probabilidades 2011 i

ACB=ABC= AB=

ACBC=

P(A)= P(B)=

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA – TINGO MARÍAFACULTAD DE INGENIERÍA EN INFORMÁTICA Y SISTEMAS

1. Se lanza un dado y se observa el número obtenido. ¿calcular la probabilidad de obtener:a) 3 puntos, b) Al menos 5 puntos.

Para hacer este problema apicaremos lo siguiente:P (A)=Nº de casos favorablea

Nº decasos

a) 3 1,2,3,4,5,6 =16 b) 5,6

1,2,3,4,5,6 =26 = 0.1667 = 0.3333

2. Se lanza un dado 2 veces consecutivas. Calcular la probabilidad de obtener:a) 7 Puntos.b) 6 puntos sólo en la segunda tirada.c) 7 puntos ó 6 puntos sólo en la segunda tirada.d) 7 puntos y 6 puntos sólo en la segunda tirada.

3. Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5 y la de ganar el segundo premio es 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los 2 premios es 3/4, calcular la probabilidad de ganar:

SI:P(A)= la probabilidad de ganar el primer premio =2/5P(B)= la probabilidad de ganar el segundo premio =3/8

Cálculo de Probabilidades

34=P ( AUB )

34=P ( A )+P ( B )−P (A ∩B)

P ( A ∩B )=P ( A )+P (B )−34

P ( A ∩B )=1640

+ 1540

−3040

P ( A ∩B )= 140

a) Sólo uno de los dos premios.

P (A∩ BC) + P (AC∩ B)P (A)-P(A∩ B)+P (B)-(A∩ B)

1640-

140

+ 1540-

140

=2940

b) b) ninguno de los dos premios.

1-P(AUB)1- [P(A) + P(B) - P(A∩B)]1- 1640+1540-

140

=1040

Ing. Wilmer J. Bermúdez Pino 2

ACB=25%ABC= 15% AB=15%

ACBC=45%

P(A)=30% P(B)=40%


4. De un grupo de personas, el 30% práctica futbol y el 40% juega ajedrez. De los futbolistas el 50% juega ajedrez. Si se elige aleatoriamente una persona. ¿Cuál es la probabilidad queSI:P(A)= la probabilidad que un grupo de personas juega fútbol=30%P(B)= la probabilidad que un grupo de personas juega ajedrez =40%

a) Juega fútbol o ajedrez?b) Practica sólo uno de estos deportes?c) No practica ni futbol ni ajedrez?

a) Del anunciado b) P(A∩BC) U P(AC∩B)El 50% de la P(A) = A∩B =P(A)+P(B)-2P(A∩B)

El 50% de la (30%)= A∩B =30%+40%-2*15% = 0,40

P(A∩B)=15%

c) P(AC∩BC)

=P(AUB) C

=1-[P(A)+P(B)- P(A∩B)]

=1-[30%+40%-15%]

= 45%


ACB=0.20ABC=0.10 AB=0.10

ACBC=0.60

P(A)=0.20 P(B)=0.30


5. Sean A y B dos eventos que no son mutuamente excluyentes tal que: P(A) = 0.20, P(B) = 0.30 y P(A ∩ B) = 0.10. Calcular:

a) P (AC∩ BC)P (AC∩ BC) =P(A∪B)=1-P(AUB)P (AC∩ BC) = 1-0.40=0.60∴

b) P (AC∩ B )=0.20P (AC∩B )= P(B) – P(A∩B)P (AC∩B )= 0.30 −¿ 0.10P (AC∩B )= 0.20 ∴

c) P (BC∩ A ) = Sólo AP (BC∩A ) = P(A) – P(A∩B)P (BC∩A )= 0.20 – 0.10P (BC∩A )= 0.10

d) P (ACU B ) =P(AC)+P(B) – P(AC∩B)P (ACUB ) = 1- 0.20 + 0.30 - 0.20P (ACUB ) = 0.90

6. En una encuesta pública se determina que la probabilidad que una persona consuma el producto A es 0.50, que consuma el producto B es 0.37, que consuma el producto C es 0.30, que consuma A y B es 0.12, que consuma solamente A y C es 0.08, que consuma solamente B y C es 0.05 y que consuma solamente C es 0.15. calcular la probabilidad que una persona consuman:


0.300.120.1

2

0.10

0.10

0.12

0.20


a) A o B pero no C b) Solamente A

a) P(AUB)∩ CC =P(A)+P(B)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)=0.50+0.37-0.12-0.10-0.07+0.02=0.60b) P(A∩BC∩CC)=P(A)-P(A∩B)-P(A∩C)+P(A∩B∩C)=0.50-0.12-0.10+0.02=0.30

