probabilidades capitulo5 schaum
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EJERCICIOSTRANSCRIPT
ESCUELA POLIECNICA DEL EJERCITO SEDE LATACUNGA
INGENIERIA ELECTRONICA
Nombre: Andrés Santiago Olmos Tigse
Nivel: Quinto “B”
CAPITULO 5
Problemas Suplementarios
VARIABLES ALEATORIAS Y VALOR ESPERADO
5.53.-Suponga que una variable aleatoria X toma los valores -4, 2, 3, 7 con las probabilidades respectivas.
k+210
,2k−310
,3k−410
,k+110
Encontrar la distribución y el valor respectivo de X.
k+210
+2k−310
+ 3k−410
+ k+110
=1
k+2+2k−3+3k+4+k+1=10
k=2
k+210
=0.4
2k−310
=0.1
3k−410
=0.2
k+110
=0.3
x 4 2 3 7P(X=x) 0.4 0.1 0.2 0.3
E ( x )=(−4 )∗(0.4 )+ (2 )∗(0.1 )+(3 )∗(0.2 )+(7 )∗(3)
E ( x )=1.3
5.54.- Se lanza un par de dados. Sea x el mínimo de los dos números que ocurren. Encuentre la distribución y el valor esperado de x.
x 1 2 3 4 5 6 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36
E ( x )=1(11 /36)+2(9/36)+3(7 /36)+4 (5/36)+5(3 /36)+6 (1/36)E ( x )=91 /36=2.53
5.55.- El peso de una moneda equilibrada 4 veces. Sea Y la secuencia más larga de caras que salga. Encuentre la distribución y el valor esperado de Y. (Compare con la variable aleatoria X en el problema 5.22)
x 0 1 2 3 4f(x) 1/16 7/16 5/16 2/16 1/16
E ( x )=(0∗116 )+( 1∗716 )+( 2∗516 )+( 3∗216 )+( 4∗116 )=2716=1.685.56.- El peso de una moneda es alterado de manera que P(H )=¾ yP (T )=1/ 4, se lanza
3 veces. Sea x el número de caras que aparece.a) Encuentre la distribución de x.b) Encuentre E(x).
x 1 2 3 1/64 9/64 27/64
¼∗1/4∗1/ 4∗¿1/643(1 /4∗1/4∗3 /4)=9/643(3 /4∗3 /4∗1/4)=27/64¾∗3/4∗3 /4=27 /64
a) E(x )=0 (1/64)+1(9 /64 )+2(27/64 )+3 (27/64)E(x )=144 /64E(x )=2.25
5.57.- EL peso de una moneda es alterado de manera que P (H )=13
y P (T )=23
. La
moneda se lanza hasta que aparezca una cara o 5 sellos. Encuentre el numero esperado E de lanzamientos de la moneda.
H ,TH ,TTH ,TTTH ,TTTTH ,TTTTT
X (H )=1 X (TH )=2X (TTH )=3 X (TTTH )=4 X (TTTTH )=5 X (TTTTT )=5
P (1 )=P(H )=13P (2 )=P (TH )=( 23 )( 13 )=29 P (3 )=P (TTH )=( 23 )( 23 )( 13 )= 4
27
P (4 )=P (TTTH )=( 23 )(23 )( 23 )( 13 )= 881
P (5 )=P ( {TTTTH ,TTTTT })=[(23 )( 23 )( 23 )( 23 )(13 )]+[( 23 )( 23 )( 23 )( 23 )( 23 )]P (5 )=P ( {TTTTH ,TTTTT })= 16
243+ 32243
= 48243
E=E ( x )=1( 13 )+2( 29 )+3( 427 )+4( 881 )+5 ( 48243 )E=E ( x )=1
3+ 49+ 1227
+ 3281
+ 240243
E ( x )=2.6.
