probabilidad - univalle · 2012-04-11 · 2 4 6 8 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 lanzamientos ......

Probabilidad

Álvaro José Flórez

1Escuela de Ingeniería Industrial y EstadísticaFacultad de Ingenierías

Febrero - Junio 2012

Probabilidad

Expresión del grado de certeza de que ocurrirá un determinado sucesoen un ambiente de incertidumbre (aleatorio). Este grado de certezaes basado en experiencia o compresión de la estructura del fenómenoestudiado.

Hay una probabilidad del 50% de obtener un número par al lanzarun dado

Es probable que apruebe el parcial de fundamentos de estadística

Es poco probable que me gane el baloto

Probabilidad

Expresión del grado de certeza de que ocurrirá un determinado sucesoen un ambiente de incertidumbre (aleatorio). Este grado de certezaes basado en experiencia o compresión de la estructura del fenómenoestudiado.

• Cuanto mayor es el grado de certeza de que ocurrirá el suceso,mayor será la probabilidad.

• La probabilidad se determina como un valor entre 0 y 1, donde0 indica que el suceso no ocurre y 1 que el suceso ocurre concerteza.

En el fondo, la teoría de probabilidades es solo sentido comúnexpresado con números. Laplace

Importancia en la estadística

La probabilidad tiene un papel crucial en la aplicación de la inferenciaestadística porque una decisión, cuyo fundamento se encuentra en lainformación contenida en una muestra aleatoria, puede estar equivocada.Sin una adecuada compresión de las leyes básicas de la probabilidad, esdifícil utilizar la metodología estadística de manera efectiva (Canavos,1988).

¿Cómo es posible que la media obtenida de una muestra de unos pocoshogares de todos los del país, pueda ser una estimación precisa de la

media de la población?

... Si diferentes muestras darían valores distintos de la media muestral (x̄)

La variabilidad muestral no es fatal (Azar no significa ausencia deregularidad)

AleatoriedadLlamamos a un fenómeno aleatorio si los resultados individualesson inciertos y, sin embargo, existe una distribución regular de losresultados después de un gran número de repeticiones.

Fig: Proporción de caras del lanzamiento de 3 monedas

2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lanzamientos

Pro

porc

ión

de c

aras

Aleatoriedad

Fig: Proporción de caras del lanzamiento de 3 monedas

0 100 200 300 400 500

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lanzamientos

Pro

porc

ión

de c

aras

El comportamiento del azar es impredecible con pocas repeticiones peropresenta un comportamiento regula y predecible con muchas repeticiones

Importancia en la estadística

El nexo que une la teoría de la probabilidad y la estadística esla noción de variable aleatoria, mostrando de esta manera cómopuede emplearse la teoría de la probabilidad para extraer conclusionesprecisas acerca de una población sobre la base de una muestraextraída de ella.

Extraer pautas donde hay (aparentemente) azar. Cuando se decideque la hay, se hace con una cierta seguridad. Lo que significa que sedeja un margen para el posible error. Error, que aunque indicativode nuestra ignorancia, está al menos acotado dentro de unos ciertoslímites.

Definición de probabilidad

Probabilidad Clásica (Laplace)Si un experimento que está sujeto al azar, puede ocurrir de n manerasmutuamente excluyentes e igualmente verosímiles (probables) y si nA

de estas poseen un atributo A, la probabilidad de A es la fracciónnA/n

Al lanzar un dado ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado seapar?

Al lanzar dos monedas ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?


Los inconvenientes de definir la probabilidad de esta forma son:

• No es válida cuando los posibles resultados no sonequiprobables

• A veces no es posible contar los posibles resultados

Probabilidad Frecuentista (Bernouilli)Si un experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones ynB de los resultados son favorables a un atributo B, el límite denB/n conforme n se vuelva grande, se define como la probabilidaddel atributo B

Definiciones de probabilidad

Fig: Distribución muestral de la probabilidad de obtener una cara enlanzamiento de una moneda

10 lanzamientos

Proporción

Den

sida

d

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

01

23

45

100 lanzamientos

Proporción

Den

sida

d

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

02

46

850 lanzamientos

Proporción

Den

sida

d

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

01

23

45

6

1000 lanzamientos

Proporción

Den

sida

d

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

05

1015

20


Los inconvenientes de definir así la probabilidad son los siguientes:

• En algunas ocasiones no es posible realizar repeticiones delexperimento.

• Las condiciones bajo las cuales se realiza el experimentopueden variar a lo largo del tiempo.

Probabilidad Subjetiva o PersonalEl grado de creencia o convicción con respecto a la ocurrencia deuna afirmación. Representa un juicio personal acerca de un fenómenoimpredecible.la probabilidad de un suceso puede, y debe, variar en función de la nuevainformación recibida respecto del suceso

Estos grados de creencia tiene como única restricción el que pertenezcana una persona racional y coherente

Conceptos de probabilidad

Espacio Muestral (S)El conjunto de todos los resultados posibles de un experimentoaleatorio. Estos pueden ser finitos, infinitos numerables o continuos

EventoCualquier resultado o conjunto de resultados de un fenómenoaleatorio, es decir que A es un suceso si A ⊆ S.

