sc capitulo5

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL

EN TIEMPO DISCRETO

INTRODUCCIÓN

En los capítulos anteriores se desarrollaron las herramientas necesarias para el análisis y

el diseño de un sistema de control en tiempo continuo. En este capítulo se desarrollará el modelo

necesario para el análisis de un sistema de control en tiempo discreto, conocido como sistema de

datos muestreados, en razón de que las señales utilizadas se obtienen mediante el proceso de

muestreo de señales de campo en tiempo continuo. El nuevo modelo será reconocido como la

Función de Transferencia de Pulsos (FTP), cuyo nombre se debe al modelo ideal utilizado para

representar el proceso de muestreo la señal continua x(t).

Una vez definido el concepto de FTP, se aplicará a esquemas prácticos que incluyen

varios lazos de control, desarrollando un procedimiento general y sistemático para encontrar la

FTP equivalente de lazo cerrado. En este análisis comprobaremos una limitación del modelo FTP

en el sentido de que solo permite obtener la respuesta ( )y t para cada instante de muestreo

t kT= . Sin embargo, se demostrará que es posible desarrollar herramientas para evaluar la

respuesta entre intervalos de muestreo, utilizando la Transformada de Laplace (TL) y la

Transformada Z Modificada (TZM). Esta última es de gran interés para el tratamiento de

sistemas de datos muestreados con atrasos. Utilizando la FTP de lazo cerrado se analizará el efecto del período de muestreo T en la

respuesta dinámica del sistema de control. El concepto de ecuación característica será

fundamental para evaluar una de las componentes de la respuesta dinámica: la repuesta

transitoria. La respuesta permanente, será evaluada a través del error estacionario como una

medida de la calidad del sistema de control, utilizando un modelo similar al que fue desarrollado

en el capítulo 2 para el sistema de control en tiempo continuo. Para facilitar el cálculo de los

valores característicos de la respuesta transitoria, será necesario analizar la correlación que existe

entre los puntos del plano-s y puntos del plano-z, utilizando la regla de transformación sTz e=

que es el fundamento de la transformada Z. Una vez analizada la respuesta dinámica, se abordaran temas relacionados con la

estabilidad del sistema de control digital, aplicando herramientas similares a las utilizadas en el

capítulo 3 para los sistemas de control en tiempo continuo y desarrollando otras que solo son

aplicables los modelos discretos. Finalmente, se tratarán aspectos relacionados con el método del

lugar de las raíces y la respuesta de frecuencia, que al igual que en los sistemas continuos o

analógicos, son herramientas básicas para el análisis y diseño de sistemas de control digital.

5

5 - 2 Capítulo 5 – ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO

5.1 SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO

En esta sección se hará una revisión breve de los conceptos fundamentales, necesarios para

el análisis de un sistema de control en tiempo discreto, cuyo modelo básico es la función de

transferencia de discreta (FTD) que se obtiene [ReySoto06] evaluando la ecuación en

diferencias (EED) en el dominio-z y utilizando como herramienta la transformada Z.

Modelos clásicos de sistemas control

En los capítulos 2, 3 y 4 se utilizó el diagrama en forma canónica mostrado en la figura 5.1,

para el análisis y diseño del sistema de control en tiempo continuo, el cual se desarrolló

aplicando el concepto de función de transferencia (FT) para modelar el controlador ( )cG s y

el proceso ( )pG s . De modo similar, utilizando la transformada Z es posible desarrollar la forma canónica

mostrada en la figura 5.2 que será utilizado para el análisis y diseño del sistema de control

en tiempo discreto, donde ( )D z es el modelo del controlador o compensador el cual será

desarrollado usando el concepto de función de transferencia discreta (FTD) [ReySoto06].

Por otro lado, ( )G z es el modelo discreto equivalente del proceso ( )pG s que será obtenido

aplicando el concepto de función de transferencia de pulsos (FTP).

En aplicaciones recientes, la función que realiza el controlador o compensador ( )D z en el

sistema de la figura 5.2, se puede lograr mediante el desarrollo e implantación de un

algoritmo de control en un microcontrolador ( )Cµ , tal como se muestra en la figura 5.3.

Sin embargo, como el Cµ solo reconoce magnitudes digitales (valores binarios) es

Figura 5.1 Diagrama en forma canónica para el análisis y diseño de un sistema de control en tiempo continuo.

Figura 5.2 Diagrama en forma canónica para el análisis y diseño de un sistema de control en tiempo discreto.

−

+ ( )R s ( )M s( )cG s

( )Y s ( )E s( )pG s

( )H s

−

+ ( )R z ( )M z( )D z

( )Y z( )E z( )G z

( )H z

5.1 – SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO 5 - 3

necesario utilizar un convertidor analógico digital (A/D) y un convertidor digital analógico

(D/A), como dispositivos de interfaz del sistema de control. El convertidor A/D transforma la señal de error continua ( )e t en una señal que pueda ser

procesada digitalmente por el µC. Por otro lado, el convertidor D/A traduce la señal de

control digital en una señal continua ( )m t que sea capaz de modificar la planta o proceso,

para mantener la variable controlada ( )y t en un valor cercano al valor deseado ( )r t .

Algoritmo básico del controlador digital

Como una primera aproximación del problema a considerar, asumiremos que se trata de

modelar un controlador PI cuya ecuación característica en el dominio-s según ecuación

(4.9), viene dada por:

( ) ( )ip

kM s k E s

s

= + ⋅

(5.1)

La expresión equivalente de (5.1) en el dominio del tiempo es:

0

( ) ( ) ( )t

p im t k e t k e t dt= ⋅ + ∫ (5.2)

donde ( )e t es la señal de error y ( )m t la señal de control, mostradas en la figura 5.3. Por

otro lado, pk es la ganancia de la acción proporcional y ik la ganancia de la acción

integral, cuyos valores dependen del diseño específico del controlador y son ajustados

como parte del proceso de entonación del lazo de control. Como el microcontrolador de la figura 5.3 está programado para efectuar operaciones de

suma y multiplicación, debe ser posible simular la expresión anterior. Sin embargo su

evaluación deberá realizarse mediante aproximación numérica de la integral, tal como se

muestra en la figura 4.4, en la cual se asume el método del rectángulo del lado derecho o

de la diferencia posterior [ReySoto06].

−

+ r(t) m(t)µC

Gp(s)

y(t) e(t)

Sensor o Transmisor

A/D

D/A

Controlador/Compensador Planta/Proceso Figura 5.3 Esquema típico de un sistema de control digital directo.


Si ( )x t representa la integración numérica de ( )e t , haciendo t kT= en (5.2) obtenemos:

( ) ( ) ( )p im kT k kT k x kT= + (5.3)

De la figura 5.4 podemos expresar el valor actual de la integral ( )x kT , como

( ) [( 1) ] ( )x kT x k T e kT T= − + × (5.4)

siendo T el intervalo de integración. Sustituyendo (5.4) en (5.3) obtenemos:

( ) ( ) ( ) [ 1) ]p i im kT k kT e kT k x k T= + + − (5.5)

La expresión anterior constituye el algoritmo básico para desarrollar el controlador PI, que

utilizando notación comprimida, puede formularse como: 1( )k p i k i km k kT e k x −= + + (5.6)

La expresión (5.6) se reconoce como el algoritmo de control y corresponde a una ecuación en diferencias (EED) de primer orden, cuya forma general [ReySoto07] es 1 0 1( ) ( 1) ( ) ( 1)y k a y k b x k b x k+ − = + − (5.7)

la cual establece la relación entrada-salida ( ) ( )x k y k↔ . En la expresión anterior se ha

normalizado el coeficiente de ( )y k para que sea 1; esta EED se refiere como de diferencias

hacia atrás, por cuanto hace referencia a valores anteriores de ( )y k y ( )x k . En un caso

más general, la EED hacia atrás de un sistema discreto LIT de orden - n viene dada por:

1 0

( ) ( ) ( )n m

i j

i j

y k a y k i b x k j= =

+ − = −∑ ∑ (5.8)

En la expresión anterior asumimos que m n≤ para garantizar la causalidad del sistema de

control. Como se demostrará en el capítulo 6 la causalidad garantiza la realización del

algoritmo de control. Una forma alterna de (5.8) se consigue formulando la ecuación en

términos de diferencias hacia delante, que se consigue cambiando k por k n+ en (5.8)

1 0

( ) ( ) ( )n m

i j

i j

y k n a y k n i b x k n j= =

+ + + − = + −∑ ∑ (5.9)

( )e t

t

kT ( 1)k T−

Figura 5.4 Aproximación numérica de la integral en el controlador PI.


Aunque algebraicamente (5.8) y (5.9) son equivalentes, en la implementación del algoritmo

de control se prefiere usar la representación de diferencias hacia atrás, para garantizar su

causalidad al hacer referencia a valores que han ocurrido anteriormente. La notación de

diferencias hacia delante es útil en el desarrollo del modelo de estado, tal como se verá en

el capítulo 7. Finalmente, para efectos de notación en sistemas de datos muestreados, si el

período de muestreo T es constante, se considera que ( ) ( )y k y kT≡ y ( ) ( )x k x kT≡ .

Estrategias de diseño del controlador digital

El propósito final del diseño del controlador digital es calcular la FT ( )D z mostrada en la

figura 5.2, para satisfacer requerimientos de diseño del sistema de control, asumiendo que

se conoce el modelo equivalente discreto G(z) del proceso. A diferencia del diseño del

controlador ( )cG s en el dominio continuo, para el diseño del controlador digital existen dos

estrategias posibles, conocidas como método directo y método indirecto.

1. Método directo: Esta estrategia utiliza el diagrama de la figura 5.2 para diseñar el

controlador ( )D z a partir del modelo discreto equivalente ( )G z del proceso, usando

métodos clásicos en el plano-z. En una primera fase es necesario determinar ( )G z a

partir del modelo continuo del proceso: ( )pG s , utilizando métodos de transformación

o de discretización [ReySoto06].

2. Método indirecto: En el diagrama de la figura 5.1, utilizando métodos clásicos en el

plano-s, es posible diseñar ( )cG s a partir del modelo continuo del proceso ( )pG s .

Una vez obtenido ( )pG s se desarrolla su equivalente discreto ( )D z usando métodos

de transformación o de discretización [ReySoto06].

El método directo se aplica generalmente cuando el controlador no existe y se debe diseñar

por primera vez. Los métodos de diseño utilizando esta estrategia se presentarán en el

capítulo 6; sin embargo, antes será necesario desarrollar el modelo equivalente discreto del

proceso ( )G z , de lo cual nos ocuparemos con detalle en este capítulo. El método indirecto

tiene aplicación práctica cuando ya existe el controlador analógico y se desea sustituirlo por

uno digital. El diseño del controlador usando esta estrategia se presentará en el capítulo 6,

donde se evaluará el efecto del convertidor D/A en la forma final del controlador ( )D z .

El problema de diseño del controlador digital

La EED presentada en (5.8) puede considerarse como el modelo elemental de un filtro

discreto LIT, que usualmente se reconoce como un filtro digital . El diseño de este filtro

implica algo más que la simple determinación de los coeficientes ia y ib de la EED, tal

como sucede en el diseño del filtro continuo. En nuestro caso, existen un conjunto de


elementos adicionales que deben ser tomados en cuenta. En este sentido podemos

establecer dos fases a considerar en el diseño del controlador digital: Aspectos básicos del diseño:

1. Seleccionar el orden-n del sistema que corresponde al orden de la EED, el cual depende

del grado de exactitud y la complejidad del modelo a lograr.

2. Determinar los coeficientes ia y ib de la EED, que satisfagan las especificaciones de

diseño del filtro digital.

3. Seleccionar el intervalo de integración T para lograr una adecuada representación del

modelo discreto del sistema. Este valor se reconocerá más adelante como el período de

muestreo del sistema de control digital y su efecto en el comportamiento del sistema

será analizado con detalle en este capítulo.

Aspectos complementarios:

1. Seleccionar el tamaño adecuado de la palabra digital para minimizar los errores de

redondeo y truncamiento, en el proceso de almacenamiento interno del µC.

2. Controlar y eliminar el ruido digital generado durante la fase de implementación del

algoritmo de control (errores de redondeo y cuantización). Un caso especial ocurre en

la implementación de la acción derivativa del controlador PID.

5.2 SISTEMAS DE CONTROL DE DATOS MUESTREADOS

En la sección 5.1 se demostró que la función de transferencia discreta (FTD) es un modelo

adecuado para evaluar la respuesta dinámica de un sistema discreto, utilizando como

herramienta básica la transformada Z. En esta sección se desarrollará el modelo del

sistema de control de la figura 5.3, en el que intervienen señales obtenidas por muestreo de

una señal continua, reconocido como sistema de datos muestreados. Aunque en esencia

este sistema es discreto, la evaluación del efecto del muestreo de la señal de error ( )e t ,

realizado por el convertidor A/D y de la reconstrucción de la señal de control ( )m kT

realizada por el convertidor D/A, permitirá demostrar que no es posible aplicar el modelo

de FTD. Este análisis conducirá a la transformada estrella de Laplace (TEL) como modelo

del sistema de datos muestreados.

Muestreo y reconstrucción de una señal

Las aplicaciones prácticas del control digital utilizan el procesamiento digital de una señal

continua ( )x t para someterla a dos acciones fundamentales: muestreo y reconstrucción. El

muestreo es realizado por el convertidor A/D de la figura 5.3, para transformar la señal

continua ( )e t en una señal muestreada ( )e kT , que luego es sometida a un proceso de


cuantización para obtener la señal digital ( ) ( )e k e kT≡ . Esta señal digital al ser procesada

por el microcontrolador genera como respuesta otra señal digital ( ) ( )m k m kT≡ . La salida del procesador es la señal de muestreada ( )m kT , que es reconstruida por el

convertidor D/A de la figura 5.3 para transformarla nuevamente en una señal continua

( )m t , de modo que pueda ser aplicada a los dispositivos analógicos finales. En esencia, el

sistema de control de datos muestreados se pueden identificar tres tareas fundamentales:

- muestreo de la señal de error ( )e t para obtener la señal muestreada ( )e kT

- procesamiento de la señal ( )e kT para obtener la señal ( )m kT

- reconstrucción de la señal de control ( )m t a partir de la señal muestrea ( )m kT Para modelar el muestreo y reconstrucción de una señal continua se recurre al dispositivo

M-R (muestreador-retensor) mostrado en la figura 5.7, en la cual se ha omitido por el

momento el microcontrolador de la figura 5.3. Para simular el muestreo de la señal

continua ( )x t realizado por el convertidor A/D, se utiliza un interruptor lógico que

permanece abierto un tiempo T y cerrado un tiempo 0t . El convertidor D/A es simulado por

el retensor que procesa la señal muestreada *( ) ( )x t x kT≡ para obtener la señal

reconstruida ɵ( )x t , donde se espera que ɵ( ) ( )x t x t≈ .

La figura 5.8 presenta la salida probable del muestreador donde la señal *( )x t es ahora un

tren de pulsos de duración 0t y período T. Se logra así una representación aproximada

( ) *( )x kT x t≈ de la señal muestreada, que se puede mejorar en la medida en que 0t T<< .

Figura 5.7 Dispositivo M-R para simular el muestreo y reconstrucción de una señal.

Figura 5.8 Señal muestreada como un tren de pulsos.

