PROBABILIDAD Y ESTADISTICA IPRÁCTICA PREPARATORIA DEL CAPÍTULO IV

1.- La mesa directiva de una escuela pública está compuesta por cinco miembros de la comunidad, dos de los cuales son abogados. El ministerio de educación planea seleccionar dos de los cinco miembros de esta mesa directiva al azar, para constituir un subcomité que debe negociar con el sindicato del profesorado de esa escuela. El interés está en la composición de ese subcomité.

a) Defina el experimento.b) Hacer una lista de los puntos muestrales de S.c) Si todas las posibles parejas de miembros de la mesa directiva tienen la misma probabilidad

de ser seleccionadas, ¿Cuál es la probabilidad de que el comité quede constituido por dos abogados?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el subcomité tenga al menos un abogado? ¿Cuál sería de que no tenga abogados?

Solución

N = 5 2 abogados A1 A2R = 2 3 profesores P1 P2 P3

a) X = N° de personas elegidas para formar el subcomité

b) N° casos posibles(52)= 5 !3 !2!

=10

S= {( A1 P1 ) ( A1P2 ) ( A1 P3 ) (A2P1) ( A2P2 ) ( A2 P3 ) (A1 A2 ) (P1P2 ) (P1P3 ) (P2P3 )}

c) P (X=2 A )=¿ A¿ S

= 110

=0.10

d) P (X ≥1 A )=P ( X=1 A )+P (X=2 A )= 610

+ 110

= 710

=0.70

P (X=0 )= 310

=0.30

2.- A una reunión llegan Carmen, Lola, Mercedes, Juan, Fernando y Luis. Se eligen dos personas al azar sin importar el orden:

a) Obtener el espacio muestral de este experimento.b) Calcular la probabilidad de que dos personas sean del mismo sexo.

Solución

N = 6 Carmen = C, Lola = Lo, Mercedes = MR = 2 Juan = J, Fernando = F, Luis = Lu.

a) N ° casos posibles=(nr )= 6 !4 !2 !

=15

S= {(C , Lo ) (C ,M ) (C ,J ) (C , F ) (C ,Lu ) (Lo , M ) (Lo , J ) (Lo ,F ) (Lo ,Lu ) (M ,J ) (m ,F ) (M , Lu ) (J ,F ) ( J , Lu )(F ,Lu)}b) X = dos sean del mismo sexo

P (X )=¿ X¿S

= 615

=0.40

3.- Considere el siguiente experimento: se lanza una moneda hasta que aparece la primera cara.a) ¿Cuáles son los elementos del espacio muestral?b) Escribirlos elementos del evento A definido por “la primera cara aparece en los tres primeros

lanzamientos”. Escribir los elementos del suceso B dado por “la primera cara sale en un lanzamiento par”.

Solución

a) N ° casos posibles=2n

X = N° de carasn = N° de lanzamientos

b) A = la 1° cara aparece en las tres primeros lanzamientosN° casos posibles = 23 = 8

S= {(ccc ) (ccs ) ( css ) ( sss ) ( ssc ) (scs )(csc)}SX={(ccc ) (ccs ) (cs s )(csc )}

4.- Una urna contiene 13 fichas, de las cuales 6 fichas están numeradas con 15, cuatro numeradas con 10 y tres con 5. Si de esa urna se sacan tres fichas ala azar y al mismo tiempo, calcular la probabilidad de que:

a) Al menos dos de ellas tengan el mismo número.b) La suma de las tres fichas sea 30.

Solución

N = 13R = 3

a) P (X ≥2mismonúmero )=P (X=2 )+P ( X=3 )

N ° casos posibles=(133 )= 13 !