7. En una ciudad se publican tres revistas: A, B y C. El 30% de la población lee A, el 20% lee B, el 15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C, y el 3%leen A, B y C. Determinar el

porcentaje de personas que:a) Lean al menos uno de las tres

revistas c) Lee solamente Ab) Leen B o C; pero no A

d) Leen A o no lee B ni C.

a) P (AUBUC) por Formula:

¿ P ( A )+P (B )+P (C )−P ( A ∩B )−P ( A ∩B )−P (B ∩C )+P( A ∩ B ∩C)=30+20+15 – 12 – 9 – 6+3

= 41



b) Del Grafico = 11c) Del Grafico: Lee solamente A = 12 d) Del Grafico = 12

8. La demanda de dos productos A y B varía aleatoriamente en un rango de 1000 a 5000 kg. El distribuidor decide bajar el precio de venta de ambos productos si la suma de sus demandas varía de 3000 a 5000 Kg. Calcular la probabilidad de que el precio de venta de ambos productos baje.

Demanda de A varía: La suma de las Demandas varia:

1000≤ A ≤5000 3000≤ A+B ≤5000

Demanda de B varía: Hallar: P [ ( A+B ) ] baje

1000≤ B ≤5000

P (A) =¿casosfavorables

¿ totalcasos

A ∆=BH2

=3∗32

−1∗12

= 4

-→ A∎=L2=42=16

9. Para decidir si se acepta o no un lote de 20 artículos en donde existen 4 defectuosos, se toman dos artículos al azar y a la vez. Si los dos son defectuosos se rechaza el lote, si los dos son buenos se acepta el lote y si solamente uno es bueno se toman otros dos artículos al azar a la



vez de los 18 que quedan. Esta vez, si alguno es bueno se acepta el lote, de otro modo se rechaza. Calcular la probabilidad de aceptar el lote.

TOTAL DE ARTICULOS: 20

Artículos Defectuosos P(D) : 4. Artículos Buenos P(B):

P(B) = Total de Artículos – P(D)

= 20 – 4

P(B) = 16

Tomando 2 artículos al Azar y a la vez:

C220=190

Escoger: 1

Acepta : 2B

C218=153

Acepta : 1 A.B 1 A.M

Entonces la Probalidad de aceptar el Lote es :

=C216

C220+

C116−C1

4

C220 X [

C215

C218+

C115 X C1

3

C218 ]

¿ 120190

+ 16−4190

X [ 105153

+ 15 X 3153

]

= 0.962

10. En un estudio se encontró que la probabilidad de que se incremente el empleo en la ciudad de Tingo María es de 0.35, de que se incremente el consumo de artículos de primera necesidad es de 0.05 y de que se incremente el consumo de artículos de primera necesidad dado el incremento de empleo es de 0.10.¿Cuál es la probabilidad de que se incremente el empleo y el consumo de artículos de primera necesidad?



A=incremento de empleoB=incremento de consumo de artículos

P(A)=0.35 P(B/A)¿P (B ∩ A)

P( A )

P(B)=0.05 0.10=P (B ∩ A)0.35

P(B/A)=0.10 P(A∩B)=0.035P(A∩B)=??

11. En un hospital especializado en enfermedades de tórax ingresan un 50 % de enfermos de bronquitis, un 30 % de neumonía y un 20 % con gripe. La probabilidad de curación completa en cada una de dichas enfermedades es, respectivamente, 0,7; 0,8 y 0,9. Un enfermo internado en el hospital ha sido dado de alta completamente curado. Hallar la probabilidad de que el enfermo dado de alta hubiera ingresado con bronquitis.

Sean los Eventos:

Br: “Enfermos con bronquitos” P (Br) = 0.5 = 50%.

N: “Enfermos con Neumonía” P(N) = 0.3 = 30%.

Gr: “Enfermos con Gripe” P (Gr) = 0.2 = 20%.

P( CBr ) : 0.7

P( CN ) : 0.8 P( Br

C ) = ¿?

