

gráfico de la función con el eje x en dirección a la derecha?

Como la pendiente de esta recta es 2 __ 3 , significa que por cada 3 unidades que avanza x,

y sube 2 unidades. Por lo tanto a partir del cero de la función, que está en el punto (6 ; 0),

se pueden construir distintos triángulos rectángulos .

Todos los triángulos son semejantes, porque para llegar a otro punto de la recta los

catetos serán proporcionales a 3 y 2. Esto indica:

tg α = 2 __ 3

Si se utiliza la calculadora se obtiene, aproximadamente

α = 33,6900675º = 33º 41’ 24’’

De este modo se pone de manifiesto que la pendiente es la tangente del ángulo que

forma la recta con el eje x.

18. Para cada caso, hallen la ecuación de la recta. 19. a. Completen sin usar calculadora, la siguiente tabla:

b. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos

(5 ; 4 __ 3 ) y ( 1 __ 3 ; –7)?

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

133



NIP: 222503 - Pág.: 133 - MAT

*0000-222503-133-MAT-9*

Relaciones entre los lados y los ángulos en cualquier triángulo

Teorema del seno

En el comienzo de este capítulo se establecieron relaciones entre las medidas de los

lados y los ángulos de triángulos rectángulos.

¿Se podrá relacionar los lados y los ángulos de un triangulo cualquiera?

Para contestar esta pregunta es posible realizar un análisis de la situación tomando

como modelo el triángulo ABC como sigue:

Luego:

b _____ sen B

= c _____ sen

^C

Si se realiza un análisis similar al anterior pero trazando la altura correspondiente al

lado b, se obtiene que:

a _____ sen ^A

= c _____ sen C

Si se tomó en cuenta la otra relación obtenida en el cuadro se tiene lo que se llama el

Teorema del seno:

a _____ sen ^A

= b _____ sen B

= c _____ sen C

Teorema del coseno

Hasta aquí se han establecido algunas relaciones entre los lados y los senos de los ángu-

los de este triángulo. A continuación se estudiarán otras relaciones.

Por ejemplo, en los triángulos rectángulos: AMC y AMB, de la página anterior, si se

aplica el Teorema de Pitágoras se establecen las siguientes igualdades:

La altura de un triánguloes el segmento

perpendicular a un lado que pasa

por el vértice opuesto.

Muchas veces en

Matemática, y en particular

en Geometría, se utiliza una

representación general de un

objeto. Por ejemplo, el trabajo

que se realiza en esta parte

del capítulo con este triángulo

en particular, perfectamente

podría realizarse con cualquier

triángulo, es decir, que este

triángulo, esta representación, se

está utilizando a modo general.

Se puede realizar el mismo

razonamiento que se hace para

este triángulo con cualquier

triangulo.

4

En AΔCM sen C =

ha ___ b

b . sen C = ha

En AΔBM sen B =

ha ___ c c . sen B = ha

Si se igualan las expresiones de ha b . sen C = c . sen B

ha es la altura correspondiente al

lado a y lo corta en el punto M.

Esta altura divide al triángulo ABC

en dos triángulos rectángulos, el

AΔBM y el A

ΔCM.

bc

A

a

B C

ha

M

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M:




NIP: 222503 - Pág.: 134 - MAT

*0000-222503-134-MAT-9*

Cuadrado de un binomioSi a y b son dos números,

se tiene la siguiente igualdad

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

En AΔCM ha

2 + ___

MC 2 = b2 (1)