10 !3 !=286

P ( x≥2 )=(62)(4

1)(30)

(133 )

+(62)(4

0)(31)

(133 )

+(61)(4

2)(30)(13

3 )+(60)(4

2)(31)(13

3 )+

(61)(40)(32)

(133 )

+(60)(41)(32)

(133 )

+(63)(4

0)(30)(13

3 )+(60)(4

3)(30)(13

3 )+

(60)(40)(33)

(133 )

P (X ≥2 )= 60286

+ 45286

+ 36286

+ 18286

+ 18286

+ 12286

+ 20286

+ 4286

+ 1286

=214286

=0.748

b) X = suma sea 30

P ( x=30 )=(61)(41 )(31)(13

3 )+(60)(4

3)(30)

(133 )

¿ 6∗4∗3286

+1∗4∗1286

= 76286

=0.2657

5.- De 100 pacientes examinados, 20 padecían de artritis, 32 padecían de gastritis y 8 tenían ambos males. Hallar la probabilidad de seleccionar un apaciente que padezca de artritis o gastritis.

Solución

N = 10020 artritis = A32 gastritis = B8 ambos males = A ∩ B

P (artritis o gastritis) = P (A U B)P (A∪B )=P (A )+P (B )−P ( A∩B )

P (A∪B )= 20100

+ 32100

− 8100

=0.2+0.32−0.08=0.44

6.- Suponga que en la industria de los cereales envasados, el 29 % de los vicepresidentes poseen el titulo de maestría en administración de empresas, el 24% de ellos han realizado estudios en una escuela comercial y el 8% tiene ambas cosas. Se va a seleccionar un vicepresidente al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el vicepresidente tenga o bien el titulo de maestría en administración de empresas o haya realizado estudios en una escuela comercial (o ambas cosas)?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el vicepresidente no tenga ninguno de los títulos anterires?

Solución

a) P (A∪B )=P (A )+P (B )−P ( A∩B )P (A∪B )=0.29+0.24−0.08=0.45=45 %

b) P (A ∩B )=P (A∪B )=1−P (A∪B ) ¿1−[P ( A )+P (B )−PA∩B¿ ]

¿1− [0.29+0.24−0.08 ] ¿1−0.45=0.55=55 %

7.-

SoluciónA = llegue tarde a la junta matutinaB = llegue tarde a la junta vespertina

a) P (A )=0.40P (B )=0.50

P (A ∩B )=0.25P (A ∩B )=P (A )P (B )

0.25=0.40∗0.50

0.25≠0.20∴ A y Bnosonindependientes

b) P = llegue a tiempo a ambas juntas = P(A∩B)P (A ∩B )=P (A∪B )=1−P (A∪B )

¿1−[P ( A )+P (B )−PA∩B¿ ] ¿1− [0.40+0.50−0.20 ] ¿1−0.70=0.30

c) P = exactamente a una junta = P (A∪B )=P (A )+P (B )−P ( A∩B )P (A∪B )=0.40+0.50−0.4∗0.5=0.70

8.-

SoluciónN = 600

a) P (M∩Si )=¿casos favorables¿casos posibles

=250600

= 512

=0.4166

b) P (M∪ Si )=P (M )+P (Si )−P (M∩Si )

¿ 303600

+ 362600

−250600

=415600

= 83120

=0.6 9

c) P (M∩No )=P (No )−P (M∩No )

¿ 238600

− 53600

=185600

=0.30 8

9.-

Solución

Rendimiento = ACapacidad directiva = B

A={ 18 %exelente71 % satisfactorio

11 % insatisfactorioB={ 24 %clara

40 % posible36 % i mposible

a) P (E∩C )=P (E )P (C )=0.18∗0.24=0.043

b) Supuestos A y B son independientes E y C son independientes

10.-

Solución

A = se termina en la fechaB =se termina en el segundo proyectoA y B son independientesP (A∪B )=0.9

P (A ∩B )=0.5P (A )=?P (A∪B )=P (A )+P (B )−P ( A∩B )=0.9………………. 1P (A ∩B )=P (A )P (B )=0.5……………………. 2Despejando de P(B) de 2:

P (B )= 0.5P (A )

Reemplazando en 1

P (A )+ 0.5P (A )

−0.5=0.9 //*P(A)

P (A )2+0.5=1.4 P (A )P (A )2−1.4 P ( A )+0.5=0

P (A )=−1.4±√1.42−4 (0.5 )2

=1.4±0.22

={0.80.6

11.-

Solución

P (A )=0.6P (B )=0.8P (A ∩B )=0.4

a) P (A ∩B )=P (B )−P (A∩B )=0.8−0.4=0.4 P (A ∩B )=P (A )−P ( A∩B )=0.6−0.4=0.2

b) P (A ∩B )=P (A∪B )=1−P (A∪B ) ¿1−[P ( A )+P (B )−PA∩B¿ ]

