probabilidad y estadistica problemas walpole ed6

Problema 24 (Ref: Pg

Ctedra: Probabilidad y Estadstica Trabajo FinalUADER 6 de Agosto de 2008

Problema 1 (Ref: Pg. 223 - Ej. 5)

Una mquina de refrescos se ajusta para que la cantidad de bebida que sirve promedie 240 mililitros con una desviacin estndar de 15mililitros. La mquina se verifica peridicamente tomando una muestra de 40 bebidas y se calcula el contenido promedio. Si la media de las 40 bebidas es un valor dentro del intervalo, se piensa que la mquina opera satisfactoriamente, de otra forma, se ajusta. En la seccin 8.4, el funcionario de la compaa encuentra que la media de 40 bebidas es = 236 mililitros y concluye que la mquina no necesita un ajuste Esta fue una decisin razonable?

Datos:

Variable aleatoria X: cantidad de bebida que sirve una mquina (en mililitros).Tamao de la muestra n = 40 bebidas.Desviacin estndar poblacional x = 15 mililitros.Media poblacional x = 240 mililitros.

Media muestral = = 240 mililitros.

Desviacin estndar muestral 2.3717 mililitros.

Incgnita:

Solucin:

Reemplazando con nuestros datos

240 ml. (2)(2.372 ml.) 240 ml. + (2)(2.372 ml.)

240 ml. 4.744 ml. 240 ml. + 4.744 ml.

235.257 ml. 244.743 ml.

Respuesta:

Esta fue una decisin razonable puesto que 236 ml., que es la media encontrada se encuentra dentro del intervalo definido.

Problema 2 (Ref: Pg. 223 - Ej. 9)La vida media de una mquina para hacer pasta es de siete aos, con una desviacin estndar de un ao. Suponga que las vidas de estas mquinas siguen aproximadamente una distribucin normal, encuentre: a) La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de nueve de estas mquinas caiga entre 6.4 y 7.2 aos;

b) El valor de a la derecha del cual caera el 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de tamao nueve.

Datos:

Variable aleatoria X: vida til de una mquina de hacer pasta (en aos).Media poblacional x = 7 aos. Desviacin estndar poblacional x = 1 ao. Tamao de la muestra n = 9 mquinas.

a) Incgnita:

P(6.4 7.2)

Solucin:

Aplicando Tabla A.3. = 0.7257 0.0359 = 0.6898 = 68.98%.

Respuesta:La probabilidad de que la vida media de una muestra de 9 de esas mquinas caiga entre 6.4 aos y 7.2 aos es del 68.98%.

b) Incgnita:

Un valor de que deje a su derecha un rea del 15% y por lo tanto un rea del 85% a su izquierda.Solucin:

Con aos y

Aos

= 7.35 aos

Respuesta:

El valor de que deja a su derecha un rea del 15% es 7.35 aos.

Problema 3 (Ref: Pg. 223/224 - Ej. 10)El tiempo que el cajero de un banco con servicio en el automvil atiende a un cliente es una variable aleatoria con media = 3.2 minutos y una desviacin estndar = 1.6 minutos. Si se observa una muestra aleatoria de 64 clientes, encuentre la probabilidad de que su tiempo medio con el cajero sea:a) a lo ms 2.7 minutos; b) ms de 3.5 minutos;c) al menos 3.2 minutos pero menos de 3.4 minutos.

Datos:

Variable aleatoria X: tiempo que un cajero atiende a un cliente (en minutos).Media poblacional x = 3.2 minutos.Desviacin estndar poblacional x = 1.6 minutos. Tamao de la muestra n = 64 clientes.

a) Incgnita:

P( 2.7)

Solucin:

= Aplicando Tabla A.3. = 0.0062 = 0.62% Respuesta:La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero sea a lo ms 2.7 minutos es de 0.62%.

b) Incgnita:

P( > 3.5)

Solucin:

= Aplicando Tabla A.3. = 0.0668 = 6.68%. Respuesta:La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero sea ms 3.5 minutos es de 6.68%.

c) Incgnita:

P(3.2 3.4)

Solucin:

Aplicando Tabla A.3 = 0.8413 0.5000 = 0.3413 = 34.13%. Respuesta:La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero este entre 3.2 y 3.4 minutos es de 34.13%.Problema 4 (Ref: Pg. 224 - Ej. 12)Se toma una muestra aleatoria de tamao 25 de una poblacin normal que tiene una media de 80 y una desviacin estndar de 5. Una segunda muestra aleatoria de tamao 36 se toma de una poblacin normal diferente que tiene una media de 75 y una desviacin estndar de 3. Encuentre la probabilidad de que la media muestral calculada de las 25 mediciones exceda de media muestral calculada de las 36 mediciones por al menos 3.4 pero en menos de 5.9. Suponga que las medias se miden al dcimo ms cercano.

Datos:

Tamao de la primer muestra n1 = 25.

Media de la primer poblacin 1= 80.

Desviacin estndar de la primer poblacin 1 = 5.

Tamao de la segunda muestra n2 = 36.

Media de la segunda poblacin 2= 75.

Desviacin estndar de la segunda poblacin 2 = 3.

Incgnita:

Solucin:

Utilizando el Teorema 8.3; el que dice:

Si se extraen al azar muestras independientes de tamao y de dos poblaciones, discreta o continuas, con medias y y varianzas y , respectivamente, entonces la distribucin muestral de las diferencias de las medias, , est distribuida aproximadamente de forma normal con media y varianza dadas por

y .De aqu

es aproximadamente una variable normal estndar.

con nuestros datos:

80 75 = 5y

Aplicando Tabla A.3. = 0.7896 0.0762 = 0.7134 = 71.34%.

Respuesta:

La probabilidad de que la media muestral calculada de las 25 mediciones exceda de media muestral calculada de las 36 mediciones por al menos 3.4 pero en menos de 5.9 es de 71.34%.

Problema 5 (Ref: Pg. 236 - Ej. 1)Para una distribucin ji cuadrada encuentre.

a) cuando = 15;

b) cuando = 7;

c) cuando = 24.

a) Segn Tabla A.5 cuando = 15 => 27.488

Respuesta:

El valor 2 con 15 grados de libertad, que deja un rea de 0.025 a su derecha es 27.488.

Grfica:

b) Segn Tabla A.5 cuando = 7 => 18.475

Respuesta:


Grfica:

c) Segn Tabla A.5 cuando = 24 => 36.415

Respuesta:


Grfica:

Problema 6 (Ref: Pg. 236 - Ej. 3)

Para una distribucin ji cuadrada encuentre tal que:

a) P(2 >) = 0.99 cuando = 4;

b) P(2 >) = 0.025 cuando = 19;

c) P(37.652 < 2 ) = 0.99 cuando = 4

Segn Tabla A.5 => = 0.297

Respuesta:

El valor de 2 que deja a su derecha una probabilidad igual a 0.99 es decir 99 %, con 4 grados de libertad es 0.297.

b) P(2 >) = 0.025 cuando = 19

Segn Tabla A.5 => = 32.852

Respuesta:

El valor de 2 que deja a su derecha una probabilidad igual a 0.025 es decir 2.5 %, con 19 grados de libertad es 32.852.

Grfica:

c) P(37.652 < 2 = 37.652 => = 0.05

=> = 0.05 - 0.045 = 0.005 =>= cuando = 25

Segn Tabla A. 5 => = 46.928

Respuesta:

El valor de 2 debe ser igual a 46.928 para que la probabilidad entre 37.652 y dicho valor calculado sea igual a 0.045, es decir 4.5%, con 25 grados de libertad.

Grfica:

Problema 7 (Ref: Pg. 236 Ej. 5)Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una poblacin normal con varianza 2 = 6, tenga una varianza s2a) mayor que 9.1;b) entre 3.462 y 10.745.Suponga que las varianzas muestrales son mediciones continuas.

Datos:

Tamao de la muestra n = 25 observaciones.Varianza de la muestra 2 = 6.

a) Incgnita: P (s2 > 9.1)

Solucin:

con (n 1) grados de libertad

con nuestros datos:

Segn Tabla A.5 cuando = 24 =>0.05

Respuesta:La probabilidad de que la varianza de esa muestra sea mayor que 9.1 es del 5%.

b) Incgnita: P (3.462 s2 10.745)

Solucin:


con nuestros datos:



P (3.462 s2 10.745) = 0.95 0.01 = 0.94

Respuesta:La probabilidad de que la varianza de esa muestra se encuentre entre 3.462 y 10.745 es del 94%.

Problema 8 (Ref: Pg. 236 Ej. 6)Las clasificaciones de un examen de colocacin que se aplic a estudiantes de primer ao de licenciatura durante los ltimos cinco aos estn aproximadamente distribuidas de forma normal con una media = 74 y una varianza 2 = 8. Considerara an que 2 =8 es un valor vlido de la varianza si una muestra aleatoria de 20 estudiantes que realizan este examen de colocacin este ao obtienen un valor de s2 = 20?

Datos:P: estudiantes de primer ao de licenciatura.X: calificacin de un examen de colocacin.

Media poblacional x = 74.

Varianza poblacional = 8.Tamao de la muestra n = 20 estudiantes. Varianza muestral s2 = 20.

Incgnita:

Considerar si es vlida = 8

Solucin:


con nuestros datos

Respuesta:Es un valor de una distribucin ji cuadrada con 19 grados de libertad. Como 95% de los valores 2 con 19 grados de libertad caen entre 8.907 y 32.852, el valor calculado con 2 = 8 no es razonable y por lo tanto se tiene razn suficiente para sospechar que la varianza es diferente a ocho.Es muy probable que el valor supuesto de 2 sea un error.

