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� NÚMEROS REALES
CONTENIDOS
❚ Los números racionales
❚ Los números irracionales
❚ Propiedades de los números
reales
❚ Ubicación en la recta numérica
❚ Intervalos
❚ Módulo de un número real
Problema 1a. En la siguiente recta numérica están ubicados los números 0 ; 1 y a:
¿Dónde se ubican los números a + 1; – a y – a + 1?
b. En la siguiente recta están ubicados los números 0 y a.
¿Dónde se ubica el número – a?
Problema 2Para preparar una pintura de determinado color se mezclan 5 litros de pintura blanca
con 3 litros de pintura azul. Juan quiere hacer una mezcla que tenga la misma tona-
lidad pero usando 10 litros de pintura blanca. ¿Cuántos litros de pintura azul debe
usar? ¿Y si usa 8 litros de pintura blanca?
Para encontrar las respuestas a estos y otros problemas se usan los números enteros,
los racionales y otros tipos de números, que serán el tema de trabajo de este capítulo.
maneras de representar los
números. Se pueden usar los
símbolos ya conocidos, a veces
se apela a las letras, o bien se
los puede ubicar en una recta
numérica.
Sobre los números, sus
características, sus modos
de representación trata este
capítulo, ya que muchos de estos
números resultan conocidos, pero
otros no tanto.
Hay numerosas situaciones que,
para ser resueltas, requieren del
uso de los números.
En algunas oportunidades se
usan los números para determinar
una cantidad. En otras ocasiones
los números se utilizan para
establecer una medida o bien una
distancia. A veces se recurre a ellos
para dar cuenta de una relación,
como podría ser una proporción.
Por otro lado, hay diferentes
�0 Capítulo 1. Números Reales.
En el primer problema hay que ubicar los números a+1; –a y –a +1 en la siguiente rec-
ta, conociendo la ubicación de 0, 1 y a:
Como se conoce la ubicación del número a y del 0, es posible determinar el lugar
donde está el número –a, pues la distancia entre a y 0 debe ser la misma que la distancia
entre –a y 0.
El número a + 1 está ubicado a una unidad hacia la derecha del número a. Medir una
distancia de una unidad es medir la distancia que hay entre 0 y 1 o entre dos números
enteros consecutivos cualesquiera. Para ubicar el número a + 1 hay que tomar la medida
que hay entre 0 y 1 y marcar un segmento con esa medida comenzando en a hacia la
derecha. De igual forma se puede ubicar el número –a + 1, a una unidad hacia la derecha
de –a.
En numerosas oportunidades, para
representar números se usan las letras. En este caso, la letra a está representando un número cualquiera.
Los números a y –a se denominan inversos
aditivos u opuestos y verifican que: a + (–a) = 0. Así, por ejemplo 3 y –3 son opuestos pues 3 + (–3) = 0. Los números naturales, sus opuestos y el cero forman el conjunto de números enteros. A los números enteros se los designa con el símbolo: ¢.
��
En el ítem b. del problema 1, hay que ubicar en la recta numérica el número –a.
¿Por qué el número a está ubicado a la izquierda del 0? ¿Por qué no tiene un signo menos?
Esto resulta extraño, pero como a es el representante de un número, puede estar
ubicado en cualquier lugar. Como a está ubicado a la izquierda del cero, entonces es un
número negativo. Saber esto hace que no sea necesario ponerle el signo menos delante.
De esta manera, el número –a es el opuesto de a y se sitúa a la misma distancia del 0 a la
que se encuentra a, pero en sentido contrario:
Es decir, como el número a se encuentra a la izquierda del 0, es negativo, por lo tanto,
su opuesto, –a, es positivo.
Por ejemplo, si a = –5, –a = 5; si a = –6, –a = 6; si a = –12, –a = 12.
Los números racionales
Los números racionales y la recta numérica
La recta numérica es una buena herramienta para aprender distintas cuestiones sobre
los números racionales. Éstos números pueden ser escritos de dos maneras diferentes: con
expresiones decimales o con expresiones fraccionarias.
Problema 5En la siguiente recta numérica se encuentran representados los números 0, a y b.
¿Dónde se ubican los números: a __ 2 ; a+b ____ 2 ; a __ 2 + b ?
Para poder determinar la ubicación de a __ 2 es suficiente con ubicar el punto medio entre
0 y a, ya que a __ 2 es la mitad de a.
Para indicar la ubicación de a + b _____ 2 , se puede buscar el lugar que corresponde a a + b, y
luego dividir la distancia entre 0 y a + b en dos partes iguales, o bien, recurrir a la idea de
promedio, es decir, la expresión a + b _____ 2 representa el punto medio entre a y b.
a __ 2 + b está ubicado a la derecha de b, a una distancia de a __ 2 ; o bien a la derecha de a __ 2
una distancia de b:
Los números que se encuentran ubicados a la
izquierda del 0 se llaman números negativos.
Una vez más, se recurre a las letras para representar
cualquier número. En este caso, la única información adicional que podemos reconocer es que a y b son positivos y que a es menor que b, pues está representado a su izquierda.
Al conjunto de todos los
números racionales se los
representa con la letra ¤. Dentro
de éste conjunto de números
se encuentran los naturales, los
enteros y todos los números que se
pueden expresar como fracciones.
�� Capítulo 1. Números Reales.