5.58.- La probabilidad de que el equipo A gane cualquier juego es 1/2. Suponga que A juega contra B en un torneo. El primer equipo en ganar dos juegos seguidos o 3 juegos gana el torneo. Encuentre el numero esperado E de juegos en el torneo.
x 2 3 4 5 F(x) 2/4 2/8 2/16 4/32
E(x )=2(2 /4)+3(2 /8)+4(2/16)+5 (4 /32)E(x )=23 /8E(x )=2.9
5.59.- Una caja contiene 10 transistores, de los cuales 2 están defectuosos. Se selecciona un transistor de la caja y se prueba hasta seleccionar uno no defectuoso. Encuentre el número esperado E de transistores que deben escogerse.
P (D )= 210
P (B )= 810
x 1 2 3f(x) 8/10 16/90 2/90
E ( x )=1( 810 )+2( 1690 )+3( 290 )=119E ( x )=1.2
5.60.-Resuelva el problema anterior para el caso en el cual 3 de los 10 artículos son defectuosos.
P(D)=3 /10P(B)=7 /10
x 1 2 3 4 7/10 21/90 42/720 6/720
E(x )=1¿E(x )=11 /8E(x )=1.4
5.61.- Cinco cartas están numeradas del 1 al 5. Se sacan dos cartas al azar (sin reposición). Sea X la suma de los números seleccionados.
a) Encuentre la distribución de Xb) Encuentre E(x)
a)
x 3 4 5 6 7 8 9F(x) 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1
Usando el diagrama de árbol se obtiene
F (3 )=
15∗1
4+
15∗1
4=110
F (4 )=
15∗1
4+
15∗1
4=110
F (5 )=
15∗1
4+
15∗1
4+
15∗1
4+
15∗1
4=15
F (6 )=
15∗1
4+
15∗1
4+
15∗1
4+
15∗1
4=15
F (7 )=
15∗1
4+
15∗1
4+
15∗1
4+
15∗1
4=15
F (8 )=
15∗1
4+
15∗1
4=110
F (9 )=
15∗1
4+
15∗1
4=110
b)
E ( x )=3 (0.1 )+4 (0.1 )+5 (0.2 )+6 (0.2 )+7 (0.2 )+8 (0.1 )+9(0.1)
E ( x )=6
5.62.-Una lotería con 500 boletos de un premio de $100, 3 premios de $50 cada uno, y 5 premios de $25 cada uno.
a) Encuentre las ganancias esperadas de una boleta.b) Si una boleta cuesta $1 ¿Cuál es el valor esperado del juego?
x 0 25 50 100 491/500 5/500 3/500 1/500
E(x )=0¿E(x )=3 /4
E(x )=0.75
E(x )=0.75 – 1E(x )=−0.25
5.64.-Un jugador lanza dos monedas equilibradas. El jugador gana $3 si ocurren 2 caras y $1 si ocurre una cara. Para que el juego sea justo ¿Cuánto debe perder el jugador si no ocurre ninguna cara?
x 3 1 -af(x) 1/4 2/4 1/4
Para que el juego sea justo E=0
0=3(1/ 4)+1(2/4 )– a(1/ 4)a=5/ 4(4)a=5
MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR5.65.- Encuentre la media μ, la varianza σ x
2, y la desviación estándar σ x de cada distribución.
(a)
x 2 3 8f(x) 1/4 1/2 1/4
E(X )=(2)(1/ 4)+(3)(1/2)+(8)(1 /4)
E(x )=1/2+3 /2+2
μ=E (x)=4
E(X2)=(22)(1/4)+(32)(1/2)+(82)(1/4)
E(X2)=1+9/2+16
E(X2)=21.5
Var (x )=E(X2)−E(〖 x)〗2
Var (X)=21.5−〖(4)〗2
σ 2=Var (X )=5 .5
σ=√(5 .5)=2 .34
(b)
x -2 -1 7f(x) 1/3 1/2 1/6
E(X )=(−2)(1/3)+(−1)(1 /2)+(7)(1 /6)
E(x )=(−2/3)+(−1/2)+(7 /6)
μ=E (x)=0
E(X2)=(−22)(1/3)+(−12)(1/2)+(72)(1/6)
E(X2)=4 /3+1/2+49 /6
E (X 2)=10
Var (x )=E (X2 )−E ¿
Var (X)=10−(0)2
σ 2=Var (X )=10
σ=√5 .5=3 .2
5.66.-Encuentre la media de u, la varianza y la desviación estándar de cada distribución:
x -1 0 1 2 3 0.3 0.1 0.1 0.3 0.2
u=(−1)(0.3)+(0)(0.1)+(1)(0.1)+(2)(0.3)+(3)(0.2)u=1u(x 2)=(−1)2(0.3)+(0)2(0.1)+(1)2(0.1)+(2)2(0.3)+(3)2(0.2)u(x 2)=3.4
σ 2=3.4 –1
2=2.4
σ=√2.4=1.5
x 1 2 3 6 7 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3
u=(1)(0.2)+(2)(0.1)+(3)(0.3)+(6)(0.1)+(7)(0.3)
u=4
u(x 2)=(1)2(0.2)+(2)2(0.1)+(3)2(0.3)+(6)2 (0.1)+(8)2 (0.3)
u(x 2)=21.6
σ 2=21.3– 16
σ 2=5.6
σ=√5.6=2.37
5.67.- Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución:
x 1 3 4 5F(x) 0.4 0.1 0.2 0.3
Encuentre la media u, la varianza σ 2, y la desviación estándar de X.