Problema 9 (Ref: Pg. 236 Ej. 8)a) Encuentre t0.025 cuando =14;b) Encuentre t0.10 cuando = 10;c) Encuentre t0.995 cuando =7.

a) Segn Tabla A.4 t0.025 cuando =14 => 2.145

Respuesta:El valor t con 14 grados de libertad, que deja un rea de 0.025 a su derecha es 2.145.

Grfica:

b) Segn Tabla A.4 t0.10 cuando = 10 => -1.372

Respuesta:El valor t con 10 grados de libertad, que deja un rea de 0.10 a su izquierda es -1.372.

Grfica:

c) Segn Tabla A.4 t0.995 cuando =7 => -3.499

Respuesta:El valor t con 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.995 a su derecha y por lo tanto un rea de 0.005 a su izquierda es -3.499.

Grfica:

Problema 10 (Ref: Pg. 236 Ej. 9)a) Encuentre P(T < 2.365) cuando =7;b) Encuentre P(T > 1.318) cuando = 24;c) Encuentre P(-1.356 < T -2.567) cuando =17.

a) P(T < 2.365) cuando =7 1 P(T 2.365) cuando =7 Segn Tabla A.4 => = 1 0.025 = 0.975

Respuesta:La probabilidad de que un valor t sea menor que 2.365 con 7 grados de libertad es del 97.5%.

Grfica:

b) P(T > 1.318) cuando = 24 Segn Tabla A.4 =>0.10

Respuesta:La probabilidad de que un valor t sea mayor que 1.318 con 24 grados de libertad es del 10%.

Grfica:

c) P(-1.356 < T < 2.179) cuando =12 P(T -1.356) P(T 2.179) cuando =12 Segn Tabla A.4 => = (1 0.10) 0.025 = = 0.90 0.025 = 0.875

Respuesta:La probabilidad de que un valor t se encuentre entre -1.356 y 2.179 con 12 grados de libertad es del 87.5%.

Grfica:

d) P(T > -2.567) cuando =17 1 P( T > 2.567) cuando =17 Segn Tabla A.4 => = 1 0.01 = 0.99

Respuesta:La probabilidad de que un valor t sea mayor que -2.567 con 17 grados de libertad es del 99%.

Grfica:

Problema 11 (Ref: Pg. 236 Ej. 12)

Una empresa manufacturera afirma que las bateras que utiliza en sus juegos electrnicos duran un promedio de 30 horas. Para mantener este promedio se prueban 16 bateras cada mes. Si el valor t que se calcula cae entre t0.025 y t0.025, la empresa queda satisfecha con su afirmacin.Qu conclusiones extraera la empresa de una muestra que tiene una media de = 27.5 horas y una desviacin estndar de s = 5 horas? Suponga que la distribucin de las duraciones de las bateras es aproximadamente normal.

Datos:

P: bateras de juegos electrnicos.X: rendimiento en horas de una bajara de juegos electrnicos.Media poblacional x = 30 horas.Tamao de la muestra n = 16 bateras.

Media muestral = 27.5 horas. Desviacin estndar muestral s = 5 horas.

Solucin:

De la tabla A.4 encontramos que t0.025 = 2.131 para 15 grados de libertad. Por tanto, la empresa queda satisfecha con esta afirmacin si una muestra de 16 bateras rinde un valor t entre 2.131 y 2.131. si = 30, entonces


Con nuestros datos:

,

Respuesta:La empresa estara satisfecha con su afirmacin ya que el valor hallado de t pertenece al intervalo establecido como parmetro para poder afirmar que sus bateras promedian las 30 horas de duracin.

Problema 12 (Ref: Pg. 236 Ej. 13) Una poblacin normal con varianza desconocida tiene una media de 20. Se tiene posibilidad de obtener una muestra aleatoria de tamao 9 de esta poblacin con una media de 24 y una desviacin estndar de 4.1? Si no, qu conclusin sacara?

Datos:

Media poblacional x = 20.Tamao de la muestra n = 9.

Media muestral = 24. Desviacin estndar muestral s = 4.1.

Solucin:


con nuestros datos:

P (- =- 20 > 4) =

= 1 P (- 20 4) =

= 1 P (-4 - 20 4) =

= 1 P =

= 1 P (-2.92 t8 2.92) =

= P (t8 2.92) P (t8 2.92) = 0.00959 + 0.00959 = 0.01918 = 1.918%.

Respuesta:Si se tiene la posibilidad de obtener una muestra de tamao 9 con esas condiciones, con una probabilidad del 1.918%

Problema 13 (Ref: Pg. 236 Ej. 14)Un fabricante de cierta marca de barras de cereal bajo de grasa afirma que su contenido promedio de grasa saturada es 0.5 gramos. En una muestra aleatoria de 8 barras de cereal de esta marca el contenido de grasa saturada fue 0.6, 0.7, 0.7, 0.3, 0.4, 0.5, 0.4 y 0.2. Estara de acuerdo con la afirmacin?

Datos:

P: barras de cereal bajo de grasa.X: contenido de grasa en gramos de una barra de cereal.Media poblacional x = 0.5 gramos.Tamao de la muestra n = 8.

Media muestral

Desviacin estndar muestral

Incgnita: x = 0.5

Solucin:


con nuestros datos

con nuestros datos

P(-0.3860 t7 0.3860) = 0.3754 + 0.3754 = 0.7508 = 75.08%.

Respuesta:Hay razones suficiente (75,08%) para considerar que la afirmacin es cierta.

Problema 14 (Ref: Pg. 236 Ej. 15)Para una distribucin F encuentre:a) 0.05 con 1 = 7 y 2 = 15;b) 0.05 con 1 = 15 y 2 = 7;c) 0.01 con 1 = 24 y 2 = 19;d) 0.95 con 1 = 19 y 2 = 24;e) 0.99 con 1 = 28 y 2 = 12.

a) Segn Tabla A.6 0.05 con 1 = 7 y 2 = 15 => 2.71

Respuesta:El valor f con 7 y 15 grados de libertad, que deja un rea de 0.05 a su derecha es 2.71.

Grfica:

b) Segn Tabla A.6 0.05 con 1 = 15 y 2 = 7 => 3.51


Grfica:

c) Segn Tabla A.6 0.01 con 1 = 24 y 2 = 19 => 2.92


Grfica:

d) 0.95 con 1 = 19 y 2 = 24

con nuestros datos

= 0.4739


Grfica:

e) 0.99 con 1 = 28 y 2 = 12

con nuestros datos

= 0.3448


Grfica:

Problema 15 (Ref: Pg. 237 Ej. 5)Una muestra aleatoria de cinco presidentes de bancos indican salarios anuales de $163000, $148000, $152000, $135000 y $141000. Encuentre la varianza de este conjunto.

Datos:

Variable aleatoria X: salarios anuales de presidentes de bancos (en pesos)Tamao de la muestra n = 5 presidentes.

Media muestral $

Incgnita: Varianza muestral s2

Solucin:

con nuestros datos

Respuesta:La varianza de este conjunto es 114700000 $.


Si S21 y S22 representan las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamao n1 = 25 y n2 = 31, tomadas de poblaciones normales con varianzas 21 = 10 y 22 = 15, respectivamente, encuentre .

Datos:

Tamao de la primer muestra n1 = 25. Tamao de la segunda muestra n2 = 31.

Varianza de la primera muestra .

Varianza de la segunda muestra .

Incgnita:

Solucin:

Utilizando el Teorema 8.8; el que dice:

Si y son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamao y tomadas de poblaciones normales con varianzas y , respectivamente, entonces

Tiene una distribucin F con 1 = n1 1 y 2 = n2 1 grados de libertad.

con nuestros datos

F0.05(24, 30) = 1.89

Respuesta:La probabilidad de que F con 24 y 30 grados de libertad sea mayor que 1.26 es de 0.05, es decir, 5%.

Problema 17 (Ref: Pg. 251 Ej. 4)Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin aproximadamente distribuida de forma normal con una desviacin estndar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duracin promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96 % para la media de la poblacin de todos los focos que produce esta empresa.

Datos:

P: focos fabricados por la empresa.X: duracin de esa muestra de focos.Desviacin estndar poblacional x = 40 horas.Tamao de la muestra n = 30 focos.

Media muestral = 780 horas.Intervalo de confianza IC = 96%.

Incgnita:Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con 96% de confianza.

Solucin:

100% =100(1-)% = 96% => = 0.04 =>=> z0.98 = 2.054

con nuestros datos

Respuesta:Podemos afirmar con un nivel de confianza del 96% que la media poblacional se encuentra entre 765 y 795 horas.

Problema 18 (Ref: Pg. 252 Ej. 8)De que tamao se necesita una muestra en el ejercicio 4 si deseamos tener 96% de confianza que nuestra media muestral est dentro de 10 horas de la media real?

Datos:

Desviacin estndar poblacional x = 40 horas.

Media muestral = 780 horas.Intervalo de confianza IC = 96%.Intervalo de error e = 10 horas.

con nuestros datos

Respuesta:

Por lo tanto, podemos tener una confianza 96% de que una muestra aleatoria de tamao 68 proporcionara una estimacin que difiere de por una cantidad menor que 0.04.

Problema 19 (Ref: Pg. 252 Ej. 6)Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes universitarios muestra una media de 174.5 centmetros y una desviacin estndar de 6.9 centmetros.a) Construya un intervalo de confianza de 98% para la estatura media de todos los estudiantes de la universidad;b) Qu podemos afirmar con 98% de confianza sobre el tamao posible de nuestro error si estimamos que la estatura media de todos los estudiantes de la universidad de 174.5 centmetros?.

Datos:

P: estudiantes universitarios.Variable aleatoria X: medidas de esos estudiantes universitarios (en centmetros)Tamao de la muestra n = 50 estudiantes.