Los números racionales y las proporciones
Hay numerosas situaciones que involucran proporciones que resultan imposibles de
ser analizadas si no se dispone de este conjunto de números. Si se retoma el problema
2 de la página 10:
Para preparar una pintura de determinado color se mezclan 5 litros de pintura blanca
con 3 litros de pintura azul. Juan quiere hacer una mezcla que tenga la misma tona-
lidad pero usando 10 litros de pintura blanca. ¿Cuántos litros de pintura azul debe
usar? ¿Y si usa 8 litros de pintura blanca?
Si se organiza la información en una tabla:
Es sencillo reconocer que si se usa el doble de pintura blanca, se debe usar el doble
de pintura azul. Entonces, si se usan 10 litros de pintura blanca hay que poner 6 litros de
azul para obtener la misma tonalidad.
Pero si se usan 8 litros de pintura blanca, no es fácil darse cuenta cuántos litros de
azul corresponden. Esta cuestión se puede pensar de la siguiente manera:
Si se usa 1 litro de pintura blanca (es decir, se dividió a 5 litros por 5) se deberán
usar 3 : 5 litros de pintura azul, es decir, 3 __ 5 de litro de pintura azul.
Luego, para 8 litros de pintura blanca, se deben usar 8 . 3 __ 5 de pintura azul, es decir 24 ___ 5
litros de azul.
Este razonamiento se puede explicar también en la tabla:
Una fracción, puede indicar una relación entre dos
variables. En este caso: cantidad de pintura blanca y cantidad de pintura azul, para mantener la misma tonalidad. Esta relación se puede escribir así: 5 __ 3 y se lee 5 es a 3 o bien por cada 5 litros de blanco, se usan 3 litros de azul.
Pintura Blanca 5 10 8
Pintura Azul 3 ..... .....
En toda tabla de proporcionalidad directa,
existe un número llamado la constante de proporcionalidad que es generalmente simbolizada por la letra k. El cociente entre dos valores de las variables que se relacionan entre sí es siempre constante e igual a k. Si
y _ x = k, entonces y = k . x.
Esto quiere decir que el valor que se corresponde con el valor x de una de las variables puede obtenerse multiplicando a x por la constante de proporcionalidad.
Pintura Blanca 5 10 8
Pintura Azul 3 6 24 __ 5
. 2
. 8 __ 5
. 2
. 8 __ 5
1. Para preparar jugo se mezclan 4 vasos de jugo concentrado con 7 de
agua.
a. ¿Qué otras combinaciones de jugo concentrado y agua permitirán
obtener jugo del mismo gusto?
b. Inventen una fórmula que permita saber qué cantidad de agua se
necesita, en función de la cantidad de jugo concentrado que se use.
2. 2 botellas de jugo concentrado se mezclan con 7 litros de agua para
preparar bebidas que alcanzan para que tomen 20 personas. ¿Cuántas
botellas de jugo concentrado y cuántos litros de agua se necesitan
para preparar bebidas de manera tal que alcance para que tomen 45
personas y que tenga el mismo gusto que en el caso anterior?
ACTIVIDADES
��
Cuando se trata de medir,
se debe seleccionar una
unidad de medida y determinar
cuántas veces entra esa medida en
el objeto que se pretende medir.
No siempre entra una cantidad
entera de veces. En ese caso,
hay que fraccionar la unidad de
medida.
Los números racionales y las medidas
Problema 4Dadas las dos tiras de papel, que se dibujan a continuación, determinar la medida de
la tira b usando como unidad de medida la tira a y determinar la medida de la tira a
usando como unidad de medida la tira b.
Para resolver este problema, una posibilidad es utilizar una regla e intentar establecer
la relación que hay entre la medida de la tira a y la de la tira b.
Otra manera de pensarlo es la siguiente: recortar varias tiras como a y varias como
b. Ubicarlas una al lado de la otra como se ve en la figura. Al realizar esto, se busca que
ambas colecciones de tiras coincidan en su longitud:
Se puede observar que 2 tiras b miden lo mismo que 5 tiras a. Por lo tanto, es posible
afirmar que 5 a = 2 b luego:
a = 2 __ 5 b y 5 __ 2 a = b
Entonces, la tira a mide 2 __ 5 de la tira b, mientras que la tira b mide 5 __ 2 de la tira a. Tam-
bién es posible expresar estas relaciones de la siguiente manera:
5 __ 2 = b __ a o 2 __ 5 = a __ b
Problema 5Dados dos segmentos a y b, de los cuales se sabe que 2 veces la longitud del seg-
mento a es igual que 3 veces la longitud del segmento b, tal como se muestra en la
siguiente figura
Cuando se establece una
relación como la siguiente:
m __ n = a __ b
donde m, n, a y b son números naturales, se dice que hay establecida una proporción.
La fracción m __ n es equivalente a la fracción a __
b y se lee: “m es a n como
a es a b”.
a. ¿Es cierto que b entra una vez y media en a?
b. ¿Existe algún segmento de longitud u que entre una cantidad entera de veces en el
segmento a y que a su vez, entre una cantidad entera de veces en el segmento b?
�� Capítulo 1. Números Reales.
Un segmento u entra una cantidad entera de veces en
otro segmento m, si no es necesario partir a u para medir m. Es decir, si existe un número entero k que verifica que m = k . u. En este caso se dice que si se toma como unidad de medida el segmento u, m mide k.
Por ejemplo, si u entra 3 veces en un segmento m, entonces m = 3u.