E ( x )=1 (0.4 )+3 (0.1 )+4 (0.2 )+5 (0.3 )
E ( x )=3
E(x2)=1 (0.4 )+9 (0.1 )+16 (0.2 )+25 (0.3 )
E(x2)=12
var (x )=E (x2 )−E ( x )2
var (x )=12−9
var (x )=3
σ=√var (x)
σ=√3=1 .7
5.68.-Sean x la variable aleatoria en el problema anterior. Encuentre la media la varianza y la desviación estándar de cada variable aleatoria:
a) y = 3x+2
b) y = x2
c) y = 2x
x 1 3 4 5 0.4 0.1 0.2 0.3
y 5 11 14 17
0.4 0.1 0.2 0.3
u ( y )=(5 ) (0.4 )+(11) (0.1 )+(14 ) (0.2 )+(17 )(0.3)
u ( y )=1
u ( y2 )=¿¿¿
u ( y2 )=148
σ 2 σ 2 = 27
σ=√27 = 5.2
b)
y 1 9 16 25 0.4 0.1 0.2 0.3
u( y)=(1)(0.4)+(9)(0.1)+(16)(0.2)+(25)(0.3)
u( y)=12
u( y2)=(1)2(0.4)+(9)2 (0.1)+(16)2 (0.2)+(25)2(0.3)
u( y2)=247.2
σ 2=247.2– (12)2
σ 2=103.2
σ=√103.2=10.2
y 2 8 16 32 0.4 0.1 0.2 0.3
u( y)=(2)(0.4)+(8)(0.1)+(16)(0.2)+(32)(0.3)
u( y)=14.4
u( y2)=(2)2(0.4)+(8)2(0.1)+(16)2(0.2)+(32)2(0.3)
u( y2)=366.4
σ 2=366.4 – (14.4)2
σ 2=159.04
σ=√159.04=12.6
5.69.- Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución:
x -1 1 2f(x) 0.2 0.5 0.3
Encuentre la media μ, la varianza σ 2 y la desviación estándar σ de X.