Media muestral = 174.5 centmetros.Desviacin estndar muestral s = 6.9 centmetros.

Intervalo de confianza IC = 98%.

100% =100(1-)% = 98% => = 0.02 =>= 0.01t49, 0.01 = 2.4048

a) Incgnita: Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con 98% de confianza.

Solucin:

con nuestros datos

Respuesta:Podemos afirmar con 98% de confianza que la media poblacional se encuentra entre 172.15 y 176.85 centmetros.

b) Incgnita: Posible error de estimacin.

Solucin:

cm.

Respuesta:

Podemos afirmar con 98% de confianza que el error de estimacin es igual a 2.35 cm.

Problema 20(Ref: Pg. 252 Ej. 13)Una mquina produce piezas metlicas de forma cilndrica. Se toma una muestra de las piezas y los dimetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centmetros. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para el dimetro medio de las piezas de esta mquina, suponga una distribucin aproximadamente normal.

Datos:

P: piezas metlicas de forma cilndricas.X: dimetro de las piezas cilndricas(en centmetros).Tamao de la muestra n = 9 piezas. Intervalo de confianza IC = 99%.

Media muestral cm.


100% =100(1-)% = 99% => = 0.01 =>= 0.005 t8, 0.005 = 3.355

Incgnita: Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con 99% de confianza.

Solucin:

con nuestros datos

Respuesta:Podemos afirmar con 99% de confianza que la media poblacional se encuentra entre 0.9781 y 1.0329 centmetros.

Problema 21 (Ref: Pg. 252/253 Ej. 17)Una muestra aleatoria de 25 botellas de aspirinas contiene, en promedio, 325.05 mg. de aspirina con una desviacin estndar de 0.5. Encuentre los lmites de tolerancia del 95% que contendrn 90% del contenido de aspirina para esta marca. Suponga que el contenido de aspirina se distribuye normalmente.

Datos:

P: botellas de aspirinas.X: cantidad de aspirina que contienen las botellas de aspirina (en miligramos).Tamao de la muestra n = 25 botellas de aspirina.

Media muestral = 325.05 mg. de aspirina.

Desviacin estndar muestral s = 0.5 mg. de aspirina.1 = 95% => = 0.05 y 1 = 90% => 0.9 Segn Tabla A.7 => k = 2.208

Incgnita: Limites de tolerancia del 95% que contendrn 90% de aspirina.

Solucin:

ks

con nuestros datos

325.05 2.208.0.5 = [323.946 ; 326.154]mg.

Respuesta:Los lmites de tolerancia del 95% que contendrn 90% de aspirina para esta marca son 323.946 mg y 326.154 mg,


Una muestra aleatoria de tamao n1 = 25 que se toma de una poblacin normal con una desviacin estndar 1 = 5 tiene una media = 80. Una segunda muestra aleatoria de tamao n2 = 36, que se toma de una poblacin normal diferente con una desviacin estndar 2 = 3, tiene una media = 75. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para 1 - 2.

Datos:

Tamao de la primer muestra n1 = 25. Desviacin estndar de la primer poblacin 1 = 5.

Media de la primer muestra = 80.

Tamao de la segunda muestra n2 = 36.Desviacin estndar de la segunda poblacin 2 = 3.

Media de la segunda muestra = 75.

Intervalo de confianza IC = 95% para

100(1-)% = 95% => = 0.05 =>=> z0.025 = 1.96 Aplicando Tabla A.3

Incgnita:Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 1 2, con 95% de confianza.

Solucin:

y

con nuestro datos

y

con nuestros datos

5 1.96 1.118 < 1 2 < 5 + 1.96 1.118 5 2.19 < 1 2 < 5 + 2.19 2.80 < 1 2 < 7.19

Respuesta:Podemos afirmar con 95% de confianza que la diferencia entre las medias poblacionales se encuentra entre 2.80 y 7.19.

Problema 23 (Ref: Pg. 263 Ej. 9)Una compaa de taxis trata de decidir si comprar neumticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva cabo un experimento, utilizando 12 de cada marca. Los neumticos se utilizan hasta que se gastan. Los resultados son:

Marca A: = 36300 kilmetros. s1 = 5000 kilmetros.

Marca B: = 38100 kilmetros.s2 = 6100 kilmetros.

Calcule un intervalo de confianza de 95% para 1 2,suponga que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal. Puede no suponer que las varianzas son iguales.

Datos:P1 : neumticos de la marca A.P2 : neumticos de la marca B.X1 : duracin en kilmetros de un neumtico de la marca A.X2 : duracin en kilmetros de un neumticos de la marca B.Tamao de la primer muestra n1 = 12 neumticos.Tamao de la segunda muestra n2 = 12 neumticos.

Media de la primer muestra = 36300 Km.

Media de la segunda muestra = 38100 Km.

Desviacin estndar de la primer muestra = 5000 Km.

Desviacin estndar de la segunda muestra = 6100 Km.


100(1-) % = 95% => = 0.05 => Aplicando Tabla A.4 t0.025 = 2.07892 con = 21.18 grados de libertad. Incgnita: Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 1 2, con 95% de confianza.

Solucin:

donde es el valor t con

con nuestros datos

Respuesta:Podemos afirmar con 95% de confianza que la diferencia entre las medias poblacionales se encuentra entre 6533.4 y 2933.4.

Problema 24 (Ref: Pg. 263 Ej. 7)Los siguientes datos, registrados en das, representan el tiempo de recuperacin para pacientes que se tratan al azar con uno de dos medicamentos para curar infecciones graves en la vejiga: Medicamento 1 Medicamento 2 n1 = 14 n2 = 16

= 17 = 19

= 1.5 = 1.8Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia 2 1 en el tiempo promedio de recuperacin para los dos medicamentos, suponga poblaciones normales con varianzas iguales.

Datos:

: pacientes que se tratan con el medicamento 1.

: tiempo de recuperacin en das para un paciente tratado con el medicamento 1.Tamao de la primer muestra n1 = 14 das.

Primer media muestral = 17 das.

Primer varianza muestral = 1.5 das.

: pacientes que se tratan con el medicamento 2.

: tiempo de recuperacin en das para un paciente tratado con el medicamento 2. Tamao de la segunda muestra n2 = 16 das.

Segunda media muestral = 19 das.

Segunda varianza muestral = 1.8 das.

Intervalo de confianza IC = 99% para .

100(1-)% = 99% => = 0.01 => Aplicando Tabla A.4 t0.005 = 2.763 con (n1 + n2 2) = 28 grados de libertad.

Incgnita:

Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, , con 99% de confianza.

Solucin:

y

con nuestros datos

y

con nuestros datos

luego,

con nuestros datos

2 (2.763)*(1.2886)*(0.3659) < < 2 + (2.763)*(1.1886)*(0.3659)

2 1.30 < < 2 + 1.30

0.70 < < 3.30

Respuesta:

Podemos afirmar con 99% de confianza que la diferencia entre las medias () poblacionales se encuentra entre 0.70 y 3.30.

Problema 25 (Ref: Pg. 270 - Ej. 1)a) Se selecciona una muestra aleatoria de 200 votantes y se encuentra que 114 apoyan un convenio de anexin. Encuentre un intervalo de confianza de 96% para la fraccin de la poblacin votante que favorece el convenio.b) Qu podemos asegurar con 96% de confianza acerca de la posible magnitud de nuestro error si estimamos que la fraccin de votantes que favorecen la anexin es 0.57?

Datos:

Tamao de la muestra n = 200 votantes.Nmeros de xitos x = 114 votantes.Intervalo de confianza IC = 96% para p: proporcin de votante que favorecen el convenio.

Proporcin de xitos en una muestra .

Proporcin de fracasos en una muestra

100 = 100(1 - )% = 96% => =0.04 =>=> z0.98 2.054

a) Incgnita: Intervalo de confianza de 96% para la fraccin de la poblacin que favorece el convenio.

Solucin:

con nuestros datos

0.57 (2.054)*(0.035) < p < 0.57 + (2.054)*(0.035) 0.57 0.07189 < p < 0.57 + 0.07189 0.49811 < p < 0.64189

Respuesta:Podemos afirmar con 96% de confianza que la fraccin que favorece el convenio se encuentra entre 0.49811 y 0.64189, es decir, 49.81% y 64.19% respectivamente.

b) Incgnita: Posible error de estimacin.

Solucin:

Respuesta:Podemos afirmar con 96% de confianza que le error de estimacin no superar el 7.2 %.

Problema 26 (Ref: Pg. 270 - Ej. 9) Que tan grande se requiere que sea la muestra si deseamos tener una confianza de 96% de que nuestra proporcin de la muestra estar dentro del 0.02 de la fraccin real de la poblacin votante?.

Datos:Sabemos que:

Y que

Incgnita:

Solucin:ConIntervalo de error e = 0.02.

con nuestros datos

votantes

Respuesta:

Si basamos nuestra estimacin de p sobre una muestra aleatoria de tamao 2575, podemos tener una confianza de 96% de que nuestra proporcin muestral no diferir de la proporcin real por ms de 0.02.

Problema 27 (Ref: Pg. 271 Ej. 15)Cierto genetista se interesa en la proporcin de hombres y mujeres en la poblacin que tienen cierto trastorno sanguneo menor. En una muestra aleatoria de 1000 hombres se encuentra que 250 lo padecen, mientras que 275 de 1000 mujeres examinadas parecen tener el trastorno. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre la proporcin de hombres y mujeres que padecen el trastorno sanguneo.

Datos:P1 : hombres P2 : mujeresp1 : proporcin de hombres que tienen cierto trastorno sanguneo menor.p2 : proporcin de mujeres que tienen cierto trastorno sanguneo menor.Tamao de la primer muestra n1 = 1000 hombres.Tamao de la segunda muestra n2 = 1000 mujeres.Nmero de xitos de la primer muestra x1 = 250. Nmero de xitos de la segunda muestra x2 = 275.