¿1− [0.6+0.8−0.4 ] ¿1−1=0.0

c) P (A∪B )=P (A )+P (B )−P ( A∩B )=0.6+0.8−0.4=1

d) P (A ∩B )∩P ( A∩B )=[P ( A )−P ( A∩B ) ] [P (B )−P ( A∩B ) ] ¿ [ 0.6−0.4 ] [ 008−0.4 ]

¿0.2∗0.4=0.812.-

Solución

P (A )=0.6P (B )=0.15

a) P (Ac )=1−P (A )=1−0.60=0.4

b)P (A∪B )=P (A )+P (B )−P (A∩B )⏞

0

=0.6+0.15=0.75

c) P (A ∩B )=P (A∪B )=1−P (A∪B )=1−0.75=0.25

13.-

Solución

P (A )=0.5P (B )=0.4P (A ∩B )=0.3

a) P (A∪B )=0.31−P ( A∪B )=0.3P (A∪B )=1−0.3=0. 7

b) P (A ∩B )=P (A )+P (B )−P (A∪B )=0.5+0.4−0. 7=2

c) P (A ∩B )=P (A )−P ( A∩B )=0.5−0.2=0.3

d) P (A ∩B )=P (B )−P (A∩B )=0.4−0.2=0.2

e) P (A∪B )=1−P ( A∩B ) ¿1−[P ( A )−P ( A∩B ) ] ¿1−( 0.5−0.2 )=0.70

14.-

Solución

P (A )=0.4 P (A∩B )=0.2P (B )=0.5 P (A∩C )=0.2P (C )=0.7 P (B∩C )=0.4P (A ∩B∩C )=0.1

a) P (A∪B∪C )=P (A )+P (B )+P (C )−P ( A∩B )−P (A ∩C ) −P (B∩C )+P(A∩B∩C)

¿0.4+0.5+0.7−0.2−0.2−0.4+0.1=1.7−0.8=0.9

b) P (A∪B∪C )=1−P (C∩ A∩B) ¿1−[P (C )−P (A ∩B∩C ) ] ¿1− [0.7−0.1 ]¿1−0.6=0.4

15.-

Solución

P (A1 )=0.22 P (A1∩ A2 )=0. 11

P (A2 )=0.25 P ( A1∩ A3 )=0.05

P (A3 )=0.28 P ( A2∩ A3 )=0.07

P (A1∩A2∩ A3 )=0.0 1

a) P (A1∪A2 )=P ( A1 )+P ( A2)−P (A1∩ A2 )=0. 22+0. 25−0.11=0.36

b) P (A1∩A2 )=P ( A1∪ A2 )=1−P (A1∪A2 ) ¿1−0.11 ¿0.89

c) P (A1∪A2∪ A3 )=P ( A1∩A2∩A3 ) ¿1−P ( A1∩ A2∩A3 ) ¿1−0.01=0.99

d) P (A1∩A2∩ A3 )=P ( A1∪ A2∪A3 ) ¿1−P ( A1∪ A2∪A3 ) ¿1−[P ( A1)+P ( A2 )+P ( A3 )−( A1∩ A2)−P (A1∩ A3 )−P ( A2∩ A3 )−P (A1∩ A2∩ A3 ) ] ¿1− [0.22+0.25+0.28−0.11−0.05−0.07+0.01 ] ¿1−0.53=0.47

e) P (A1∩A2∩ A3 )=P ( A3 )−P (A1∩ A2∩ A3 ) ¿ P (A3 )−[P ( A1∩ A3 )−P ( A1∩A2∩A3 )+P (A2∩A3 )−P ( A1∩ A2∩ A3 )+P ( A1∩ A2∩ A3 ) ] ¿ P (A3 )−P ( A1∩ A3)−P (A2∩A3 )+P ( A1∩A2∩ A3 ) ¿0.28−0.05−0.07+0.01=0.17

f) P (A1∩A2 )∪A3=1−[P ( A1∩ A2 )−P ( A1∩A3 )+P ( A2∩A3 )−P ( A1∩ A2∩ A3 ) ] ¿1−[0.22+0.25−0.11−(0.05+0.07−0.01 ) ] ¿1−0.25=0.75