E ( x )=(−1 ) (0.2 )+(1 ) (0.5 )+(2 ) (0.3 )
E ( x )=0.9
E (x2 )=(−1 )2 (0.2 )+(1 )2 (0.5 )+(2 )2 (0.3 )
E (x2 )=0.2+ (0.5 )+(1.2 )=1.9
var (x )=E (x2 )−[E ( x )]2
var (x )=1.9−(0.9)2
var (x )=1.09
σ ( x )=√var (x )
σ ( x )=1.04
5.70.- Sea x la variable aleatoria en el problema 5.69. Encuentre la media la varianza y la desviación estándar de cada variable aleatoria y = ф(x) donde
a) ф (x )=x 4
b) ф (x )=3 x
c) ф (x )=2 x−1
x -1 1 2 0.2 0.5 0.3
y 1 1 16 0.2 0.5 0.3
u( y)=(1)(0.2)+(1)(0.5)+(16)(0.3)
u( y)=5.5
u( y2)=(1)2(0.2)+(1)2 (0.5)+(16)2(0.3)
u( y2)=77.5
σ 2=77.5– (5.5)2
σ 2=47.25
σ=√47.25=6.87
a)
y 1/3 3 9 0.2 0.5 0.3
u( y)=(1/3)(0.2)+(3)(0.5)+(9)(0.3)
u( y)=4.27
u( y2)=(1/3)2(0.2)+(3)2(0.5)+(9)2(0.3)
u( y2)=28.91
σ 2=28.82– (4.27)2
σ 2=10.59
σ=√ 10.59=3.25
b)
y 1 2 8 0.2 0.5 0.3
u( y)=(2)(0.2)+(3)(0.5)+(8)(0.3)
u( y)=3.6
u( y2)=(2)2(0.2)+(3)2(0.5)+(8)2(0.3)
u( y2)=21.4
σ 2=21.4 – (3.6)2
σ 2=8.44
σ=√8.44=2.91
5.71.- Encuentre la media μ, la varianza σ x2, y la desviación estándar σ x de la siguiente
distribución de dos puntos donde p+q=1.
x a bf(x) p q
E(X )=(a)(p)+(b)(q)
E(x )=(ap)+(bq)
μ=E (x)=(ap+bq)
E(X2)=(a2)( p)+(b2)(q)
E(X2)=(a2 p)+(b2q)
E (X 2)=(a2 p+b2q)
Var (x )=E (X2 )−E ¿
Var (X)=(a2 p+b2q )−(ap+bq)2
σ 2=Var (X )=pq (a−b )2
σ=√ pq (a−b )2=|a−b|√ pq
5.73 Se selecciona dos cartas de una caja que contiene 5 cartas numeradas 1, 1,2,2 y 3 Sea X la suma y Y el máximo de los dos números seleccionados. Encuentre la distribución, la media, la varianza y la desviación estándar de las variables aleatorias:
a) Xb) Yc) Z=x+ yd) W=XY
a)
x 2 3 4 5F(x) 0.1 0.4 0.3 0.2
E ( x )=2 (0.1 )+3 (0.4 )+4 (0.3 )+5 (0.2 )
E ( x )=3 .6
E(x2)=4 (0.4 )+9 (0.1 )+16 (0.2 )+25 (0.3 )
E(x2)=13.8
var (x )=E (x2 )−E ( x )2
var (x )=13.8−12.96
var (x )=0 .84
σ=√var (x)
σ=√0 .84=0 .91
b)
Y 1 2 3G(Y) 0.1 0.5 0.4
E ( y )= (0.1 )+2 (0.5 )+3 (0.4 )
E ( y )=2 .3
E( y2)=(0.1 )+4 (0.5 )+9 (0.4 )
E( y2)=5.7
var ( y )=E ( y2 )−E ( y )2
var ( y )=5.7−5.29
var ( y )=0 .41
σ=√var ( y)
σ=√0 .41=0 .64
c)
Tabla De Distribución Conjunta De X y Y
x\y 1 2 3 f(x)2 0.1 0 0 0.13 0 0.4 0 0.44 0 0.1 0.2 0.35 0 0 0.2 0.2
G(y) 0.1 0.5 0.4
Z 3 5 6 7 8h(z) 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2
E ( z )=3 (0.1 )+5 (0.4 )+6 (0.1 )+7 (0.2 )+8(0.2)
E ( z )=5 .9
E(z2)=9 (0.1 )+25 (0.4 )+36 (0.1 )+49 (0.2 )+8(0.2)
E(z2)=37.1
var (z )=E ( z2)−E ( z )2
var (z )=37.1−34.81
var (z )=2.29
σ=√var (z)
σ=√2.29=1.51
d)
w 2 6 8 12 15h(w) 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2
E (w )=2 (0.1 )+6 (0.4 )+8 (0.1 )+12 (0.2 )+15(0.2)
E ( z )=8 .8
