probabilidad e inferencia

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

PROBABILIDAD

PROBABILIDADEl concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como las que se mencionan a continuación:

¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería o el melate ?

¿ Qué posibilidad hay de que me pase un accidente automovilístico ?

¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para llevar mi paraguas o no.

¿ Existe alguna probabilidad de que repruebe el primer parcial ?,

PROBABILIDADEstas preguntas en el lenguaje coloquial esperan como respuesta una medida de confianza representativa o práctica de que ocurra un evento futuro, o bien de una forma sencilla interpretar la probabilidad.

En este curso lo que se quiere es entender con claridad su contexto, como se mide y como se utiliza al hacer inferencias.

PROBABILIDAD

El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico.

El cálculo de probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que constituyen la base para la estadística inferencial.

PROBABILIDAD

Fenómenos Aleatorios y Fenómenos Deterministicos.

Fenómeno Aleatorio.- Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que

va a ocurrir, están relacionados con el azar o probabilidad.

Fenómeno Determinista.- Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe

cual será el resultado.

PROBABILIDAD

La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios.

Experimento aleatorio.-Una acción que se realiza con el propósito de

analizarla. Tiene como fin último determinar la probabilidad de uno o de varios resultados.

Se considera como aleatorio y estocástico, si sus resultados no son constantes.

Puede ser efectuado cualquier número de veces esencialmente en las mismas condiciones.

PROBABILIDAD

Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;

2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;

3. El resultado que se obtenga, s, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles.

PROBABILIDADEjemplos:Tirar dardos en un blanco determinadoLanzar un par de dadosObtener una carta de una barajaLanzar una moneda

PROBABILIDAD

Otros ejemplos de eventos:A: que al nacer un bebe, éste sea

niñaB: que una persona de 20 años,

sobreviva 15 años másC: que la presión arterial de un

adulto se incremente ante un disgusto

PROBABILIDADProbabilidad e Inferencia.Se presentan dos candidatos al cargo de la

presidencia UNIVERSITARIA, y se desea determinar si el candidato X puede ganar.

Población de interés: Conjunto de respuestas de los estudiantes que votarán el día de las elecciones.

Criterio de gane: Si obtiene el más del 50% de los votos.

PROBABILIDADSupóngase que todos los estudiantes de la

UVM van a las urnas y se elige de manera aleatoria, una muestra de 20 estudiantes.

Si los 20 estudiantes apoyan al candidato

¿ Qué concluye respecto a la posibilidad que tiene el candidato X de ganar las elecciones ?

PROBABILIDAD

1.- EL CANDIDATO X GANARA

2.- EL CANDIDATO Y GANARA

3.- NO SE PUEDE CONCLUIR NADA

PROBABILIDAD


GANAR IMPLICA OBTENER MAS DEL 50%Y COMO LA FRACCION QUE LO FAVORECE

EN LA MUESTRA ES 100%, ENTONCES LA FRACCION QUE LO FAVORECERA EN LA POBLACION SERA IGUAL.

¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

PROBABILIDAD


SERIA IMPOSIBLE QUE 20 DE LOS 20 VOTANTES DE LA MUESTRA LO APOYARAN, SI EN REALIDAD, MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES PENSARIA VOTAR POR EL.

¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

PROBABILIDADNO.

SI BIEN NO ES IMPOSIBLE OBTENER 20 VOTANTES A FAVOR DE X EN UNA MUESTRA DE 20, SI ES PROBABLE QUE MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES ESTE A FAVOR DE EL, AUN CUANDO SEA MUY POCO PROBABLE.

PROBABILIDADEspacio Muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados

de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S.

Ejemplos:1.- Experimento: Se lanza una moneda.Espacio muestral = total de formas en como

puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga sol o que caiga águila. (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento).

S = s, a

PROBABILIDAD

2.- Experimento: Se lanza un dado.Espacio muestral = total de caras en que puede

caer el dado, o sea seis formas de interés:S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

PROBABILIDADLos eventos aleatorios se denotan normalmente

con las letras mayúsculas A, B, C, ...

Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,… ⊂ S

Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos, y también no contener ningún elemento.