Complemento (A′)El complemento de un evento A con respecto a S es el conjunto detodos los elementos de S que no están en A.


Unión (A ∪B)La unión de dos eventos A y B, es el evento que contiene a todoslos elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos.

Intersección (A ∩B)La intersección de dos eventos A y B, es el evento que contiene atodos los elementos comunes de A y B.

Eventos mutuamente excluyentes (A ∩B = ∅)Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si estos eventos notienen ningún elemento en común.


Representación gráfica de la relación entre eventos y el espaciomuestral (Diagrama de Venn)

Fig: Diagrama de Venn• A ∩B =

• A ∩B ∩ C =

• A ∪B =

• A ∪ (B ∩ C) =

• A ∩B′ =


Representación gráfica de la relación entre eventos y el espaciomuestral (Diagrama de Venn)

Fig: Diagrama de Venn• A ∩B = 1,2• A ∩B ∩ C = 1• A ∪B = 1,2,3,4,6,7• A ∪ (B ∩ C) = 1,2,3,4,7• A ∩B′ = 4


Se tienen los sucesos A, B y C, exprese en lenguaje de la teoría deconjuntos las siguientes operaciones:

1 Ocurren A y al menos uno de los otros dos.2 Ocurre A y uno sólo de los otros dos.3 Ocurre uno de los tres, pero no dos a la vez.4 Ocurre C, pero no lo hacen ni A ni B5 Ocurren al menos dos de los tres6 No ocurre ninguno de los tres.

Reglas de la probabilidad

1 La probabilidad de cualquier suceso A (P (A)) cumple que:

0 ≤ P (A) ≤ 1

2 Si S es el espacio muestral de un modelo de probabilidad,entonces:

P (S) = 1

3 Para cualquier suceso A,

P (A′) = 1− P (A)

4 Si A y B son dos suceso cualesquiera se verifica que:

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

5 Si A ⊆ B entonces P (A) ≤ P (B)

Reglas de la probabilidad

1 Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces:

P (A ∪B) = P (A) + P (B)

2 Si A, B y C son eventos cualesquiera, entonces:

P (A ∪B ∪ C) =P (A) + P (B) + P (C)− P (A ∩B)− P (A ∩ C)

− P (B ∩ C) + P (A ∩B ∩ C)

(1)

3 Si A1, A2, . . . , Ak son eventos mutuamente excluyentes,entonces:

P (A1 ∪A2 ∪ . . . ∪Ak) = P (A1) + P (A2) + . . . + P (Ak)

Ejemplo

Al lanzar dos dados y se tiene los siguientes eventos:

A: La suma de los dos dados es igual a 7B: El resultado de los dados sean menores que 5

¿Cuál es la probabilidad de A ∪B?

Un sistema que contiene dos componentes A y B, y se conecta demanera que este funciona si cualquier componente funciona. Se sabeque la probabilidad de que A funcione es P (A) = 0,9 y la de B esP (B) = 0,8 y la probabilidad de ambos es P (A ∩ B) = 0,72 ¿Cuáles la probabilidad de que el sistema trabaje?

Ejemplo

De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13inglés y castellano. Se eligen al azar una persona y se desea saber:

• ¿Cuál es la probabilidad de que no hable francés?• ¿Cuál es la probabilidad de que hable castellano?• ¿Cuál es la probabilidad de que entienda sólo en castellano?• ¿Cuál es la probabilidad de que sólo hable un idioma?• ¿Cuál es la probabilidad de que hable los tres idiomas?

Ejemplo

De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13inglés y castellano. Se eligen al azar una persona:

Si se selecciona una persona que habla castellano ¿Cuál es laprobabilidad de que hable ingles también?

La probabilidad condicionada establece laprobabilidad de un suceso (la persona hablainglés) bajo la condición de que se conoce

otro suceso (la persona habla español)

Probabilidad Condicional

Sean A y B dos eventos que se encuentran en un espacio muestralS de manera tal que P (B) > 0. La probabilidad condicional de A alocurrir el evento B, se puede calcular como:

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B), P (B) > 0

De aquí se puede observar que:

P (A ∩B) = P (A)P (B|A)

La probabilidad condicional permite una alteración de la probabilidadde un evento a la luz de mayor información.

Ejemplo

De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13inglés y castellano. Se eligen al azar una persona:

Si se selecciona una persona que habla castellano ¿Cuál es laprobabilidad de que hable ingles también?

A los habitantes de una gran ciudad se les hizo una encuesta conel propósito de determinar el número de lectores de El País y ElTiempo. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes: 40%de los habitantes leen El País, el 36% lee El Tiempo y un 18% leeambos periódicos. Si se selecciona al azar a un lector de El Tiempo,¿Cuál es la probabilidad de que también lea El País?


Dos eventos A y B son independientes, si y solo si:

P (B|A) = P (B) y P (A|B) = P (A)

De este resultado se tiene que:

P (A ∩B) = P (A)P (B)

EjemploSe lanza un dado 2 veces. Si el primer lanzamiento es seis, ¿Cuál esla probabilidad de que el segundo lanzamiento sea también seis?