*( )x t ɵ( )x t RETENSOR

( )x t

T

Dispositivo M-R

0t


Una primera aproximación de la característica operacional del retensor se muestra en la

figura 5.9, donde la reconstrucción se consigue manteniendo constante el último valor

muestreado mientras dure abierto el interruptor lógico de la figura 5.8. La señal

reconstruida ɵ( )x t se aproximará más a la señal ( )x t en la medida en que el período de

muestreo T sea pequeño. Sin embargo, esto afecta la aproximación de la señal muestreada

de la figura 5.8, ya que exige un valor aún más pequeño de 0t para que *( ) ( )x t x kT≈ .

Transformada estrella de Laplace

Como la señal reconstruida ɵ( )x t es continua por intervalos, es necesario recurrir al uso de

la transformada de Laplace. Para esto expresamos ɵ( )x t como

ɵ( ) (0)[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( 2 )]x t x u t u t T x T u t T u t T= − − + − − − +⋯ (5.10)

Llevando la ecuación (5.10) al dominio-s, obtenemos

21( ) (0) ( ) (2 )

sTsT sTe

X s x x T e x T es

−− −−

= + + + ⋯

Expresando el término entre corchetes como una sumatoria, la salida del retensor es

0

1( ) ( )

sTksT

k

eX s x kT e

s

− ∞−

=

−= ∑ (5.11)

Como la sumatoria solo depende de los valores de *( ) ( )x t x kT= y al evaluarla resulta un

función en el dominio-s, puede expresarse como

0

*( ) ( ) ksT

k

X s x kT e∞

−

=∑≜ (5.12)

Esta expresión se define como la transformada estrella de Laplace (TEL) de la señal

muestreada *( ) ( )x t x nT= . Sustituyendo (5.12) en (5.11), obtenemos

1( ) *( )

sTeX s X s

s

−−= (5.13)

Figura 5.9 Señal muestreada como un tren de pulsos.


Asociando (5.13) con la figura 5.8, la función de transferencia del retensor es

0

1( )

sTeG s

s

−−= (5.14)

conocido como retensor de orden-0 (ZOH). Las expresiones anteriores son suficientes para

lograr un primer modelo del dispositivo M-R en el dominio-s, mostrado en la figura 5.10.

Para desarrollar el modelo del muestreador asumimos que la señal ( )x t es sometida a un

proceso de modulación por impulsos, como se muestra en la figura 5.11. Este modelo es

solo una aproximación ideal del modelo original considerado en la figura 5.9, ya que ahora

la señal muestreada se representa por un tren de impulsos, en lugar de un tren de pulsos. Sin

embargo, a continuación se demostrará que este modelo ideal del muestreador es suficiente

para lograr el modelo del dispositivo M-R.

A partir de este modelo ideal del muestreador, podemos expresar *( )x t como

[ ]0

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )T

k

x t x t t x t t kT x t t t T t T∞

== ⋅δ = ⋅ δ − = ⋅ δ + δ − + δ − +∑ ⋯ (5.15)

Aplicando la propiedad de muestreo de la señal impulso [Strum00] o [ReySoto07]

*( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 )x t x t x T t T x T t T= δ + δ − + δ − +⋯

Llevando la expresión anterior al dominio-s, obtenemos

2

0

*( ) (0) ( ) (2 ) ( )sT sT ksT

k

X s x x T e x T e x kT e∞

− − −

== + + + =∑⋯ (5.16)

*( )X s ( )X s 1 sTe

s

−−

( )X s

T

Figura 5.10 Modelo del dispositivo M-R.

( )x t *( )x t

( )T tδ

X

Figura 5.11 Modelo ideal del muestreador.


Se logra así la misma expresión (5.12) como señal de salida del muestreador y como

entrada del retensor. Luego, el modelo ideal del muestreador como un tren de impulsos, es

compatible con el modelo aproximado del retensor propuesto en la figura 5.9.

Resumiendo, el modelo de la figura 5.10 representa con propiedad las operaciones de

muestreo y reconstrucción del sistema de datos muestreados, donde *( ) *( )X s x t↔ se

define como la transformada estrella de Laplace. Si *( )x t tiene discontinuidades en

t kT= se deberá tomar el valor *( )x t+ en la evaluación de *( )X s .

Métodos para evaluar la TEL

Aunque es posible aplicar la definición (5.12) para evaluar la transformada estrella de

Laplace (TEL) de una señal muestreada, existen formas más prácticas basadas en

- método de equivalencia con la transformada Z

- método de residuos modificado

El método de equivalencia se basa comparar la definición de la TEL dada en (5.12) con la

definición (C.3) de la transformada Z. En efecto, se observa que existe la relación

*( ) ( ) sTz eX s X z == (5.17)

donde la expresión sTz e= se reconoce como la regla de transformación en el sentido de

que permite establecer la relación *( ) ( )X s X z↔ entre la señal muestreada *( )x t en el

dominio-s y su equivalente en el dominio-z. Como ( )X z se logra por transformación de *( )X s , se reconocerá en adelante como el

modelo equivalente en el dominio-z de *( )x t . Esto permite formular la relación

*( ) ( )x t X z↔ para una señal muestreada y establecer una diferencia conceptual con la

relación ( ) ( )x k X z↔ , donde ( )X z es simplemente la TZ de la señal discreta ( )x k .

Ejemplo 5.1: Evaluar la TEL de señal 2( ) 5 tx t e−= , asumiendo 0.5T s= .

Solución: Muestreando la señal ( )x t , obtenemos 2( ) 5 nTx nT e−= . Aplicando la tabla C.1

2 0.5 1

5 5( )

1 0.3679

zX z

z e z− × −= =− −

Aplicando la transformación sTz e= para 0.5T s= , obtenemos

TEL de una señal continua arbitraria.


0.5

1*( )

1 0.3679 sX s

e−=−

El resultado del ejemplo 5.2 muestra que la TEL de una señal muestreada es una fracción

no racional, que puede presentar dificultades en su manipulación algebraica. El método de residuos modificado [Kuo92] permite obtener directamente el modelo

equivalente discreto ( )X z de la señal muestreada *( )x t a partir del modelo ( )X s de la

señal continua ( )x t . En este método ( )X z se expresa como la suma de los residuos

evaluados a partir de lo polos de ( )X s , como:

1 ( )

( ) ( )n

sTi polos X s

zX z X s

z e==

−∑Residuos (5.18)

Según la forma de estos polos pueden ocurrir 2 casos: Caso 1: Polos simples, reales o complejos

( ) ( ) ( )i

i i sTs s

zR z s s X s

z e =

= −−

(5.19)

Caso 2: Polos múltiples, reales o complejos

1

1

1( ) ( ) ( )

( 1)!i

mm

i im sT

s s

d zR z s s X s

m ds z e

−

−=

= − − − (5.20)

Ejemplo 5.2: Obtener la TZ equivalente de una señal muestreada *( )y t con 0.1T s= , si

1( )

( 1)( 2)Y s

s s=

+ +

Solución: Aplicando (5.19) para los 2 polos simples, obtenemos

110.1

1( )

( 2) 0.9048sTsT

z zR z

s z e z=−=

= =+ − −

220.2

1( )

( 1) 0.8187sTsT

z zR z

s z e z=−=

−= =+ − −

Sumando estos residuos obtenemos finalmente,

Método de residuos modificado con polos simples.


0.0861

( )0.9048 0.8187 ( 0.9048)( 0.8197)

z z zY z

z z z z= − =

− − − −

Ejemplo 5.3: Obtener el modelo equivalente discreto de una señal muestreada *( )x t , para

0.1T s= , asumiendo que la TL de ( )x t viene dada por

2

1( )

( 1)X s

s s=

+

Solución: Existen 2 polos, uno simple en 1 1p = − y otro en 2 0p = con multiplicidad

2m = , que generan 2 residuos: 1( )R z y 2( )R z . Aplicando (5.19) para el polo

real simple obtenemos

1 210.1

1( )

0.9048sTsT

z zR z

s z e z=−=

= =− −

Para el polo múltiple aplicamos (5.20)

2 2 200.1

1 0.1 ( 1.1)( )

1 1 ( 1) ( 1)sTsT

d z z z z zR z

ds s z e z z z==

− − = = + = − + − − − −

Sumando los 2 residuos

2

0.0048374 ( 0.9672)( )

( 1) ( 0.9048)

z zX z

z z

+=− −

De este modo se puede decir que existen dos modelos para el análisis de una señal

muestreada *( )x t : la TEL *( )X s en el dominio-s y la TZE ( )X z en el dominio-z. Para

facilitar el cálculo de ( )X z , se desarrolló la función especial residuosm() en MATLAB ®,

cuya descripción se presenta en el apéndice B. Su sintaxis es:

Xz = residuosm(Xs,T)

Introduciendo el nombre de esta función se consigue ayuda y un ejemplo demostrativo.

Aplicando al ejemplo 5.4:

» Xs=zpk([],[0 0 -1],1); T=0.1, Xz= residuosm(Xs,T)

Zero/pole/gain:

0.0048374 z (z+0.9672) ---------------------- (z-0.9048) (z-1)^2

Método de residuos modificado con polos múltiples


Sampling time: 0.1

Aplicabilidad y limitaciones del modelo de la TEL y la TZE

El modelo *( )X s y su equivalente ( )X z son suficientes para modelar la relación entre la

señal continua ( )e t y la señal reconstruida ( )e tɵ , formulada a través del dispositivo M-R.

Sin embargo, presentan las siguientes limitaciones:

1. Los dos componentes del dispositivo M-R mostrados en la figura 5.10 no modelan

ningún elemento físico. Simplemente permiten formular con un cierto grado de

aproximación la relación entre la señal continua ( )X s y la señal reconstruida ( )X s .

2. Aunque la señal *( )X s permite interconectar los modelos del muestreador ideal y del

retensor, tiene el inconveniente de que su expresión en el dominio-s no es una

fracción racional y por lo tanto su manipulación algebraica es compleja.

3. Este problema se supera si en lugar del modelo *( )X s se utiliza su modelo

equivalente ( )X z , que sí es una fracción racional.

4. Sin embargo el modelo equivalente ( )X z solo permite obtener valores de la señal

reconstruida ɵ( )x t en los instantes de muestreo, es decir ɵ( )x kT .

Para obtener valores entre intervalos de muestreo se puede utilizar el método de la

transformada de Laplace que será presentado en la sección 5.4. Existen otros métodos para

evaluar la respuesta entre intervalos de muestreo [ReySoto06] como la transformada Z

modificada y el modelo de estado, que están fuera del alcance de este libro.

Espectro de frecuencia de la señal muestreada

Aplicando la propiedad de convolución de la transformada de Fourier a la señal

*( ) ( ) ( )Tx t x t t= ⋅δ de la figura 5.11, se puede demostrar [ReySoto07] que su espectro es

1

*( ) ( )m

k

X j X j jkT

∞

=−∞ω = ω − ω∑ (5.21)

donde 2 /m Tω = π es la frecuencia de muestreo en [rad/s]. Interpretando (5.21) se

desarrolló la figura 5.12, la cual permite reconocer que el muestreo de una señal continua

( )x t de banda limitada con espectro aperiódico ( )X jω , genera la señal ( )x kT con

espectro periódico con período 2 /m Tω = π , siendo mω la frecuencia de muestreo en rad/s

y T el período de muestreo en segundos.

Figura 5.12 Espectro de frecuencia de una señal muestreada.

ω

( )X ω

B−ωBω

A

mω

m−ω

ω

*( )X ω

B−ω Bω

A/T

½ mω

½ m− ω

T


De acuerdo con la figura 5.12, la reconstrucción de una señal muestreada en el dominio-ω

se reduce a un proceso de filtrado para eliminar los componentes armónicos por encima de

la frecuencia ½ mω . En efecto utilizando el filtro pasa-bajo ideal mostrado en la figura 5.12,

con amplitud T y ancho de banda ½ mω debería ser posible recuperar el espectro ( )X jω de

la señal continua, a partir del espectro *( )X jω de la señal muestreada. Sin embargo, para lograr la recuperación de la señal muestreada el ancho de banda Bω de

la señal a muestrear debe ser inferior al ancho de banda ½ mω del filtro ideal. Esta

condición se reconoce como el teorema de muestreo, que se formula así: Definición 5.1: Teorema de muestreo Una señal continua ( )x t de banda limitada con ancho de banda Bω , puede

ser reconstruida a partir de su versión muestreada *( ) ( )x t x nT= , si la

frecuencia de muestreo mω es superior al doble de Bω , es decir: 2m Bω > ω (5.22)

Definición 5.2: Frecuencia de Nyquist La frecuencia de Nyquist se define como

½N mω ω≜ (5.23)

y representa el ancho de banda del filtro ideal de la figura 5.12. En relación

con el teorema de muestreo, es la máxima frecuencia que puede estar

contenida en una señal muestreada *( )x t de ancho de banda Bω , para

poder recuperar la señal continua ( )x t . Luego, B Nω < ω .

Si B Nω > ω , se presenta solapamiento entre los espectros de los armónicos, tal como se

muestra en la figura 5.13, siendo imposible recuperar la señal muestreada. Esta situación se

reconoce como el efecto de aliasing de la señal reconstruida en el dominio del tiempo.

De las figuras 5.12 y 5.13 se puede concluir que para reconstruir la señal ɵ( )x t a partir de la

señal muestreada *( ) ( )x t x nT= , el retensor de la figura 5.12 debe ser un filtro pasa-bajo,

con ancho de banda N Bω > ω , siendo Bω es el ancho de banda de la señal continua ( )x t .

ω

*( )X ω

A/T

½ mω½ m− ω

Figura 5.13 Efecto de solapamiento en el espectro de una señal muestreada.


En aplicaciones prácticas se recomienda la selección de la frecuencia de muestreo como (10 20)m Baω ≈ ×ω (5.24)

La magnitud de la frecuencia mω puede estar limitada por los componentes del sistema de

control, particularmente por el efecto de calentamiento de los convertidores A/D y D/A

mostrados en la figura 5.3. En estos casos se puede recurrir a un filtro antialiasing o filtro

guardián con el objeto de reducir el ancho de banda de la señal continua ( )x t , antes de

someterla al proceso de muestreo.

Respuesta de frecuencia del retensor

Evaluando (5.14) para s j= ω es posible comprobar que el retensor de orden-0 (ZOH) es

un filtro pasa-bajo con amplitud T y ancho de banda ½N mω = ω . Evaluando

/ 20

1 ( / 2)( )

/ 2

j Tj Te sen T

G j T ej T

− ω− ω− ωω = =

ω ω

Sustituyendo / 2 / mTω = πω ω , obtenemos para la respuesta de magnitud

0

( / )| ( )|

/m

m

senG j T

πω ωω =πω ω

(5.25)

y para la respuesta de fase

0

0, ( / ) 0( ) ,

, ( / ) 0m

mm

senH j

sen

πω ω >πω∠ ω = − + ϕ ϕ = π πω ω <ω (5.26)

A partir de (5.25) y (5.26), para T=0.1s, se obtuvo la RDF mostrada en la figura 5.29.

Figura 5.15 Respuesta de frecuencia del retensor ZOH.


Para efecto de comparación, la figura 5.15 incluye la característica del filtro ideal de la

figura 5.12. A continuación se presenta un análisis de las características más importantes

que se derivan de esta respuesta de frecuencia:

1. La respuesta de magnitud del ZOH corresponde a un filtro pasa-bajo real con ancho

de banda 10Nω = π y amplitud 0.1A = , característica requerida para que el retensor

pueda recuperar la señal muestreada.