Proporcin de xitos de la primer muestra

Proporcin de xito de la segunda muestra

Proporcin de fracasos de la primer muestra

Proporcin de fracasos de la segunda muestra

Diferencia entre proporciones de xitos

Intervalo de confianza IC = 95%

100 = 100(1 - )% = 95% => =0.05 =>=> z0.025

Incgnita: Intervalo de confianza de 96% para la diferencia de las fracciones de poblacin que favorece el convenio.

Solucin:

con nuestros datos

con nuestros datos

0.025 (1.96)*(0.01967) < p2 p1 < 0.025 + (1.96)*(0.01967) 0.025 0.0385532 < p2 p1< 0.025 + 0.0385532 0.01355 < p2 p1< 0.06355

Respuesta:Podemos afirmar con 95% de confianza que la diferencia entre la proporcin de hombres y mujeres que padecen el trastorno sanguneo se encuentra entre 0.01355 y 0.06355.

Problema 28 (Ref: Pg. 271 Ej. 20)De acuerdo con USA Today (17 de marzo de 1997), las mujeres constituan 33.7% del personal editorial en las estaciones locales de televisin en 1990 y el 36.2% en 1994. Suponga que se contrataron 20 nuevos empleados para el personal editorial.a) Estime el nmero que habran sido mujeres en cada ao respectivamente.b) Calcule un intervalo de confianza de 95% para ver si hay evidencia de que la proporcin de mujeres contratadas como personal editorial en 1994 fue mayor que la proporcin contratada en 1990.

Datos:Tamao de la muestra n = 20 empleados.

Proporcin de xitos en 1990 las mujeres constituan 33,7 % de 20 empleados

Proporcin de xitos en 1994 las mujeres constituan 36,2 % de 20 empleados

Proporcin de fracasos de la muestra en 1990

Proporcin de fracasos de la muestra en 1994 Intervalo de confianza IC = 95%

100 = 100(1 - ) % = 95% => =0.05 =>=> z0.025 .

a) Incgnita: Estimar el nmero que habran sido mujeres en cada ao.Solucin:En 1990 el 33.7% de 20

7 mujeres

En 1994 el 36.2% de 20

7 mujeresRespuesta:

Estimamos que en 1990 habra sido de 7 mujeres, y en 1994 la estimacin habra sido de 7 mujeres.

b) Incgnita: Intervalo de confianza de 95% para ver si hay evidencia de que la proporcin de mujeres contratadas como personal editorial en 1994 fue mayor que la proporcin contratada en 1990.Solucin:

Respuesta:Podemos afirmar con 95% de confianza que no hay ninguna evidencia para asegurar que la proporcin de mujeres contratadas como personal en 1994 fue mayor que la proporcin contratada en 1990.Problema 29 (Ref: Pg. 275 Ej. 1)Un fabricante de bateras para automvil afirma que sus bateras duraran, en promedio, tres aos con una varianza de un ao. Si cinco de estas bateras tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 aos, construya un intervalo de confianza de 95% para 2 y decida si la afirmacin del fabricante de que 2 = 1 es vlida. Suponga que la poblacin de duraciones de las bateras se distribuye de forma aproximadamente normal.

Datos:P: bateras de automvil.X: tiempo de duracin en aos de una batera.Media poblacional x = 3 aos.Desviacin estndar poblacional x = 1 ao.Intervalo de varianza IC = 95%.Tamao de la muestra n = 5 bateras.

Incgnita:

2 = 1

Solucin:

Se desea estimar el valor de la varianza utilizando como estimador.

aos

Para el intervalo de confianza del 95% = 0.05

con (n-1) grados de libertad Segn Tabla A.5

con nuestros datos

()

Respuesta:

Podemos afirmar con 95% de confianza que, ya que este intervalo contiene a 1, que la afirmacin del fabricante, de que 2 = 1, es vlida.

Problema 30 (Ref: Pg. 275 Ej. 8 ligado al Ej. 9 Pg. 263)Ref. Pg. 263 Ej. 9Una compaa de taxis trata de decidir si comprar neumticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva cabo un experimento, utilizando 12 de cada marca. Los neumticos se utilizan hasta que se gastan. Los resultados son:

Marca A: = 36300 kilmetros.s1 = 5000 kilmetros.


a) Calcule un intervalo de confianza de 95% para 1 2, suponga que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal. Puede no suponer que las varianzas son iguales.

Ref. Pg. 275 Ej. 8

b) Construya un intervalo de confianza de 90% para . Estamos justificados al suponer que 21 = 22 cuando construyamos nuestro intervalo de confianza para 1 2?

Datos:P1 : neumticos de la marca A.P2 : neumticos de la marca B.X1 : duracin en kilmetros de un neumtico de la marca A.X2 : duracin en kilmetros de un neumticos de la marca B.Tamao de la primer muestra n1 = 12 neumticos.Tamao de la segunda muestra n2 = 12 neumticos.



Desviacin estndar de la primer muestra = 5000 Km.

Desviacin estndar de la segunda muestra = 6100 Km.


100(1-) % = 95% => = 0.05 => Aplicando Tabla A.4 t0.025 = 2.07892 con = 21.18 grados de libertad. a) Incgnita:Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 1 2, con 95% de confianza.

Solucin:

donde es el valor t con

con nuestros datos

con nuestros datos

Respuesta:Podemos afirmar con un 95% de confianza que la diferencia entre las medias poblacionales se encuentra entre 6533.4 y 2933.4.

b) Incgnita: Intervalo de confianza de 90% para 21/ 22.

Solucin:


100(1-)% = 90% => = 0.10 => Aplicando Tabla A.6 f0.05 = 2.80 con (n1 1, n2 - 1), es decir, con (11, 11) grados de libertad.

con nuestros datos

Respuesta:

Podemos afirmar con 90% de confianza que se encuentra entre 0.238249 y 1.894652, ya que el intervalo contiene a 1 es razonable asumir que 21 = 22.

Problema 31 (Ref: Pg. 304 Ej. 1)Suponga que un alerglogo desea probar la hiptesis de que al menos 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso. Explique como el alerglogo puede cometer:a) Un error tipo I.b) Un error tipo II.

Solucin:

) Al menos el 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso.

) Menos del 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso.

proporcin de pblico que es alrgico a algunos productos de queso.

En smbolos:

El rechazo de la hiptesis nula cuando es verdadera se llama error de tipo I.

a) Cuando concluye que al menos de 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso cuando, de hecho, el 30% o ms son alrgicos.

El no rechazo de la hiptesis nula cuando es falsa se llama error tipo II.

b) Cuando concluye que al menos el 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso cuando, de hecho, menos del 30% son alrgicos.

Problema 32 (Ref: Pg. 304 Ej. 4)Se estima que la proporcin de adultos que viven en una pequea ciudad que son graduados universitarios es p = 0.6. Para probar esta hiptesis se selecciona una muestra aleatoria de 15 adultos. Si el nmero de graduados en nuestra muestra es cualquier nmero de 6 a 12, aceptaremos la hiptesis nula de que p = 0.6 en caso contrario, concluiremos que p 0.6a) Evale con la suposicin de que p = 0.6. Utilice la distribucin binomial.b) Evale para las alternativas p = 0.5 y p = 0.7.c) Es este un buen procedimiento de prueba?.

Datos:

P : adultos graduados universitarios.p : proporcin de adultos graduados universitarios.X : un adulto graduado universitario de esa poblacin.Tamao de la muestra n = 15 adultos.

Regin de aceptacin 6 12 graduados universitarios.

Hiptesis nula H0 : p = 0.6.Hiptesis alternativa H1 : p 0.6.

a) Incgnita: Probabilidad de error tipo I,

Solucin:Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.6 graduados universitarios.

= P(error tipo I) = P(6 < < 12 | p = 0.6) = P( 6 | p = 0.6) + P( 12 | p = 0.6) =

== 0.0338 +(1 0.9729) = 0.0609 = 6.09%.

Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo I con p = 0.6 es del 6.09%.

b) Incgnita: Probabilidad de error tipo II,


= P(error tipo II) =P(6 12 | p = 0.5) = = Aplicando Tabla A.1 = 0.8464 = 84.64%.

Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.7 graduados universitarios.

= P(error tipo II) =P(6 12 | p = 0.7) = = Aplicando Tabla A.1 = 0.8695 = 86.95%.Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.5 es del 84.64%.La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.7 es del 86.95%.

c) Incgnita: Es este un buen procedimiento de prueba?Solucin:El procedimiento empleado para este ejercicio no es un buen procedimiento de prueba ya que la probabilidad es muy alta.Problema 33 (Ref: Pg. 304 Ej. 5)

Repita el ejercicio 4 cuando se seleccionan 200 adultos y la regin de aceptacin se define como 110 130 donde es el nmero de graduados universitarios en nuestra muestra. Utilice la aproximacin normal. Datos: Tamao de la muestra n = 200 adultos.

Regin de aceptacin 110 130 graduados universitarios.

Hiptesis nula H0: p = 0.6.Hiptesis alternativa H1: p 0.6.



Media .

Desviacin estndar

Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre

110 130 110 - 0.5 130 + 0.5 109.5 130.5

y

= P(error tipo I) = P(110 > > 130 | p = 0.6) = P(< 110 | p = 0.6) + P( > 130 | p = 0.6) = = P(z < -1.52) + P(z < 1.52) = (2)*(0.0643) = 0.1286 = 12.86%.



Solucin:


Media .

Desviacin estndar


110 130 110 - 0.5 130 + 0.5 109.5 130.5

y

= P(error tipo II) =P(110 < < 130 | p = 0.5) =P(1.34 < z < 4.31) = P(z 4.31) P(z 1.34) = = 1 0.9099 = 0.0901 = 9.01%.