Como 2 a = 3 b, resulta que a = 3 __ 2 b y como 3 __ 2 = 1,5 entonces el segmento b entra una
vez y media en el segmento a, o una vez y media la longitud del segmento b es lo mismo
que la longitud del segmento a.
Para pensar en la segunda pregunta, es posible arriesgar con un segmento u, cuya
medida sea la mitad que la medida del segmento a: por ejemplo, un segmento como el
siguiente:
Este segmento entra dos veces en a, o sea a = 2 u, luego
a = 2u y 2a = 3b ⇒ 2.(2u) = 3b ⇒ 4u = 3b ⇒ b = 4 __ 3 u
O sea u entra una vez y 1 __ 3 en b, es decir, no entra una cantidad entera de veces en el
segmento b. Hay que partirlo.
Muy probablemente, si se sigue ensayando, resultará difícil encontrar dicho segmento
u. Se puede pensar entonces en que u debe tener algún tipo de relación con a y b.
Como b entra una vez y media en a; si u entra 6 veces en a; entrará 4 veces en b. En con-
secuencia, si se elige u de manera tal que 6u = a, se verifica que 2 . 6u = 3b pues 2a = 3b.
Por lo tanto 12u = 3b. Luego 4u = b. O sea, u entra una cantidad entera de veces
también en b.
¿Es está la única posibilidad para u?
Por lo dicho anteriormente, si u entra 6 veces en a, entrará 4 veces en b. O sea
a = 6u ⇒ b = 4u
Si se supone, entonces, que u entra 12 veces en a, es decir a = 12 u, se tiene que:
a = 12 u ⇒ b = 2 __ 3 a = 2 __ 3 . 12 u = 8 u
Si a = 18 u, entonces b = 2 __ 3 a = 2 __ 3 . 18 u = 12 u.
Es posible generar así distintos segmentos u que verifiquen lo pedido.
Si a = 6k . u con k cualquier número natural, se tiene que:
a = 6k u ⇒ b = 2 __ 3 a = 2 __ 3 . 6k u = 4k u
Con lo cual u entra 4k veces en b y como 4k es entero, u entra un número entero de
veces en b.
Se concluye entonces que hay infinitos segmentos u que cumplen con la condición pedida.
3. Si m y n son dos segmentos que verifican que 3m = 7n. Encuentren
un segmento v que entre una cantidad entera de veces en m y una
cantidad entera de veces en n.
4. Si a y b son dos segmentos que verifican que 4a = 9b y u es un
segmento que entra 11 veces en el segmento a. ¿Es posible que u entre
una cantidad entera de veces en el segmento b?
5. Dadas dos fracciones cualesquiera, ¿es posible que exista siempre una
fracción que entre una cantidad entera de veces en cada una de ellas?
ACTIVIDADES
��
Los números irracionales
Problema 6Conseguir dos hojas tamaño A4 y dos hojas de tamaño de un cuaderno de 21 cm x 17cm
y realizar la siguiente experiencia:
Si los cortes se realizan según las instrucciones, al colocar los papeles obtenidos del
modo indicado se observa que todos los rectángulos obtenidos a partir de la hoja A4
comparten la diagonal. En cambio los rectángulos obtenidos a partir de la hoja de
cuaderno no comparten la diagonal.
¿Cuál es el motivo por el cual en la hoja A4 los cortes arman rectángulos que parecen
compartir la diagonal y la hoja de cuaderno no?
¿Qué relación debe existir entre los lados de una hoja, para que todos los rectángulos
obtenidos a partir de dividir por la mitad, tengan la diagonal sobre la misma recta?
�� Capítulo 1. Números Reales.
Si se considera un rectángulo de lados 3 cm
y 4 cm, es posible determinar la medida de su diagonal. Por el Teorema de Pitágoras d 2 = 3 2 + 4 2 , por lo tanto d = √
_____ 9+16 = 5.
Esto permite afirmar que, si se usa como unidad de medida el lado de 4 cm, la diagonal del
rectángulo mide 1 vez y 1 __ 4 la
longitud de dicho lado.
Se pudo medir la diagonal usando un lado como unidad de medida, por que existe un número racional que multiplicado por el lado da la diagonal.
Al realizar los cortes pedidos en la hoja, se pueden obtener las siguientes relaciones:
Es decir, los cocientes respectivos entre el lado más largo y el lado más corto de cada rec-
tángulo son casi iguales, si se considera que la pequeña diferencia se debe a las aproximaciones
realizadas. Entonces para que las diagonales se compartan, los cocientes deben ser iguales.
Si se analizan estos cocientes en la hoja de cuaderno, se obtiene:
Se observa que no son casi iguales como en la hoja A4, es por este motivo que no se
comparten las diagonales en esta hoja.
Como cada nuevo corte da origen a un rectángulo cuyo largo tendrá la longitud del
ancho del rectángulo anterior y cuyo ancho medirá la mitad del largo de la hoja anterior,
la situación se puede representar de la siguiente manera:
Para que los rectángulos resultantes compartan la diagonal, como en la hoja A4, los
rectángulos deben ser semejantes, entonces los lados de la hoja deben verificar que:
b __ a = a __ b __ 2
A partir de esta expresión, es posible deducir que:
b . b __ 2 = a . a
b 2 __ 2 = a 2
b 2 __ a 2
= 2
( b __ a ) 2 = 2
Se deben buscar números a y b que verifican ( b __ a ) 2 = 2.