2. La fase negativa del ZOH reduce la estabilidad del sistema.

3. Disminuyendo el período de muestreo T se puede reducir el efecto desestabilizador.

La selección de mω usando el criterio formulado en (5.24) favorece esta condición.

4. Desde el punto de vista práctico la mayor parte de los convertidores D/A se

comportan como un ZOH.

Correspondencia entre el plano-s y el plano-z

En los párrafos anteriores se demostró que una señal continua ( )x t con espectro de

frecuencia aperiódico, al ser muestreada se produce una señal ( )x nT cuyo espectro es

periódico, con período 2 /m Tω = π , siendo mω la frecuencia de muestreo en rad/s. En este

párrafo se analizará el efecto de la periodicidad de *( )X s , desde el punto de vista de la

correlación entre los puntos del plano-s y el plano-z. Si partimos de la regla de transformación sTz e= que se aplicó en (5.17) para pasar del

plano-s al plano-z y considerando en principio los puntos sobre el eje imaginario, s j= ω

( )

01Ts j T j T jz e e e eσ+ ω ω Ω

σ== = = = = ∠Ω (5.27)

Luego los puntos sobre el eje-jω se transformarían en puntos sobre el círculo unitario, tal

como se muestra en la figura 5.16.

c

b

a x

j y

π/T

− π/T

3π/T

− 3π/T

σ

jω

Transformación varios-a-uno

Tsz ε=

Figura 5.16 Correspondencia entre el plano-s y el plano-z.


Sin embrago, evaluando la ecuación (5.27) para TΩ = ω en el intervalo [0, ]π , obtenemos

=0

: 1 0º 0,

: 1 90º /2 / 2 /4

: 1 180º / /2m

m

punto a z

punto b z T

punto c z T

= ∠ Ω = ω= ∠ Ω = π ω = π = ω= ∠ Ω = π ω = π = ω

(5.28)

Por lo tanto, los puntos de *( )X s en el intervalo [0, / ]Tπ se transforman sobre la parte

superior del círculo unitario. Los puntos para / 2m Nω > ω = ω se solapan sobre el círculo

unitario, debido a la periodicidad de je Ω , tal como se muestra en la figura 5.16.

Propiedades de la transformada estrella de Laplace

El resultado anterior permite identificar un conjunto de propiedades de la TEL, asociadas

con la periodicidad del espectro de la señal muestreada. Sustituyendo j sω = en (5.21)

obtenemos una expresión equivalente de *( )X jω en el dominio-s

1

*( ) ( )m

k

X s X s j kT

∞

=−∞= + ω∑ (5.29)

La ecuación (5.29) permite reconocer dos propiedades de *( )X s :

P1. *( )X s es periódica con período mjω , es decir *( ) *( )mX s X s j k= ± ω

Esta propiedad se puede demostrar usando la definición (5.12) de la TEL

( )

0

*( ) ( ) mnT s j k

m

n

X s j k x nT e∞

− ± ω

=± ω =∑ (5.30)

Evaluando la expresión anterior para 2 /m Tω = π

( ) 2 1 2mnT s j k nTs j kn nTs nTse e e e kn e− ± ω − π − −= ⋅ = ⋅ ∠ π =∓ ∓

Sustituyendo esta expresión en (5.30) obtenemos

0

*( ) ( ) *( )nTs

m

n

X s j k e nT e X s∞

−

=± ω = =∑

De acuerdo con este resultado, *( )X s es periódica en el plano-s, con período ωm.

P2. Si ( )X s tiene un polo en oss = , *( )X s tendrá polos en o ms s j k= ± ω , 0, 1, 2,k = …

Esta propiedad puede demostrarse desarrollando (5.29)

1

*( ) [ ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ]m m mX s X s j X s X s j X s jT

= + − ω + + + ω + + ω +⋯ ⋯ (5.31)

Si ( )X s tiene un polo en 1s p= , cada término de *( )X s en (5.31) contribuirá con un

polo en 1 ms p j k= ± ω , para 0,1,2,k = ∞… .


5.3 MODELO DEL SISTEMA DE DATOS MUESTREADOS

En la sección anterior se demostró que utilizando el dispositivo M-R es suficiente para

analizar las características que se derivan del muestreo y reconstrucción de una señal. En esta

sección se utilizará este dispositivo para desarrollar un modelo para la representación del

sistema de datos muestreados en el dominio-z, a través del cual es posible evaluar su

comportamiento dinámico en lazo abierto y en lazo cerrado, ante una entrada arbitraria.

Función de transferencia de pulsos

Consideremos el sistema de la figura 5.17, en la cual se muestra el dispositivo M-R, en

cascada con el modelo continuo del proceso ( )pG s de un sistema de control de datos

muestreados, donde ( )E s es la señal de error.

Considerando el bloque ZOH y ( )pG s como ( )G s , la salida ( )Y s puede expresarse como

( ) ( ) *( )Y s G s E s= ⋅ (5.32)

Esta expresión es especial porque es el producto de una función aperiódica ( )G s y una

función periódica *( )E s . Tomando la transformada estrella de Laplace (TEL) de los dos

miembros y aplicando la integral de convolución (5.29)

* * * *1( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m

n

Y s G s E s G s jn E s jnT

∞

=−∞

= ⋅ = + ω ⋅ + ω ∑

Aplicando la propiedad P1 de periodicidad de la TEL, *( ) *( )mE s jn E s+ ω = y como

*( )E s no depende de la sumatoria, obtenemos

1

*( ) *( ) ( ) *( ) *( )m

n

Y s E s G s jn E s G sT

∞

=−∞

= ⋅ + ω = ⋅∑ (5.33)

Comparando (5.32) con (5.33) se observa que si en un producto de dos funciones uno de

los factores está estrellado, es posible llevar toda la expresión al dominio-s*. De este modo

la función *( )G s permite establecer la relación entre la entrada-salida *( ) *( )E s Y s→ del

bloque punteado de la figura 5.17. A partir de (5.33) definimos

*

*

*

( )( )

( )

Y sG s

E s≜ (5.34)

*( )E s ( )E sZOH

( )E s

T ( )pG s

( )Y s

( )G s

Figura 5.17 Sistema de control de datos muestreados.

5.4 – MODELO DE SISTEMAS DE CONTROL DISCRETOS 5 - 19

como la función de transferencia de pulsos (FTP) del sistema mostrado la Figura 10.14.

Definición 5.3: Función de Transferencia de Pulsos La función de transferencia de pulsos (FTP) es la relación entre la TEL de

la salida y la TEL de entrada, de un sistema cuya entrada es muestreada.

Usando la transformación (5.17) puede expresarse en el dominio-z, como

( )

( )( )

Y zG z

E z≜ (5.35)

que se reconoce como el modelo discreto equivalente de *( )G s .

El nombre dado a *( )G s es para hacer referencia a que el modelo la señal de entrada

*( )E s se logra mediante la modulación por pulsos. Usando (5.34) y (5.35) se llega al

modelo equivalente del sistema de datos muestreados mostrado en la figura 5.18.

El muestreador ficticio mostrado en la salida del bloque ( )G s se usa para reconocer que el

modelo FTP permite obtener solo los valores de *( ) ( )y t y nT= . La expresión equivalente

de la salida en el dominio-z, de acuerdo con (5.35) es ( ) ( ) ( )Y z G z E z= , donde

y *( ) ( ) ( ) ( )sTz e

G z G s E z E s=

= =Z (5.36)

Considerando que G(s) en (5.36) incluye la FT del ZOH, usando (5.14) podemos escribir

1( ) ( ) ( )

sT

p

eG z G s G s

s

− −= = ⋅

Z Z

Interpretando el término sTe- como el atraso de una muestra en el dominio-z, obtenemos

1( )

( ) (1 )pG s

G z zs

− = − ⋅

Z (5.37)

Según la figura 5.18, la aplicación de (5.37) establece una condición implícita, en el sentido

de que la señal de entrada al bloque G(s) debe estar muestreada para que existe la FTP. La

expresión Z puede evaluarse utilizando uno de los siguientes métodos:

1. Método de residuos modificado.

2. Función especial residuosm de MATLAB .

( )G z ( )Y z ( )E z ( )Y s

( )G s

*( )E s ( )E s

T *( )Y s

T

Figura 5.18 Modelo discreto equivalente del sistema de datos muestreados.


Ejemplo 5.4: Obtener modelo discreto equivalente del sistema mostrado en la figura 5.16,

asumiendo 0.1T s= y que el proceso está modelado por

1

1)(

+=

ssG p

Solución: Aplicando (5.37)

)()1()1(

1)1()( 1

11 zGzss

zzG ⋅−=

+⋅−= −−Z

Para evaluar 1( )G z utilizamos (5.19) del método de residuos modificado

1 20 10.1 0.11

1 1( ) ( )

1 1 0.9048sT sTs sT T

z z z zR z R z

s z e z s z e z= =−= =

−= ⋅ = = ⋅ =+ − − − −

Sumando los dos residuos y sustituyendo en la expresión de ( )G z

1 0.095163 0.095163( ) (1 )

( 1)( 0.9048) 0.9048

zG z z

z z z

−= − ⋅ =− − −

Utilizando la función especial residuosm() obtenemos

» G1s=zpk([],[0 -1],1); T=0.1, G1z= residuosm(G1s,T)

Zero/pole/gain: 0.095163 z ---------------- (z-1) (z-0.9048)

Sampling time: 0.1

» Gz=minreal(tf([1 -1],[1 0],T)*G1z)

Zero/pole/gain: 0.63212 ---------- (z-0.3679)

Sampling time: 0.1 El Toolbox de Control (TBC) de MATLAB incluye la función c2d() para calcular

directamente ( )G z a partir de (5.37). Aplicando al ejemplo 5.5:

» Gz=c2d(Gps,T)

Zero/pole/gain: 0.095163 ---------- (z-0.9048)

Sampling time: 0.1

Modelo equivalente discreto de un sistema de datos muestreados.


Ejemplo 5.5: Evaluar y comparar la respuesta escalón del modelo continuo del proceso

( )pG s y su equivalente discreto ( )G z del ejemplo anterior, donde:

1( ) , 0.5

1pG s ZOH con T s

s= =

+

Solución: Utilizando la función c2d(), el modelo discreto del proceso es:

» Gps=zpk([],-1,1); T=0.5, Gz=c2d(Gps,T)

Zero/pole/gain: 0.39347 ---------- (z-0.6065)

Sampling time: 0.5

La respuesta escalón del modelo continuo es

)1(

11

1

1)()()(

+=⋅

+=⋅=

sssssUsGsY p

Usando la T6 de la tabla B.1

( ) 1 , 0ty t e t−= − ≥

La respuesta escalón del modelo equivalente discreto, usado FPI es

0.3947( ) ( ) ( )

0.6065 1 1 0.6065

z z zY z G z U z

z z z z= ⋅ = ⋅ = −

− − − −

El resultado anterior puede verificarse usando residuez() del TBS

Rz=tf([1 0],[1 -1],T); Yz=Gz*Rz [nYz,dYz]=tfdata(Yz, 'v' ), [R,p,C]=residuez(nYz,dYz)

R = 1.0000 p = 1.0000 C = -1.0000 0.6065 0

Aplicando T2 y T5 de la tabla C.1, considerando que 0.1T = y 1a =

( ) 1 , 0kTy kT e kT−= − ≥

La figura 5.19 muestra la respuesta escalón de los dos modelos.

Respuesta escalón del proceso y su equivalente discreto.

Figura 5.19 Respuesta escalón de un sistema de datos muestreados con un ZOH.


La figura 5.19 muestra que el modelo discreto equivalente ( )G z preserva la forma de la

respuesta escalón y la ganancia DC del modelo continuo ( )pG s . El resultado de la ganancia

DC puede comprobase evaluando las siguientes expresiones:

10

( ) ( )DC p DC zsK G s K G z ==

= = (5.38)

5.4 FUNCION DE TRANSFERENCIA DE PULSOS DE LAZO CERR ADO

En esta sección se utilizará la Función de Transferencia de Pulsos (FTP) para desarrollar el

modelo equivalente ( )T z de un sistema de control de datos muestreados de lazo cerrado, que

incluye varios muestreadores. Se aplicará además el concepto de Función de Transferencia

Discreta (FTD) para desarrollar el modelo discreto ( )D z del controlador digital.

Función de transferencia de pulsos en sistemas de l azo abierto

El concepto de FTP desarrollado en la sección anterior permite reconocer que el dispositivo

M-R establece dos características fundamentales en el desarrollo del modelo del sistema de

datos muestreados. En este sentido se puede demostrar [ReySoto06] que:

1. La presencia del muestreador permite aplicar el concepto de FTP para desarrollar el

modelo equivalente discreto ( )G z del proceso.

2. La presencia del ZOH garantiza que se preserve la respuesta escalón y la ganancia

DC del modelo continuo.

Aplicando los criterios anteriores debe ser posible obtener el modelo equivalente de los 3

casos típicos mostrados en la figura 5.20, que se diferencian por la inclusión o no del

muestreador a la entrada de un bloque.

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

*( )Y s

*( )E s

T

E(s) G1(s)

*( )M s

T

M(s) Y(s) G2(s)

*( )E s

T

E(s) G1(s)

M(s) G2(s)

Y(s) *( )Y s

*( )Y s

E(s) G1(s)

*( )M s

T

M(s) G2(s)

Y(s)

Figura 5.20 Sistemas de datos muestreados de lazo abierto.


Caso 1: Existen dos bloques 1( )G s y 2( )G s conectados en cascada, cada uno con su señal

de entrada muestreada. Como cada bloque tiene muestreada su entrada, es posible

aplicar (5.37) para obtener 1 1( ) ( )G z G s=Z y 2 2( ) ( )G z G s=Z , que quedan

conectados en cascada. La FTP equivalente para la relación ( ) ( )E z Y z→ es

2 1( ) ( ) ( )eG z G z G z= ⋅ (5.39)

Caso 2: Se trata de dos bloques en cascada, donde solo está muestreada la entrada del

primero. Por lo tanto no es posible aplicar el concepto de FTP al segundo bloque.

Sin embargo, agrupando 1( )G s y 2( )G s es posible evaluar

2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )eG z G G z G s G s= = ⋅Z (5.40)

como la FTP equivalente para la relación ( ) ( )E z Y z→ .

Caso 3: Es un sistema donde la entrada del sistema no está estrellada. Aunque se podría

obtener 2 2( ) ( )G z G s=Z , quedaría conectado en cascada con el modelo continuo

1( )G s , que no permite obtener una expresión equivalente de FPT para la relación

( ) ( )E z Y z→ .

Ejemplo 5.6: Obtener la FTP equivalente de los casos 1 y 2 mostrados en la figura 5.20,

asumiendo que los bloques que tienen su entrada muestreada incluyen un ZOH

con 0.5T = sy que la FT de cada uno es:

2

5)(,

1

1)( 21 +

=+

=s

sGs

sG

Solución: En el caso 1, como cada bloque está precedido por un ZOH, podemos calcular

su modelo discreto a partir de (5.37) como

6065.0

3935.0

)1(

1)1()( 1

1 −=

+⋅−= −

zsszzG Z

3679.0

5803.1

)2(

5)1()( 1

2 −=

+⋅−= −

zsszzG Z

El resultado anterior puede verificarse usando c2d() del TBC

» G1s=zpk([],-1,1); G2s=zpk([],-2,5) » T=0.5; G1z=c2d(G1s,T), G2z=c2d(G2s,T)

Zero/pole/gain: Zero/pole/gain:

0.39347 1.5803 ---------- ---------- (z-0.6065) (z-0.3679) Sampling time: 0.5 Sampling time: 0.5

FTP equivalente en sistemas en lazo abierto.