Media .

Desviacin estndar


110 130 110 - 0.5 130 + 0.5 109.5 130.5

y

= P(error tipo II) =P(110 < < 130 | p = 0.7) = P(-4.71< z < -1.47) = P(z -1.47) P(z -4.71) = = 0.0708 0 = 0.0708 = 7.08%.

Respuesta:

La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.5 es del 9.01%.

La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.7 es del 7.08%.

c) Incgnita: Es este un buen procedimiento de prueba?

Solucin:Para este procedimiento la probabilidad de cometer un error Tipo I es algo alto, aunque se reduce dramticamente la probabilidad de cometer un error Tipo II.

Problema 34 (Ref: Pg. 305 Ej. 12)Se pregunta a una muestra aleatoria de 400 votantes en cierta ciudad si estn a favor de un impuesto adicional de 4% sobre la venta de gasolina para proporcionar ingresos que se necesitan con urgencia para la reparacin de calles. Si ms de 220 pero menos de 260 favorecen el impuesto sobre ventas, concluiremos que 60% de los votantes lo apoyan.a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I si 60% de los votantes estn a favor del aumento de impuestos.b) Cul es la probabilidad de cometer un error de tipo II al utilizar este procedimiento de prueba si en realidad slo 48% de los votantes est a favor del impuesto adicional a la gasolina?

Datos:P : votantes de una cierta ciudad.p : proporcin de votantes a favor del impuesto.X : un votante de esa ciudad.Tamao de la muestra n = 400 votantes.

Regin de aceptacin 220 < < 260 221 259 votantes que favorecen el impuesto.



Solucin:

Proporcin de votantes a favor del impuesto p = 0.6 votantes a favor del impuesto.

Media = n*p = (400)*(0.6) = 240.

Desviacin estndar = 9.79


221 259 221 - 0.5 259 + 0.5 220.5 259.5

y

= P(error tipo I) = P(221 > > 259 | p = 0.6) = P(< 221 | p = 0.6) + P( > 259 | p = 0.6) = =P(z < -1.99) + P(z < 1.99) = (2)*(0.0233) = 0.0466 = 4.66%.



Solucin:


Media = n*p = (400)*(0.48) = 192.

Desviacin estndar = 9.99

Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 220.5 y 259.5

y

= P(error tipo II) =P(221 < < 259 | p = 0.48) = P(2.85< z < 6.75) = P(z 6.75) P(z 2.85) = =1 0.9978 = 0.0022 = 0.22%.

Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.48 es del 0.22%.

Problema 35 (Ref: Pg. 305 Ej. 13)Suponga que, en el ejercicio 12, concluimos que 60% de los votantes est a favor del impuesto a la venta de gasolina si ms de 214 pero menos de 266 votantes de nuestra muestra lo favorece. Muestre que esta nueva regin de aceptacin tiene como resultado un valor ms pequeo para a costa de aumentar .

Datos:Tamao de la muestra n = 400 votantes.

Regin de aceptacin 214 < < 266 215 265 votantes que favorecen el impuesto.



Solucin:Proporcin de votantes a favor del impuesto p = 0.6 votantes a favor del impuesto.Media = n*p = (400)*(0.6) = 240.

Desviacin estndar = Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre

215 265 215 - 0.5 265 + 0.5 214.5 265.5

y

= P(error tipo I) = P(214 > > 266, cuando p = 0.6) = (2)*P(z < -2.60) = (2)*(0.0047) = 0.0094 = 0.94%.



Solucin:Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.48 graduados universitarios.Media = n*p = (400)*(0.48) = 192.

Desviacin estndar = Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 214.5 y 265.5

215 265 215 - 0.5 265 + 0.5 214.5 265.5

y

= P(error tipo II) =P(214 < < 266, cuando p = 0.48) =P(2.25 z 7.35) = P(z 7.35) P(z 2.25) = = 1 0.9878 = 0.0122 = 1.22%.

Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.48 es del 1.22%.Problema 36 (Ref: Pg. 305 Ej. 15)

Una mquina de refrescos en un restaurante de carnes asadas se ajusta de modo que la cantidad de bebida que sirva est distribuida de forma aproximadamente normal con una media de 200 mililitros y una desviacin estndar de 15 mililitros. La mquina se verifica peridicamente con una muestra de nueve bebidas y con el clculo del contenido promedio. Si cae en el intervalo 191 < < 209, se considera que la mquina opera de manera satisfactoria: de otro modo, concluimos que 200 mililitros. a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I cuando = 200 mililitros.b) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo II cuando = 215 mililitros.

Datos:P : bebida que sirve cierta maquina de refresco.X : medida en mililitros de esa maquina de refresco.Tamao de la muestra n = 9 bebidas.Desviacin estndar poblacional = 15 mililitros.

Desviacin estndar muestral = 5 mililitros.

Regin de aceptacin 191 < < 209.

Hiptesis nula H0: = 200 mililitros.Hiptesis alternativa H1: 200 mililitros.


Solucin:Media = 200 mililitros.Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 191 y 209

= -1.80 y = 1.80

= P(error tipo I) = P(191 > > 209) = (2)*P(z < -1.80) = (2)*(0.0359) = 0.0718 = 7.18%.

Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo I con es del 7.18%.


Solucin:Media = 215 mililitros.Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 191 y 209

= -4.80 y = -1.20

= P(error tipo II) =P(191 < < 209) =P(-4.80 z -1.20) = P(z -1.20) P(z -4.80) = = 0.1151 0 = 0.1151 = 11.51%.

Respuesta:La probabilidad de cometer un error tipo II es del 11.51%.

Problema 37 (Ref: Pg. 325 Ej. 1)Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviacin estndar de 40 horas. Prueba la hiptesis de que = 800 horas contra la alternativa de que 800 horas si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duracin promedio de 788 horas. Utilice un nivel de significancia de 0.04.

Datos:P : focos fabricados en cierta empresa elctrica.X : duracin en horas de un foco fabricado en esa empresa elctrica.Tamao de la muestra n = 30 focos.Desviacin estndar poblacional = 40 horas.

Media muestral = 788 horas.

Desviacin estndar muestral mililitros.Nivel de significancia = 0.04

Hiptesis nula H0: = 800 horas.Hiptesis alternativa H1: 800 horas.

Incgnita: Rechazo o aceptacin de la hiptesis nula.

Solucin:

Es conveniente estandarizar e incluir de manera formal la variable aleatoria normal estndar Z, donde

=-1.64

Si , no se rechaza H0.

Aplicando Tabla A.3.

2.055 < z < 2.055

Respuesta:

No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de z hallado se encuentra dentro de la regin de no rechazo.

Problema 38 (Ref: Pg. 326 Ej. 5)Se afirma que un automvil se maneja en promedio ms de 20000 kilmetros por ao. Para probar esta afirmacin, se pide a una muestra de 100 propietarios de automviles que lleven un registro de los kilmetros que viajen. Est de acuerdo con esta afirmacin si la muestra aleatoria muestra un promedio de 23500 kilmetros y una desviacin estndar de 3900 kilmetros?. Utilice un valor P en su conclusin.

Datos:

Tamao de la muestra n = 100 automviles.

Media muestral = 23500 kilmetros. Desviacin estndar muestral x = 3900 kilmetros.

Hiptesis nula H0: 20000 kilmetros.Hiptesis alternativa H1: > 20000 kilmetros.

Incgnita: Rechazo o aceptacin de la hiptesis nula.

Solucin:

Es conveniente estandarizar e incluir de manera formal la variable aleatoria normal estndar Z, donde

= 8.97.

P= P(Z > 8.97) 1-1 = 0

Respuesta:

Rechazamos la hiptesis nula y concluimos que 20000 Kilmetros.

Problema 39 (Ref: Pg. 326 Ej. 7 ligado al Ej. 1 Pg. 339)a) Ref. Pg. 326 Ej. 7Pruebe la hiptesis de que el contenido promedio de los envases de un lubricante particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga que la distribucin del contenido es normal.

b) Ref. Pg. 339 Ej.1Se sabe que el volumen de los envases de un lubricante particular se distribuye normalmente con una varianza de 0.03 litros. Pruebe la hiptesis de que 2 = 0.03 contra la alternativa de que 2 0.03 para la muestra aleatoria de 10 envases del ejercicio 7 de la pgina 326. Use un nivel de significanca de 0.01.

a) Ref. Pg. 326 Ej. 7

Datos:P : envases de un lubricante.X : contenido en litros de un envase de ese lubricante.Tamao de la muestra n = 10 envases.

Media muestral litros.


Nivel de significancia = 0.01

Hiptesis nula H0: = 10 litros.Hiptesis alternativa H1: 10 litros.

Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.

Solucin:

.


Aplicando Tabla A.4. - 3.250 < t < 3.250

Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de t hallado se encuentra dentro de la regin de No Rechazo.b) Ref. Pg. 339 Ej.1

Datos:

Tamao de la muestra n = 10 envases.

Media muestral litros.



Hiptesis nula H0: 2 = 0.03 litros.

Hiptesis alternativa H1: 2 0.03 litros.


Solucin:

Si = 18.13 cuando v = 10 1 = 9 grados de libertad

Segn Tabla A.5 => 0.025 < P(2 >18.13) < 0.05

Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula ya que la muestra de 10 envases no es suficiente para mostrar que 2 no es igual a 0.03.


Una muestra aleatoria de tamao n1 = 25, que se toma de una poblacin normal con una desviacin estndar 1 = 5.2, tiene una media = 81. Una segunda muestra aleatoria de tamao n2 = 36, que se toma de una poblacin normal diferente con una desviacin estndar 2 = 3.4, tiene una media = 76. Pruebe la hiptesis de que 1 = 2 contra la alternativa 1 2. Cite un valor P en su conclusin.