En AΔMB ha2 +

___ BM 2 = c2 ha 2 = c2 –

___ BM 2 (2)

Teorema del cosenoc2 + a2 – 2a c cos B = b2

b2 + a2 – 2a b cos C = c2

c2 + b2 – 2b c cos A = a2

Como ___

MC = a – ___

BM , reeplazando en (1):

ha 2 + ___

MC 2 = b2 ⇒ ha 2 + (a – ___

BM )2 = b2

Si se observa el triángulo BAM se puede plantear:

cos B = ___

BM ___ c ⇒ ___

BM = c . cos B

Al reemplazar esta condición en la última expresión que se obtuvo en el cuadro, se

consigue lo que se llama el Teorema del coseno:

c2 + a2 – 2 . a . c . cos B = b2

B

A

Ca

bc

Teorema del seno a _____ sen ^A

= b _____ sen B

= c _____ sen C

ha 2 + a2 – 2 . a . ___

BM + ___

BM 2 = b2 Se resuelve el cuadrado del binomio.

c2 – ___

BM 2 + a2 – 2 . a . ___

BM + ___

BM 2 = b2 Se reemplaza utilizando (2) del cuadro anterior.

c2 + a2 – 2 . a . ___

BM = b2 Se cancela ___

BM 2 .

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

20. En cada uno de los siguientes triángulos hallar los lados y los ángulos faltantes:

A

B

C

B

C

A

B

A

C

A

B

C

57° 42°

8m

52,1°

10m

11m

100m

11°72m

5m

7m

60°

a. b.

c. d.

135



NIP: 222503 - Pág.: 135 - MAT

*0000-222503-135-MAT-9*

21. Sabiendo que sen x = 0,83 y 0º ≤ x ≤ 90º, calculen

a. cos x b. sen (90º – x)

c. cos (90º – x) d. ¿Cuánto vale x?

22. Consideren 0º ≤ x ≤ 90º. Sabiendo que sen x = 0,857

a. Calculen cos x, sen (90º – x) , cos (90º – x).

b. Con la calculadora, hallen el valor de x.

23. Si sen (45º + x) = 0,78, calculen el valor de x, sabiendo que 0 ≤ x ≤ 90˚.

24. Si sen (37º + x ) = 1 y 0 ≤ x ≤ 90˚, ¿cuánto vale x? ¿Por qué?

25. Si sen 37º + sen x = 1, ¿cuánto vale x?

26. Sabiendo que tg x = 4 y 0 ≤ x ≤ 90˚, sin utilizar la calculadora calculen:

a. sen x b. cos x

c. sen (90º – x) d. cos(90º – x)

27. Un poste de electricidad de 4 metros de altura se debe sujetar con

unos tensores desde su extremo superior hasta el piso. Los expertos

recomiendan que el ángulo de inclinación de los tensores con el suelo

debe ser de 50º. ¿Cuál debe ser la longitud de los tensores?

28. En cada caso calculen el valor indicado con la letra x sabiendo que

se trata de triángulos rectángulos.

a.

c.

b.

29. Hallen la ecuación de la recta que forma un ángulo de 68º con el eje

horizontal y pasa por el punto (–1 ; 3).

30. A. Calculen, en cada caso, los posibles valores de θ sabiendo que θ

está comprendido entre 0º y 90º.

a. cos (θ + 60º) = 0,85 b. cos θ + 0,5 = 0,85

c. tg θ +45 = 137 d. 3 tgθ = 38

e. sen (3θ) _______ 4 = 0,215 f. 3 sen θ = 9

g. se n 2 θ = 1 __ 2 h. c os 2 θ + cos θ = 0

i. c os 2 θ + sen θ = 1

31. ¿Es cierto que, para cualquier valor de x resulta sen (2x) = 2 sen x?

Justifiquen su respuesta.

32. ¿Cuál es la ecuación de la recta que tiene ordenada al origen igual a

6 y que forma un ángulo de 70º con la recta y = 6?

33. Calculen el área y el perímetro de un triángulo isósceles cuyo lado

desigual mide 8 cm y el ángulo desigual mide 70º.

34. Si la sombra de una señora a cierta hora del día es la mitad de su

altura, ¿qué ángulo forman los rayos del sol con el horizonte?

35. Se puede construir un rectángulo conociendo un lado y la

diagonal.