16.-

Solución

P (A )=0.3P (B )=0.2P (A ∩B )=0.1

a) P (B /A )= P(B∩ A)P (A )

=0.10.3

=0.33

b) P (B /A )=P(A∩B)P (A )

=P (A )−P(A∩B)

P(A)=

0.3−0.10.3

=0.20.3

=0.67

c) P (B /A )=P(B∩ A )P (A )

=P (B )−P(A∩B)

1−P(A)=

0.2−0.11−0.3

=0.10.7

=0.14

17.-

Solución

P (C /A )=0.8P (C /B )=0. 4A∩B=0A∪B=S=1P (A )=0.7

a) P (C /A )=P ( A∩B )P ( A )

=0.8

P (A ∩B )=0.8 (0.7 )=0.56

P (C /B )= P (B∩C )P (B )

=0.4

P (A∪B )=P (A )+P (B )−P ( A∩B )=1 P (A ∩B )=P (A )+P (B )−P (A∪B )=0 P (AB )=P (A )+P (B ) 1=0.7+P (B )→P (B )=0.3

P (B∩C )=0. 4 (0.3 )=0.12 P (A ∩B )=1−0.7−0.3=0P (A )+P (B )+P (C )=1 P (C )=1−0.7−0.3=0→P (C )=0

b) P (A /C )=P (A ∩C)P(C )

=P ( A )−P(A∩C)

1−P(C)=

0.7−0.561−0

=0.14

c) P (A∪B )=P (A )+P (B )−P ( A∩B )=0.7+0.3−0=1

18.-

Solución

N = 100 56 M 82 C 44 V 43 MC

a) X = Hombre soltero

P (X )=¿ X¿S

= 5100

=0.0 5

b) P (M /C )=P (M∩C )P (C )

=

4310082

100

=0.524

19.-

Solución

P (M )=52 %P (H )=48 %

P (M∩I )= 1125

P (H∩I )= 532

M H total

I 1/1250.323

70.33175

I 0.512 5/32 0.6682tota

l0.52 0.48 1

a) P ( I )= N ° de favN ° de pos

=0.331751

=0.33

b)P ( I /M )=

P(I ∩M )P(M )

=P (M )−P (M∩I )

P(M )=

0.52− 1125

0.52=0.9846

c) P ( I /H )=P(I ∩M )P (M )

=0.32370.48

=0.6743

20.-

Solución

4(3/8) 4(1/2) 4(5/8) TotalMediana 0.1 0.2 0.15 0.45Grande 0.2 0.15 0.2 0.55

total 0.3 0.35 0.35 1A = compro raqueta medianaB = compro raqueta mango 4.5

a) P (A )=0.45

P (B )=0.35P (A ∩B )=0.20

b) P (A /B )= P (A∩B )P (B )

= 0.20.35

=0.57

P (B /A )= P(B∩ A)P (A )

= 0.20.45

=0.4 4

c) C = por lo menos de 4(1/2)

P (A /C )=P (A ∩C)P(C)

= 0.2+0.150.35+0.35

=0.5

21.-

Solución

P (X )=0.7P (Y )=0.5P (X∪Y )=0.6

a) P (X ∩Y )=1−P ( X∩Y )=0.6P (X ∩Y )=1−0.6=0.4P (X∪Y )=P (X )+P (Y )−P (X ∩Y ) ¿0.7+0.5−0.40=0.8

b) P (Y /X )=P(X∩Y )P(X)

=P ( X )−P(X∩Y )

P(X )=

0.7−0.40.7

=0.30.7

=37

22.-

Solución

a) P (C )= ¿ fav¿ pos

=180300

=1830

b) P (H )= ¿ fav¿ pos

=120300

=1230

c) P (A )= ¿ fav¿ pos

=145300

=2960

d) P (B )= ¿ fav¿ pos

=155300

=3160

e) P (B∪C )=P (B )+P (C )−P (B∩C )= 15300

+ 180300

− 85300

=250300

f) P (A /C )=P (A ∩C)P(C)