Datos:

Tamao de la primer muestra n1 = 25. Desviacin estndar de la primer poblacin 1= 5.2.

Media de la primer muestra = 81.

Tamao de la segunda muestra n2 = 36.Desviacin estndar de la segunda poblacin 2 = 3.4.

Media de la segunda muestra = 76.

Hiptesis nula H0: 1 = 2.Hiptesis alternativa H1: 1 2.


Solucin:

p = P(z > 4.222) 1-1 = 0

Respuesta:

Rechazamos la hiptesis nula ya que la probabilidad de que ocurra es aproximadamente del 0%.

Problema 41 (Ref: Pg. 327 Ej. 18 ligado al Ej. 9 Pg. 340)a)Ref. Pg. 327 Ej.18Una compaa armadora de automviles trata de decidir si compra llantas de la marca A o de la B para sus modelos nuevos. Se lleva a cabo un experimento, para ayudar a llegar a una decisin, en el que se usan 12 llantas de cada marca. Las llantas se utilizan hasta que se acaban. Los resultados son:

Marca A: = 37900 kilmetros.s1 = 5100 kilmetros.


Prueba la hiptesis de que no hay diferencias en las dos marcas de llantas con un nivel de significancia de 0.05. Suponga que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con varianzas iguales.

b) Ref. Pg. 340 Ej.9Con referencia al ejercicio 18 de la pgina 327, pruebe la hiptesis de que 1 = 2 contra la alternativa de que 1 < 2, donde 1 y 2 son las desviaciones estndar de las distancias que se obtienen por las llantas marca A y marca B, respectivamente. Utilice un nivel de significancia de 0.05.

a)Ref. Pg. 327 Ej.18

Datos:Tamao de la primer muestra n1 = 12 llantas. Tamao de la segunda muestra n2 = 12 llantas.Desviacin estndar de la primer muestra s1= 5100 Km. Desviacin estndar de la segunda muestra s2 = 5900 Km.



Hiptesis nula H0: 1 = 2.Hiptesis alternativa H1: 1 2.



Solucin:

Con nuestros datos:

Con nuestros datos:



Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de t hallado se encuentra dentro de la regin crtica.

b) Ref. Pg. 340 Ej.9

Datos:Tamao de la primer muestra n1 = 12 llantas. Tamao de la segunda muestra n2 = 12 llantas.Desviacin estndar de la primer muestra s1= 5100 Km. Desviacin estndar de la segunda muestra s2 = 5900 Km.



Hiptesis nula H0:

Hiptesis alternativa H1:



Solucin:Sabemos que:

con y grados de libertad

con nuestros datos:

y grados de libertad

Segn Tabla A.6


Con nuestros datos:

Grficamente:

La hiptesis nula se rechaza cuando , donde , con y grados de libertad.

con nuestros datos:

y por ello

Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula, para 12 = 22 , ya que el valor de f hallado es f < 0.35, 0.7472 < 0.35.

Problema 42 (Ref: Pg. 328 Ej. 21 ligado al Ej. 10 Pg. 340)a)Ref. Pg. 328 Ej. 21Los siguientes datos representan los tiempos de duracin de pelculas producidas por dos compaas cinematogrficas:

Compaa Tiempo (minutos)1 102 86 98 109 92

2 81 165 97 134 92 87 114

Pruebe la hiptesis de que el tiempo de duracin promedio de las pelculas producidas por la compaa 2 excede el tiempo promedio de duracin de la que produce la compaa 1 en 10 minutos, contra la alternativa unilateral de que la diferencia es de ms de 10 minutos. Utilice un nivel de significancia de 0.1 y suponga que las distribuciones de los tiempos son aproximadamente normales con varianzas iguales.

b) Ref. Pg. 340 Ej. 10Con referencia al ejercicio 21 de la pgina 328, pruebe la hiptesis de que 21 = 22 contra la alternativa de que 21 22, donde 21 y 22 son las varianzas para los tiempos de duracin de pelculas producidas por la compaa 1 y la compaa 2, respectivamente. Utilice un nivel de significancia de 0.10.

a)Ref. Pg. 328 Ej. 21

Datos:X1 : tiempo de duracin en minutos de una pelcula producida por la compaa 1.X2 : tiempo de duracin en minutos de una pelcula producida por la compaa 2.Tamao de la primer muestra n1 = 5 pelculas. Tamao de la segunda muestra n2 = 7 pelculas.

Media de la primer muestra minutos.

Media de la segunda muestra minutos.

Desviacin estndar de la primer muestra

Desviacin estndar de la segunda muestra

Hiptesis nula H0: 2 - 1 10 minutos.Hiptesis alternativa H1: 2 - 1 > 10 minutos.



Solucin:

con nuestros datos:


Con

entonces:


Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de t hallado se encuentra dentro de la regin crtica. b) Ref. Pg. 340 Ej. 10

Datos:Tamao de la primer muestra n1 = 5 pelculas. Tamao de la segunda muestra n2 = 7 pelculas.

Media de la primer muestra minutos.

Media de la segunda muestra minutos

Desviacin estndar de la primer muestra

Desviacin estndar de la segunda muestra

Hiptesis nula H0: 12 = 22.

Hiptesis alternativa H1: 12 22.



Solucin:Sabemos que:


Con nuestros datos:

y grados de libertad entonces:

Segn Tabla A.6


Con nuestros datos:

Grficamente:

La hiptesis nula se rechaza cuando , donde , con y grados de libertad.

con nuestros datos:

y

y por ello

Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula, para 12 = 22 , ya que el valor de f hallado es f < 0.16, 0.09 < 0.16.

Problema 43 (Ref: Pg. 335 Ej. 6)En cierta universidad se estima que a lo ms 25% de los estudiantes van en bicicleta a la escuela. Esta parece ser una estimacin valida si, en una muestra aleatoria de 90 estudiantes universitarios, se encuentra que 28 van en bicicleta a la escuela?. Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Datos:

P : estudiantes de cierta universidad.X : un estudiante de esa universidad.Tamao de la muestra n = 90 estudiantes.Cantidad de estudiantes que van en bicicleta x = 28 estudiantes.Proporcin de estudiantes que en bicicleta p = 0.25

Proporcin de estudiantes que no andan en bicicleta Media = n*p = (90)*(0.25) = 22.5 estudiantes.

Desviacin estndar = estudiantes.

Hiptesis nula H0: p 0.25.Hiptesis alternativa H1: p > 0.25.



Solucin:

Rechazamos H0 si Z < -1.64 siendo

Con nuestros datos:

Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula ya que no hay suficiente evidencia para concluir que P> 0.25.

Problema 44 (Ref: Pg. 335 Ej. 9)En un estudio para estimar la proporcin de residentes de cierta ciudad y sus suburbios que estn a favor de la construccin de una planta de energa nuclear, se encuentra que 63 de 100 residentes urbanos estn a favor de la construccin mientras que solo 59 de 125 residentes suburbanos la favorecen. Hay una diferencia significativa entre la proporcin de residentes urbanos y suburbanos que favorecen la construccin de la planta nuclear?. Use un valor P.

Datos:P1 : residentes urbanos de cierta ciudad.P2 : residentes suburbanos de cierta ciudad.p1 : proporcin de residentes urbanos a favor de la construccin de una planta de energa nuclear.p2 : proporcin de residentes suburbanos a favor de la construccin de una planta de energa nuclear.Tamao de la primer muestra n1 = 100 residentes urbanos. Tamao de la segunda muestra n2 = 125 residentes suburbanos.Cantidad de urbanos a favor x1 = 63 residentes urbanos. Cantidad de suburbanos a favor x2 = 59 residentes suburbanos.

Proporcin de urbanos a favor

Proporcin de suburbanos a favor

Combinacin de las proporciones Hiptesis nula H0: p1 = p2.Hiptesis alternativa H1: p1 p2.


Solucin:

Utilizamos la aproximacin normal

P(z > 2.36 ) = 2* P(z > 2.36) = 2*(1 0.9909) = 0.0182 = 1.82%

Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula ya que hay una probabilidad de que ocurra del 1.82%. La proporcin de los residentes urbanos a favor de la construccin de una planta de energa nuclear es mayor que la proporcin de los residentes suburbanos a favor de la construccin de dicha planta.

Problema 45 (Ref: Pg. 335/336 Ej. 10)En un estudio sobre la fertilidad de mujeres casadas por Martn O`Connell y Carolyn C. Rogers para la Oficina de Censos en 1979, se seleccionaron al azar dos grupos de esposas con edades de 25 a 29 sin hijos y a cada mujer se le pregunt si planeaba tener un hijo. Se seleccion un grupo entre las mujeres con menos de dos aos de casadas y otro entre las que tenan cinco aos de casadas. Suponga que 240 de 300 con menos de dos aos de casadas planean tener algn da un hijo comparadas con 288 de las 400 con cinco aos de casadas. Podemos concluir que la proporcin de mujeres con menos de dos aos de casadas que planean tener hijos es significativamente ms alta que la proporcin con cinco aos de casadas?. Use un valor P.

Datos:P1 : mujeres con menos de dos aos de casada.P2 : mujeres con cinco aos de casadas.p1 : proporcin de mujeres con menos de dos aos de casadas.p2 : proporcin de mujeres con cinco aos de casadas.Tamao de la primer muestra n1 = 300 mujeres con menos de dos aos de casadas. Tamao de la segunda muestra n2 = 400 mujeres con cinco aos de casadas.Cantidad con menos de dos aos de casadas x1 = 240 mujeres. Cantidad con cinco aos de casadas x2 = 288 mujeres.

Proporcin con menos de dos aos

Proporcin con cinco aos

Combinacin de las proporciones

Hiptesis nula H0: p1 p2.