P( CGr ) : 0.9

Por el Teorema de Bayes:



Sea: A1 = P (Br), A2 = P (N), A3 = P (Gr),…,Ak =P (x)

P( Ai

B ) =

P ( A1 )∗P( BA i

)∑i=1

k

P ( A i )∗P( BA i

)P( Br

C )=

P ( Br )∗P( CBr )

P ( Br )∗P( CBr )+P (N )∗P( C

N )+P (Gr )∗P( CGr )

¿ 0.5∗0.70.5∗0.7+0.3∗0.8+0.2∗0.9

= 0.46

12. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0,6, la de que apruebe Lengua es 0,5 y la de que apruebe las dos es 0,2. Hallar:

a) La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas.b) La probabilidad de que no apruebe ninguna.c) La probabilidad de que se apruebe Matemáticas y no Lengua.



a)P ( M∪L )= P ( M )+P ( L )−P (M ∩ L)

P ( M∪L ) = 0.9 + 0.5 - 0.2

P ( M∪L ) = 0.9

b) P ( M c ∩ Lc )=¿ 0.1

c) Del Grafico = 0.4

13. En una clase mixta hay 30 alumnas, 15 estudiantes que repiten curso, de los que 10 son alumnos, y hay 15 alumnos que no repiten curso. Se pide:

a) ¿Cuántos estudiantes hay en la clase?b) Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumno?



c) Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumna y repita el curso?

d) Elegidos al azar dos estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno repita curso?

Repiten Curso No Repiten Curso

TOTAL

Alumno 10 15 25

Alumna 5 25 30

TOTAL 15 40 55

Solución:

A)

EL Total de Estudiantes que hay en clase es de: 55 Estudiantes

B)

Casos a Favor: 25. Total de Casos: 55.

P ( Alumno )=Casos a FavorTotalde Casos

=2555

P ( Alumno )=0,45.

C)

Casos a Favor : 5 Total de Casos : 25



P ( Alumna )=Casos a FavorTotalde Casos

= 525

P ( Alumna )=0,2.

D) P ( No Repita Curso )=C2

40=780

La Probalidad de 2 estudiante del Total = C255=1485

Entones : la Probalidad de 2 estudiantes que no repitan el curso es de :

P (NO RepitaCurso )P(2 AlumTotal)

= 7801485

= 0,53

14. En un proceso de producción se sabe que durante cuatro décimas partes de tiempo se producen 20% de unidades defectuosas y durante seis décimas partes de tiempo se producen 15% de unidades defectuosas. De la producción que consiste de 20unidades de sólo de una de las modalidades, se inspeccionan tres elegidos al azar a la vez y se encuentran dos unidades defectuosa. En base a este resultado, ¿Qué modificaciones acerca de las probabilidades de las dos calidades de producción se deben hacer?

Sea:

A: Calidad Defectuoso. B: 2 Defectuoso de 3.

A1 : 20% defectuoso A2: 15% Defectuoso

Entonces:

P ( A 1 )=2 X 20% P ( A 2 )=1−P( A1)

P ( A 1 )=0.4 P ( A 2 )=0.6

P( BA1 )=C2

4 X C116

C220 P( B

A2 )=C23 x C1

17

C320



P(B

A1) = 0.51 P(

BA 2

) = 0.05

Por lo Tanto la Probabilidad de las 2 calidades del producto es :

P (B )=0.4 xC2

4 xC116+0.6 xC2

3 x C117

C320

¿0.06

15. Un generador tiene 6 componentes disipadores de corriente eléctrica. La probabilidad que ocurra una avería que desconecte el primer disipador es 0.6; para el segundo, 0.2 y 0.3 para cada uno de los cuatro restantes. Determinar la probabilidad que el generador esté completamente desconectado, si:a. Todos los disparadores están conectados en serie.b. Los disparadores están conectados en serie-paralelo.

a) Sean los eventos:

P(A) “se desconecta el 1° disipador” = 0.6

P (B) “se desconecta el 2° disipador” = 0.2

P(C)“se desconecta el 3° disipador” = 0.3

P (D)“se desconecta el 4° disipador” = 0.3

P (E)“se desconecta el 5° disipador” = 0.3

P (F)“se desconecta el 6° disipador” = 0.3

0.6 = 0.6

0.4*0.2 = 0.08


La probabilidad que el generador esté completamente desconectados si:Todos los dispositivos están conectados en serie es: 0.92Esto es la suma


0.4*0.8*0.3 = 0.096

0.4*0.8*0.7*0.3 = 0.0672

0.4*0.8*0.7*0.7*0.3 = 0.047

0.4*0.8*0.7*0.7*0.7*0.3 = 0.033

Total = 0.92

b)

Si esta en serie-paralelo:

0.6+0.2+0.3+0.3+0.3+0.36

=0.333

16. Una maquina presento un sistema de dos componentes A y B dispuestos en serie, las confiabilidades de que las componentes trabajan correctamente son 0.70 y 0.80, respectivamente. Suponga que A y B funcionan independientemente, y ambas componentes del sistema deben funcionar correctamente para que la maquina lo haga. Para incrementar la confiabilidad del sistema se emplea una componente similar, en paralelo, a fin de formar el sistema S que se observa en la figura. La maquina funcionará siempre que, por lo menos uno de los componentes (sub-sistemas) trabajen correctamente, calcular la confiabilidad del sistema S.