E(w2)=4 (0.1 )+36 (0.4 )+64 (0.1 )+144 (0.2 )+225 (0.2)
E(w2)=95
var (w )=E (w2 )−E (w )2
var (w )=95−77.44
var (w )=17 .56
σ=√var (w)
σ=√2.29=4 .19
DISTRIBUCIONES CONJUNTAS, VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES
5.74.-Considere la distribución conjunta de X e Y en la fig 5.23 encuentre
a) E(x ) y E ( y)
b) Cov (x , y )c) σ x ,σ y y ρ(X ,Y )σ
x\y -4 2 7 1 1/8 1/4 1/8 1/25 ¼ 1/8 1/8 1/2 3/8 5/8 1/4
a) E(x )=(1)(1 /2)+(5)(1 /2)
E(x )=3
E( y)=(−4)(3/8)+(2)(5 /8)+(7)(1/4 )
E( y)=1
b) E(x , y)=(−4)(1)(1/8)+(2)(1)(1/4)+(7)(1)(1/8)
+(−4 )(5)(1 /4)+(2)(5)(1/8)+(7)(5)(1/8)
E(x , y)=1.5
cov (x , y)=E(x , y) – E (x)E( y )
cov (x , y)=1.5– (3)(1)
cov (x , y)=1.5
c) E(x 2)=(1)2(1/2)+(5)2(1 /2)
E(x 2)=13
σ 2=13– 9
σ 2=4
σ=2
E( y2)=(−4 )2(3 /8)+(2)2(5 /8)+(7)2(1/4)
E( y2)=20.75
σ 2=20.75−1
σ 2=19.75
σ=4.4
ρ(x , y)=1.5/(2)(4.4)
ρ(x , y)=0.17
5.75.- Considere la distribución conjunta de X y Y en la figura 5.23(b). Encuentre:
(a) E (X ) yE ( y), (b) cov (X ,Y ) , (c)σ X ,σ Y y ρ(X ,Y ).
x\y -2 -1 4 5 F(x)1 0.1 0.2 0 0.3 0.62 0.2 0.1 0.1 0 0.4
G(y) 0.3 0.3 0.1 0.3
a)
E ( x )=∑ x iF (x i)
E ( x )=1 (0.6 )+2 (0.4 )
E ( x )=0.6+0.8
E ( x )=1.4
E ( y )=∑ y iF ( y i)
E ( y )=−2 (0.3 )−1 (0.3 )+4 (0.1 )+5(0.3)
E ( y )=−0.6−0.3+0.4+1.5
E ( y )=1
b)
cov (X ,Y )=E ( X ,Y )−E (X ) E (Y )
E (X ,Y )=(1 ) (−2 ) (0.1 )+(1 ) (−1 ) (0.2 )+(1 ) (5 ) (0.3 )+(2 ) (−2 ) (0.2 )+(2 ) (−1 )(0.1)
+(2 ) (4 ) (0.1 )=−0.2−0.2+1.5−0.8−0.2+0.8=0.9
cov (X ,Y )=0.9−(1.4 ) (1 )=−0.5
(c)σ X ,σ Y
E (x2 )=∑ x i2 f (x i)
E (x2 )=(1 )2 (0.6 )+(2 )2(0.4)
E (x2 )=0.6+1.6
E (x2 )=2.2
var (x )=E (x2 )−(E (x))2
var (x )=2.2−(1.4)2=0.24
σ X=√var (x )=√0.24=0.489
E ( y2 )=∑ y i2 f ( y i)
E ( y2 )=(−2 )2 (0.3 )+ (−1 )2 (0.3 )+ (4 )2 (0.1 )+(5 )2(0.3)
E ( y2 )=1.2+0.3+1.6+7.5=10.1
var (x )=E ( y2 )−(E( y ))2
var ( y )=10.1−(1)2=9.1
σ Y=√var ( y )=√9.1=3.01
ρ (X ,Y )= cov ( x , y )σ X σY
= −0.53.01∗0.489
=−0.3
5.76.-Suponga que x e y son variables aleatorias independientes con las siguientes distribuciones respectivas:
x 1 2 y -2 5 8 0.7 0.3 0.3 0.5 0.2
encuentre la distribución h de x e y y verifique que la cov ( x , y )=0 :
x\y -2 5 81 0.21 0.35 0.14 0.72 0.09 0.15 0.06 0.3
0.3 0.5 0.2
E(x )=(1)(0.7)+(2)(0.3)
E(x )=1.3
E( y)=(−2)(0.3)+(5)(0.5)+(8)(0.2)
E( y)=3.5
E(x , y)=(1)(−2)(0.21)+(1)(5)(0.35)+(1)(8)(0.14)+¿
(2)(−2)(0.09)+(2)(5)(0.15)+(2)(8)(0.06)
E(x , y)=4.55
cov (x , y)=4.55 – (1.3)(3.5)
cov (x , y)=0
5.77.- Considere la distribución conjunta de X y Y en la figura 5/24(a). (a) Encuentre E(X) y E(Y) (b) Determine si X y Y son independientes (c) Encuentre la cov (X,Y).