Aplicando (5.39) obtenemos:

)3679.0)(6065.0(

6218.0

3679.0

5803.1

6065.0

3935.0)(

−−=

−×

−=

zzzzzGe

que puede verificarse como

Gez=minreal(G1z*G2z)

Zero/pole/gain:

0.6218 --------------------- (z-0.6065) (z-0.3679) Sampling time: 0.5

En el caso 2, como la entrada ( )E s del sistema está estrellada, debe ser posible

obtener la FTP equivalente. Además como 1( )G s incluye el ZOH, aplicando

(5.40), obtenemos

+×

+×−= −

2

5

)1(

1)1()( 1

ssszzGe Z

Aplicando el método de residuos modificado a los 3 polos reales y simples

100.5

5( ) 2.5

( 1)( 2) 1sTsT

z zR z

s s z z==

= × =+ + − ε −

6065.0

5)2(

5)(

5.01

2 −−=

ε−×

+=

=−= z

z

z

z

sszR

Ts

sT

3679.0

5.2)1(

5)(

5.02

3 −=

ε−×

+=

=−= z

z

z

z

sszR

Ts

sT

Sumando los 3 residuos y sustituyendo en la expresión anterior de ( )eG z

)3679.0)(6065.0(

6065.0(3871.0

)3679.0)(6065.0)(1(

)6065.0(3871.0)1()( 1

−−+=

−−−+×−= −

zz

z

zzz

zzzzGe

Este resultado puede verificarse usando c2d() del TBC

» Ge2z=c2d(G1s*G2s,T)

Zero/pole/gain: 0.38705 (z+0.6065) --------------------- (z-0.3679) (z-0.6065) Sampling time: 0.5


Sistemas de control de lazo abierto incluyendo el c ontrolador digital

El análisis hecho hasta el momento se ha dedicado a evaluar el efecto del dispositivo

muestreador-retensor (M-R) en la respuesta de un sistema de datos muestreados, sin incluir

el controlador. La figura 5.21 muestra un sistema de lazo abierto donde se incluye el

controlado digital, conocido como sistema de control digital directo.

El diagrama anterior representa la rama directa del diagrama de la figura 5.3, donde el

controlador digital es implementado en el µC mediante un algoritmo de control. Como se

demostró en la ecuación (5.6) el algoritmo de control es básicamente una EED que

establece la relación entrada-salida entre dos señales discretas: *( ) *( )e t m t→ o

( ) ( )e k m k→ . Por lo tanto llevando al dominio-z esta relación se obtiene ( ) ( )E z M z→ , a

partir de la cual es posible calcular la función de transferencia discreta (FTD):

( ) ( ) / ( )D z M z E z= , como modelo equivalente del controlador digital. La salida del sistema de la figura 5.19, considerando que el convertidor A/D es un ZOH es

1( ) ( ) ( ) ( ) *( ) ( ) *( )

sT

p p

eY s G s M s G s M s G s M s

s

−−= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ (5.41)

donde *( )M s es la salida del controlador. Asumiendo que ( )D z representa su FTD

)()()( zEzDzM ⋅=

Usando la transformación sTz e= podemos expresar en el dominio-s*, como

*( ) *( ) *( )M s D s E s= ⋅ (5.42)

Sustituyendo (5.42) en (5.41)

( ) ( ) *( ) *( )Y s G s D s E s= ⋅ ⋅

Como existe un solo factor no estrellado, podemos llevar al dominio-s*

*( ) *( ) *( ) *( )Y s G s D s E s= ⋅ ⋅

que finalmente puede representarse en el dominio-z como

( ) ( ) ( ) ( )Y z G z D z E z= ⋅ ⋅ (5.43)

donde ( )G z es el modelo equivalente discreto del proceso, calculado usando (5.37). Con

base en este resultado, la figura 5.22 muestra el modelo equivalente del sistema de control

directo en lazo abierto.

Figura 5.21 Sistema de control digital directo de lazo abierto.

M*(s)

e(t) A/D

y(t) CONTROLADOR

DIGITAL e*(t)

D/A m*(t)

E(s) E*(s) Y(s) )(sM

)(tm GP(s)


En el desarrollo de este modelo, conviene reconocer que

( )G z : Modelo discreto equivalente del proceso

Se calcula a partir de (5.37) con base en el concepto de FTP.

( )D z : Modelo discreto equivalente del controlador digital

Se calcula como una FTD, a partir del algoritmo de control (EED).

La interpretación de este modelo en el dominio-s se muestra en la figura 5.23, donde ( )G s

representa la combinación del ZOH con la función continua del proceso. Por la naturaleza

misma de las señales mixtas (continuas y discretas) que se manejan en este diagrama, se

refiere generalmente como un modelo seudo-continuo del sistema de control de datos

muestreados en lazo abierto.

La única limitación del modelo discreto de la figura 5.22 está en que no es posible llegar a

una expresión de la señal reconstruida ( )m t que se muestra en la figura 5.23. Se puede

demostrar [ReySoto06] que usando el modelo de estado es posible obtener esta señal ( )m t .

Ejemplo 5.7: Obtener la respuesta escalón del sistema de control digital mostrado en la

figura 5.21, asumiendo

1( ) , 0.5

1pG s ZOH con T s

s= =

+

Asumir que el algoritmo del controlador está dado por la siguiente EED

( ) ( ) 0.5 ( 1)m k e k e k= − −

Solución: Aplicando el concepto de FTP el modelo equivalente discreto de ( )pG s es

E(z) D(z)

M(z) G(z)

Y(z) Figura 5.22 Modelo equivalente del sistema de control digital directo de lazo abierto.

e*(t)

T

e(t) D*(s)

m*(t) GP(s)

s

e sT−−1

m(t)

G(s)

y(t)

y*(t)

Figura 5.23 Modelo seudo-continuo del sistema de control digital directo de lazo abierto.

FTP equivalente en sistemas en lazo abierto.


1

2

1 0.3935( ) (1 )

( 1) 0.6065G z z

s s z

− = − ⋅ = + −

Z

Este resultado puede verificarse usando c2d() del TBC

» Gps=zpk([],-1,1); T=0.5; Gz=c2d(Gps,T)

Zero/pole/gain: 0.39347 ---------- (z-0.6065) Sampling time: 0.5

Llevando la EED del controlador al dominio-z obtenemos

1( ) ( ) 0.5 ( )M z E z z E z−= −

Luego, la FTD del controlador es

1( ) 0.5( ) 1 0.5

( )

M z zD z z

E z z

− −= = − =

Combinando ( )G z y ( )D z en el modelo de la figura 5.22 y para entrada escalón

0.3935 0.5 0.3935( 0.5)( )

0.6065 1 ( 1)( 0.6065)

z z zY z

z z z z z

− −= × × =− − − −

Utilizando el método FPI del apéndice C, obtenemos

( ) 0.5 0.1756 0.32441 0.6065

z zY z

z z= − −

− −

que se puede verificar usando residuez() del TBS

» Rz=tf([1 0],[1 -1],T), Yz=minreal(Rz*Dz*Gz); [nYz,dYz]=tfdata(Yz, 'v' ); [R,p,C]=residuez(nYz,dYz)

R = 0.5000 p = 1.0000 C = -0.1756 0.6065 -0.3244

Utilizando la tabla C.1

( ) 0.5 ( ) 0.1756(0.6065) ( ) 0.3244 ( ), 0ky kT u kT u kT kT k= − − δ ≥

Sin embargo, se puede verificar que (0) 0y = . Este resultado se debe a que en

( )Y z la diferencia 1n m− = . Por lo tanto la solución puede presentarse como

1( ) 0.5 0.1065(0.6065) , 1ky kT k−= − ≥

El resultado anterior se puede verificar numéricamente utilizando MATLAB ®

» k=0:10; delta= impud(k); ykT=R(1)+R(2)*(p(2)).^k+C*delta; » ykTs=filter(nYz,dYz,delta);

k ykT ykTs 0 0 0


1.0000 0.3935 0.3935 2.0000 0.4354 0.4354 3.0000 0.4608 0.4608 4.0000 0.4762 0.4762 5.0000 0.4856 0.4856 6.0000 0.4913 0.4913 7.0000 0.4947 0.4947 8.0000 0.4968 0.4968 9.0000 0.4980 0.4980 10.0000 0.4988 0.4988

Función de transferencia de pulsos de lazo cerrado

En este párrafo se demostrará que la ubicación del muestreador es determinante en la

obtención del modelo de un sistema de datos muestreados en lazo cerrado, lo cual

conducirá a la necesidad de desarrollar un método sistemático para el cálculo de la función

de transferencia de pulsos de lazo cerrado (FTPLC) del sistema: ( )T z . Consideremos en principio la forma canónica de control de lazo cerrado mostrado en la

figura 5.24, donde se asume que ( )G s es el modelo continuo de la rama directa, que de

acuerdo a lo señalado en la figura 5.17, es la combinación del ZOH y del proceso ( )pG s .

Por otro lado, ( )H s es el modelo continuo de la rama inversa asociada con el sistema de

medición. Sin pérdida de generalidad en este diagrama se ha omitido nuevamente la

presencia del controlador, que será incluido posteriormente.

En la figura 5.24 la señal de salida del sumador E(s) viene dada por

( ) ( ) ( ) ( )E s R s H s Y s= − ⋅ (5.44)

donde la salida ( )Y s puede expresarse como

( ) ( ) *( )Y s G s E s= ⋅ (5.45)

Sustituyendo (5.45) en (5.44), obtenemos

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )E s R s H s G s E s= − ⋅ ⋅ (5.46)

Llevando al dominio estrellado y agrupando el producto *( ) ( )G s E s⋅

*( )E s

T

E(s) G(s)

Y(s)

*( )Y s

H(s)

+ −

R(s)

− Figura 5.24 Forma canónica del sistema de control de datos muestreados de lazo cerrado.


** * *( ) ( ) ( ) ( )E s R s GH s E s= − ⋅ (5.47)

Despejando *( )E s

*

*

*

( )( )

1 ( )

R sE s

GH s=

+ (5.48)

Llevando (5.45) al dominio estrellado y sustituyendo *( )E s por (5.48), obtenemos

*

* *

*

( )( ) ( )

1 ( )

G sY s R s

GH s=

+ (5.49)

A partir de esta expresión es posible identificar a

*

*

*

( )( )

1 ( )

G sT s

GH s=

+ (5.50)

como la función de transferencia de pulsos (FTP) de lazo cerrado del sistema de la figura

5.24. Como todos los términos en (5.50) están estrellados es posible obtener una expresión

equivalente en el dominio-z, como

( )

( )1 ( )

G zT z

GH z=

+ (5.51)

que se reconoce como la FTP equivalente de lazo cerrado del sistema de la figura 5.24,

donde ( ) ( )G z G s=Z y ( ) ( ) ( )GH z G s H s= ⋅Z . Utilizando (5.51) es posible evaluar la

salida del sistema de lazo cerrado como ( ) ( ) ( )Y z T z R z= ⋅ . Sin embargo, esta expresión

restringe la respuesta a valores en cada instante de muestreo, lo cual se identifica con el

muestreador ficticio de la figura 5.24. El orden seguido anteriormente en el desarrollo de las expresiones algebraicas, facilitó la

obtención del modelo de *( )T s . Sin embargo, en diagramas más complejos es posible que

el resultado no sea tan explícito. En general, si la señal de error ( )E s no está estrellada, tal

como se muestra en la figura 5.25, no es posible obtener la función de transferencia de

pulsos de lazo cerrado (FTPLC).

T

E(s) G(s)

Y(s)

H(s)

+ −

R(s)

*( )Y s

Figura 5.25 Sistema de control de datos muestreados donde no es posible evaluar la FTPLC.


Siguiendo el procedimiento anterior, se puede demostrar [ReySoto06] que

*

*

*

( ) ( )( ) ( )

1 ( )1 ( )

GR s GR zY s Y z

GH zGH s= =

++ (5.52)

A pesar de que esta expresión permite obtener *( )Y s y ( )Y z , no existe forma de calcular la

FTPLC. De modo similar, se existen otras configuraciones típicas [Ogata95] algunas de las

cuales serán consideradas más adelante como parte de los ejemplos a desarrollar.

Procedimiento general para obtener la FTPLC: ( )T z

Los sistemas de datos muestreados en lazo cerrado manejan señales mixtas (continuas y

discretas) y el muestreador puede ser colocado en cualquier lugar del diagrama. Esto puede

resultar en un tratamiento algebraico de cierta complejidad, que generalmente no ocurre en

los sistemas continuos. Lo anterior sugiere una estrategia para garantizar que se llegue a

una expresión de la FTPLC, mediante un procedimiento general. El procedimiento exige la formulación de las relaciones causa-efecto en cada componente

del diagrama de bloques (DB) o del gráfico de flujo de señales (GFS) del sistema de

control, se desarrollen como ecuaciones en forma estándar, dejando del lado izquierdo las

señales de salida y del lado derecho las señales de entrada.

El cálculo de la FTPLC se hará aplicando la fórmula de ganancia de Mason (FGM)

presentada en la sección 1.5. El procedimiento consiste en:

1. Construir el GFS original (GFSO) identificando las señales de entrada y salida. Para esto se considera cada muestreador como un dispositivo abierto, tal como se

muestra en la figura 5.23. El desarrollo del GFSO se logra fácilmente si se consideran

solo las señales de entrada a cada bloque del DB. Como se observa en la figura 5.27,

el GFSO deberá incluir señales mixtas.

Una vez construido el GFSM se deben identificar las señales de entrada y salida.

Como cada muestreador es un dispositivo abierto, la señal muestreada *( )E s se

convierte en una entrada adicional y la señal no muestreada ( )E s es una salida

*( )E s E(s) G(s)

Y(s)

+ −

R(s)

X(s)

−

E(s) *( )E s

X(s)

R(s) Y(s)

−1

Figura 5.27 Representación del muestreador como un dispositivo abierto.


adicional. Por lo tanto, cada muestreador genera en el GFSO un par de nodos

entrada-salida adicionales a los nodos propios del sistema.

2. Formular una ecuación en la forma estándar para cada salida.

Cada ecuación debe expresarse únicamente en función de las entradas del grafo.

3. Obtener la TEL de cada ecuación en la forma estándar. Se aplican las reglas desarrolladas sobre factores estrellados y no estrellados. Al final de esta etapa, todas las ecuaciones deben incluir solo señales estrelladas.