¿Cuál es el valor del ángulo que forma la diagonal con el lado del

cuadrado?

36. Se quiere apoyar contra la pared una escalera de 4,5 m de largo.

Además el ángulo que forma la escalera con la pared no debe ser menor

que 30º. ¿A qué distancia de la pared se debería ubicar la escalera?

37. Con los datos dados, en cada caso determinar el perímetro y el área

de los triángulos.

a. b.

38. En el triángulo ABC, ¿es cierto que el área del triángulo es igual a

Área AΔBC = 1 __ 2 .

___ BC .

___ AC . sen C?

39. Calculen los posibles valores de β sabiendo que β está

comprendido entre 0º y 90º.

a. 3 + sen ( 1 __ 5 . β) = 3,51 b. 2 __ 9 . sen(β – 30º) = 1 ___ 10

c. cos β – 5 = – 27 ___ 5 d. tg (β – 15º) = 10

43. En cada uno de los siguientes casos, encuentren los ángulos y los

lados del triángulo.

a. En el triángulo ABC, ___

AC = 7,2 cm B = 47° y A = 61°

b. En el triángulo ABC, ___

AC = 3 cm , ___

AC = 3 cm y A = 90°

c. En el triángulo ABC, ___

AB = 4 cm , ___

AC = 7 cm y A = 57°

d. En el triángulo ABC, ___

AC = 5,4 cm B = 78° y A = 32°

35º

10 cm

40º

58º

5 cm

8 cm

53º

5 cm

x

x3,5 cm

1,8 cm

6,3 cm

38ºx

ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN

M: 10430 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 10430 C




NIP: 222503 - Pág.: 136 - MAT

*0000-222503-136-MAT-9*

M: 10430 C1: 10731 C2: 10830 C3: 10000 C4: 10000

AUTOEVALUACIÓN1. Marquen la o las respuestas correctas en cada caso.

Las opciones válidas son:

sen 15° = ___

CD _____

___ AD

tg 30° = ___

CD _____

___ AB

tg 30° = ___

CB _____

___ AB

tg 45° = tg 30° + ___

CD _____

___ AB

2. La recta que pasa por los puntos ( 7 __ 2 ; 10) y (– 3 __ 2 ; –3) tiene un ángulo

de inclinación igual a:

35,53º 68,96 º

21,03º 54,47º

3. Sabiendo que tg x = 2 y además 0º≤ x ≤ 90º, sin utilizar calculadora

señalen la respuesta correcta en cada caso.

A. cos x es igual a :

0,447

1,414

0,517

1

B. sen (90º – x) es igual a

1,414

0,447

0,8001

1

4. Se conocen los siguientes datos del triángulo ABC

B = 98º

___

AB = 7,5 cm

C = 46º

Se puede saber que el lado AC mide aproximadamente

5,44 cm –1,51 cm

10,26 cm 1,51 cm

Con estos datos no es posible saber cuánto

mide el lado AC.

5. Sabiendo que sen x = √

__ 2 ___ 2 y que 90° < x < 180° marquen, sin usar la

calculadora, las opciones correctas.

A. cos x =

√

__ 2 ___ 2

√

__ 3 ___ 3

0 1

B. tg x =

√__

3 1

√

__ 2 ___ 2 0

6. Dado el siguiente triángulo las respuestas válidas son:

b 2 = a 2 + c 2 cos C = a 2 + b 2 – c 2 _________ 2ab

a _____ cos A

= b _____ cos B

a _____ sen A

= c _____ sen C

a

b

c

d

a

c

b

d

a

c

b

da

b

c

d

B

AC

a

c

b

d

e

B

A

C D

30° 15°

a

c

b

d

a

b

c

d

BA

C

b a

c

a

c

b

d

137



NIP: 222503 - Pág.: 137 - MAT

*0000-222503-137-MAT-9*

problema 1 - abcservicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/revistacomponents/re...aquí α es el ángulo...

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