Hiptesis alternativa H1: p1 p2.


Solucin:Utilizamos la aproximacin normal

P(z > 2.44 ) = 1 P(z 2.44) = 1 0.9927 = 0.0073 = 0.73%.

Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula. La proporcin de mujeres con menos de 2 aos de casadas que planean tener hijos es considerablemente ms alta que la proporcin de mujeres con 5 aos de casadas que planean tener hijos. Problema 46 (Ref: Pg. 328 Ej. 24)Cinco muestras de una sustancia ferrosa se usan para determinar si hay una diferencia entre un anlisis qumico de laboratorio y un anlisis de fluorescencia de rayos X del contenido de hierro. Cada muestra se divide en dos submuestras y se aplican los dos tipos de anlisis. A continuacin se presentan los datos codificados que muestran los anlisis de contenido de hierro:

Muestra

Anlisis 12345

Rayos X 2,02,02,32,12,4

Qumico2,21,92,52,32,4

Suponga que las poblaciones son normales, pruebe con un nivel de signficancia de 0.05 si los dos mtodos de anlisis dan, en promedio, el mismo resultado.

Datos: Tamao de la muestra n = 5 muestras.

Hiptesis nula H0: 1 = 2 .Hiptesis alternativa H1: 1 2.



Solucin:

Regin critica


Donde con v = n-1 grados de libertadCalculando:

La media muestral Muestra

Anlisis 12345

Rayos X 2,02,02,32,12,4

Qumico2,21,92,52,32,4

-0,20,1-0,2-0,20,0

la desviacin estndar

con nuestros datos:

Calculamos con nuestros datos

Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula. Concluimos que ambos mtodos no son considerablemente diferentes.

Problema 47 (Ref: Pg. 329 Ej. 25)El administrador de una compaa de taxis trata de decidir si el uso de llantas radiales en lugar de llantas regulares de cinturn mejora la economa de combustible. Se equipan 12 autos con llantas radiales y se manejan por un recorrido de prueba preestablecido. Sin cambiar de conductores, los mismos autos se equipan con llantas comunes con cinturn y se manejan otra vez por el recorrido de prueba. El consumo de gasolina, en kilmetros por litro, se registr como sigue:

Kilmetros por litro

AutoLlantas radialesLlantas con cinturn

14,24,1

24,74,9

36,66,2

47,06,9

56,76,8

64,54,4

75,75,7

86,05,8

97,46,9

104,94,7

116,16,0

125,24,9

Podemos concluir que los autos equipados con llantas radianes dan una economa de combustible mejor que los equipados con llantas de cinturn?. Suponga que las poblaciones se distribuyen normalmente. Utilice un valor P en su conclusin.Datos: Tamao de la muestra n = 12 autos.

Hiptesis nula H0: 1 = 2 .Hiptesis alternativa H1: 1 > 2.



Solucin:

Donde con v = n-1 grados de libertad

Calculando:

La media muestral

Kilmetros por litro

AutoLlantas radialesLlantas con cinturn

14,24,10,1

24,74,9-0,2

36,66,20,4

47,06,90,1

56,76,8-0,1

64,54,40,1

75,75,70,0

86,05,80,2

97,46,90,5

104,94,70,2

116,16,00,1

125,24,90,3

Kmla desviacin estndar

con nuestros datos:

Km


Y P = P( > 2.48) = 0.02 con 11 grados de libertad

Respuesta:Rechazamos hiptesis nula ya que el nivel de significancia esta por encima del 0.02.

Problema 48 (Ref: Pg. 329 Ej. 26)En el ejercicio 2 de la pgina 287, utilice la distribucin t para probar la hiptesis de que la dieta reduce el peso de una persona en 4.5 kilogramos en promedio contra la hiptesis alternativa de que la diferencia media en peso es menor que 4.5 kilogramos. Utilice un valor P.

Datos: Tamao de la muestra n = 7 mujeres.

Hiptesis nula H0: 1 - 2 = 4.5 Kilogramos Hiptesis alternativa H1: 1 - 2 < 4.5 Kilogramos


Solucin:


Calculando:

La media muestral

Mujeres

Peso1234567

Antes58,560,361,769,064,062,656,7

Despus60,054,958,162,158,559,954,4

-1,55,43,66,95,52,72,3

Kilogramos


con nuestros datos:

Kilogramos


Y P = P( > 0.896) = 0.3 con 6 grados de libertad

Respuesta:No rechazamos la hiptesis nula.

Problema 49 (Ref: Pg. 329/330 Ej. 28)En un estudio realizado por el Departamento de Nutricin Humana y Alimentos del Instituto Politcnico y Universidad Estatal de Virginia se registraron los siguientes datos acerca de la comparacin de residuos de cido srbico, en partes por milln, en jamn inmediatamente despus de sumergirlo en una solucin de cido y despus de 60 das de almacenamiento:

Residuos de cido srbico en jamn

RebanadaAntes del almacenamientoDespus del almacenamiento

1224116

227096

3400239

4444329

5590437

6660597

71400689

8680576

Si se supone que las poblaciones se distribuyen normalmente, hay suficiente evidencia, al nivel de significancia de 0.05, para decir que la duracin del almacenamiento influye en las concentraciones residuales de cido srbico?

Datos: Tamao de la muestra n = 8 rebanadas.

Hiptesis nula H0: 1 = 2. Hiptesis alternativa H1: 1 2.



Solucin:

Regin critica



Calculando:

La media muestral

Residuos de cido srbico en jamn

RebanadaAntes del almacenamientoDespues del almacenamiento

1224116108

227096174

3400239161

4444329115

5590437153

666059763

71400689711

8680576104

Milln/partes


Milln/partes


Respuesta:Rechazamos la hiptesis nula. La duracin de almacenamiento influye en las concentraciones residuales de cido srbico.

Problema 50 (Ref: Pg. 353 Ej. 6)Principio del formularioSe seleccionan tres canicas de una urna que contiene cinco canicas rojas y tres verdes. Despus de registrar el nmero X de canicas rojas, las canicas se reemplazan en la urna y el experimento se repite 112 veces. Los resultados que se obtienen son los siguientes:

x0123

f1315525

Pruebe la hiptesis con un nivel de significancia de 0.05 de que los datos registrados se pueden ajustar con una distribucin hipergeomtrica h (x; 8, 3, 5), x = 0, 1, 2, 3.

Datos:Variable aleatoria X: nmeros de canicas rojas.Repeticiones del experimento m = 112 veces.

Hiptesis nula H0: X ~ h(x, 8, 3, 5) x = 0, 1, 2, 3.Hiptesis alternativa H1: es falso.

Nivel de significancia = 0.05.

Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.Solucin:

X ~ h(x, N, n, k) => P(x = xi) = x = 0, 1, 2, 3,....., n.

Aplicando la distribucin hipergeomtrica a nuestros datos:

P(x = 0)= e0 = (112)*(0.01786) = 2.

P(x = 1)= e1 = (112)*(0.26786) = 30.

P(x = 2)= e2 = (112)*(0.53571) = 60.

P(x = 3)= e3 = (112)*(0.17857) = 20.

IxiP(x = xi)ei = mpioij

100.01786211

210.267863031

320.5357160552

430.1785720253

Totales~ 1112112

Combinamos las clases adyacentes, donde las frecuencias esperadas son menores que cinco. En consecuencia, el numero total de intervalos se reduce de cuatro a tres, lo que tiene como resultado = 2 grados de libertad.

Utilizando el Teorema 10.1; que dice:

Una prueba de la bondad de ajuste entre las frecuencias observadas y esperadas se basa en la cantidad

Donde es un valor de una variable aleatoria cuya distribucin muestral se aproxima muy de cerca con la distribucin ji cuadrada con = k 1grados de libertad. Los smbolos y representan las frecuencias observada y esperada, respectivamente, para la i-sima celda.

Con nuestros datos, el valor est dado entonces por

Para un nivel de significancia igual a , encontramos el valor crtico de la tabla A.5., y entonces constituye la regin critica.

Con el uso de la tabla A.5., encontramos = 5.991 con = 2 grados de libertad.

Respuesta:

Como , 1.667 < 5.991, No se rechaza la hiptesis nula. Concluimos que no hay suficiente evidencia para sospechar que la distribucin no es hipergeomtrica.

Problema 51 (Ref: Pg. 353 Ej. 7)Se lanza una moneda hasta que sale una cara y se registra el nmero de lanzamientos X. Despus de repetir el experimento 256 veces, obtenemos los siguientes resultados:

x12345678

f1366034129131

Prueba la hiptesis con un nivel de significancia de 0.05 de que la distribucin observada de X se puede ajustar por una distribucin geomtrica g (x; 1/2), x = 1, 2, 3,......

Datos:Variable aleatoria X: nmeros de lanzamientos hasta que sale una cara.Repeticiones del experimento m = 256 veces.

Hiptesis nula H0: X ~ G(x, ) x = 1, 2, 3,..Hiptesis alternativa H1: es falso.



Solucin:

X ~ G(x, p) => P(x = xi) = pqx-1, x = 1, 2, 3,.....

Aplicando la distribucin hipergeomtrica a nuestros datos

P(x = 1) = e1 = (256)*(0.5) = 128

P(x = 2) = e2 = (256)*(0.25) = 64

P(x = 3) = e3 = (256)*(0.125) = 32

P(x = 4) = e4 = (256)*(0.0625) = 16

P(x = 5) = e5 = (256)*(0.03125) = 8

P(x = 6) = e6 = (256)*(0.15625) = 4

P(x = 7) = e7 = (256)*(0.0078125) = 2

P(x = 8) = e8 = (256)*(0.0078125) = 2

ixiP(x = xi)ei = mpioij

110.51281361

220.2564602

33 0.12532343

440.062516124

550.03125895

660.015625416

770.007812523

880.0039062521

Totales~ 1256256

Combinamos las clases adyacentes, donde las frecuencias esperadas son menores que cinco. En consecuencia, el numero total de intervalos se reduce de ocho a seis, lo que tiene como resultado = 5 grados de libertad.