Cantidad de cortesLado más largo del rectángulo
Lado más corto del rectángulo
lado más largo
_____________ lado más corto
0 29,7 cm 21 cm 1,4142857...
1 21 cm 14,85 cm 1,41414141 ...
2 14,85 cm 10,5 cm 1,414285714...
Cantidad de cortesLado más largodel rectángulo
Lado más corto del rectángulo
lado más largo
_____________ lado más corto
0 20,5 cm 15,7 cm 1,305732484...
1 15,7 cm 10,25 cm 1,531707317...
��
Es posible suponer que a y b son números enteros que verifican la condición anterior y
tales que la fracción b __ a es irreducible. Como b 2 __ a 2
= 2, se cumple entonces que: b 2 = 2 a 2
Esta igualdad indica que b 2 es un número par y por lo tanto b es un número par. Enton-
ces existe un número entero k tal que:
b = 2k
Luego: 2 a 2 = (2k) 2 ⇒ 2 a 2 = 4 k 2 ⇒ a 2 = 2 k 2
La última expresión obtenida indica que a 2 también es un número par, por lo que a
también lo es.
Por lo analizado hasta aquí, a y b son números pares; con lo cual la fracción b __ a se
puede simplificar dividiendo numerador y denominador por 2. Pero se había comenzado
el desarrollo suponiendo que la fracción b __ a era irreducible, con lo cual no se podía sim-
plificar. Esta contradicción señala que no hay ningún par de números a y b que cumplan
con la condición pedida. El absurdo se produjo por suponer que existe una fracción b __ a cuyo
cuadrado es 2. Se concluye que no existe ningún número racional que elevado al cuadrado
dé 2. O sea el número √__
2 no puede ser expresado como una fracción.
Los números que no pueden ser expresados como fracción, es decir, que no son el
cociente entre dos números enteros se denominan números irracionales.
Estos números se representan mediante expresiones decimales con infinitas cifras deci-
males no periódicas.
Por ejemplo: √__
2 ; 3,123456789101112131415........ son números irracionales.
El número PiAlgunos de éstos números, por ser tan particulares, tienen nombres que los identifi-
can, por ejemplo el número “pi” cuya escritura es la siguiente: π.
Para averiguar cuál es el valor de π se dibuja una circunferencia; se marca su centro y
su radio. Se realiza un corte y se la estira, hasta obtener un segmento, como se muestra
en el dibujo:
Si se considera el cuadrado de lado 1, resulta imposible
medir su diagonal usando como unidad de medida dicho lado, pues si el lado es de 1 cm, la diagonal mide: d = √
______ 1 2 + 1 2 = √
__ 2
Como no existe ningún número racional tal que k . 1 = √
__ 2 , no
se puede medir la diagonal del cuadrado usando como unidad de medida de lado.
Para calcular la longitud de una circunferencia, es
posible utilizar la relación entre el diámetro y dicha longitud. Es decir, si se designa con la letra L a la longitud, y con d al diámetro se verifica que: L = π × d
Un número entero es par si puede escribirse como el
producto de otro número entero y 2. Simbólicamente: n es par ⇔ existe m ∊ ¢ tal que n = 2m.
Si n es un número entero, se verifica que:
n es par ⇔ n 2 es par.
�� Capítulo 1. Números Reales.
Al igual que buena parte de lo que trata este capítulo, una vez más, si se intenta
determinar cuántas veces entra el diámetro en la longitud de dicha circunferencia, no
será tarea sencilla:
Se puede observar que el diámetro entra 3 veces en la longitud de la circunferencia,
y sobra un poquito. Este hecho se descubrió hace muchos años, y, aunque aquí no se
demuestra, se sabe que ese poquito más es imposible de ser determinado fraccionando el
diámetro. Es decir, si se trata de medir la longitud de la circunferencia usando como uni-
dad de medida el diámetro, esta medida no se puede establecer ya que no es un número
racional. Se llama número π a la cantidad de veces que entra el diámetro en la longitud de
una circunferencia. π es un número irracional, y, algunas de sus cifras son las siguientes:
3,141592653589793238462643383279....
Este número tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Muchas veces se usa 3,14 o
3,141 como valor de π, obteniendo, de esa manera, resultados aproximados.
Problema 7El siguiente dibujo representa un cubo de 1 cm de arista.
La base del cubo es un cuadrado de 1 cm de lado. Por el Teorema de Pitágoras su dia-
gonal mide √__
2 .
Queda entonces determinado un nuevo triángulo rectángulo formado por la diagonal
de la base, una arista y el segmento del cual se debe determinar la longitud:
Por el Teorema de Pitágoras, x 2 = ( √__
2 ) 2 + 1 2 = 2 + 1 = 3.
Por lo tanto, la longitud del segmento x = √__
3 .
¿Cuál es la longitud del segmento que une un
vértice con el vértice opuesto, tal como se mues-
tra en el dibujo?
��
En el transcurso de este capítulo se han encontrado números cuyo desarrollo decimal
es infinito y no periódico. Esos números no son racionales porque para ello deberían tener
desarrollos decimales finitos o periódicos. Son irracionales.
√__
2 no puede expresarse como una fracción, por lo tanto tampoco es un número racional.