. Sean los eventos:

€1: “La componte A funciona correctamente” → P (€1) = 0.7

€2: “L a componte B funciona correctamente” → P (€2) = 0.8

€: “El sistema S funciona correctamente”

C5: “Confiabilidad del sistema”



Si A y B son independientes: P (A∩B)=P (A) x P (B)

→ C5 = € = P [(€1∩€2) U (€1∩€2)] = P (€1∩€2)+ P (€1∩€2) - P [(€1∩€2) ∩ (€1∩€2)]

→ 2P (€1∩€2) – [P (€1∩€2) x P (€1∩€2)] = P (€1∩€2). [2- P (€1∩€2)] = P (€1) x P (€2) [P (€1) x P (€2)]

→ (0.7) (0.8) [2 – (0.7) (0.8)] = 0.8064

17. Un solo misil de cierta variedad tiene una probabilidad de 1/4 de derribar un bombardero a reacción, una probabilidad de 1/4 de dañarlo y una probabilidad de 1/2 de errar el blanco. Igualmente, dos disparos que produzcan daño derribarán el avión. Si se lanzan cuatro de tales misiles, ¿Cuál es la probabilidad de derribar un bombardero?

Sean los eventos:

D “Derribar un bombardero”

B “Dañar al bombardero”

A “un misil derriba al bombardero”

G “un misil erra el blanco”

Ω= A.A.A.A, AAAB,…BEEE, EEEE

P (D) = 1 – P (DC) = 1- [P34*P [BEEE] + P [EEEE] ]

= 1- [4/3*1/4*1/23+1/24]

= 1- [1/23+1/24]

= 1- 3/16

P(D) = 0.8125

18. Durante el primer año de uso un amplificador de radio puede requerir tres tipos de reparaciones y las probabilidades correspondientes son: 0.05, 0.04 y 0.12. ¿Cuál es la probabilidad que un amplificador seleccionado al azar requiera reparación durante su primer año de uso? Cada tipo de reparación es independiente de los otros dos.



sean los eventos: R1:”primera reparación” →P (R1)=0.05R2:”segunda reparación” →P (R2)=0.04R3:”tercera reparación” →P (R3)=0.12

P (R1 U R2 U R3)=P (R1)+P (R2)+P (R3)-P (R1∩R2)-P (R1∩R3)-P (R2∩R3)+P (R1∩R2∩R3)

= P(R1)+P(R2)+P(R3)-P(R1)xP(R2)-P(R1)xP(R3)-P(R2)xP(R3)+P(R1)xP(R2)xP(R3)

= 0.0 5+0.014++0.12-0.05x0.04-0.05x0.012-0.04x0.12+0.05x0.04x0.12= 0.1974

19. La probabilidad que falle un motor en un avión es 0.10. ¿Con cuántos motores debe estar equipado un avión para tener una seguridad de 0.999de que el avión vuele? (Supóngase que es suficiente que un motor funcione para que el avión se mantenga en vuelo). A: falle el motor de un aviónP(A)= 0.10Numero de motores= nTotal de motores que fallen:P (A1, A2, A3,…, An) =0.10n

Para que el avión vuele:P (A1, A2, A3,... An) = 1 - 0.10n → 1 - 0.10n = 0.999 → 0.103 =0.10n → n = 3

20. Un gerente esta a la espera de las llamadas telefónicas de sus clientes para efectuar un negocio, la probabilidad de que lo llame cualquiera de sus clientes es de 0.2. (Las llamadas de los clientes son eventos independientes). La probabilidad de efectuar el negocio es de 0.10 si recibe la llamada de un cliente; es de 0.3 si recibe la llamada de dos clientes y de 0.7 si recibe la llamada de tres clientes. Si no recibe llamada no realiza negocio. ¿Cuántas llamadas de clientes es más probable que haya recibido el gerente sabiendo que se realizó el negocio?