4. Construir el GFS modificado (GFSM) Interpretar cada ecuación estándar estrellada como una relación causa-efecto.

5. Aplicar la FGM para obtener las relaciones E-S del sistema en lazo cerrado.

Ejemplo 5.8: Aplicando el procedimiento anterior, obtener ( )T z para la forma canónica

de la figura 5.21, asumiendo que cada bloque está dado por

1 1( ) , 0.5 ( )

1 2G s ZOH con T s y H s

s s= = =

+ +

Solución: Aplicando el procedimiento propuesto, obtenemos

1. GFSO a partir del DB.

Salidas: ( )Y s , ( )E s

Entradas: ( )R s , *( )E s

2. Ecuación estándar para cada salida.

( ) ( ) *( )

( ) ( ) ( ) ( ) *( )

Y s G s E s

E s R s G s H s E s

= ⋅= − ⋅ ⋅

3. TEL de cada ecuación estándar.

Aplicando la regla sobre factores estrellados, obtenemos:

*( ) *( ) *( )

*( ) *( ) *( ) *( )

Y s G s E s

E s R s GH s E s

= ⋅

= − ⋅

4. GFSM a partir de las ecuaciones estándar estrelladas.

Interpretando gráficamente las dos ecuaciones anteriores

FTP de LC de forma canónica usando procedimiento general.

E(s) *( )E s G(s)

− H(s)

Y(s) R(s)

*( )GH s−

*( )E s *( )G s *( )R s *( )Y s

G(s)

Y(s)


5. FGM para obtener la relación *( ) *( )R s Y s→ A partir del GFSM, obtenemos

*( )*( ) *( )

1 *( )

G sY s R s

GH s= ⋅

+

Expresando en el dominio-z la FTPLC es

)(1

)()(

zGH

zGzT

+=

Se logra así el mismo resultado obtenido en la ecuación (5.50) por el método

algebraico. A partir de (5.37) evaluamos )(zGH para los valores dados

1 1 1 1( ) (1 )

1 2GH z z

s s s

− = − × × × + + Z

Evaluando el término entre corchetes usando residuos modificado

1 0.0774 ( 0.6065)

( 1)( 2) ( 1)( 0.6065)( 0.3679)

z z

s s s z z z

+= + + − − − Z

Sustituyendo en la expresión de ( )GH z , obtenemos

0.0774( 0.6065)( )

( 0.6065)( 0.3679)

zGH z

z z

+=− −

Este resultado se puede verificar usando c2d() del TBC

Gs=zpk([],-1,1), Hs=zpk([],-2,1) GHz=c2d(Gs*Hs,T)

Zero/pole/gain: 0.077409 (z+0.6065) --------------------- (z-0.3679) (z-0.6065) Sampling time: 0.5

Aplicando de (5.37) evaluamos el modelo equivalente del proceso

1 1 0.3935( ) (1 )

( 1) 0.6065G z z

s s z

− = − = + −

Z

que se puede verificar usando c2d() del TBC

Gz=c2d(Gs,T)

Zero/pole/gain: 0.39347 ----------


(z-0.6065) Sampling time: 0.5

Sustituyendo estas dos últimas expresiones en T(z) y simplificando

2

0.3935( 0.3679)( )

0.8970 0.2701

zT z

z z

−=− +

Este último resultado se obtiene utilizando el siguiente comando de MATLAB ®

Tz=minreal(Gz/(1+GHz))

Zero/pole/gain: 0.39347 (z-0.3679) ----------------------- (z^2 - 0.897z + 0.2701) Sampling time: 0.5

En el ejemplo anterior se observa que no es posible aplicar la función feedback() del TBC

para evaluar ( )T z del diagrama de la figura 5.24. Esta función se utilizó en el ejemplo 1.7

para calcular la FT de lazo cerrado ( )T s de la forma canónica del modelo continuo. La

razón se debe a la forma típica del denominador de ( )T z en (5.51).

Se puede demostrar [ReySoto06] que en el caso de la figura 5.28, donde la señal de entrada

al bloque de realimentación está muestreada, la FTPLC viene dada por

( )

( )1 ( ) ( )

G zT z

G z H z=

+ (5.53)

donde sí es posible aplicar la función feedback() para evaluar ( )T z , dado que están

definidas explícitamente ( )G z y ( )H z . La sintaxis es

Tz=feedback(Gz,Hz)

Un caso particular ocurre cuando el sistema tiene realimentación estática o realimentación

unitaria, donde también se puede aplicar esta función para el cálculo de la FTPLC. En el ejemplo 5.12 se demuestra que el procedimiento propuesto es efectivo para obtener la

respuesta *( )Y s y en algunos casos la FTP equivalente ( )T z del sistema de lazo cerrado,

con la limitación de que a partir de *( )Y s se obtendría la respuesta en cada instante de

Figura 5.28 Forma canónica donde es posible aplicar la función feedback() para evaluar ( )T z .

*( )E s

T

E(s) G(s)

Y(s)

H(s)

+ −

R(s)

−

T


muestreo. Sin embargo, el GFSO incluye el nodo ( )Y s que puede usarse para calcular

( )y t , lo cual permitiría obtener valores entre intervalos de muestreo. Esta señal ( )Y s se se

obtiene transmitiendo la señal *( )E s con una ganancia ( )G s . Como la señal *( )E s también

aparece en el GFSM, bastaría incluir una rama auxiliar con ganancia ( )G s para lograr el

valor de ( )Y s , tal como lo muestra en el ejemplo anterior.

Una solución más general consiste en efectuar la interconexión del GFSO y el GFSM para

obtener el modelo general del sistema [Kuo92], tal como se muestra en la figura 5.29, a

través del cual se pueden formulas las siguientes relaciones

*

*

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) 1 ( )

G z G sY z R z Y s R s

GH z GH s= ⋅ = ⋅

+ + (5.54)

De este modo es posible obtener la respuesta discreta ( ) ( )Y z y kT↔ y la respuesta

continua ( ) ( )Y s y t↔ , esta última para evaluar la salida entre intervalos de muestreo.

En los siguientes ejemplos se aplicará el procedimiento propuesto, donde se demostrará que

es posible identificar la rama auxiliar en el GFSM para la evaluación de la respuesta ( )Y s .

Ejemplo 5.9: Determinar la respuesta en LC del siguiente sistema de control en cascada

1 2

1 1 5( ) , 0.1 ( ) , 0.1 ( )

( 1) 2 5G s ZOH con T s G s ZOH con T s H s

s s s s= = = = =

+ + +

Respuesta de un sistema de control de datos muestreados en cascada.

Figura 5.29 Modelo general del sistema de la figura 5.24

*( )GH s−

*( )E s

( )E s *( )E s

*( )G s

( )G s

( )H s−

*( )R s *( )Y s

( )Y s ( )R s

2( )E s

+ − −

2 *( )E s

T 2( )G s

( )Y s

( )H s

+

( )R s 1 *( )E s 1( )E s

1( )G s T




Considerando la señal de entrada a cada bloque

Salidas: ( )Y s , 1( )E s , 2( )E s

Entradas: ( )R s , *1 ( )E s , *

2 ( )E s

2. Ecuaciones estándar.

Para las 3 salidas del sistema y a partir del GFSO, obtenemos

2 2

1 2 2

2 1 1 2 2

( ) *( )

( ) ( ) *( )

( ) *( ) *( )

Y s G E s

E s R s G E s

E s G E s G H E s

= ⋅= − ⋅= ⋅ − ⋅ ⋅

3. TEL de cada ecuación estándar.

Aplicando la regla de factores estrellados y no estrellados

2 2

*2 2 2

2 2 2 2 2

*( ) * *( )

*( ) ( ) * *( )

*( ) * *( ) * *( )

Y s G E s

E s R s G E s

E s G E s G H E s

= ⋅

= − ⋅

= ⋅ − ⋅


La rama auxiliar se obtiene interpretando la primera ecuación no estrellada.

5. FGM para calcular la respuesta *( )Y s del sistema.

1

1

* *2* *

** *2 2

( ) ( )( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

G s G sY s R s

G s G s G H s

⋅=

+ ⋅ +

*2G H−

*2( )E s *

2G *( )R s *( )Y s

2G

( )Y s *2G−

*1G

*1( )E s

H−

1( )E s 2 *( )E s 2G

1−

( )Y s ( )R s 1 *( )E s 1G

2( )E s


Como todos los términos están estrellados podemos obtener el modelo

equivalente en el dominio-z, como

)()()(1

)()()(

221

21

zHGzGzG

zGzGzT

++=

Con ayuda del módulo scejem5p15.m evaluamos )(2 zHG :

)8187.0)(6065.0(

)7919.0(020.0)(2 −−

+=zz

zzHG

Asimismo, para 1( )G z y 2( )G z , obtenemos:

8187.0

0906.0)(

)9048.0)(1(

)9672.0(0048.0)( 21 −

=−−+=

zzG

zz

zzG

Sustituyendo estos valores en la expresión de ( )T z obtenemos:

)5049.0396.1)(9176.0915.1(

)6065.0)(9672.0(00043844.0)(

22 +−+−−+=

zzzz

zzzT

La figura 5.26 muestra la respuesta escalón del sistema de control en cascada. Utilizando la rama auxiliar del GFSM se puede obtener

** 1 2

** *1 2 2

( ) ( )( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

G s G sY s R s

G s G s G H s

⋅=+ ⋅ +

que puede usarse para calcular ( )y t mediante la transformada inversa de

Laplace. El calculo de ( )y t es complejo y será mostrado en el ejemplo 5.17. ------------------------- scejem5p15.m -------------------------

%modelo continuos G1(s), G2(s) y H(s) G1s=zpk([],[0 -1],1), G2s=zpk([],-2,1), Hs=zpk([],- 5,5)

%modelo discretos G1(z), G2(z) y G2H(z) T=0.1; G1z=c2d(G1s,T), G2z=c2d(G2s,T), G2Hz=c2d(G2s *Hs,T)

%FTP de lazo cerrado T(z) Tz=minreal(G1z*G2z/(1+G1z*G2z+G2Hz))

Figura 5.26 Respuesta escalón de sistema de control de datos muestreados en cascada.


%grafico de respuesta escalón...

----------------------------------------------------------------

En este ejemplo el esquema propuesto permitió obtener una forma explícita de la FTP de

lazo cerrado ( )T z . Sin embargo, tal como se muestra en el siguiente ejemplo, no siempre es

posible llegar a una expresión final la FTPLC.

Ejemplo 5.10: Determinar la respuesta en LC del siguiente sistema de control en cascada



Considerando la señal de entrada a cada bloque

Salidas: ( )Y s , 1( )E s

Entradas: ( )R s , *1 ( )E s

2. Ecuaciones estándar

Para la salida ( )Y s , obtenemos

*2 2 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )Y s G E s E s G G E s Y s E s= ⋅ + = ⋅ ⋅ − +

Reconociendo que 1( ) ( ) ( )E s R s Y s= − y despejando ( )Y s , obtenemos

*1 21

2 2

1( ) ( ) ( )

2 2

G GY s R s E s

G G

⋅= ⋅ + ⋅+ +

Para lograr la segunda ecuación usamos la expresión anterior de 1( )E s

*2 1 21 1

2 2

1( ) ( ) ( )

2 2

G G GE s R s E s

G G

+ ⋅= ⋅ − ⋅+ +

Antes de llevar al dominio-s*, efectuamos las siguientes sustituciones

Sistema de control de datos muestreados donde no es posible obtener la FTPLC.

− −

E2(s) G2(s)

Y(s)

+

R(s) E1*(s) E1(s) G1(s)

T + +

+

E1(s) G2

− 1

Y(s) R(s) *1 ( )E s G1 E2(s)

− 1


2 1 21 2

2 2 2

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

G G GR s R s R s R s G s

G G G

+ ⋅= ⋅ = ⋅ =+ + +

con lo cual las 2 ecuaciones estándar se convierten en

* *2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s R s G E s E s R s G E s= + ⋅ = − ⋅

3. TEL de cada ecuación estándar

* * * * * * * *2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s R s G E s E s R s G E s= + ⋅ = − ⋅


5. FGM para calcular la respuesta *( )Y s del sistema.

A partir del grafo anterior, obtenemos para *( )Y s

** * *

2 1*

( )( ) ( ) ( )

1 ( )

G sY s R s R s

G s= + ⋅

+

Con todos los términos están estrellados, su equivalente en el dominio-z es

)()(1

)()()( 12 zR

zG

zGzRzY ⋅

++=

La expresión anterior se evaluaría, calculando

21 2

2 2

1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2

GR z R s R z R s

G G

+= ⋅ = ⋅ + + Z Z

usando residuos modificado, sin incluir el efecto del ZOH. Por otro lado

1 1 2

2

( ) ( )( ) (1 )

2 ( )

G s G sG z z

G s

− ⋅= − + Z

que sí se incluye el efecto del ZOH por estar contenido en 1( )G s . Para construir

la rama auxiliar se tomó la primera ecuación estándar sin estrellar, dada por

*2 1( ) ( ) ( )Y s R s G E s= + ⋅

*( )G s−

*1( )E s *( )G s

*1( )R s *( )Y s

2( )R s

( )G s ( )Y s

*2( )R s


Se observa que en este sistema no es posible obtener la FTP equivalente de lazo

cerrado ( )T z . Esto se debe a la presencia de la rama punteada que se muestra

en el esquema original, la cual transmite directamente una componente

continua a la salida discreta del sistema. Comentarios:

1. En la mayor parte de los casos prácticos se puede llegar a una expresión de *( )Y s y

su equivalente ( )Y z , para evaluar la respuesta en cada instante de muestreo ( )y kT .

2. Sin embargo, no siempre es posible obtener una expresión explícita de la FTP de

lazo cerrado: *( )T s y su equivalente ( )T z .

3. En el GFSM es posible identificar una rama auxiliar para obtener ( )Y s y así evaluar

la respuesta continua del sistema ( )y t . La ecuación estándar no estrellada formulada

para ( )Y s en el paso 3 del procedimiento propuesto, es de gran ayuda en este trabajo.

4. El número mínimo de nodos del GFSO está determinado por

- el número de salidas del sistema y entradas del sistema.

- las señales de entrada a cada bloque que no correspondan a las anteriores.

- el número de muestreadores (2 nodos por cada uno).

5. Los nodos del GFSM son iguales a los nodos del GFSO, menos

- el número de muestreadores

- el número de señales de entrada a bloques no muestreadas

6. Para obtener el equivalente discreto ( ) ( )G z G s=Z puede usarse la función c2d()

de MATLAB , solo en el caso de que ( )G s incluya un ZOH.

7. Si ( )G s no incluye el ZOH deberá aplicarse la función residuosm().

Respuesta entre intervalos de muestreo usando trans formada de Laplace

En los últimos ejemplos se de mostró que utilizando la rama auxiliar, es posible lograr una

expresión de ( )Y s para evaluar la respuesta como 1( ) ( )y t Y s−=L . Esta estrategia se

reconoce como el método de la transformada de Laplace y permite obtener la respuesta

entre intervalos de muestreo, resolviendo así la limitación del método de la TZ, en el

sentido de que solo conduce a valores ( )y kT de la respuesta.

Ejemplo 5.11: Obtener la respuesta escalón ( )y kT y ( )y t del sistema de control discreto de

lazo cerrado unitario mostrado a continuación.

Transformada de Laplace para respuesta entre intervalos de muestreo.

1

( 1)s s +

Y(s)

+

R(s) *( )E sE(s)

−

ZOH T=1


Solución: Se trata de aplicar el método de la transformada Z (TZ) para calcular ( )y kT y

el método de la transformada de Laplace (TL) para ( )y t . a. Solución para ( )y kT .