Al número de puntos muestrales de S se le representa por N(S)

PROBABILIDAD

Eventos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el cálculo de probabilidades:

Evento seguro.- Siempre se verifica después del experimento aleatorio, son los mismos del espacio muestral.

E = S y N(E) = N(S)

Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de interés para su fenómeno. Es un subconjunto de S, y la única posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vacío.

Φ ⊂ S, y N(Φ) = 0

PROBABILIDAD

Evento Elemental.- Es el evento E que contiene exactamente un punto muestral de S, esto es, N(E) = 1.

Cada elemento del espacio muestral, es un evento elemental. También se le denomina como punto muestral.

Si s1, s2 ∈ S entonces s1, s2 son

eventos elementales.

PROBABILIDAD

Ejemplos (1) y (2): En el experimento 1, S = s, a , s y a son sucesos elementalesN(S) = 2

A = Que caiga sol = s , N(A) = 1B = Que caiga águila = a , N(B) = 1

PROBABILIDAD

En el experimento 2, S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son

sucesos elementales, y N(S) =6A = Que caiga un uno = 1 B = Que caiga un dos = 2 : : :F = Que caiga un seis = 6

PROBABILIDADEvento Compuesto.- Es el evento E que contiene

más de un punto muestral de S, por tanto N(E) > 1

Evento contrario a un evento A: También se denomina evento complemento de A y es el evento que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A.

Ya que los eventos son conjuntos, este evento se denota con el símbolo Ac o bien Ā, y se define como:

s tal que cA s A= ∈ Ω ∉

PROBABILIDADEjemplo: Experimento: Se lanza una moneda tres veces.Espacio Muestral: Ω = (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S), (A,A,S), (A,S,A),

(S,A,A), (A,A,A) , N(Ω) = 8, S es el evento seguro.

Evento simple: B:Que salgan tres soles; B = (S,S,S) , N(B) = 1

Evento compuesto: E: Que salgan al menos dos soles;E = (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) , N(E) = 4

Evento imposible: φ (conjunto vacio). N(φ) = 0

PROBABILIDAD

Si un espacio muestral contiene n puntos muestrales, hay un total de 2n subconjuntos o eventos ( se le conoce como conjunto potencia ).

Por tanto para el ejemplo anterior existen: 28 = 256, eventos posibles.

Para el caso del experimento: se tira una moneda,

el espacio muestral es de 2 puntos muestrales S = A, S, por lo que se tienen 22 = 4

subconjuntos y el conjunto potencia es: (A,S), (A), (S), φ (conjunto vacio).

PROBABILIDAD

Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios

Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del conjunto Ω, espacio muestral, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.

PROBABILIDAD

OPERACIÓN EXPRESION DESCRIPCION

UNION A ∪ B Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos

suceden INTERSECCION A ∩ B Intersección de los eventos

originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente.

DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.

PROBABILIDAD

Gráficamente estas operaciones se pueden representar a través de los diagramas de Venn.

Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que A, B ⊂ Ω gráficamente se puede expresar como:

S

A B

Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.

PROBABILIDAD

S

A B

Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.

PROBABILIDAD

De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la unión de dos eventos se presenta de dos formas diferentes: cuando los eventos son mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común) y cuando entre los eventos hay elementos comunes.

Definición.- Se dice que dos eventos A y B son mutuamente exclusivos, cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, A ∩ B = ∅, lo que ocurre en la fig. 1.

PROBABILIDADEjemplo:Experimento: Se lanza un dado.Espacio muestral = total de caras en que puede

caer el dado, o sea seis formas de interés:S = 1,2,3,4,5,6 , N(S) = 6Sean A, B, C los eventos:A: Que caiga un número impar = 1, 3, 5 , N(A) = 3B: Que caiga un número mayor de 2 y menor que 5

= 3, 4 , N(B) = 2C: Que caiga un número par = 2, 4, 6 , N(C) = 3

PROBABILIDAD

A ∪B = 1, 3, 5 ∪ 3, 4 = 1,3,4,5, N(A ∪B) = 4 A ∪ C = 1, 3, 5 ∪ 2,4,6 = 1,2,3,4,5,6=S, N(A ∪C) = N(S) = 6B ∪ C = 3, 4 ∪ 2, 4, 6 = 2,3,4,6, N(B ∪ C) = 4 A ∪B ∪ C = 1, 3, 5 ∪ 3, 4 ∪ 2,4,6 = 1,2,3,4,5,6=S, N(A ∪B ∪ C) = 6