=

95300180300

=95

180

g) P (B /C )=P(B∩C)P(C)

=

85300180300

=85

180

h) P (H /A )=P(H∩ A)P(A )

=

50300145300

=50

145

i) P (C /A )=P (C∩ A)P(A)

=

95300145300

=95

145

23.-

Solución

N = 2 A = {sale 2 en el 1° lanzamiento}B = {sale 5 en el 2° lanzamiento}

a) Primer lanzamiento: N° casos posibles 61 = 6

P (A )= ¿ fav¿ pos

=16

Segundo lanzamiento: N° casos posibles 62 = 36

S={[(1,1) ⋯ (1,6)⋮ ⋱ ⋮

(6,1) ⋯ (6,6)]}P (B )= ¿ fav

¿ pos= 6

36=1

6

P (A ∩B )= ¿ fav¿ pos

= 136

P (A ∩B )=P (A )P (B )

136

=

16∗1

6=

136

∴ A y Bsonindependientes

b)P (2 y 5 )=P ( A∩B )=P ( A )P (B )=

16∗1

6=

136

24.-

Solución

P (A )=0.6P (B )=0.9P (A /B )=0. 046

P (A /B )= P (A∩B )P (B )

=0.046

P (A ∩B )=0.046∗0.9=0.0414

a) P (A )P (B )=0.6∗0.9=0.54P (A ∩B )=P (A )P (B ) 0.0414≠0.54∴ A y Bnosonindependientes

b) P (A ∩B )=P (A )P (B )

P (A /B )= P (A∩B )P (B )

=1−0.046=0.954

P (A ∩B )=P (B )P (A /B )=0.9∗0.954=0.8586P (A )P (B )=(1−0.6)∗0.9=0.36P (A ∩B )=P (A )P (B ) 0.8586≠0.36∴ A y Bnosonindependiente s

25.-

Solución

a)P (ambos contenganT .tiroides )=P (T 1 )P (T 2 )=

35∗2

6=

630

=0.20

b) P (ninguno contengaT . tiroides )=(1−35 )∗(1−2

6 )= 415

=0.26

c) P (diferentestabletas )=( 25 )( 2

6 )+( 25 )( 1

6 )+( 35 )( 3

6 )+(35 )( 1

6 )=1830

=0.60

26.

Solución

G 1={ 4257

V { 1827

V

927

(M )

1557

M { 1727

V

1027

(M )

P (M )=P (V )P (M /V )+P (M )P (M /M )

¿

4257

∗9

27+

1557

∗10

27 ¿0.2456+0.097=0.343

27.-

Solución

2D5BN = 8R = 2 (sin reemplazo)

a) P (X=2D )=(22)(50)(72)

= 127

b) P (X1=1D , X2=1B )=V 1

2V 15

V 27 =2∗5

42= 5

21

c) P (X1=2D , X2=1B )=(21)(51)(72)

=2∗521

=1021

28.-

Solución

P(p)=1/3 P(t/p)=0.7P(ae)=2/3 P(t/ae)=0.95

{ 13p {0.7( tp )

0.3tp

23ae {0.95( t

ae )0.05

tae

a) P (t )=P ( p )P ( t / p )+P (ae )P ( t /ae )

¿13

(0.70 )+ 23

(0.95 )

¿0.233+0.633=0.866=86.6%

b) P (p / t )=P ( p ) P ( t / p )P ( t )

P (p / t )= P (p )P ( t / p )P ( p ) P ( t / p )P (ae ) P ( t /ae )

P (pt )=

13

(0.3 )

13

(0.3 )+ 23

( 0.05 )=

0.100.133

=0.75=75%

29.-

Solución

{ 0.4 J {0.02 (E/ J )0.98 E/ J

0.3 P {0.06 (E/P )0.94 E/P

0.3M {0.01 (E/M )0.99 E/M

P (M /E )= P (M ) P (M /E )P (E )