x\y 2 3 4 f(x)1 0.06 0.15 0.09 0.32 0.14 0.35 0.21 0.7
G(y) 3/8 5/8 1/4
Fig. 5/24 (a)
(a)
E(X )=(1)(0.30)+(2)(0.70)
E(X )=0.30+1.4
E(X )=1 .7
E(Y )=(2)(3/8)+(3)(5 /8)+(4)(1/4)
E(Y )=3/4+15/8+1
E(Y )=29/8=3 .1
(b)
Sisonindependientes
(c )
DebesercerosiXyYsonindependientes
E(X ,Y )=(1)(2)(0.06)+(1)(3)(0.15)+(1)(4 )(0.09)+(2)(2)(0.14)+(2)(3)(0.35)+(2)(4)(0.21)
E(X ,Y )=0.12+0.45+0.36+0.56+2.1+1.68
E(X ,Y )=5.27
Cov (X ,Y )=E(X ,Y )−E(X )E (Y )
Cov (X ,Y )=5.27−(1.7)(3.1)
Cov (X ,Y )=0
P≥1− 1
22
P≥0.75
5.78.-Considere la distribución conjunta de x e y en la figura encuentre:
a) E ( x ) yE ( y ) .
b) Determine x e y son independientes.
c) Encuentre la distribución la media y la desviación estándar de la variable.
x\y -2 -1 0 1 2 30 0.05 0.05 0.1 0 0.05 0.051 0.1 0.05 0.05 0.1 0 0.052 0.03 0.12 0.07 0.06 0.03 0.04
a) E(x )=(0)(0.30)+(1)(0.35)+(2)(0.35)
E(x )=1.05
E ( y )= (−2 ) (0.18 )+ (−1 ) (0.22 )+ (0 ) (0.22 )+ (1 ) (0.16 )
+(2)(0.08)+(3)(0.14)
E( y)=0.16
b) (0.3)(0.18) = 0.05
0.054 = 0.05 no son independientes
(0.30)(0.22) = 0.05
0.066 = 0.05
c)
z -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.05 0.15 0.18 0.17 0.22 0.11 0.08 0.04
E ( z )=(−2 ) (0.05 )+(−1 ) (0.15 )+¿
(0)(0.18)+(1)(0.17)+(2)(0.22)+(3)(0.11)
+(4)(0.08)+(5)(0.04)
E(z )=1.2
E(z 2)=(−2)2(0.05)+(−1)2(0.15)+(0)2(0.18)+(1)2(0.17)
+(2)2(0.22)+(3)2(0.11)+(4)2(0.08)+(5)2(0.04 )
E(z 2)=4.67
Var (z )=4.37 – (1.21)2
Var (z )=3.21
σ=√3.21
σ=1.79
5.79.- Una moneda equilibrada se lanza 4 veces sea X el numero de caras que ocurren y sea Y la secuencia de caras mas larga que ocurre.