S

AB

C

1

5

34

26

PROBABILIDAD

A ∩ B= 1, 3, 5 ∩ 3, 4 = 3, N(A∩B) = 1 A ∩ C= 1, 3, 5 ∩ 2,4,6 = Φ, N(A ∩ C) = NΦ) = 0B ∩ C= 3, 4 ∩ 2, 4, 6 = 4, N(B ∩ C) = 1 (A ∩ B) ∩ C = ( 1, 3, 5 ∩ 3, 4 ) ∩ 2,4,6 = 3∩ 2,4,6 =Φ, N((A ∩ B) ∩ C) = NΦ) = 0A ∩ (B ∩ C) = 1, 3, 5 ∩ ( 3, 4 ∩ 2,4,6 )= 1, 3, 5 ∩ 4 =Φ, N(A ∩ (B ∩ C)) = NΦ) = 0

S

AB

C

34

PROBABILIDAD

A – B = = 1, 3, 5 - 3, 4 = 1, 5 , N(A – B) = 2 A – C = 1, 3, 5 - 2,4,6 = 1,3,5 = A, N( A – C) = N(A) = 3 B – C = 3, 4 - 2,4,6 = 3 , N(B-C) = 1

S

AB

C

1

5

3

PROBABILIDAD

Ac = 2, 4, 6 = C N(Ac ) = N( C )= 3Bc = 1, 2, 5, 6 N(Bc ) = 4Cc = 1, 3, 5 = A N(Cc ) = N(A) = 3

S

AB

C

1

5

34

26

PROBABILIDAD

Probabilidad Clásica y Frecuencial.Probabilidad frecuencial y regularidad

estadísticaLas frecuencias relativas de un evento tienden a

estabilizarse cuando el número de observaciones se hace cada vez mayor.

Ejemplo: La regularidad estadística en el experimento del lanzamiento de monedas, indica que las frecuencias relativas del evento: que salga sol s , se tiende a estabilizar aproximadamente en .5= 1/2.

PROBABILIDAD

Probabilidad frecuencial y regularidad estadística

La probabilidad de un evento A, denotada por P(A), es el valor en el que se estabilizan las frecuencias relativas del evento A, cuando el número de observaciones del experimento se hace cada vez mayor.

PROBABILIDAD

Esto es:

dondeN(A) = número de elementos del evento AN(Ω) = número de elementos del espacio

muestral Ω.

( )( ) (2)

( )

N AP A

N=

Ω

PROBABILIDADProbabilidad clásica.- Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de

ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A, como:

dondeNCF - número de casos favorablesNCT - número de casos totales

(1) )(NCT

NCFAP =

PROBABILIDAD

Ejemplo:Experimento.- Se lanza una monedaEvento A.- que al lanzar una moneda caiga

águila. Calcular la probabilidad de A:S = A, S, N(Ω) = 2A = A , N(A) = 1

( ) 1( ) .5

( ) 2

N AP A

N= = =

Ω

PROBABILIDAD

Leyes De La ProbabilidadLas relaciones que se dan entre los

eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad).

Axioma.- es una verdad evidente que no requiere demostración.

Teorema.- Es una verdad que requiere ser demostrada.

PROBABILIDAD

Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal que A ⊂ S, entonces se cumple que

0 ≤ P(A) ≤ 1 (3)

esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible.

P(A)___________________________________• -2 -1 0 1 2

PROBABILIDAD

Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω es un evento seguro, es uno

P(Ω) = 1

Ejemplo.-Experimento.- Se lanza un dadoSi A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al

espacio muestral, entonces.