Utilizando el método de la TZ, para ( ) 1H s = en (5.51), obtenemos

)(1

)()(

zG

zGzT

+=

Para calcular ( )G z aplicamos (5.37) o utilizamos la función c2d()

)3679.0)(1(

)7183.0(3679.0)(

−−+=

zz

zzG

Sustituyendo en la expresión anterior de T(z), obtenemos:

6321.0

)7183.0(3679.0)(

2 +−+=

zz

zzT

Aplicando la función step() como se muestra en el módulo scjem5p17.m,

obtenemos para las primeras 6 muestras de ( )y kT : kT ykT 0 0 1.0000 0.3679 2.0000 1.0000 3.0000 1.3996 4.0000 1.3996 5.0000 1.1470

b. Solución para ( )y t .

Calculamos ( )Y s a partir de (5.54), para ( ) 1H s = :

*

*

( )( ) ( )

1 ( )

G sY s R s

G s= ⋅

+

donde ( )G s viene dada por

1 1( )

( 1)

sTeG s

s s s

−−= ⋅+

Sustituyendo en la expresión de ( )Y s y agrupando términos continuos

(estrellados) y discretos (no estrellados)


*

2 *

*( )

1 ( )( ) (1 )

( 1) 1 ( )sT

A s

R sY s e

s s G s

− = − ⋅ + +

donde el término *( )A s puede ser evaluado a través de su equivalente en el

dominio-z: ( )A z , que para una entrada escalón viene dado por

)(1

1

)(1

)1/()1(

)(1

)()1()( 11

zGzG

zzz

zG

zRzzA

+=

+−⋅−=

+⋅−= −−

Utilizando la expresión de ( )G z que se obtuvo en la parte a., obtenemos

6321.0

)3679.0)(1()(

2 +−−−=

zz

zzzA

Con la función impulse() mostrada en el módulo scjem5p17.m, evaluamos

las primeras 6 muestras del desarrollo en serie de potencias de ( )A z , como

1.0000 -0.3679 -0.6321 -0.3996 -0.0000 0.2526

que permiten expresar a ( )A z como

⋯++−−−= −−−− 5321 2526.03996.06321.03679.01)( zzzzzA

Usando la transformación sTz e= obtenemos la expresión de *( )A s , como:

⋯+ε+ε−ε−ε−= −−−− sssssA 532 2526.03996.06321.03679.01)(*

Finalmente, sustituyendo en la expresión anterior de ( )Y s , obtenemos:

2 3 5

2

1( ) [1 0.3679 0.6321 0.3996 0.2526 ]

( 1)s s s sY s e e e e

s s

− − − −= − − − + ++

⋯

La solución continua ( )y t se consigue evaluado la transformada inversa de

Laplace por intervalos para cada componente, considerando el atraso 1T s= .

0

( 1)1 0

( 2)2 1

( ) 1 , 0 1

( ) ( ) 0.3679[( 1) 1 ], 1 2

( ) ( ) 0.6321[( 2) 1 ], 2 3

t

t

t

y t t e t

y t y t t e t

y t y t t e t

−

− −

− −

= − + ≤ <

= − − − + ≤ <= − − − + ≤ <

⋯

Utilizando estas expresiones, desarrollamos las siguientes ecuaciones

auxiliares para evaluar la respuesta en cualquier intervalo de muestreo.


0 00 1 ( ) ( )t y t a y t≤ < → =

0 1 11 2 ( ) ( ) ( )t y t y t a y t≤ < → = +

0 0 1 1 2 22 3 ( ) ( ) ( ) ( )t y t a y t a y t a y t≤ < → = + +

0 0 1 1 2 2 3 33 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t y t a y t a y t a y t a y t≤ < → = × + + +

0 0 1 1 2 2 3 3 4 44 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t y t a y t a y t a y t a y t a y t≤ < → = + + + + +

donde ka son los coeficientes de ( )A z evaluados anteriormente.

Tabla 5.1 – Respuesta entre intervalos de muestreo

t 0( )y t 1( )y t 2( )y t 3( )y t 4( )y t ( )y t

0.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2 0.0187 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0187 1.0 0.3679 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.3679 1.5 0.3679 0.1065 0.0000 0.0000 0.0000 0.6839 2.0 1.1353 0.3679 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 2.8 1.8608 0.9653 0.2493 0.0000 0.0000 1.3481 3.0 2.0498 1.1353 0.3679 0.0000 0.0000 1.3996 3.3 2.3369 1.4003 0.5725 .0408 0.0000 1.4435 4.0 3.0183 2.0498 1.1353 0.3679 0.0000 1.3996 4.6 3.6101 2.6273 1.6743 0.8019 0.1488 1.2648 5.0 4.0067 3.0183 2.0498 1.1353 0.3679 1.1470

Usando las ecuaciones auxiliares se construyó la tabla 5.1 para valores

arbitrarios de t, donde el resultado final de ( )y t se obtuvo mediante el siguiente

producto matricial:

La gráfica correspondiente se muestra en la figura 5.27.

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0187 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.3679 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.3679 0.1065 0.0000 0.0000 0.0000 1.1353 0.3679 0.0000 0.0000 0.0000 1.8608 0.9653 0.2493 0.0000 0.0000 2.0498 1.1353 0.3679 0.0000 0.0000 2.3369 1.4003 0.5725 0.0408 0.0000 3.0183 2.0498 1.1353 0.3679 0.0000 3.6101 2.6273 1.6743 0.8019 0.1488 4.0067 3.0183 2.0498 1.1353 0.3679

1.0000

− 0.3679 − 0.6321 − 0.3996 − 0.0000

0.0000

0.0187

0.3679

0.6839

1.0000

1.3481

1.3996

1.4435

1.3996

1.2648

1.1470

= ×


------------------------- scejem5p17.m -------------------------

%solución discreta y(kT) Gps=zpk([],[0 -1],1), T=1; Gz=c2d(Gps,T) Tz=feedback(Gz,1), ykT=step(Tz,5*T);

%solución para y(t) Az=1/(1+Gz), ak=impulse(Az,5*T) tk=[0,0.2,1,1.5,2,2.8,3,3.3,4,4.6,5]; y0=(tk-1+exp(-tk)).*(tk>=0); y1=((tk-1)-1+exp(-(tk-1))).*(tk>=1); y2=((tk-2)-1+exp(-(tk-2))).*(tk>=2); y3=((tk-3)-1+exp(-(tk-3))).*(tk>=3); y4=((tk-4)-1+exp(-(tk-4))).*(tk>=4); M=[y0' y1' y2' y3' y4'], [F,C]=size(M); A=ak(1:C); ytk=M*A;

%comandos de graficación...

----------------------------------------------------------------

5.5 RESPUESTA DINAMICA DEL SISTEMA DE CONTROL DISCR ETO

Una vez desarrollado el modelo del sistema de datos muestreados, en esta sección se

desarrollarán herramientas para obtener la respuesta dinámica del sistema ante una entrada

arbitraria. Utilizando estas herramientas se evaluará el efecto del período de muestreo en la

estabilidad relativa del modelo discreto equivalente del sistema de datos muestreados. El

concepto de ecuación característica será fundamental para evaluar una de las componentes

de la respuesta dinámica: la respuesta transitoria. La respuesta permanente, será evaluada

a través del error estacionario, aplicando la estrategia desarrollada en la sección 2.3. Para

facilitar el cálculo de los valores característicos de la respuesta dinámica, se analizará la

correlación que existe entre los puntos del plano-s y puntos del plano-z, utilizando la regla

de transformación sTz e= que se introdujo en la sección 5.3.

Funciones de MATLAB para respuesta dinámica

Antes de iniciar con los ejemplos numéricos, presentaremos en este párrafo los comandos y

funciones de MATLAB ® de uso más frecuente en la evaluación de la respuesta dinámica del

Figura 5.27 Respuesta entre intervalos de muestreo usando la transformada de Laplace.


sistema de datos muestreados, algunas de las cuales han sido aplicadas en los ejemplos del

capítulo 2, para el análisis del sistema continuo. En estas funciones se asume que el modelo

del sistema se ha creado como un objeto LIT en la forma ZPK o TF. Detalles sobre estas y

otras funciones se pueden encontrar en el tutorial de MATLAB ® del apéndice D. Funciones para construir el modelo del sistema:

1. Modelo continuo del proceso: Gps=zpk([zi],[pi],k)

2. Modelo discreto del proceso incluyendo el ZOH: Gz=c2d(Gps,T)

3. Modelo discreto del controlador: Dz=tf(nDz,dDz,T)

4. FTP de lazo cerrado unitario: Tz=feedback(Dz*Gz,1) Comandos para generar gráficos de la respuesta dinámica en tiempo discreto:

1. Respuesta impulso: impulse(Tz); impulse(Tz,kT)

2. Respuesta escalón: step(Tz); kT=(n1:n2)*T; step(Tz,kT)

3. Respuesta rampa: Az=tf(T,[1 -1],T); step(Az*Tz) 4. Respuesta escalón en forma DSP: [ykT,kT]=step(Tz); stem(kT,ykT)

Comandos para generar tabla valores de la respuesta dinámica:

1. Respuesta impulso: [ykT,kT]=impulse(Tz);

2. Respuesta escalón: [ykT,kT]=step(Tz);

3. Respuesta rampa: [ykT,kT]=step(Az*Tz);

4. Ganancia DC (valor permanente de respuesta escalón): Kdc=dcgain(Tz)

Comandos para obtener la forma analítica de la respuesta:

1. Entrada escalón: Rz=tf([1 0],[1 -1],T)

2. Entrada rampa: Rz=tf([T 0],[1 -2 1],T)

3. Respuesta en lazo cerrado: Yz=Rz*Tz

4. Numerador y denominador de Y(z): [nYz,dYz]=tfdata(Yz,'v')

5. Fracciones parciales por el método FPI: [R,p,C]=residuez(nYz,dYz)

Efecto del período de muestreo en la respuesta diná mica

En la sección 5.4 se demostró que la presencia del dispositivo M-R es fundamental para

calcular la función de transferencia de pulsos (FTP) y preservar la forma de la respuesta

dinámica de un sistema de datos muestreados. El siguiente ejemplo permitirá observar el

efecto del período de muestreo en los valores característicos de dicha respuesta. El efecto

se evaluará calculando la respuesta del modelo continuo del proceso ( )pG s y la de su

equivalente discreto ( )G z , en este último a partir del concepto de FTP.

5.5 – RESPUESTA DINAMICA DEL SISTEMA DE CONTROL DISCRETO 5 - 45

Ejemplo 5.12: Evaluar el efecto del período de muestreo en la respuesta escalón del sistema

de datos muestreados del ejemplo 5.11, asumiendo 1T s= y 0.2T s= .

Solución: Para evaluar la respuesta es necesario obtener la función de transferencia de

pulsos de lazo cerrado T(z), para los dos valores de T. Utilizando los comandos

del módulo scjem5p18.m, obtenemos para el modelo continuo y los dos

modelos discretos equivalentes, con 1 1T s= y 2 0.2T s= :

8336.08.1

)9335.0(01873.0)(

6321.0

)7183.0(3679.0)(

1

1)(

22

21

2

−−+=

−−+=

++=

zz

zzT

zz

zzT

sssT

Como el sistema es de lazo cerrado unitario es posible utilizar la función

feedback() para determinar los modelos discretos 1( )T z y 2( )T z . Aplicando

la función step() a estas 3 funciones, se obtiene la gráfica mostrada en la

figura 5.28. Con el apoyo del módulo scjem5p18.m, la tabla 5.2 presenta los

valores característicos de la respuesta dinámica de los tres sistemas.

-------------------------- SCEjem5p18.m ------------------------

%modelos continuos Gp(s) y T(s) Gps=zpk([],[0 -1],1), Ts=feedback(Gps,1)

%modelos discretos del proceso y del sistema en laz o cerrado T1=1; G1z=c2d(Gps,T1), T1z=feedback(G1z,1) T2=0.2; G2z=c2d(Gps,T2), T2z=feedback(G2z,1)

%valores característicos de la respuesta escalón [Mpt,Tss]=valrespt(Ts), Kdcs=dcagain(Ts) [Mpt1,Tss1]=valrespt(T1z), Kdcz1=dcagain(T1z)

Efecto del período de muestreo en la respuesta dinámica.

Figura 5.28 Efecto del período de muestreo en la respuesta dinámica de un sistema de datos muestreados.

T=1s

T=0.2s


[Mpt2,Tss2]=valrespt(T2z) , Kdcz2=dcagain(T2z)

%comandos de graficación...

----------------------------------------------------------------

Tabla 5.2 Valores característicos de la respuesta e scalón

Modelo ptM ssT DCK

Continuo 1.1630 8.1718 1.0000

0.2T s= 1.2061 8.4000 1.0000

1T s= 1.3996 16.0000 1.0000

Los resultados de la tabla 5.2 demuestran el efecto del período de muestreo en el

comportamiento dinámico de un sistema de datos muestreados. Según esto, un valor grande

de T puede afectar considerablemente la estabilidad relativa del sistema (respuesta

transitoria). La ganancia DC (respuesta permanente) no se afecta, por la presencia del

retensor (ZOH). Como se demostrará en las secciones 5.6 y 5.7, en un caso más extremo

podría afectar la estabilidad absoluta del sistema.

Ecuación característica del sistema de datos muestr eados

En la sección 1.5 se introdujo el concepto de ecuación característica (EC) como la

expresión que permite calcular los polos del sistema de control en lazo cerrado, que para el

caso de la forma canónica de lazo cerrado del sistema continuo de la figura 1.25, se

presentó en (1.20) como: 1 ( ) ( ) 0G s H s+ = . Las raíces de esta ecuación determinan la forma

característica de la respuesta transitoria y se reconocen como los polos del sistema en lazo

cerrado. De modo similar, la ecuación característica del sistema de datos muestreados para la forma

canónica de la figura 5.16, tomada como el denominador de la FTLC (5.51), es

1 ( ) 0GH z+ = (5.55)

Para un caso más general de un sistema diferente a la forma canónica, la EC puede ser

obtenida a partir del gráfico de flujo de señales modificado (GFSM), que fue desarrollado

como parte del procedimiento propuesto en la sección 5.4 para evaluar la FT de lazo

cerrado del sistema. En efecto, aplicando la fórmula de ganancia de Mason al GFSM

1

( ) ( )

( )( )

N

k k

k

T z z

T zz

=

⋅ ∆=

∆

∑ (5.56)


Según (5.56) el denominador de ( )T z es el determinante del sistema: ( )z∆ . Luego la

ecuación característica equivalente en el dominio-z de un sistema arbitrario de datos

muestreados, puede evaluarse como ( ) 0z∆ = (5.57)

En el capítulo 7 se podrá identificar una tercera forma de obtener la EC de un sistema de

control de datos muestreados, a partir de su modelo de estado. Los polos del sistema serán

asociados con los autovalores de la matriz de estado A del sistema. De este modo, (5.55) y (5.57) son expresiones alternas para evaluar la EC del sistema,

dependiendo del modelo utilizado para su representación. El procedimiento presentado en

la sección 5.4 es una herramienta válida para obtener la EC de un sistema de datos

muestreados, a partir de (5.57). Los siguientes ejemplos muestran su aplicación.

Ejemplo 5.13: Obtener la EC del sistema de datos muestreados del ejemplo 5.15, cuyo

GFSM se presenta a continuación.