Sean Los Eventos:

A: “Llamadas de clientes” B: “Efectuar Negocios”



P ( A i )=Cin(0.2)¿ n = 3

P( BA1

) = 0.10

P( BA2

) = 0.3

P( BA3

) = 0.7

∴P ( B )=P ( A1 ) P( BA1

) + P ( A2 ) P( BA2

) + P ( A3 ) P( BA3

)

= 0.1(0.2) (0.8 )2(3) + 0.3 (3)(0.2 )2(0.8) + 0.7(0.3 )3

→ como

P( BA1

)

P(B)Es mayor que todos

∴debe llamar a un cliente

21. Cuando una maquina que produce engranajes está trabajando apropiadamente, el 92% de las piezas satisfacen las especificaciones. Cuando la máquina no trabaja bien sólo el 60% de los engranajes satisfacen los requerimientos. La máquina está en buen estado el 90% del tiempo. Se seleccionan dos engranajes y ambos resultan de calidad aceptable. ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina no haya estado trabajando bien?

A: La maquina trabaja

B: Se acepta el producto

A1: La maquina trabaja bien → P (A1) = 0.90

A2: La maquina no trabaja bien → P (A2) = 0.10

P (B/A1) = 0.92 P (B/A2) = 0.60

P(B)=P (A 1)[ P(B/ A1)]+P( A2)[P(B / A2)]

P (A 2) =

(0.90 ) (0.92 )+(0.10)(0.60)0.10

= 8.88



Probabilidad condicional:22. Cierta Universidad en formación en su primer año de funcionamiento tiene tres curricula:

Ciencia, Administración e Ingeniería. La clasificación de los alumnos por su sexo, es como sigue

Ciencia Administración IngenieríaHombre

s250 350 200

Mujeres 100 50 50 Se selecciona un estudiante al azar del grupo. Si se sabe que el estudiante es hombre. ¿Cuál es la

probabilidad: a) Que esté en ciencias? b) que esté en ingeniería? c) Que el estudiante está matriculado

en Administración?

C=Ciencia A=Administración

I=Ingeniería H=Hombres

M=Mujeres

a) P(C/H)=P (C ∩ H )

P(H ) =250/1000800/1000=

516

b) P(C/H)=P ( I ∩ H )

P(H ) =200/1000800/1000=

14

c) P(C/H)=P (A ∩ H )

P(H ) =350/1000800/1000=

716

23. La probabilidad de que una construcción de un edificio en Tingo María se termine a tiempo es 17/20, la probabilidad que no haya huelga es 3/4, y la probabilidad que la construcción se termina a tiempo dado que no hubo huelga es 14/15; la probabilidad que haya huelga y no se termina la construcción a tiempo es 1/10. ¿Cuál es la probabilidad que

a) La construcción se termina a tiempo y no haya huelga?b) No haya huelga dado que la construcción se terminó a tiempo?c) La construcción no se termina a tiempo si hubo huelga?d) La construcción no se termina a tiempo si no hubo huelga?

Sean lo eventos:


Ciencia Administración Ingeniería

Total

Hombres 250 350 200 800Mujeres 100 50 50 200Total 350 400 250 1000


A:”Se termina a tiempo”= 17/20

B:”No haya huelga” = 3/4

P(A/B)=14/15→P(A/B)=P (A∩B)/P (B) →14/15=P (A∩B)/3/4→ (14/15) (3/4)= P (A∩B) →P (A∩B)= 14/20

¿Cuál es la probabilidad de que

Ω= 1

a) P(A∩B) = 14/20b) P(B/A ) = P(A∩B)/P(A)=(14/20)/(17/20)= 14/17c) P(Aᶜ/Bᶜ)= P(Aᶜ∩Bᶜ)/P(Bᶜ)=(2/20)/(1-P(B))=(2/20)/(1-15/20)= (2/20)/(5/20))=2/5d) P(Aᶜ/B) = P(Aᶜ∩B)/P(B)= (1/20)/(15/20)= 1/15

24. En una universidad se ha observado que el 60% de los estudiantes que se matriculan lo hacen en una carrera de Ciencias, mientras que el otro 40% lo hacen en carreras de Humanidades. Si un determinado día se realizan 20 matriculas, calcular la probabilidad de que:

a) Haya igual número de matrículas en Ciencias y en Humanidades.b) El número de matrículas en Ciencias sea menor que en Humanidades.c) Haya al menos 8 matriculados en Ciencias.d) No haya más de 12 matrículas en Ciencias.