( ) ( )( ) 1

( ) ( )

N A N SP A

N N= = =

Ω Ω

PROBABILIDAD

Teorema 1.- Si Φ es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de Φ es igual a 0

Ejemplos:Una persona que quiere ganar la lotería nacional,

pero no compra boleto.Que aparezca un siete al lanzar un dadoQue una persona viva 250 añosEn estos casos los eventos son vacíos

( )( ) 0

( )

NP

N

∅∅ = =Ω

PROBABILIDAD

Axioma 3.- Sea Ω un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que

A ⊂ Ω, B ⊂ Ω y A ∩ B = ∅, es decir, dos eventos mutuamente exclusivos, entonces

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

A ∪ B

A B

PROBABILIDADEjemplo:Experimento: Se lanzan dos monedasΩ = ss, aa, sa, asN(Ω) = 4Sean:A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan

dos soles exactamenteB: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un

sol exactamente.Los elementos de A y B sonA = ss B = sa, asSe puede ver que A ∩ B = ∅, no hay elementos en común,

por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o disjuntos, por tanto

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

PROBABILIDAD

( ) 1( )

( ) 4

( ) 2( )

( ) 4

1 2 3( ) ( ) ( )

4 4 4

N AP A

N

N BP B

N

P A B P A P B

= =Ω

= =Ω

∪ = + = + =

PROBABILIDAD

Axioma 4.- Sean A1, A2, A3, A4, ..., An eventos mutuamente

exclusivos: P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)

Este axioma dice que la probabilidad de varios eventos mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común), es igual a la suma de sus probabilidades.

Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria:

1 2 1 2

1 2

( ... ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( ... )

n n

n n

i j i j k ki j i j k

P A A A P A P A P A

P A A P A A A P A A A≠ ≠ =

= + + + −

+ − +∑ ∑

U U U

I I I I I I

PROBABILIDAD

Ejemplo: Experimento: Se lanza un dadoSeanEvento A: que al lanzar un dado salga el 2 o el 4Evento B: que al lanzar un dado salga un número

mayor a 4Evento C: que salga el 1 o 3

Los elementos de A, B y C sonA = 2, 4, N(A) = 2B = 5, 6, N(B) = 2C = 1, 3 , N(C) = 2

PROBABILIDAD

Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que A ∩ B = Φ, A ∩ C = Φ,

B ∩ C = Φ, Por axioma 4 P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)

( ) 2( )

( ) 6

( ) 2( )

( ) 6

( ) 2( )

( ) 6

2 2 2 6( ) ( ) ( ) ( ) 1

6 6 6 6

N AP A

N

N BP B

N

N CP C

N

P A B C P A P B P C

= =Ω

= =Ω

= =Ω

∪ ∪ = + + = + + = =

PROBABILIDAD

Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad). Sean A y B dos eventos no excluyentes, A ∩ B ≠ ∅, entonces

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

A ∪ B

PROBABILIDAD

DiferenciaSean A y B dos eventos: A-B = x | x ∈ A y x ∉ B

A

B

A - B

PROBABILIDADEjemplo.-Experimento.- Se lanza un dado y una moneda Ω = 1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a N(Ω) = 12A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el número 2 o 3 con sol.B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan números pares con sol. A = 2s, 3s , N(A) = 2 B = 2s, 4s, 6s N(B) = 3 A ∩ B = 2s N(A ∩ B ) = 1 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 2/12 + 3/12 – 1/12 = 4/12 = 1/3

PROBABILIDAD

Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y Ω un

espacio muestral, tal que A⊂S, si Ac es el

complemento del evento A, entonces la

probabilidad de Ac es igual a 1 menos la

probabilidad de A, es decir

P(Ac) = 1 – P(A)

PROBABILIDADExperimento.- Se lanza un dado y una moneda Ω = 1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a N(Ω) = 12A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el número 2 o 3 con sol.B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan números pares con sol. A = 2s, 3s , N(A) = 2 B = 2s, 4s, 6s N(B) = 3 Ac = 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 2/12 = 10/12 Bc = 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 3/12 = 9/12

PROBABILIDAD

Probabilidad Condicional. Sea A un evento arbitrario de un espacio

muestral Ω, con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E ha sucedido o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, se define como:

)(

)()/(

EP

EAPEAP

∩=

PROBABILIDADEventos Independientes:

Se dice que los eventos A y E son independientes si se cumplen:

Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.

)()()(

)()/(

)()/(

BPAPBAP

EPAEP

APEAP

=∩==

PROBABILIDAD

Probabilidad Condicional.

Ley Multiplicativa de la Probabilidad.