Solución: Aplicando la FGM se puede obtener el determinante del sistema como

1 2 2( ) 1 ( ) ( ) ( )z G z G z G H z∆ = + +

Aplicando (5.57) obtenemos la EC como

1 2 2( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0Q z G z G z G H z= + + =

que es el denominador de ( )T z que se obtuvo en el ejemplo 5.15. Para los

valores dados de 1( )G s , 2( )G s y ( )H s

0.0048( 0.9672) 0.0906 0.020( 0.7919)( ) 1 0

( 1)( 0.9048) 0.8187 ( 0.6065)( 0.8187)

z zQ z

z z z z z

+ += + × + =− − − − −

Simplificando, obtenemos

4 3 2( ) 3.3102 4.0946 2.2474 0.4633 0Q z z z z z= − + − + =

cuyas raíces son 1,2 0.9579 2.14ºp = ±∡ , 3,4 0.7106 10.87ºp = ±∡ . Como todos

los polos están dentro del círculo unitario, el sistema es absolutamente estable.

Ecuación característica a partir del GFSM de un modelo donde existe T(z).

*2G H−

*2( )E s *

2G *( )R s *( )Y s

*2G−

*1G

*1( )E s


-------------------------- scejemp5p19.m -----------------------

%modelos continuos Gp1s=zpk([],-1,1), Gp2s=zpk([],-2,1), Hs=zpk([],-5, 5)

%modelos discretos T=0.1; G1z=c2d(Gp1s,T), G2z=c2d(Gp2s,T), G2Hz=c2d(G p2s*Hs,T)

%ecuación característica y polos del sistema ECz=1+G1z*G2z+G2Hz; Qz=tfdata(ECz, 'v' ) polos=roots(Qz), [magp,fasep]= rec2pol(polos)

----------------------------------------------------------------

Ejemplo 5.14: Obtener la EC del sistema de datos muestreados del ejemplo 5.16, cuyo

GFSM se presenta a continuación.

Asumiendo que

1 2

1 1( ) , 0.1 ( )

1 2G s ZOH con T s G s

s s= = =

+ +

Solución: Como se demostró en el ejemplo 5.16, es un sistema donde no es posible

obtener una expresión para T(z). Sin embargo aplicando la fórmula de ganancia

de Mason al grafo anterior obtenemos el determinante del sistema

)(1)( zGz +=∆

Aplicando (5.57) la EC es entonces

( ) 1 ( ) 0Q z G z= + =

Sustituyendo el valor de ( )G s que se asumió en el ejemplo 5.16, obtenemos

1 2

2

( ) ( )( ) 1 0

2 ( )

G s G sQ z

G s

×= + = + Z

Para los valores dados de 1( )G s y 2( )G s

1 0.5( ) 1 (1 ) 0

( 1)( 2.5)Q z z

s s s

− = + − = + +

Z

donde el factor 1(1 )z−− obedece a la presencia del ZOH en 1( )G s , que además

adiciona un factor en 0s = .

Ecuación característica a partir del GFSM de un modelo donde no existe T(z).

*( )G s−

*1( )E s *( )G s

*1( )R s *( )Y s

*2( )R s


Aplicando el método de residuos modificado al término entre corchetes y

simplificando, obtenemos

2( ) 1.6814 0.7067 0Q z z z= − + =

cuyas raíces o polos del sistema en lazo cerrado son 1 0.8514p = y 2 0.8300p = .

Luego el sistema es absolutamente estable. --------------------------- scejem5p20.m -----------------------

%modelos continuos G1s=zpk([],-1,1), G2s=zpk([],-2,1) Gs=minreal(G1s*G2s/(2+G2s))

%ecuación característica y polos del sistema T=0.1, ECz=1+c2d(Gs,T); Qz=tfdata(ECz,'v'), polos=r oots(Qz)

----------------------------------------------------------------

Efecto del periodo de muestreo en los parámetros de la FT

El resultado del ejemplo 5.18, cuyo resumen se presenta en la tabla 5.2, es suficiente para

demostrar que la selección de un valor adecuado del período de muestreo T es definitiva

para preservar los valores característicos de la respuesta dinámica del sistema de control de

datos muestreados. Sin embargo, también es posible evaluar el efecto de T sobre los

parámetros característicos de la función de transferencia del modelo equivalente discreto

( )T z respecto del modelo continuo ( )T s . Como se demostró en la sección 2.2, estos

parámetros permiten inferir sobre la respuesta dinámica del sistema de control. En este

análisis haremos referencia a los prototipos estándar de primero y segundo orden que se

analizaron en la sección 2.2, que se repiten a continuación

0

0

: ( )1

b kprimer oden T s

s a s= =

+ + τ (5.58)

caracterizada por los parámetros ganancia DC: k y constante de tiempo: τ

2

02 2 2

1 0

: ( )2

n

n n

b ksegundo orden T s

s a s a s s

ω= =+ + + ζω + ω

(5.59)

caracterizada por los parámetros ganancia DC: k, relación de amortiguamiento: ζ y

frecuencia natural: nω . Cuando se evalúa el modelo discreto equivalente T(z) usando el concepto de FTP, estos

parámetros carecen de significado. Sin embargo, es posible conseguir un significado si se

evalúa la correspondencia entre los polos de T(z) y los polos de T(s), mediante la


transformación Tsz e= . Para verificar lo anterior, a partir de los polos iz de T(z) en el

plano-z podemos obtener sus polos equivalentes i es en el plano-s, como

1

( )i e is ln zT

= ⋅ (5.60)

A partir de la parte real e imaginaria de estos polos equivalentes, es posible entonces usar

las expresiones (2.13), (2.15) y el triángulo característico de la figura 2.11 para obtener los

parámetros equivalentes del modelo discreto T(z). Los siguientes ejemplos muestran esta

estrategia como una forma de evaluar el efecto del período de muestreo T en los

parámetros de la FT del modelo discreto T(z).

Ejemplo 5.15: Obtener los parámetros equivalentes del modelo discreto T(z) de un sistema

de datos muestreados de primer orden en lazo cerrado unitario y compararlos

con los parámetros del modelo continuo T(s), asumiendo

sTconZOHs

sG p 1.0y2

4)( =

+=

Solución: Para el modelo continuo en lazo cerrado unitario obtenemos

( ) 4( )

1 ( ) 6

p

p

G sT s

G s s= =

+ +

donde el polo real es s=−6. Aplicando (2.13) y (2.15), obtenemos

0

4 10.6667 0.1667

6 | 6|s

k pu ss =

= = τ = =+ −

Para el modelo equivalente discreto, aplicando (5.37) obtenemos

1 4 0.3625( ) (1 )

( 2) 0.8187G z z

s s z

− = − = + −

Z

Para el sistema discreto en lazo cerrado unitario, aplicando (5.51)

4562.0

3625.0

)(1

)()(

−=

+=

zzG

zGzT

que se constituye en el modelo equivalente discreto de ( )T s , para 0.1T s= ,

cuyo único polo está en 1 0.4562z = . Aplicando (5.60), obtenemos

1(0.4562) 7.8484

0.1i es ln= ⋅ = −

Parámetros equivalentes del modelo discreto de un sistema de primer orden.


Usando (2.13) y (2.15) obtenemos los parámetros equivalentes, como:

1

0.3625 10.6667 0.1274

0.4562 | 7.8484|e e

z

k pu sz =

= = τ = =− −

Del resultado anterior se observa que la constante de ganancia no se altera, por

la presencia del ZOH, mientras que la constante de tiempo presenta un error de:

100 23.55%eerrorτ − τ= × =

τ

------------------------- scejem5p21.m -------------------------

%parámetros del modelo continuo T(s) Gps=zpk([],-2,4); Ts=feedback(Gps,1), si=pole(Ts) tau=1/abs(si), Kdcs=dcgain(Ts)

% parámetros equivalentes del modelo discreto T(z) T=0.1; Gz=c2d(Gps,T); Tz=feedback(Gz,1), zi=pole(Tz ) sie=(1/T)*log(zi), taue=1/abs(sie), Kdcz=dcgain(Tz) error=((tau-taue)/tau)*100

----------------------------------------------------------------

Ejemplo 5.16: Obtener los parámetros equivalentes del modelo discreto T(z) de un sistema

de datos muestreados de segundo orden en lazo cerrado unitario y

compararlos con los parámetros del modelo continuo T(s), asumiendo

y1

( ) 0.1( 1)

pG s ZOH con T ss s

= =+

Solución: Para el modelo continuo en lazo cerrado unitario obtenemos

1

1

)(1

)()(

2 ++=

+=

sssG

sGsT

p

p

La ecuación característica es 01)( 2 =++= sssQ . Luego los polos son:

8660.05.0 jsi ±−=

Interpretando este valor en el triángulo característico de la figura 2.11

0006.1)8667.0()5.0( 22 =+=ωn

º02.60)5.0/8667.0(1 ==β −tg

4997.0)º02.60( ==ζ cos

Parámetros equivalentes del modelo discreto de un sistema de segundo orden.

0.5

β

0.8667

ωn


Para el modelo discreto usando (5.37) obtenemos:

)9048.0)(1(

)9672.0(0048374.0

)1(

1)1()(

2

1

−−+=

+−= −

zz

z

sszzG Z

Luego, la FT discreta equivalente de lazo cerrado unitario es

9095.09.1

)9672.0(0048374.0

)(1

)()(

2 +−+=

+=

zz

z

zG

zGzT

Los polos del modelo discreto equivalente son 0838.095.0 jzi ±= . Aplicando

(5.60) obtenemos el valor equivalente, como:

8794.04742.0)0838.095.0(1.0

1jjlnsie ±−=±⋅=

Utilizando el triángulo característico

9991.0)8794.0()4742.0( 22 =+=ωne

º67.61)4742.0/8794.0(1 ==β −tge

4745.0)º67.61( ==ζ cose

--------------------------- scejem5p22.m -----------------------

%parámetros del modelo continuo T(s) Gps=zpk([],[0 -1],1), Ts=feedback(Gps,1), si=pole(T s) [wn,tita]=rec2pol((si(1))); beta=180-tita; zeta=cos(beta*pi/180), wn

%parámetros equivalentes del modelo discreto T(z) T=0.1; Gz=c2d(Gps,T); Tz=feedback(Gz,1), zi=pole(Tz ) sie=(1/T)*log(zi) [wne,titae]=rec2pol(sie(1)); betae=180-titae; zetae=cos(betae*pi/180), wne

%verificación usando la función damp() [wn,zeta] = damp(Ts), [wne,zetae] = damp(Tz)

----------------------------------------------------------------

En el ejemplo 5.22 se utilizó la función damp() del Toolbox de Control de MATLAB ® para

verificar el cálculo de los parámetros ζ y ωn de la FT del modelo continuo ( )T s y del

modelo discreto ( )T z . Su sintaxis general es EDU» [wn,zeta,polos]=damp(sis)

donde sis es la FT del modelo continuo o discreto, creado como un objeto LIT. Los

parámetros ζ y ωn se evalúan para cada polo complejo conjugado, a partir del triángulo

característico. Si el modelo es discreto, primero se calculan los polos equivalentes en el


dominio-s a partir de (5.60). Si el polo es real devuelve ζ=1 y un valor de ωn que no tiene

significado. La función se puede usar también para obtener los polos del sistema. Los dos ejemplos anteriores permiten verificar el efecto del período de muestreo en el

desarrollo del modelo discreto equivalente de un sistema de datos muestreados. Utilizando

la función especial valrespt() presentada en la sección 2.2, se desarrolló la tabla 5.3

tomando como base el sistema del ejemplo 5.22. Los resultados mostrados son suficientes

para demostrar el efecto del período de muestreo T en los valores característicos de la

respuesta escalón y en los parámetros de la FT del modelo discreto.

Tabla 5.3 - Efecto del período de muestreo T en sistema de 2º orden

Modelo ptM ssT ζ

nω

Continuo 1.1630 8.1718 0.5000 1.0000

0.1T s= 1.1837 8.3000 0.4746 0.9991

0.5T s= 1.2864 11.0000 0.3695 0.9780

1T s= 1.3996 16.0000 0.2494 0.9197

Resolución del modelo discreto: efecto de T

El resultado de la tabla 5.3, se debe a que la correlación entre los polos del modelo continuo

( )T s y de su equivalente discreto ( )T z está influenciada por el período de muestreo T. Una

forma más de evaluar el efecto del período de muestreo en el modelo discreto equivalente,

consiste en determinar la resolución del modelo discreto, expresada en términos del número

de muestras ( )mN por unidad referencial de tiempo (URT). El valor esperado mN puede

usarse como un criterio práctico para la selección del período de muestreo. Si el modelo continuo ( )T s tiene un polo real en 0 1/s = τ , se puede establecer como

URT la constante de tiempo ( )τ , con lo cual el número esperado de muestras sería de

/mN T= τ . El polo de ( )T z aparece en /0

Tz e− τ= . Despejando la relación T/τ , y

considerando el caso de 0 0z < obtenemos

0

1/

( )mN T

ln z= τ = (5.61)

Si el polo de ( )T s es complejo conjugado 0 ds j= −α ± ω , se puede establecer como URT el

período dT asociado con la frecuencia natural amortiguada 2 /d dTω = π y el número

esperado de muestra sería de /m dN T T= . En este caso el polo continuo de transforma en

( )0

d dj T T j Tz e e e r−α± ω −α ± ω= = = ∠ ± θ (5.62)


donde Tr e−α= y dTθ = ω . Considerando que 2 /d Tω = π , obtenemos

2d

m

TN

T

π= =θ

(5.63)

De este modo el número de muestras logrado, depende de la posición final del polo 0z en el

plano-z. El criterio práctico se basa en seleccionar el período de muestreo T, de modo que

el número mínimo de muestras logradas sea de (8 10)m dN a muestras por o T= τ (5.64)

Este criterio será utilizado en el capítulo 7 para la selección del período de muestro, como

fase preliminar del diseño de controlador. A partir de (5.62) se pueden desarrollar las

siguientes expresiones

21nT

nr e T−ζω= θ = ω − ζ ⋅ (5.65)

la cuales permiten obtener gráficas características de ζ y ωn constantes [ReySoto06], que

son de utilidad en aplicaciones prácticas de análisis y diseño del sistema de control en

tiempo discreto. El Toolbox de Control de MATLAB ® incorpora las funciones sgrid() y

zgrid() que se pueden utilizar con este propósito y fueron utilizadas para generar la

gráfica de la figura 5.29.

A partir de (3.22) se puede verificar que cada línea guarda relación directa con el número

de muestras (Nm). En efecto, para la primera línea θ=π/6 radianes, que equivale a

dm TmuestrasN /126/

22 =π

π=θπ=

Las siguientes líneas corresponden a , , 6 4mN = … ; este resultado es importante, porque

muestra que para lograr un valor alto de mN que garantice una adecuada resolución del

Figura 5.29 Curvas características de ζ y nω constantes.


modelo discreto, el polo complejo conjugado dominante de ( )T z deberá estar ubicado en el

primer cuadrante del plano-z.

Desplazamiento de polos de ( )T z : efecto de T

De acuerdo con la figura 5.29, la posición final del polo del modelo discreto equivalente

( )T z depende del valor seleccionado para el período de muestro T. De acuerdo con esto, si

se cambia el valor de T debe ocurrir un desplazamiento del polo de T(z) en el plano-z,

modificando substancialmente el comportamiento dinámico del sistema discreto. Para evaluar el efecto de desplazamiento que sufre el polo del modelo discreto equivalente ( )T z en el plano-z al cambiar el período de muestreo T, consideramos dos casos:

Caso 1: Polo real de ( )T s en 0 6s = − , del ejemplo 5.21.

Caso 2: Polo complejo conjugado de ( )T s en 0 0.5 0.8660s j= − ± , del ejemplo 5.22.