Con nuestros datos el valor est dado entonces por

Para un nivel de significancia igual a , encontramos el valor critico de la tabla A.5., y entonces constituye la regin critica.


Respuesta:

Como , 3.125 < 11.070, No se rechaza la hiptesis nula. Concluimos que no hay suficiente evidencia para sospechar que la distribucin no es geomtrica.

Problema 52 (Ref: Pg. 353 Ej. 10)En el ejercicio 1 de la pagina 68, pruebe la bondad de ajuste entre las frecuencias de clase que se observan y las frecuencias esperadas correspondientes de una distribucin normal con = 65 y = 21, utilice un nivel de significancia de 0.05.

Datos:

Calificaciones m = 60.Intervalos i = 9.Media = 65.Desviacin estndar = 21.

Hiptesis nula H0: X ~ N(x, 65, 21)Hiptesis alternativa H1: es falso.


De acuerdo con el ejercicio 1 de la pgina 68, los intervalos y las frecuencias que se observan son

iLimite de clasesoi

1- 19.53

219.5 29.52

329.5 39.53

439.5 49.54

549.5 59.55

659.5 69.511

769.5 79.514

879.5 89.514

989.5 + 4

Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.Solucin:Los valores z que corresponden a los lmites de las clases son:

de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z11 y z12 esP(- < z < -2.17) = P(z < -2.17) P(z < - ) = 0.0150 0 = 0.0150De aqu, la frecuencia esperada para la primer clase ese1 = (60)*(0.0150) = 0.9

de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z21 y z22 esP(-2.17 < z < -1.69) = P(z < -1.69) P(z < -2.17) = 0.0455 0.0150 = 0.0305De aqu, la frecuencia esperada para la segunda clase ese2 = (60)*(0.0305) = 1.83

de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z31 y z32 esP(-1.69 < z < -1.21) = P(z < -1.21) P(z < -1.69) = 0.1131 0.0455 = 0.0676De aqu, la frecuencia esperada para la tercer clase ese3 = (60)*(0.0676) = 4.056

de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z41 y z42 esP(-1.21 < z < -0.74) = P(z < -0.74) P(z < -1.21) = 0.2296 0.1131 = 0.1165De aqu, la frecuencia esperada para la cuarta clase ese4 = (60)*(0.1165) = 6.99

de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z51 y z52 esP(-0.74 < z < -0.26) = P(z < -0.26) P(z < -0.74) = 0.3974 0.2296 = 0.1678De aqu, la frecuencia esperada para la quinta clase ese5 = (60)*(0.1678) = 10.068

de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z61 y z62 esP(-0.26 < z < 0.21) = P(z < 0.21) P(z < -0.26) = 0.5832 0.3974 = 0.1858De aqu, la frecuencia esperada para la sexta clase ese6 = (60)*(0.1858) = 11.148

de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z71 y z72 esP(0.21 < z < 0.69) = P(z < 0.69) P(z < 0.21) = 0.7549 0.5832 = 0.1717De aqu, la frecuencia esperada para la sptima clase ese7 = (60)*(0.1717) = 10.302

de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z81 y z82 esP(0.69 < z < 1.17) = P(z < 1.17) P(z < 0.69) = 0.8790 0.7549 = 0.1241De aqu, la frecuencia esperada para la octava clase ese8 = (60)*(0.1241) = 7.446

de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z91 y z92 esP(1.17 < z < +) = P(z < +) P(z < 1.17) = 1 0.8790 = 0.121De aqu, la frecuencia esperada para la novena clase ese9 = (60)*(0.121) = 7.26

iP(x = xi)ei = mpioij

10.01500.900031

20.03051.83002

30.06764.05603

40.11656.990042

50.167810.06853

60.185811.148114

70.171710.302145

80.12417.4460146

90.12107.26004

Totales~ 16060

Combinamos las clases adyacentes, donde las frecuencias esperadas son menores que cinco. En consecuencia, el numero total de intervalos se reduce de nueve a seis, lo que tiene como resultado = 5 grados de libertad.




Respuesta:

Como , 6.11 < 11.070, No se rechaza la hiptesis nula. Concluimos que no hay suficiente evidencia para sospechar que la distribucin no es normal.

Problema 53 (Ref: Pg. 353 Ej. 11)En el ejercicio 5 de la pagina 69, pruebe la bondad de ajuste entre las frecuencias de clase que se observan y las frecuencias esperadas correspondientes de una distribucin normal con = 1.8 y = 0.4, utilice un nivel de significancia de 0.01.

Datos:

Calificaciones m = 40.Intervalos i = 10.Media = 1.8.Desviacin estndar = 0.4.

Hiptesis nula H0: X ~ N(x, 1.8, 0.4)Hiptesis alternativa H1: es falso.

Nivel de significancia = 0.01. De acuerdo con el ejercicio 5 de la pgina 69, los intervalos y las frecuencias que se observan son

iLimite de clasesoi

1- 0.7951

20.795 0.9951

30.995 1.1951

41.195 1.3952

51.395 1.5954

61.595 1.79513

71.795 1.9958

81.995 2.1955

92.195 2.3953

102.395 + 2

Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula.Solucin:Los valores z que corresponden a los lmites de las clases son:

= -2.51 de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z11 y z12 esP(- < z < -2.51) = P(z < -2.51) P(z < - ) = 0.0060 0 = 0.0060De aqu, la frecuencia esperada para la primer clase ese1 = (40)*(0.0060) = 0.24

= -2.51= -2.01 de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z21 y z22 esP(-2.51 < z < -2.01) = P(z < -2.01) P(z < -2.51) = 0.0222 0.0060 = 0.0162De aqu, la frecuencia esperada para la segunda clase ese2 = (40)*(0.0162) = 0.648

= -2.01= -1.51 de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z31 y z32 esP(-2.01 < z < -1.51) = P(z < -1.51) P(z < -2.01) = 0.0655 0.0222 = 0.0433De aqu, la frecuencia esperada para la tercer clase ese3 = (40)*(0.0433) = 1.732

= -1.51= -1.01 de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z41 y z42 esP(-1.51 < z < -1.01) = P(z < -1.01) P(z < -1.51) = 0.1562 0.0655 = 0.0907De aqu, la frecuencia esperada para la cuarta clase ese4 = (40)*(0.0907) = 3.628

= -1.01= -0.51de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z51 y z52 esP(-1.01 < z < -0.51) = P(z < -0.51) P(z < -1.01) = 0.3050 0.1562 = 0.1488De aqu, la frecuencia esperada para la quinta clase ese5 = (40)*(0.1488) = 5.952

= -0.51= 0.01de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z61 y z62 esP(-0.51 < z < 0.01) = P(z < 0.01) P(z < -0.51) = 0.4960 0.3050 = 0.191De aqu, la frecuencia esperada para la sexta clase ese6 = (40)*(0.191) = 7.64

= 0.01= 0.49de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z71 y z72 esP(0.01 < z < 0.49) = P(z < 0.49) P(z < 0.01) = 0.6879 0.4960 = 0.1919De aqu, la frecuencia esperada para la sptima clase ese7 = (40)*(0.1919) = 7.676

= 0.49= 0.99de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z81 y z82 esP(0.49 < z < 0.99) = P(z < 0.99) P(z < 0.49) = 0.8389 0.6879 = 0.151De aqu, la frecuencia esperada para la octava clase ese8 = (40)*(0.151) = 6.04

= 0.99= 1.49de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z91 y z92 esP(0.99 < z < 1.49) = P(z < 1.49) P(z < 0.99) = 0.9319 0.8389 = 0.093De aqu, la frecuencia esperada para la novena clase ese9 = (40)*(0.093) = 3.72

= 1.49de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z101 y z102 esP(1.49 < z < + ) = P(z < + ) P(z < 1.49) = 1 0.9319 = 0.0681De aqu, la frecuencia esperada para la dcima clase ese9 = (40)*(0.0681) = 2.724

iP(x = xi)ei = mpioij

10,0060,24011

20,01620,6481

30,04331,7321

40,09073,6282

50,14885,95242

60,1917,640133

70,19197,67684

80,15106,04055

90,09303,7236

100,06812,7242

Totales~ 14040

Combinamos las clases adyacentes, donde las frecuencias esperadas son menores que cinco. En consecuencia, el numero total de intervalos se reduce de diez a seis, lo que tiene como resultado = 5 grados de libertad.




Respuesta:

Como , 5.166 < 15.086, No se rechaza la hiptesis nula. Concluimos que no hay suficiente evidencia para sospechar que la distribucin no es normal.

Problema 54 (Ref: Pg. 353 Ej. 12)En un experimento para estudiar la dependencia de la hipertensin de los hbitos de fumar, se tomaron los siguientes datos de 180 individuos: No fumadoresFumadores modernosFumadores empedernidos

Con hipertensin213630

Sin hipertensin482619

Pruebe la hiptesis de que la presencia y ausencia de hipertensin es independiente de los hbitos de fumar. Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Datos:

Tamao de la muestra n = 180 individuos.

Hiptesis nula H0: independientes.Hiptesis alternativa H1: dependientes.


Incgnita: Dependencia o no de la hipertensin de los hbitos de fumar.

Solucin:

Buscamos las frecuencias marginales, para ello armamos una tabla de contingencia de 2 3 y definimos los siguientes eventos.N: Un individuo seleccionado es no fumador.M: Un individuo se

probabilidad y estadistica problemas walpole ed6

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