Ya que (A∩E) = (E∩A) y despejamos a P(A∩E), se tiene que la probabilidad de la intersección es:

)A P( )E/A P(

)()/()(

)(

)()/(

)(

)()/(

==∩

∩=

∩=

EPEAPEAP

AP

AEPAEP

EP

EAPEAP

PROBABILIDAD

Probabilidad Condicional.

Si A y B son independientes:

P(E)P(A))A P( )E/A P(

)()()()/()(

====∩ EPAPEPEAPEAP

)()(

)()(

)(

)()/(

)()(

)()(

)(

)()/(

EPAP

APEP

AP

AEPAEP

APEP

EPAP

EP

EAPEAP

==∩=

==∩=

PROBABILIDADEjemplo:Experimento: Lanzar un dado. A: que al lanzar el dado caiga 3E: que al lanzar un dado salga un impar

Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.

Ω = 1,2,3,4,5,6A = 3, E = 1,3,5, (A∩E) = 3,P(A) = 1/6 P(A/E) = P(A∩E)/ P(E) = 1/6 / 3/6 = (1)(6)/(6)(3) = 6/18 = 1/3

PROBABILIDAD

Otra forma de calcular las probabilidades de la intersección y las probabilidades condicionales, de dos eventos A y B, tal que

A ∪ AC = Ω B ∪ BC = Ω es elaborando primero la tabla de número de

elementos de los eventos y después la tabla de sus probabilidades.

B Bc Total

A A∩B A∩Bc A

Ac Ac∩B Ac∩Bc Ac

Total B Bc Ω

Se tienen los eventos A y B y sus complementos Ac, Bc

B Bc Total

A N(A∩B) N(A∩Bc) N(A)

Ac N(Ac∩B) N(Ac∩Bc) N(Ac)

Total N(B) N(Bc) N(Ω)

Tabla de número de elementos de A, B y sus complementos Ac, Bc

B Bc Total

A P(A∩B) P(A∩Bc) P(A)

Ac P(Ac∩B) P(Ac∩Bc) P(Ac)

Total P(B) P(Bc) P( Ω)

Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus intersecciones

PROBABILIDAD

Probabilidades condicionales: P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A) P(A/Bc) = P(A ∩ Bc)/P(Bc) P(B/Ac) = P(Ac ∩ B)/P(Ac) P(Ac/B) = P(Ac ∩ B)/P(B) P(Bc/A) = P(A ∩ Bc)/P(A)

PROBABILIDAD

Ejemplo.- En cierta ciudad, las mujeres representan el 50%

de la población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un economista estudia la situación de empleo, elige al azar una persona desempleada. Si la población total es de 8000 personas,

¿ Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea ?:

PROBABILIDAD

a).- Mujerb).- Hombrec).- Mujer dado que está empleadod).- Desempleado dado que es hombree).- Empleado dado que es mujer

Sean los eventos:M: Que sea MujerH: Que sea HombreD: Que sea DesempleadoE: Que sea Empleado

Desempleados D

Empleados E

Total

Mujeres M

800 3200 4000

Hombres H

200 3800 4000

Total 1000 7000 8000

Tabla Número de elementos de los Eventos M, H, D, E y S

D E TotalM 800/8000 = .1 3200/8000= .4 4000/8000= .5

H 200/8000= .025 3800/8000= .475 4000/8000= .5

Total 1000/8000= .125 7000/8000= .875 8000/8000= 1

Tabla de Probabilidades

PROBABILIDAD

P(M) = .50P(H) = .50P(E) = .875P(D) = .125P(M/E) = P(M∩E)/P(E) = .40/.875 = .4571P(D/H) = P(D∩H)/P(H) = .025/.5 = .05P(E/M) = P(M∩E)/P(M) = .40/.5 = .8P(M/D) = P(M∩D)/P(D) = .10/.125 = .8P(H/D) = P(H∩D)/P(D) = .025/.125 = .2

PROBABILIDAD

Eventos dependientes e independientesEn el ejemplo anterior se tiene queP(M) = .50P(H) = .50P(E) = .875P(D) = .125P(M∩E) = .40 P(M) P(E) = .4375P(D∩H) = .025 P(D) P(H) = .0625P(M∩D) = .10 P(M) P(D) = .0625P(E∩H) = .475 P(E) P(H) = .4375

PROBABILIDAD

Por tanto los eventos M y E , D y H, M y D, E y H son dependientes.