Sean los eventos

A: Matriculados en Ciencias → P ( A )=0.6

B: Matriculados en humanidades → P ( B )=0.4

En un día se matriculan 20 → n=20

a) A=B



C1020(0.6)100.410=0.12

b) A<B

25. Una población está clasificada en tres grupos, según la edad: el 20% está entre 25 y 35 años, el 65% entre 36 y 50 años y el 15% entre 51 y 65 años. Al investigar los hábitos de dicha población se ha comprobado que toman café por la mañana el 70% del grupo del primer grupo de edades, el 40% del segundo y el 10% del tercero.

a) Seleccionado aleatoriamente un individuo de la población ¿cuál es la probabilidad de que sea del grupo de 25 a 35 años y tome café?

b) Si sabemos que un individuo toma café ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo de 51 a 65 años?

a) Sean Los Eventos:

A “Rango de edad” B “Toman café”

A125−35 años=P ( A1)=0.2 P( BA1 )=0 .7

A236−50 años=P ( A2 )=0.65 P( BA2 )=0 .4

A251−65años=P ( A3 )=0.15 P( BA3 )=0 .1

Pero sabemos que:

P( A1B )=P(B ∩ A1)

P(B)



P (B) = P ( A1 )∗P ( BA1

)+P ( A2 )∗P ( BA2

)+ P ( A3 )∗P( BA3

)P (B) = 0.2*0.7+0.65*0.4+0.15*0.1= 0.42

∴P( A1B )=

P (A1)∗P( BA1

)

P(B) =

0 .2∗0 .70 .42

=0 .3333

b)

P( A3B )=P(B ∩ A3)

P(B)=

P (A3)∗P( BA3

)

P(B)=0 .15∗0 .1

0 .42 = 0.04

26. En un taller hay 3 máquinas; la primera se avería al mes con una probabilidad de 0,04, la segunda con 0,06 y la tercera con 0,1; sus averías son independientes en probabilidad. Se pide: a) Probabilidad de que se averíe una sola máquina en el mes.b) Probabilidad de que se averíen las tres máquinas en el mesc) Probabilidad de que se averíen la primera y la segunda, pero no la tercera.

A ∩ Bc ∩C c B∩ Ac ∩C c

A ∩ B∩ C

C ∩ Ac ∩ Bc

Ac ∩Bc ∩C c


3º C

1º A 2ºB


A ∩ B∩ C=0.04 x 0.06x 0.1 Ac ∩Bc ∩C c=1−( A ∩ B ∩C )

A ∩ B∩ C=2.4 x10−4 ¿1−2.4 x10−4

¿0.99976

Sabemos:

A ∩ Bc ∩C c+B ∩ Ac ∩C c+C ∩ Ac ∩C c+ Ac ∩ Bc ∩C c+A ∩B+B ∩C+¿

A ∩C−2 x A ∩ B ∩C=1

Ojo:

A ∩ B=0.04 x0.06 B∩ C=0.04 x 0.1 B∩ C=0.06 x0.1

2.4 x 10−3 ¿4 x10−3 ¿6 x10−3

Entonces reemplazando los valores :

A ∩ Bc ∩C c+B ∩ Ac ∩C c+C ∩ Ac ∩C c+0.99976+0.024+0.004+0.006−2 x0.00024=1

A ∩ Bc ∩C c+B ∩ Ac ∩C c+C ∩ Ac ∩C c=0

a)A ∩ Bc ∩C c+B ∩ Ac ∩C c+C ∩ Ac ∩C c=−0.03328

b)A ∩ B∩ C=2.4 x10−4

Teorema de bayes.

27. En una población animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras están enfermos. Se sabe además que hay doble número de hembras que de machos y se pide:

a) Elegido al azar un individuo de esa población ¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo?

b) Un individuo de esa población se sabe que está enfermo ¿Qué probabilidad hay de que el citado individuo sea macho?

Sea los Eventos

A1 : “ Animal Macho Enfermo ”. P(A1) = 0.10



A2 : “ Animal Hembra que está Enferma “. P(A2) = 0.18

A1 = X A2 = 2X A2 : Hembras : 2X

Total=3 x A1 : Machos : X

P ( A 1 )= X3 X

P ( A 2 )=2 X3 X

P(A1) = 0,33 P(A2) = 0,67

P(E

Mach o) = 10 % P(

EHembra

) = 18 %

H E=2 x 0.183

P ( H )=23

P ( M )=13

M E=1 x0.103

A) La Probabilidad que este Enfermo es : P(E) = P(EM) + P(EH)

= 0.12 + 0.033 P(E) = 0.153

B) La Probabilidad de que este enfermo sea Macho es :



P( ME )=

P ( M ) x P ( EM

)

P(E)

¿

13

x0.10

0.153

= 0.218

28. La probabilidad de que un artículo provenga de una fábrica A1 es 0,7, y la probabilidad de que provenga de otra A2 es 0,3. Se sabe que la fábrica A1 produce un 4 por mil de artículos defectuosos y la A2 un 8 por mil

a) Se observa un artículo y se ve que está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica A2?

b) Se pide un artículo a una de las dos fábricas, elegida al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso?

c) Se piden 5 artículos a la fábrica A1 ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguno defectuoso?