La tabla 5.4 presenta un resumen de los resultados, donde se observa el efecto del período

de muestro T en la posición final de los polos del modelo discreto equivalente ( )T z .

Tabla 5.4 – Efecto de T en la resolución y en la posición final de los pol os de T(z)

T polo real 0 6s = − polo complejo 0 0.5 0.8660s j= − ±

0z 0 es mN 0z 0z∡ 0 es mN

0.1s 0.4562 −7.8484 1.27 0.9537 5.0388º −0.4742 + j0.8794 35.7225

0.2s 0.0110 −22.5675 0.22 0.9145 10.2058º −0.4471 + j0.8906 17.6369

0.5s −0.8964 −0.2188 + j6.2832 0.32 0.8347 26.0358º −0.3614 + j0.9088 6.9135

1.0s −1.5940 0.4662 + j3.1416 0.3149 0.7951 51.0322º −0.2293 + j0.8807 3.5272

La figura 5.30 muestra el desplazamiento que sufre el polo equivalente discreto del real de

( )T s por efecto del período de muestreo. Un caso que merece especial atención, ocurre

cuando el polo real discreto es desplazado hacia la parte real negativa, donde el polo

equivalente continuo es complejo conjugado, lo cual implica una respuesta oscilatoria.

Figura 5.30 Desplazamiento del polo real del modelo discreto equivalente por efecto de T.


De modo similar, la figura 5.31 muestra el desplazamiento que sufre el polo equivalente

discreto del polo complejo conjugado de ( )T s .

Se puede verificar que el desplazamiento de los polos de ( )T z en las figuras 5.30 y 5.31,

origina una reducción en el número de muestras a medida que se aumenta el período de

muestreo, disminuyendo así la resolución del modelo discreto equivalente ( )T z .

Error estacionario del sistema de datos muestreados

Utilizando una estrategia similar a la aplicada en la sección 2.3 para el sistema continuo, es

posible evaluar el error estacionario asociado con la respuesta permanente del sistema de

datos muestreados, cuya forma canónica se muestra en la figura 5.32.

El error estacionario o error permanente se reconoce como el valor final de ( )e kT y es un

valor característico más de la respuesta dinámica del sistema de control, asociado con la

respuesta permanente. La figura 5.33 reproduce en el dominio-z el GFSM del sistema de

control de la figura 5.30, el cual se desarrolló en el ejemplo 5.14.

E*(s)

T

E(s) G(s)

Y(s)

H(s)

+ −

R(s) Figura 5.32 Forma canónica para evaluar el error estacionario en un sistema de control de datos muestreados.

Figura 5.33 Forma canónica para evaluar el error estacionario en un sistema de control de datos muestreados.

Figura 5.31 Desplazamiento del polo complejo del modelo discreto equivalente por efecto de T.

( )GH z−

( )E z ( )G z ( )R z ( )Y z


Aplicando Mason al grafo de la figura 5.30, obtenemos

1

( ) ( )1 ( )

E z R zGH z

=+

(5.66)

Utilizando el teorema del valor final de la TZ, es posible evaluar a partir de ( )E z el error

estacionario del sistema de datos muestreados, como

1* ( ) ( 1) ( )s

k ze lim e kT lim z E z

→∞ →= = − ⋅ (5.67)

donde )(zGH es la función de transferencia de lazo abierto (FTLA) del sistema de datos

muestreados, que puede expresarse convenientemente como

1

( )( )

( 1) ( )N

N zGH z

z D z=

− (5.68)

similar a la expresión (2.39) del sistema continuo. En este caso, el tipo N del sistema,

representa el número de polos en 1z = , que de acuerdo con la transformación sTz e= ,

corresponde al número de polos en el origen de ( ) ( )G s H s . Sustituyendo (5.68) en (5.67),

obtenemos una expresión práctica para evaluar el error estacionario discreto, como

1

( )* ( 1)

1 ( )s

z

R ze z

GH z =

= − ⋅+

(5.69)

Se observa entonces que la magnitud del error estacionario discreto está asociada con la

forma de la señal de entrada ( )R z y con el tipo N del sistema, este último contenido en la

expresión de )(zGH . A partir de (5.69) analizaremos los tres casos típicos de la sección 2.3. Caso 1: Señal de entrada escalón discreto

Para la entrada escalón )1/()( −= zzzR en (5.69), obtenemos el error estacionario

de posición, como

1 1

/( 1) 1 1( 1)

11 ( ) 1 ( )sp

pz z

z ze z

KGH z GH z

∗∗

= =

−= − ⋅ = =++ +

(5.70)

siendo pK ∗ el coeficiente discreto de error de posición, definido como

1

( )pz

K GH z∗

=≜ (5.71)

Considerando la forma de )(zGH en (5.68), se observa que

- si 0N = , pK es finito y por lo tanto existe un valor para el spe∗ .


- si 1N ≥ , pK = ∞ y por lo tanto 0spe∗ = .

Conclusión: En error discreto de posición solo existe en sistemas tipo 0N = .

Caso 2: Señal de entrada rampa unitaria discreta.

Para una entrada rampa 2)1/()( −= zTzzR en (5.69), obtenemos

2

1 1

/( 1) 1( 1)

1 ( ) ( 1) ( 1) ( )ev

vz z

Tz z ze z T

KGH z z z GH z

∗∗

= =

−= − ⋅ = ⋅ =+ − + −

(5.72)

donde vK ∗ se define como el coeficiente discreto de error de velocidad

1

1( 1) ( )v

zK z GH z

T

∗

=⋅ − ⋅≜ (5.73)

Considerando la forma de )(zGH en (5.68), se observa que

- si 0N = , 0vK ∗ = y por lo tanto sve∗ = ∞ .

- si 1N = , vK ∗ es finito y por lo tanto existe un valor para el sve∗ .

- si 2N ≥ , vK ∗ = ∞ y por lo tanto 0sve∗ = . Conclusión: En error discreto de velocidad solo existe en sistemas tipo 1N = .

Caso 3: Señal de entrada parábola discreta unitaria.

Para entrada parábola unitaria 2 3( ) ½ ( 1) /( 1)R z T z z z= + − en (5.69), obtenemos

2 3

2

2

1 1

½ ( 1) /( 1) ½ ( 1) 1( 1)

1 ( ) ( 1) ( )ea

az z

T z z z z ze z T

KGH z z GH z

∗∗

= =

+ − += − ⋅ = ⋅ =+ −

(5.74)

donde aK ∗ se define como el coeficiente discreto de aceleración

2

2 1

1( 1) ( )a

zK z GH z

T

∗

=⋅ −≜ (5.75)

En los casos analizados se observa que para eliminar un error estacionario finito o limitar

un valor infinito, es necesario aumentar por lo menos en 1 el tipo N del sistema, colocando

un polo adicional en 1z = .

Tabla 5.5 – Error estacionario de un sistema de con trol discreto Tipo

N Señal de entrada R(z) Coeficiente de error

estacionario Escalón Rampa Parábola

0 1

1sp

p

eK

∗∗=

+ ∞ ∞

1( )p

zK GH z∗

==


1 0 1

sv

v

eK

∗∗= ∞

1

1( 1) ( )v

zK z GH z

T

∗

== ⋅ − ⋅

2 0 0 1

sv

a

eK

∗∗= 2

2 1

1( 1) ( )a

zK z GH z

T

∗

== ⋅ −

La tabla 5.5 presenta un resumen de los resultados anteriores, que puede utilizarse como

una referencia práctica en la evaluación del error estacionario de un sistema de control de

datos muestreados que utiliza la forma canónica de la figura 5.31. Esta tabla es similar a la

tabla 2.2 desarrollada para evaluar el error estacionario de un sistema continuo y presenta

las mismas restricciones que fueron analizadas en la sección 2.3, en el sentido de que solo

son válidas para realimentación unitaria o realimentación estática. Si la realimentación es

dinámica y no incluye polos en 1z = , es necesario recurrir al teorema del valor final o

aplicar el algoritmo especial que fue presentado en la sección 2.3; para facilitar el cálculo

del error estacionario, se puede usar la función especial errores() presentada en la sección

2.3, que incluye este algoritmo.

Ejemplo 5.17: Comprobar que en el sistema tipo 1N = mostrado a continuación, el error

estacionario no depende de T

Solución: Como ( ) 1H s = la función de transferencia de lazo abierto (FTLA) es

1

2

1 0.1065 ( 0.8467)( ) (1 )

( 1) ( 1)( 0.6065)

k zGH z z

s s z z

− += − = + − − Z

Se trata de un sistema tipo N=1 con realimentación unitaria. Aplicando la tabla

5.5 obtenemos:

11

1 1 0.1065 ( 0.8467) 1( 1) ( ) (0.5 )

( 0.6065) 0.5v

zz

k zK z GH z k k

T T z

∗

==

+= × − = × = =−

Luego el error estacionario del sistema solo depende del ajuste del parámetro k,

que podría ser la ganancia de un controlador P discreto. Se observa que

aumentando la ganancia k se reduce el error estacionario de velocidad; sin

Sistema de control discreto con error estacionario independiente de T.

)1( +ss

k

Y(s)

+

R(s) E*(s) E(s)

−

ZOH

T=0.5


embargo se aumentaría el pico de la respuesta ptM , desmejorando la estabilidad

relativa del sistema.

-------------------------- SCEjem5p23.m ------------------------

%modelo discreto de la FTLA para k=1 Gps=zpk([],[0 -1],1), Hs=tf(1,1), T=0.1; GHz=c2d(Gp s*Hs,T)

%coeficiente de error estacionario de velocidad Kvd=dcgain(minreal(tf([1 -1],1,T)*GHz)/T)

----------------------------------------------------------------

El siguiente ejemplo trata del diseño de un controlador PI para aumentar en 1 el tipo N de

un sistema de datos muestreados con el objeto de satisfacer un requerimiento de diseño en

la respuesta permanente, formulado a través del error estacionario.

Ejemplo 5.18: Diseñar un controlador PI para que en el sistema de control mostrado a

continuación, se logre un error estacionario de velocidad mínimo de 1%.

Solución: El modelo discreto de la FTLA para H(s)=1, viene dado por

1 1 0.095163( ) (1 )

( 1) 0.9048GH z z

s s z

− = − = + −

Z

Se trata de un sistema tipo N = 0, según la tabla 5.5 con esv*=∞. Si se desea

limitarlo a 1% es necesario aumentar el tipo a N = 1, incluyendo en )(zGH un

polo en z=1. Esto se puede lograr utilizando un controlador PI, cuya FT será

desarrollada en el capítulo 8 como:

( )1

p i

TzD z k k

z= +

−

donde pk y ik son respectivamente la ganancia de la acción proporcional y la

ganancia de la acción integral. El polo en z=1 del controlador convierte el

sistema en tipo N=1. De la tabla 5.5, el coeficiente de error estacionario de

velocidad es

Diseño de controlador PI discreto para satisfacer requerimientos de error estacionario.

1

1

+s

Y(s)

+

R(s) E*(s) E(s)

−

D*(s)

T=0.1

ZOH


1

1 0.095163[ ( 1)]

0.9048v i p i

z

K kTz k z kT z

∗

=

= + − ⋅ =−

donde se observa que el error estacionario en un sistema de control discreto PI

modelado por la forma ( )D z anterior, solo depende del ajuste de la ganancia de

acción integral ( )ik , independiente del ajuste de la ganancia de la acción

proporcional ( )pk . Por lo tanto para lograr que 0.01sve∗ < , se requiere que

100vK ∗ > o 100ik > . ------------------------- SCEjem5.24.m -------------------------

% modelo discreto de la FTLA para k=1 Gps=zpk([],-1,1), Hs=tf(1,1), T=0.1; GHz=c2d(Gps*Hs ,T)

%error estacionario del sistema no controlado [esp,esv]= errores(Gps,Hs,T)

----------------------------------------------------------------

El modelo del controlador discreto PID será desarrollado en el capítulo 7 y puede diferir de la

forma del ejemplo 5.24, dependiendo del algoritmo utilizado en su desarrollo [Ogata95]. El

siguiente ejemplo muestra el uso de la función especial errores() en el cálculo del error

estacionario de un sistema de control de datos muestreados con realimentación dinámica.

Ejemplo 5.19: Calcular el error estacionario del sistema mostrado a continuación.

Solución: Se observa que este sistema es la versión de datos muestreados del ejemplo

2.12. Como el sistema tiene realimentación dinámica, no se podrían aplicar las

expresiones de la tabla 5.5. Para comprobar lo anterior, obtenemos ( )GH z

1

2

2( 2) 0.0088105( 0.8756)( 0.8187)( ) (1 )

( 1)( 5) ( 1)( 0.6065)( 0.9048)

s z zGH z z

s s s z z z

− + + −= − = + + − − − Z

Como el sistema es tipo 1N = , aplicando la tabla 5.5 obtenemos

Error estacionario en sistema de datos muestreados con realimentación dinámica.

1

( 1)s s +

Y(s)

+

R(s) E*(s) E(s)

−

ZOH

T=0.5

2( 2)

5

s

s

++


1

0.0088105( 0.8756)( 0.8187)( 1) 0.080

( 1)( 0.6065)( 0.9048)v

z

z zK z

z z z

∗

=

+ −= − =− − −

Luego el error estacionario discreto de velocidad sería 1/0.08 12.5sve∗ = = . Sin

embargo, como la realimentación es unitaria es necesario calcular el error de

velocidad usando el teorema del valor final a *( )e t del diagrama anterior. Sin embargo, como el error estacionario no se ve afectado por el período de

muestreo T, podemos evaluarlo a partir del modelo continuo:

[ ]( ) ( ) ( ) 1 ( )He t E s R s k T s↔ = −

donde, según (2.48), 0

( ) 0.8H sk H s == = . Para ( )T s obtenemos

3 2

( ) 5( )

1 ( ) ( ) 6 7 4

G s sT s

G s H s s s s

+= =+ + + +

Por lo tanto, para 2( ) 1/R s s=

2

2 3 2 3 2

1 5 6 6.2( ) 1 0.8

6 7 4 ( 6 7 4)

s s sE s

s s s s s s s s

+ + + = − × = + + + + + +

Aplicando el teorema del valor final

2

3 20

0

6 6.2( ) 1.55

6 7 4sv s

s

s se sE s

s s s==

+ += = =+ + +

Se demuestra así que en este caso no se pueden aplicar las expresiones de la

tabla 5.5. Otra alternativa es aplicar la función especial errores() que se

fundamenta en el algoritmo especial desarrollado en la sección 2.3 ------------------------ SCEjem5p25.m --------------------------

%modelo discreto de la FTLA: GH(z) Gs=zpk([],[0 -1],1), Hs=zpk(-2,-5,2), T=0.1; GHz=c2 d(Gs*Hs,T)

%error estacionario de velocidad utilizando la tabl a 5.5 Kp=dcgain(GHz), esp=1/(1+Kp) Kv=dcgain(minreal(tf([1 -1],1,T)*GHz)), esv=1/Kv

%error estacionario de velocidad usando TFV kH=dcgain(Hs), s=tf('s'); Rs=1/s^2; Ts=feedback(Gs, Hs) Es=minreal(Rs*(1-kH*Ts)); esv=dcgain(s*Es)

%error estacionario de velocidad utilizando errores () [esp,esv]= errores(Gs,Hs,T)

----------------------------------------------------------------

sc capitulo5

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