Ley general Multiplicativa para n eventos

1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1( ... ) ( ) ( \ ) ( \ )... ( \ ... )k k kP A A A A P A P A A P A A A P A A A A −=I I I I I I I I

INDEPENDENCIA DE n EVENTOS

1 2 3 1 2 3( ... ) ( ) ( ) ( )... ( )k kP A A A A P A P A P A P A=I I I I

PROBABILIDAD

Probabilidad total.-Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos

(mutuamente excluyentes), que forman una partición de Ω. Esto es Ai ∩ Aj = ∅ para toda i y toda j, y además

Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪…∪ An

A1

A2

A3A4

A5

A6

An

PROBABILIDAD

Y sea E otro evento tal que E ⊂ Ω y E ∩ Ai ≠ ∅

A1

A2

A3A4

A5

A6

An

E

E

PROBABILIDAD

Entonces E = Ω ∩ E = (A1 ∪ A22∪ A3∪…∪ An) ∩ E = (A1 ∩ E) ∪(A2 ∩ E) ∪(A3∩ E) ∪…∪ (An∩ E)

Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos, se tiene que:

P(E) = P(A1∩E) + P(A2∩E) +P(A3∩E) +…+P(An ∩E) Ya que (Ai ∩ E) es ajeno a (Aj ∩ E) para i ≠ j

PROBABILIDAD

Como (Ai ∩ E) = (E ∩ Ai) entonces P(Ai ∩ E) = P(E ∩ Ai) = P(E/Ai) P(Ai)

Entonces la probabilidad completa de E es:

P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) + P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)

PROBABILIDAD

Ejemplo.- En una pequeña empresa de tejidos se obtiene

su producción con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos.

Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar,

¿ Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso ?

PROBABILIDAD

Sea D el evento: Que sea un artículo defectuoso.P(M1) = .50 P(D/M1) = .03P(M2) = .30 P(D/M2) = .04P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) + P(D/M3) P(M3) = .03(.50) + .04(.30) + .05(.20) = 0.037

M1

M2

M3D

ND

D

ND

D

NDP(M1)=.50

P(M2)=.30

P(M3)=.20

P(D/M1)=.03

P(ND/M1)=.97

P(D/M2)=.04

P(D/M3)=.05

P(ND/M2)=.96

P(ND/M3)=.95

P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015

P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012

P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01

P(D) = .015+.012+.01=.037

PROBABILIDAD

Teorema de Bayes.- Supóngase que A1, A2, A3,...,An es una partición de un espacio muestral Ω. En cada caso P(Ai) ≠ 0. La partición es tal que A1, A2, A3,...,An, son eventos mutuamente exclusivos. Sea E cualquier evento, entonces para cualquier Ai,

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2211 nn

Iii

AEPAPAEPAPAEPAP

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PROBABILIDAD

P(E)

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entonces

:es E de completa adprobabilid la Como

2211

Iii

nn

AEPAPEAP

))P(E/AP(A))P(E/AP(A))P(E/AP(AP(E)

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PROBABILIDAD

Ejemplo.- En una pequeña empresa de tejidos se obtiene

su producción con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos.

Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Supóngase que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina M1?

PROBABILIDAD

Sea D: Que el artículo sea defectuosoND: Que el artículo no sea defectuosoM1: Que haya sido producido por la máquina 1M2: Que haya sido producido por la máquina 2M3: Que haya sido producido por la máquina 3

P(M1) = .50 P(D/M1) = .03P(M2) = .30 P(D/M2) = .04P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

M1

M2

M3D

ND

D

ND

D

NDP(M1)=.50

P(M2)=.30

P(M3)=.20

P(D/M1)=.03

P(ND/M1)=.97

P(D/M2)=.04

P(D/M3)=.05

P(ND/M2)=.96

P(ND/M3)=.95

P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015

P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012

P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01

P(D) = .015+.012+.01=.037

PROBABILIDADPor teorema de Bayes se tiene:

La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya producido en la M1 es del 40.54%

4054.037.

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332211

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DP

MDPMP

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probabilidad e inferencia

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