Hasta ahora se han visto números irracionales escritos como decimales donde queda
claro que no hay un período. Por ejemplo, el número 2,01001000100001... no tiene un
período debido a que la cantidad de ceros va aumentando y se sabe cómo continúa su
desarrollo. Es entonces, un número irracional. Sin embargo, no puede afirmarse si el
número 1,725896542894... es irracional o no porque no se sabe cómo continúa. Si en
algún lugar tiene un período será racional y si no lo tiene será irracional.
Una cuestión sobre la que es interesante indagar es sobre qué forma tienen los núme-
ros irracionales.
Problema 8a. ¿Todo número que se expresa como raíz cuadrada de un número racional es irracional?
b. ¿Es cierto que las raíces cuadradas de números primos son siempre irracionales?
No es cierto que cualquier número que se exprese como raíz cuadrada de un número
racional sea irracional. Por ejemplo, √___
16 ___ 25 = 4 __ 5 , es un número racional.
En algunos casos, no es evidente si el número dado es racional o no. Por ejemplo, √___
20 ____ √
__ 5 . Si se
usa la calculadora para hallar cada raíz resulta que √___
20 = 4,472135955 y √__
5 = 2,236067977.
Pero no se sabe si estos números siguen o terminan, con lo cual tampoco se sabe muy
bien si su cociente será racional o no.
Una manera de analizar la respuesta es buscar una expresión equivalente:
√
___ 20 ____
√__
5 = √
____ 4x5 _____
√__
5 = √
__ 4 √
__ 5 ______
√__
5 = √
__ 4 = 2
Pareciera entonces, que algunas raíces son irracionales mientras que otras no. Pero,
¿cuáles son irracionales?
Para comenzar a analizar esta cuestión puede comenzarse con un ejemplo, un caso
particular. ¿El número √__
3 es o no irracional?
De la misma manera que se desarrolló la demostración para √__
2 , se puede suponer que √
__ 3 es racional, con lo cual podrá escribirse como una fracción irreducible, √
__ 3 = a __
b con a ∊ ¢
y b ∊ ¥. Luego: √__
3 = a __ b ⇔ a 2 __
b 2 = 3 ⇔ a 2 = 3 b 2 .
Como todo número entero puede expresarse como un producto de números primos y
además, cuando se eleva un número al cuadrado, cada factor primo aparece una cantidad
par de veces; se deduce que: a 2 y b 2 seguro tienen una cantidad par de factores 3.
Con lo cual, 3 b 2 tiene una cantidad impar de factores 3 y entonces 3 b 2 no puede ser
igual a a 2 .
El absurdo provino de suponer que √__
3 podía expresarse como fracción. Luego, √__
3 es
un número irracional.
El mismo razonamiento puede usarse para un número que sea la raíz cuadrada de un
número primo cualquiera.
La raíz n – ésima es distributiva respecto del
producto y el cociente. En símbolos, si a ≥ 0 y b > 0:
n √____
a . b = n √
__ a .
n √
__ b y n √
__
a __ b
= n √
__ a ___
n √
__ b
Todo número entero puede expresarse de una única
manera como producto de primos.Además, si a es un número entero tal que su desarrollo en factores primos es a = p 1 n . p 2 m . p 3 p . p 4 q ... entonces a 2 = ( p 1 n . p 2 m . p 3 p . p 4 q... ) 2 =
= p 1 2n . p 2 2m . p 3 2p . p 4 2q ...
Como los exponentes son todos pares, cada factor primo está una cantidad par de veces.
La raíz cuadrada de un número primo es siempre
un número irracional.
�0 Capítulo 1. Números Reales.
Los números reales
Propiedades
En las páginas precedentes se han presentado diferentes conjuntos numéricos.
El conjunto formado por los números naturales, los enteros, los racionales y los irra-
cionales forman un nuevo conjunto de números conocido con el nombre de números
reales y se los representa con la letra ¡.
A continuación se tratarán algunos problemas que recurren a los diferentes conjuntos
numéricos.
Problema 9Es sabido que si se suma 10 + 6 el resultado es 16.
¿Es posible restar un número al 10, de manera tal que el resultado también sea 16? Es
decir, ¿existe algún número n que verifique que 10 – n = 16?
Evidentemente, es imposible encontrar un número natural que cumpla esta condición.
Con lo cual este problema no tiene solución dentro del conjunto de números naturales.
Pero si se piensa en el uso de los números enteros, en este caso, si es posible hallarlo,
pues 10 – (–6) = 16. Es decir, a 10 hay que restarle –6.
Simbólicamente: 10 – n = 16 ⇒ 10 – 16 = n ⇒ –6 = n
Problema 10¿Es posible encontrar un número que, multiplicado por 5, dé como resultado 13?
Resulta imposible determinar una solución dentro del conjunto de los números natu-
rales o enteros.
En cambio, si se recurre a los números racionales, se trata de resolver la siguiente ecuación:
5 . a = 13 ⇒ a = 13 ___ 5
El único valor que puede adquirir a es 13 ___ 5 .
Problema 11¿Es posible encontrar un número que, elevado al cuadrado, dé como resultado 7?
Ningún número entero, o racional elevado al cuadrado da por resultado 7.
Este problema se traduce de la siguiente manera: hay que buscar un número x que verifique:
x 2 = 7
Hay dos números que verifican esa condición, ellos son:
x = √__
7 o bien x = – √__
7
pues: ( √__
7 ) 2 = 7 y (– √__
7 ) 2 = 7
Es decir, existen dos números que elevados al cuadrado dan 7, estos son √__
7 y – √__
7 .
