Probabilidad clásica o teórica

Objetivo

• Al finalizar el modulo, el estudiante será capaz de calcular la probabilidad de un evento usando el enfoque de probabilidad clasica o teórica.

Probabilidad clásica o teórica 

El enfoque clásico permite calcular el valor de la

probabilidad antes de observar cualquier evento

de la muestra. Para definir la probabilidad de un

evento se deben satisfacer las condiciones que se

indican a continuación. 

En el espacio muestral , la cantidad de observaciones es finita.

El número total de observaciones en el experimento es un número natural.

Cada observación en el espacio muestral tiene la misma posibilidad de ocurrir.

Para calcular la probabilidad teórica de un evento se utiliza la siguiente fórmula:

𝑷 (𝑬 )= 𝐞𝐥𝐧ú𝐦𝐞𝒓𝒐𝒅𝒆𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒍𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐𝑬𝐞𝐥𝐧 ú𝐦𝐞𝐫𝐨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒏𝐞𝐥𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍

Ejemplo 1

Si tenemos una vasija con 1 bolita roja, 6 blancas y

3 amarillas y el evento consiste en sacar una bolita amarilla, entonces la probabilidad del evento A es

𝑃 ( 𝑨)= 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑏𝑜𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑎marilla s𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑑𝑒𝑏𝑜𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑣𝑎𝑠𝑖𝑗𝑎

La probabilidad de sacar una bolita amarilla es de un 30%.

Ejemplo 2

Si tenemos una caja con 9 bolas enumeradascomo se ilustra en la figura y el evento consiste en sacar la bola con el número siete, entonces la probabilidad del evento B es

La probabilidad de sacar una bola con el número siete es

aproximadamente de un 11%.

Ejemplo 3

Al lanzar una moneda tres veces, la posibilidad de que salga cara o cruz es igual en cada tirada. Si representa el resultado de cara y representa el resultado de cruz, entonces tenemos los ocho resultados posibles que se ilustran en la tabla.

Resultados de tres lanzamientos de

una moneda

CCC

XCC

CXC

CCX

XXC

XCX

CXX

XXX

Ejemplo 3

Al lanzar una moneda tres veces, la posibilidad de que salga cara o cruz es igual en cada tirada. Si representa el resultado de cara y representa el resultado de cruz, entonces tenemos los ocho resultados posibles que son: cara, cara, cara CCC cruz, cara, cara XCC cara, cruz, cara CXC

cara, cara, cruz cruz, cruz, cara cruz, cara, cruz cara, cruz, cruz cruz, cruz, cruz

Resultados de tres lanzamientos de

una moneda CCC

XCC

CXC

CCX

XXC

XCX

CXX

XXX

De acuerdo con la tabla insertada a la derecha, ¿cuál es la probabilidad de obtener tres caras, dos caras, una cara o cero caras?

Elementos del espacio muestral

Resultado de cada tirada

Probabilidad P( # de caras)

CCC

3 caras P( 3 caras) = = 0.125

XCC

2 caras

CXC

2 caras P( 2 caras) = = 0.375

CCX

2 caras

XXC

1 cara

XCX

1 cara P( 1 cara ) == 0.375

CXX

1 cara

XXX

0 caras P( 3 caras) = =0.125

La probabilidad de obtener tres caras es 12.5%.

Laprobabilidad de obtener dos caras es 37.5%.

La probabilidad de obtener una cara es 37.5%.

Ejemplo 4

Consideremos el lanzamiento de un dado de seis caras. En un solo lanzamiento existen seis posibilidades {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El dado está balanceado y cada número tiene la misma posibilidad de salir. Defínase el evento como el resultado de obtener el número cinco.

La probabilidad de que ocurra el evento es .Esto significa que de cada seis lanzamientos se espera que uno de ellos sea un cinco.

Ejemplo 5

Se lanzan 2 dados al mismo instante y el espacio muestral consiste en los siguientes resultados:(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 5) (5, 6)(6, 6)

Observamos que el total de resultados posibles es 21.

continuación del ejemplo 5

¿ Cuál es la probabilidad de que la suma de los dos dados sea 6 ?

Si el evento se define como el conjunto de las observaciones cuya suma es seis, entonces:

= { (1, 5), (2, 4), (3, 3) }.

P() = = 0.1429

La probabilidad es aproximadamente 14.29%

Ejemplo 6 Si se lanzan dos dados: uno verde y otro rojo; ¿cuál sería el espacio muestral?

El espacio muestral es el siguiente:(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

El total de observaciones en el espacio muestral es 36.