P (E )=P ( J ) P (E /J )+P (p )P (E/ p )+P (M )P (E/M ) ¿0.4∗0.02+0.3∗0.06+0.3∗0.01=0.02 9

P (M /E )=0.3∗0.010.029

=0.103=10.3 %

30.-

Solución

A = 100 D/A=0.05B = 200 D/B=0.06N = 300

a) P (A )=100300

=13P (B )=200

300=2

3

{13A {0.05 (DA )

0.95DA

23B {0.06( DB )

0.94DB

P (D )=P (A ) P (D /A )+P (B ) P (D /B )

¿13

(0.05 )+ 23

( 0.06 )=0.056

b) P (A /D )=P (A )P (D /A )

P (D )=

13∗0.05

0.056=0.297

31.-

Solución

S1 = 2000 D/S1 = 2%S2 = 1200 D/S2 = 0.9%S3 = 800 D/S3 = 1.2%N = 4000

{ 0.5S 1{0.02( DS 1 )0.98

DS1

0.3S2 {0.009( DS 2 )0.991

DS 2

0.2S3 {0.012( DS3 )0.988

DS 3

a) P (D )=P (S 1 )P (D /S 1 )+P (S2 ) P (D /S2 )+P (S3 )P (D /S3 ) ¿0.5∗0.02+0.3∗0.009+0.2∗0.012=0.0151

b) P(D)=1−P (D)=1−0.0151=0.9849

c) P (S3¿D )=P (S3 )P ¿¿

d) P (S1 /D )=P (S1 )P (D / S1 )P (D )

=0.5∗0.980.9849

=0.4975

32.-

Solución

A→P (D / A )=0.2B→P (D /B )=0.1C→P (D /C )=0.3P (B )=P (A )+P (C )=2P (C )→P ( A )=P(C ) Sesabe que :∑ P (Xi )=1 P (A )+P (B )+P (C )=1 P (C )+2 P (C )+P (C )=1

4 P (C )=1→P (C )=14; P (B )=1

2; P (A )=1

4

{0.25 A {0.2(DA )0.8 (DA )

0.5B {0.1(DB )0.9(DB )

0.25C {0.3(DC )0.7(DC )

P (B /D )=P (B ) P (D /B )P (D )

¿P(B)P (D /B)

P ( A )P (D /A )+P (B )P (D /B )+P (C ) P (D /C )

¿

12∗0.1

14∗0.2+

12∗0.1+

14∗0.3

=0.050.175

=0.285

33.-

Solución

P(T) = 0.75 P(E/T) = 0.80P(R) = 0.25 P(E/R) = 0.60

a) P (T ∩E )=P (T ) P (E /T ) ¿0.75∗0.80=0.60

b) {0.75T {0.80( ET )0.20

ET

0.25R {0.60( ER )0.40

ER

c) P (E )=P (T )P(ET )¿+P (R)P(ER) ¿0.75 (0.8 )+0.25 (0.6 ) ¿0.6+0.15=0.7 5

33.-

Solución

Aumentos = P(A) = 0.60 C/A = 0.93Reducciones = P(B) = 0.40 C/R = 0.98

{0.60 A { 0.93CA

0.07 (CA )

0.40B { 0.98CR

0.02(CR )

P (R/C )=P (R ) P (C /R )P (C )

P (C )=P ( A )P (C /A )+P (R )P (C /R ) ¿0.6 (0.07 )+0.4 (0.02 )=0.05

P (R/C )=0.40(0.02)0.05

=0.16

35.-

Solución

2C 4C Total

M0.25

0.16 0.41

Q0.32

0.27 0.59

total0.57

0.43 1

a) P (M )=0.41P (Q )=0.59P (2C )=0.57P (4C )=0.43

b) P (Q∩ 2C )=0.321

=0.32=32 %

c) P (M )=0.411

=0.41=41%

d) P (4C /Q )= P(4C∩Q)P (Q)

=0.270.59

=0.457

36.-

Solución

A { 3V2CH

B { 2V3CH

C { 1V2CH

{13A { 3

5V

25

(CH )

13B { 2

5V

35

(CH )

13C { 1

3V

23

(CH )

P (X=CH )=P ( A )P (CH /A )+P (B ) P (CH /B )+P (C )P (CH /C )

¿

13∗2

5+

13∗3

5+

13∗2

3

¿ 2+315

+ 29=0.555