a) Determine la función conjunta de X y Yb) Encuentre cov(X,Y) y p(X,Y)
a)
x\y 0 1 2 3 4 f(x)0 1/16 0 0 0 0 1/61 0 4/16 0 0 0 4/162 0 3/16 3/16 0 0 6/163 0 0 2/16 2/16 0 4/164 0 0 0 0 1/16 1/16
G(y) 1/16 7/16 5/16 2/16 1/16
b)
E ( x , x )=( 116 )+ 416+ 616 + 1216
+ 1216
+ 1816
+1=5.41
cov ( x , x )=E ( x , x )−E ( x )E( y)
cov ( x , x )=5.41−(2∗1.7 )=0.85
ρ(x , x)=cov (x , y)σ x σ y
ρ(x , x)= 0.85(0.64 )(1.7)
ρ ( x , x )=0 .89
5.80.-Se seleccionan dos caras al azar de una caja que contiene cinco caras numeradas 1, 1, 2, 2 y 3 sea x la suma y y al máximo de los 2 números sacados
a) Determinar la distribución conjunta de x e y
b) Encuentre la cov(x,y) y 𝝆(x,y)
a)
x\y 1 2 32 0.1 0 03 0 0.4 04 0 0.1 0.25 0 0 0.2
E(x )=(2)(0.1)+(3)(0.4)+(4)(0.3)+(5)(0.2)
E(x )=3.6
E( y)=(1)(0.1)+(2)(0.5)+(3)(0.4 )
E( y)=2.3
E(x , y)=(1)(2)(0.1)+(2)(3)(0.4)+(3)(4)(0.2)+(3)(5)(0.2)+(2)(4)(0.1)
E(x , y)=8.8
Cov (x , y )=E(x , y) – E (x)E( y )
Cov (x , y )=8.8 – (3.6)(2.3)
Cov (x , y )=0.52
E(x 2)=(2)2(0.1)+(3)2(0.4)+(4)2(0.3)+(5)2(0.2)
E(x 2)=13.8
σ 2=13.8– (3.6)2
σ 2=0.84
σ=√0.84=0.92
E( y2)=(1)2(0.1)+(2)2(0.5)+(3)2(0.4)
E( y2)=5.7
σ 2=5.7– (2.3)2
σ 2=0.41
σ=√0.41=0.64
ρ(x , y)=cov (x , y)/σ x σ y
ρ(x , y)=0.52/(0.92)(0.64 )
ρ(x , y)=0.9
DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV
5.81.- Sea X una variable aleatoria con media μ y desviación estándar σ . Utilice la
desigualdad de Chebyshev para estimar P(μ−3σ ≤μ+3 σ).
Por el teorema:
P (μ−kσ ≤ X ≤ μ+kσ )≥1− 1
k2
P (μ−3σ ≤ X ≤μ+3σ )≥1− 1
32
P (μ−3σ ≤ X ≤μ+3σ )≥1−19
P (μ−3σ ≤ X ≤μ+3σ )≥0.888
5.82.-Sean z la variable aleatoria normal estándar con media u=0 y desviación estándar
σ=1. Utilice la desigualdad de chebyshev para encontrar un valor b para el cual
P(−b≤z≤b)≥0.9
1 –1/k 2=0.9
0.1=1/k 2
K=√10
b=k σ
b=√10(1)
b=√10
5.83.- Sea una variable aleatoria con media μ=0 y desviación estándar σ x=1.5. Utilice la
desigualdad de Chebyshev para estimar: P (-3 ≤ X ¿ 3).
P (μ−kσ≤ X ≤μ+kσ )≥1− 1
k2
P (0−1.5 k≤ X ≤0+1.5k )≥1− 1
k2
0−1.5k=−3
−1.5k=−3
k=2
P≥1− 1
k2
0+1.5k=3
1.5k=3
k=2
5.84.-Sea x una variable aleatoria con media u=70¿para que valor de σprodujerala desigualdad de chebyshevP(65≤X≤75)≥0.95?