Si a, b y c son números reales y se verifica que:
a + b = c
entonces:
a = c – b
Todos los números naturales son también enteros, y estos
últimos son también racionales.Los números naturales, enteros y racionales son números reales.Otra manera de expresar lo anterior es: los números naturales están incluidos dentro del conjunto de números enteros. Los números enteros están incluidos dentro de los números racionales. Los números racionales están incluidos dentro de los números reales. Todo esto, en símbolos, se escribe: ¥ ⊂ ¢ ⊂ ¤ ⊂ ¡ Los números reales se forman con los números racionales y los irracionales. Es decir, ∪ ¤ = ¡
Si a, b y c son números reales, b es distinto de cero y
se verifica que: a × b = c entonces: a = c __
b
Si a es un número real positivo y x 2 = a entonces:
x = √__
a o x = – √__
a
��
Problema 12¿Existe algún número irracional cercano a √
__ 2 ? ¿Y alguno que se encuentre próximo
al número π?
Si bien no se va a demostrar que los siguientes números son irracionales, el modo en
que se construyen permite imaginar que sí lo son, es decir, que tendrán infinitas cifras
decimales no periódicas.
Como √__
2 = 1,41421356237....., es posible construir un número irracional cercano de
la siguiente manera: tomar un número que tenga la misma parte entera que √__
2 y que com-
parta los primeros 7 dígitos después de la coma. A partir de allí escribir en orden todos los
números impares comenzando en 7.
1,41421357911131517192123252729....
Este número es irracional porque tiene infinitas cifras no periódicas. El número que se
obtuvo es mayor que √__
2 porque la primera cifra diferente es más grande.
Del mismo modo se puede generar un número irracional menor que √__
2 , para ello basta
con comenzar la serie de números impares en uno que sea menor a 6. Por ejemplo si se
comienza en 5 se obtiene
1,414213557911131517192123252729....
Si se considera el número π = 3,141592653589793238462643383279..., es posible
armar un nuevo número irracional de la siguiente manera.
Se toma un número que tenga las primeras 13 cifras coincidentes con π.
A partir de allí se ubican todos los números enteros empezando en 10, queda:
3,14159265358910111213141516171819202122
El número resultante es irracional porque tiene infinitas cifras no periódicas y está
próximo a π porque comparten las trece primeras cifras.
Los procedimientos empleados pueden usarse cada vez que se quiera “encerrar” un
número racional o irracional entre otros dos. En este caso se eligió que compartan los
ocho o los trece primeros dígitos; pero se podría haber elegido que compartan cualquier
otra cantidad de cifras.
6. Si a es un número real positivo que verifica que 81 < a < 100.
¿Entre qué números se encuentra √
__ a ?
7. ¿Es cierto que si b es un número real mayor que 0 se verifica que
√__
b = b ___ √
__ b ?
Expliquen la decisión que tomaron.
8. ¿Qué valores puede tomar m de manera tal que se verifique
que √__
3 ___ m ≤ 1 ?
9. Determinen en cada caso, si es posible escribir a los siguientes
números como fracción:
a. √__
5 b. √__
7 c. √__
9 __ 4
10. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos lados
miden 1cm cada uno, es √__
2 , determinen la medida de la
hipotenusa del segundo triángulo rectángulo dibujado:
11. A partir del ejercicio anterior, dibujen un segmento cuya
longitud sea √__
5 .
ACTIVIDADES
En algunas situaciones se hace necesario comparar
números reales. En el conjunto de los números reales positivos es más chico el que está más cerca del 0.
En el conjunto de los números reales negativos es más chico el que está más alejado del 0. En general, un número a es menor que otro número b si a esta ubicado en la recta numérica a la izquierda de b.
�� Capítulo 1. Números Reales.
Los números reales y la recta numérica
En una recta numérica se pueden representar los números naturales, los enteros, los
racionales, es factible ubicar también a los irracionales. El problema que se plantea es
cómo hacer para representar algunos de ellos.
Problema 13Ubicar el número √
__ 2 en una recta numérica.
Para ubicar el número √__
2 en la recta numérica se puede proceder de la siguiente manera:
a. Se dibuja una recta y en ella se señalan algunos números, además del 0 y el 1.
b. Sobre el segmento que va de 0 a 1 se dibuja un cuadrado de longitud 1. Se marca la
diagonal de dicho cuadrado.
c. Por el Teorema de Pitágoras, la diagonal del cuadrado mide √__
2 . Esta medida puede
ser transportada con el compás sobre la recta:
Esta construcción muestra que hay un punto en la recta numérica que corresponde a √__
2 . Es
posible asegurar que el valor marcado es √__
2 , ya que se dibujó una circunferencia de radio √
__ 2 centrada en 0. Se encontró entonces un punto de la recta que no se corresponde con
ningún número racional. Es decir, la recta no estaba totalmente ocupada por números
racionales. Al considerar los números irracionales, se completa la recta.
Algunos puntos de la recta son ocupados por los naturales, otros por los enteros, otros
por los racionales y, finalmente, con los irracionales se termina de llenar la recta.
En una recta numérica se ubican todos los números
reales. A cada número real le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponde un número real.
��
Distancia entre números reales. Intervalos de números
Problema 14En la siguiente recta están representados: el número 0, el número 1, el número posi-
tivo m y el número –m.
La distancia entre 0 y m es m. La distancia entre –m y 0 también es m.