A1 P( D

A 1)

P ( A 1 )=0.7 D=P ( A1 ) x P( DA1

)

P ( A 2 )=0.3

A2 P( D

A 2)

D=P ( A2 ) x P( DA2

)



A)

P( A2D )=

P ( A 2 ) x P( DA2

)

P (D)

¿0.3 x

81000

3 x 21000

Entonces : 0.4

B)

P ( D )=P ( A 1 ) x P( DA1 )+P ( A2 ) x P( D

A2)

¿0.7 x41000

+0.3 x81000

= 0.0052

29. Una compañía de desarrollo urbano está considerando la posibilidad de construir un centro comercial en el sector de Higos Urco, Chachapoyas. Un elemento vital es esta consideración es un proyecto de una autopista que une este sector con el centro de la ciudad. Si el consejo municipal aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 0.90 de que la compañía construya el centro comercial en tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad es de sólo 0.20. Basándose en la información disponible, el presidente de la compañía estima que hay una probabilidad de 0.60 que la autopista sea aprobada.

a) Cuál es la probabilidad de que la compañía construya el centro comercial?b) Dado que el centro comercial fue construido. ¿Cuál es la probabilidad de que la

autopista haya sido aprobada?

Sea:



A : Se construye el Centro Comercial B : Se construye la Autopista

P( AB )=0.9 P( A

Bc )=0.2P (B )=0.6 P (Bc )=1−P ( B )

P (Bc )=0.4

A)

P(A) = ?

P ( A )=P ( B ) x P( AB )+P ( Bc ) x P( A

Bc)

¿0.6 x 0.9+0.4 x 0.2

P(A) = 0.62

B)

Piden: P( BA

) P( BA )=P( A ∩ B)

P( A)

Sabemos:

P( AB )=P( A ∩ B)

P(B)

P ( B ) x P( AB

)

P( A)=

P( A ∩ B)P( A)

P( BA )=0.6x 0.9

0.62

∴P( BA )=0.87



Distribuciones de probabilidad.

30. La probabilidad de que cierto tipo de objeto pase con éxito una determinada prueba es 5/6. Se prueban 10 de tales objetos. Si X es la variable aleatoria que se define como el numero de objetos que no pasan la prueba:

a) Determine la función de probabilidad de X.b) Calcule la media y la desviación estándar de X.c) Calcular la P [7 < X ≤ 9].

A: cierto tipo de objeto pase con éxito una determinada prueba

P(A)=56

P(AC)=16

N = 10X : número de objetos que no pasan la prueba

P( éxito) = P(x) = 16

a).P(X=x) = ¿¿) ( 16 )x

( 56 )10− x

b) μ =N* P(x)

μ = 10 * 16

μ = 1.667

σ =(N*P*q )

= √ 10∗16 ∗5

6

= 5√26

c). Calcular la P [7 < X ≤ 9].

Dónde : N :es el número de muestra P :la probabilidad de números de objetos que no pasan la prueba:

N= 10, P=0.37

P(x≤ 9) – P(x ≤ 7 )= 0.0 - 0.0

→ = 0.0



31. Una máquina selladora de bolsas se desajusta durante el proceso de envasado de leche, aunque el operador esta alerta existe una probabilidad de 0.08 que el artículo producido sea defectuoso.

a) ¿Cuál es la probabilidad que en una muestra de 12 artículos producidos ninguno sea defectuoso?

b) ¿Cuál es la probabilidad que al menos uno sea defectuoso en un lote de 15?c) ¿Cuál es el número promedio de artículos defectuosos en un lote de 1000 artículos

producidos? y ¿Cuál es su desviación típica?a). SIN =12 X= 0(¿012)¿*0.080 *(1-0.08)12

1 * 1* (0.92)12

=0.3677 b). si : N=15 (X ≥ 1 ) (X ≥ 1 )= P(x=1)* P(x=2) * P(x=3) * P(x=4) * ……* P(x=15)

(X ≥ 1 )= 1- P( x= 0 ) 1 -C0

15 *0.080 * 0.9215

1 - 0.29 =0.71c).

μ=¿ N*P μ=1000∗0.08

μ=80

º σ=√ N∗P∗(1−P )

σ=√1000∗0.08∗(0.92 )

σ= 0.5832. Suponga que llega en forma aleatoria una serie de llamadas a una central telefónica con un

promedio de tres llamas por minuto.a) Calcular la probabilidad de que no ocurra llamada alguna en el periodo de un minuto.b) Ocurra al menos 4 llamadas.