Regla multiplicativa

Si, en un experimento, los eventos A1, A2, . . . , Ak pueden ocurrir,entonces:

P (A1 ∩A2 ∩ . . . ∩Ak) =P (A1)P (A2|A1) . . .

P (Ak|A1A2 . . . Ak−1)

Si los eventos son independientes, entonces

P (A1 ∩A2 ∩ . . . ∩Ak) = P (A1)P (A2) . . . P (Ak)

Ejemplo

Un sistema contiene cinco componentes que se encuentranconectados entre sí como lo muestra la siguiente figura, dondelas probabilidades indican la seguridad de que el componentefuncione adecuadamente. Si se supone que el funcionamiento de uncomponente en particular es independiente del de las demás, ¿Cuáles la probabilidad de que el sistema trabaje?

Ejemplo

Se sacan tres cartas de una baraja ordinaria, si se definen lossiguientes eventos: La primera carta es un as de diamantes (A),la segunda es de diamantes (cualquiera) (B), la tercer carta es negray mayor que 3 pero menor que 7 (C). ¿Cuál es la probabilidad deque se den los tres eventos?

En un juego de tiro al blanco, la probabilidad de que el jugador 1de en el blanco es 1/6, la del jugador 2 es de 1/4 y la del jugador3 es de 1/3. Si cada uno dispara una sola vez al blanco. ¿Cuál es laprobabilidad de que el blanco sea alcanzado solamente una vez?

Una urna contiene 6 bolas rojas y 4 verdes, y una segunda cajacontiene 7 bolas rojas y 3 verdes. Se escoge al azar una bola de laprimera caja y se pasa a la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de queal sacar una bola de la segunda urna, esta sea roja?

Teorema de Probabilidad Total

Si los eventos B1, B2, . . . , Bk constituyen una división del espaciomuestral S, de tal forma que P (Bk) 6= 0 para i = 1, 2, . . . , k entonespara cualquier evento A de S

P (A) =

k∑i=1

P (Bi ∩A) =

k∑i=1

P (Bi)P (A|Bi))

Ejemplo

La policía para reforzar el respeto a los limites de velocidad coloca dosradares diferentes puntos de la ciudad (A y B), donde en cada sitio el radarfunciona, respectivamente, el 40% y el 20 % del tiempo. Si una personaque conduce a gran velocidad rumbo a su trabajo tiene, respectivamente,0.2 y 0.8 de probabilidad de pasar por alguno de estos sitios. ¿Cuál es laprobabilidad de que esta persona resulte multada?

Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres distintosfabricantes B1, B2 y B3. El 50% del total se compra a B1 mientras que aB2 y B3 se les compra un 20 % y 30% respectivamente. El porcentaje decircuitos defectuosos para B1, B2 y B3 es 5, 10 y 12% respectivamente.Si todos los circuitos se almacenan en la planta sin importar quién fue elproveedor.Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la plantacontenga un circuito defectuoso

Regla de Bayes

Si los eventos B1, B2, . . . , Bk constituyen una división del espaciomuestral S, de tal forma que P (Bk) 6= 0 para i = 1, 2, . . . , k,entonces para cualquier evento A en S, tal que P (A) 6= 0

P (Bk|A) =P (Br ∩A)∑ki=1 P (Bi ∩A)

=P (Br)P (A|Br))∑ki=1 P (Bi)P (A|Bi)

Ejemplo

Se sabe la prueba del polígrafo que se le aplica a un sospechosoes 90% fiable cuando la persona es culpable y 99% cuando esinocente. Si de un grupo de 10 sospechosos de un crimen (entre ellosel culpable) se selecciona uno y el polígrafo indica que es culpable¿Cuál es la probabilidad que este no sea el individuo que cometió elcrimen?

Si el polígrafo indica que es inocente ¿Cuál es la probabilidad de queeste individuo sea inocente?

¿Cuál es la probabilidad de que el polígrafo acierte?

Ejemplo

Un taxi se vio implicado en un accidente nocturno con choque yhuida posterior. Hay dos compañías de taxis en la ciudad, la Verde yla Azul. El 85% de los taxis de la ciudad son Verdes y el 15% Azules.Un testigo del accidente identificó el taxi como Azul. El tribunalcomprobó la fiabilidad del testigo bajo las mismas circunstanciasque había la noche del accidente y llegó a la conclusión de que eltestigo identificaba correctamente cada uno de los colores en el 80%de las ocasiones. Luego de las declaraciones del testigo ¿Cuál es laprobabilidad de que el taxi implicado en el accidente fuera en efectoazul?

Bibliografía

Canavos, G. (1988). Probabilidad y Estadística: Aplicaciones ymétodos. Mc Graw Hill, México, vol. 1 edition.

Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería yciencias. Thomson Paraninfo, México, vol. 7 edition.

Montgomery, D. and Runger, G. (2004). Probabilidad y estadísticaaplicadas la ingeniería. Limusa-Wiley, México, 2 edition.

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