Si se toma un número b que sea mayor que m, éste estará a mayor distancia del 0 que
m. Es más, todos los números que se encuentren a la derecha de m sirven:
Para describir al conjunto de todos los números reales que son mayores que un núme-
ro m se escribe:
b ∊ (m ; +∞) y significa que los números b son mayores que m.
Si además se quiere incluir al extremo m se escribe:
b ∊ [m ;+∞) y significa que los números b son mayores o iguales que m.
Por otro lado, si se ubica b a la izquierda de –m, su distancia al 0 será también mayor
que m.
El conjunto de todos los números reales b que verifican que la distancia al 0 es mayor
que m es:
(-∞ ; –m) U (m ; +∞)
Se denomina intervalo abierto a la escritura (a ; b) y significa que se consideran todos
los números reales x que se encuentran entre a y b.
Simbólicamente:
x ∊ (a ; b) si a < x < b
Se denomina intervalo cerrado a la escritura [a ; b] y significa que se consideran todos
los números reales x que se encuentran entre a y b incluyendo al a y al b.
Simbólicamente:
x ∊ [a ; b] si a ≤ x ≤ b
Por ejemplo:
Ubicar en la misma recta todos
los números, que se encuentren a
mayor distancia del 0 que m.
Si se escribe x ∊ (–3 ; 5) se está indican-do que: –3 < x < 5
Si se escribe x ∊ [–3 ; 5] se está indican-do que: –3 ≤ x ≤ 5
–m 0 m(/////////)
Para designar a todos los números reales mayores que
m se escribe todos los x tales que x > m. El intervalo que contiene a todos estos números es (m ; +∞) Análogamente, el intervalo que contiene a todos los números menores que m es (– ∞ ; m).
El símbolo ∊ significa pertenece.
El símbolo ∉ significa no pertenece.
La escritura (m ; +∞) se denomina intervalo abierto en m.
Se denomina longitud del intervalo a la distancia
entre el número menor y el mayor de un intervalo. La longitud del intervalo (a ; b) es b – a.
�� Capítulo 1. Números Reales.
Módulo de un número real
Se llama módulo o valor absoluto de un número real, a la distancia que hay entre ese
número y el 0. En símbolos el módulo de un número real a se escribe |a|.
Por ejemplo, | 4 | = 4, pues la distancia entre 0 y 4 es de 4 unidades, si se toma como
unidad de medida la distancia entre 0 y 1.
Como la distancia que hay entre –4 y 0 es la misma que la que hay entre 4 y 0, enton-
ces |–4| = 4.
Problema 15Representar en la recta numérica todos los números reales que verifiquen lo pedido:
a. | c | = 9 b. | c | < 9 c. | c | > 9
Para buscar los números c que verifican | c | = 9, hay que buscar los números que estén
a distancia 9 del 0. Esos números son: 9 y –9. Luego
Si | c | < 9 entonces la distancia entre c y 0 es menor que 9. Por lo tanto, todos los
números positivos menores que 9 son solución. Es decir, c < 9.
Además, c no puede estar a la izquierda de –9, pues su distancia al 0 sería mayor que
9. Con lo cual, c > –9.
c debe verificar entonces que c < 9 y c > –9, es decir:
–9 < c < 9 o bien c ∊ (–9 ; 9)
Y se puede representar en la recta de la siguiente manera:
De la misma manera se puede pensar que el conjunto de números c que verifican | c | > 9
son todos los números c cuya distancia al 0 es mayor que 9. En la recta numérica se puede
representar de la siguiente manera:
Es decir, son los números c que verifican que c < –9 o que c > 9
c ∊ (–∞ ; –9) U (9 ; +∞)
Si a es un número positivo y
|x| = a , entonces hay dos posibilidades para el valor de x:
x = a o x = –a
También vale que si x = a o x = –a, entonces |x| = a. Si |x| = 0 entonces x = 0.
Si a es un número positivo y
x< a entonces –a < x < a, es decir x ∊ (–a ; a). También es cierto que si –a < x < a, entonces x < a.
Si a es un número positivo y
x > a ⇔ x > a o x < –a, es decir: x ∊ (–∞ ; –a) U ( a ; +∞).
De lo visto anteriormente se concluye que:
Si a es un número real positivo se verifica que:
x = a ⇔ x = a o x = –a
x < a ⇔ –a < x < a o sea x ∊ (–a ; a)
x > a ⇔ x > –a o x < a es decir x ∊ (–∞ ; –a) U (a ; +∞)
��
12. Ubiquen en la siguiente recta los números 2 a ; b __ 3 , 2a + b _____ 3
13. Determinen qué número está representado con la letra m en la
siguiente recta numérica:
14. Decidan en cada caso qué valores positivos puede tomar n para
que se cumpla la desigualdad:
a. 9 __ 5 < n __ 5 b. 11 ___ 7 < 7 __ n
c. 8 – n ____ 3 < 8 __ 3 d. 4 ___ 11 < 4 _____ 11 – n
15. ¿Cómo harían para explicar que, para cualquier valor de n >0 se verifica que n ____ n+1 < 1?
16. Si se sabe que dos segmentos A y B verifican que 3 segmentos A
miden lo mismo que 4 segmentos B.
a. ¿Cuánto mide el segmento A si se toma como unidad de medida
el segmento B?
b. ¿Cuánto mide el segmento B si se toma como unidad de medida
el segmento A?