Sea X el número de llamadas que llama en el periodo de un minuto; entonces X ῀ P (λ) donde:

- λ = 3 es el promedio del número de llamadas en intervalos de un minuto.



a) La probabilidad que no ocurra llamada alguna en el periodo de un minuto.

b) L a probabilidad de que ocurra al menos 4 llamadas en el periodo de un minuto.

33. La probabilidad que un rayo impacte en un poste o cable de energía eléctrica de la red de distribución de la Región, en una noche de lluvia tormentosa es 0.15. Encontrar la probabilidad que de 20 noches de lluvia:

a) Ocurra exactamente un impactob) Ocurra a lo sumo de 3 impactos c) Ocurran de 2 o más impactos

Sea A: Rayo impacta n: numero de noches

P(A)= 0.15 n: 20

a) P [X=1] = ∁120. (0.15¿¿1. (0.85¿¿19 = 0.14

b) P[X≤3] = P[X=0] +P[X=1] +P[X=2] +P[X=3] =∁ 020. (0.15¿¿0 . (0.85)20 + ∁ 01

20. (0.15¿¿1 . (0.85)19+∁220.(

0.15¿¿2 . (0.85)18+ ∁320.(0.15¿¿3 . (0.85)17=0.65

c) P[X≥2] = 1 - P[X≤1] = 1 – [P(X=0) + P (X=1)] = 1 - ∁ 020. (0.15¿¿0 . (0.85)20 -∁1

20.(0.15¿¿1 . (0.85)19 =0.82

34. Las ventas diarias, en soles, en un determinado comercio siguen una distribución N (950, 2002). Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio:

a) Superen los 1200 soles.

N= (950,2002)P (x> 1200) = 1- p (x ≤ 1200)

= 1- p ( z≤≤1200−950200

)

= 1 - P ( Z≤ 1.25) = 1 - 0.89



= 0.11b) Estén entre 700 y 1000 soles.

N= (950,2002)P(700≤X≤1000)=P(X≤1000)-P(X≤700)

=P(Z≤1000−950200

-P(Z≤700−950200

)

=P(Z≤0.25)-P(-1.25)=0.60 - 0.11= 0.49

35. En una distribución N(0, 1), halla el valor de k en cada caso:a ) p [ z < k ]=0, 9969

→K=2.74

b ) p [−k < z < k ]=0, 985

P(−K ≤Z≤ K)= P(Z ≤K) -P(Z ≤−¿K)

P(Z ≤K) =09925 → K=2.43

P(Z ≤−¿K)=0.0075 → -K=2.43



36. Supongamos que Z es una variable aleatoria que se distribuye según una distribución Normal (0, 1). Calcular:

a). P (Z ≤ 1.47) =b). P (Z > 1.47)=c). P (Z ≤ −1.47)=d). p (Z > 1.47)=e).P (0.45 <Z ≤ 1.47)=f). P (−1.47 <Z ≤ − 0.45)=g). P (-1.47 < Z ≤ 0.45)=

a). P (Z ≤ 1.47) =0.93

b). P (Z > 1.47)= 1-(Z<1.47) =1-0.93

→=0.07c). P (Z ≤ −1.47)=0.07

d).P (0.45 <Z ≤ 1.47)=p(z<1.47) - p(z<0.45) =0.93 - 0.67

=0.26

e). P (−1.47 <Z ≤ − 0.45)=p(z<-0.45) - p(z<-147) = 0.33- 0.07

→=0.26

f). P (-1.47 < Z ≤ 0.45)=p(z<0.45) - p(z<-147) = 0.67- 0.07

→0.60

37.Una planta de elaboración de productos lácteos es abastecida de leche cada 2 días, el consumo en volumen de leche para la producción tiene una distribución normal con media de 2000 litros



y desviación típica 500 litros. (Se entiende el consumo cada dos días). Se trata de hallar la capacidad de su tanque de leche para que sea de solo 0.05, la probabilidad que en un periodo de 2 días, la leche no sea suficiente para satisfacer toda la demanda.

. μ=2000 ; δ=500 ; Capacidad: x

P [A≤ X] = P [Z≤ X−200500

¿ = 0.05 en la tabla: X−200500

¿=0 → X = 2000

38. El número de tornillos producidos por minuto con una máquina automática es una variable aleatoria que tiene la distribución de Poisson con = 5.6. Si la máquina aumenta la velocidad se desajusta cuando produce por lo menos 13 tornillos por minuto ¿Cuál es la probabilidad de desajuste de la máquina?


probabilidades 2011 i

Documents