1−1 /K=0.95
0.05=1/K
K=√20
u−k σ=65
70−√20 σ=65
σ= 5
√20=1.12
5.85.- Sea X una variable aleatoria con media u=100 y desviación estándar σ=10. Utilice la desigualdad de Chebyshev para estimar:
a) P (X ≥120 )b) P (X ≤75 )
Datos
u=100
σ=10
a)
P (u−kσ )≤X ≤ (u+kσ )≥1− 1
k2
u−kσ=120
100−k 10=120
k 10=100−120
k=100−12010
k=−2
1− 1
(−2)2=0.75
P (X ≥120 )=075
b)
P (u−kσ )≤X ≤ (u+kσ )≥1− 1
k2
u+kσ=75
100+k10=75
k 10=75−100
k=75−10010
k=−2.5
1− 1
(−2.5)2=0.84
P (X ≤75 )=0 .84
PROBLEMAS MISCELÁNEOS
5.86.-Sean x una variable aleatoria continua con la siguiente distribución
1/8 si0≤x≤8
f (x) = 0enotras partes
Encuentre:
a) P(2≤x≤5)
b) P(3<=x<=7)
c) P(x>=6)
a) A=b∗h
A=(3)(1/8)
A=3/8
b) A=(4)(1/8)
A=½
c) A=(2)(1/8)
A=¼
5.87.- Determine y trace la grafica de la función de distribución acumulada F de la variable aleatoria X del problema 5.86.
f ( x )={ 18si0≤x ≤8
0enotraspartes
(a) P(2≤ X ≤5), (b)P(3≤ X ≤7), (c) P(X≥6).
{0 x<0116X
1x>8
0≤ x≤8
Por consiguiente obtenemos una función de probabilidad acumulativa:
F ( x ) esiguala :0 six<0 , X8si0≤ x≤8 , y 1 six>8
5.88.-Sea x una variable aleatoria continua con la siguiente distribución
Kx si0≤x≤5
f(x) = 0enotr a parte
Evalué k y encuentre
a) P(1≤x≤3)
b) P(2≤x≤4 )
c) P(x≤3)
A=b∗h/2
1=(5k )(5)/2
K=2/25
a) f (1)=2/25
f (3)=6 /25
a=½(2/25+6/25)(2)
a=8 /25
b) f (2)=4 /25f (4 )=8/25
a=½(4 /25+8/25)(2)
a=12/25
c) f (3)=6 /25
f (0)=0
a=(6/25)(3)/2=9 /25
5.89.- Grafique la función de distribución acumulada F de la variable aleatoria discreta X con la siguiente distribución:
x -3 2 6f(x) 1/4 1/2 1/4
F ( X )=14∗μ−1 (x+3 )+ 1
2∗μ−1 ( x−2 )+ 1
4μ−1 ( x−6 )
5.90.-Pruebe el teorema 5.11 sea x , y , z variables aleatorias de S con Z=ф (x , y )entonces
E(Z) = ∑i , j
❑
ф ( xi , yj )h (xi , yj) donde h es la distribución conjunta de x e y
X=Xi ,……. Xn
Y=Yi…… ..Ym
Z=ф (x , y )
g(Z)=∑i , j
❑
h(xi , yj)
E(Z )=∑i , j
❑
Zg (Zj )=∑❑
❑
Z∑❑
❑
h(Xi ,Yj )
E(Z )=∑i , j
❑
h (Xi ,Yj )∑❑
❑
Z=¿∑❑
❑
ф (x , y )h(Xi ,Yj )¿
5.91.- Sea X una variable aleatoria para el cual σ x≠0 demuestre que p(x,x)=1 y p(x,-x)=-1
x 1 2 3f(x) 0.1 0.5 0.4
E ( x )=2 .3
σ=√0 .41=0 .64
x\x 1 2 3 f(x)1 0.1 0 0 0.12 0 0.5 0 0.53 0 0 0.4 0.4
F(x) 0.1 0.5 0.4
E ( x , x )=(0.1 )+2+3.6=5.7
cov ( x , x )=E ( x , x )−E ( x )E(x )
cov ( x , x )=5.7−(2.3∗2.3 )=0.41
ρ(x , x)=cov (x , y)σ xσ x
ρ(x , x)= 0.41(0.64 )(0.64)
ρ(x , x)=1
x\x -1 -2 -3 f(x)1 0.1 0 0 0.12 0 0.5 0 0.53 0 0 0.4 0.4
F(x) 0.1 0.5 0.4
E ( x , x )=− (0.1 )−2−3.6=−5.7
cov ( x , x )=E ( x , x )−E ( x )E(x )
cov ( x , x )=−5.7+(2.3∗2.3 )=−0.41
ρ(x , x)=cov (x , y)σ xσ x
ρ(x , x)= −0.41(0.64 )(0.64)
ρ ( x , x )=−1