17. Si m y n son dos segmentos que verifican que 5 m = 11 n. Encuentren
un segmento u de manera tal de que entre una cantidad entera de veces
en m y a su vez entre una cantidad entera de veces en n.
18. a.¿Cuántas fracciones con denominador 2 hay entre 5 y 6?
b. ¿Cuántas fracciones con denominador 5 hay entre 5 y 6? ¿Y con
denominador 9?
19. ¿Habrá alguna fracción con denominador 4 que se encuentre
entre 1 __ 2 y 2 __ 3 ? ¿Y con denominador 5? ¿Y con denominador 10?
20. ¿Es posible encontrar dos números fraccionarios entre los cuales
no exista ninguna fracción con denominador 4 pero sí exista alguna
fracción con denominador 8?
21. Completen la siguiente tabla que relaciona la cantidad de agua
en proporción a la cantidad de harina para preparar pizza.
22. Encuentren dos números racionales que estén a una distancia
de 0,01 y entre ellos se encuentre el número √__
5 .
23. Encuentren dos números reales cuya distancia al – 2 sea 3 __ 2 .
24. a. Dibujen en una recta numérica todos los valores que puede
tomar el número x que verifican que 2x = 7.
b. ¿Cuáles son los valores de x que verifican que 2x – 1 = 7?
25. Señalen en una recta numérica, en cada caso, todos los posibles
lugares que podría ocupar el número x sabiendo que verifica la
condición planteada:
a. x–2< 3 b. 2x< 1
c. 3x>3 d. x+4< –3
26. Ubiquen en una recta numérica los siguientes números: – 2 __ 3 ; √__
5 ;
4 ; √__
7 .
27. Si se duplica el lado de un cuadrado, ¿es cierto que se duplica su
diagonal? Expliquen su respuesta.
28. Dado el cubo de 4 cm de lado, determinen el valor del segmento
marcado:
29. El siguiente segmento mide 2 __ 5 de una cierta unidad:
Construyan un segmento que mida 7 ___ 10 de la misma unidad.
30. Usando la calculadora, encuentren un número cuya raíz cuadrada
se encuentre entre 2,236 y 2,237.
31. a. Encuentren dos números racionales entre los cuales se
encuentre el valor de √___
13 y que verifiquen que la distancia entre
ambos números sea 0,2.
b. Encuentren dos números racionales entre los cuales se encuentre
el valor de √___
13 y que verifiquen que la distancia entre ambos
números sea 0,001.
Agua (en litros) 5 __ 3 3 7 __ 3 7
Harina (en kilos) 1,5 3 1 x
ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN
�� Capítulo 1. Números Reales.
AUTOEVALUACIÓN1. De la lista de fracciones con denominador 7 que se presenta a
continuación, señalen aquellas que se encuentran entre 1 __ 4 y 3 __ 4 :
1 __ 7 2 __ 7 3 __ 7
4 __ 7 5 __ 7 6 __ 7
7 __ 7
2. Si se consideran dos segmentos a y b y se sabe que 3 veces el
segmento a es igual a 7 veces el segmento b. ¿Cuál o cuáles de las
siguientes afirmaciones son correctas?
3 __ 7 a = b 7 __ 3 a = b
a = 7 __ 3 b a = 3 __ 7 b
1 __ 7 entra una cantidad entera de veces en a y en b.
1 ___ 21 entra una cantidad entera de veces en a y en b.
3. ¿Cuál o cuáles de los siguientes pares de números racionales se
encuentran a una distancia de 0,0002 y entre ellos se encuentra el
número √__
3 ?
1,73204 y 1,73206 1,7319 y 1,7321
17 319 ______ 10 000 y 17 321 ______ 10 000 1731 ____ 1000 y 1732 ____ 1000
4. Señalen, en cada caso, el o los valores de x que verifican la
condición planteada:
a. x–4 = 7
x = –3 y x = –7 x = –3 y x = 11
x = 11 y x = –7 Ninguna de las anteriores.
b. 2x + 8 = 14
x = 11 y x = 3 x = –11 y x = 3
x = –11 y x = –3 Ninguna de las anteriores.
c. –3x + 1 < 5
x > 2 y x < – 4 __ 3 x < 2 y x > – 4 __ 3
x > – 2 y x < 4 __ 3 Ninguna de las anteriores.
5. Señalen, en cada caso, la o las expresiones que representan a los
números indicados en la recta numérica:
a.
x < 3 – 3 < x < 3
|x + 3| > 0 |x| < 3
b.
| x – 1| < 3 | x + 2 | > 4
x < 4 –2 < x < 4
6. Señalen el par de números cuya distancia es un centésimo y entre
ellos se encuentra el resultado de √
__ 7 :
2,645 ; 2,646 264 ___ 100 ; 265 ___ 100
2,6 ; 2,7 2 √__
7 ; 3 √__
7
7. Dado un rectángulo de lados a y b y cuya diagonal sea d. Marquen
la o las afirmaciones que sean correctas:
d 2 = a 2 + b 2
Si se duplican los lados del rectángulo, se duplica su diagonal.
Si se duplica el lado a y se triplica el lado b, se quintuplica la
diagonal.
Si a = 3 y b = 7 entonces la diagonal es un número irracional.
Si a = 3 y b = 5 entonces la diagonal es un número entero.
a b c
d e f
g
a b
c d
e
f
a b
c d
a b
c d
a b
a b
c d
a b
c d
a b
c d
a b
c d
a
b
c
d
e
c d
��