probab il i dade condicion al
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Clculo de Probabilidade I
Probabilidade Condicional
Karina Y. Yaginuma
Departamento de Estatstica - ICE
Universidade Federal de Juiz de Fora
29 de outubro de 2015
Karina Y. Yaginuma Clculo de Probabilidade I Probabilidade Condicional
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Probabilidade condicional
Definio
Seja(,A, P)um espao de probabilidade. SeB AeP(B)> 0, a
probabilidade condicionaldeA AdadoB definida por
P(A|B) = P(A B)P(B)
.
Observao:
SeP(B) = 0,P(A|B)pode ser arbitrariamente defnida. Em
geral define-seP(A|B) = 0, mas conveniente, por
independncia, definirP(A|B) =P(A), como veremos adiante.
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Probabilidade condicional
Note queP(A|B),paraA A, uma probabilidade emA. Ou seja,P(A|B)satisfaz os 3 axiomas.
P(A|B) 0 para todoA A.
ComoP(A B) 0 e P(B)> 0, entoP(A|B) 0.
P(|B) = 1
P(|B) = P(B)P(B) =
P(B)P(B) = 1.
SeA1, A2, . . . so disjuntos, ento
P
i=1
Ai|B
=
i=1
P(Ai|B)
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Probabilidade condicional
P
i=1
Ai|B
=
P((
i=1Ai) B)
P(B) =
P(
i=1(Ai B))
P(B)
= (pelo axioma 3) =
i=1 P(Ai B)
P(B)
=
i=1
P(Ai B)
P(B) =
i=1
P(Ai|B).
Consequntemente as propriedades de probabilidade somantidas. Por exemplo,
P(Ac|B) = 1 P(A|B).
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Probabilidade condicional
Exemplo:
Suponhamos que uma fbrica possui 310 mquinas de soldar.
Algumas destas mquinas so eltricas (E), enquanto outras
so manuais (M). Por outro lado, temos tambm que algumas
so novas (N) e outras so usadas (U). A tabela abaixo informa
o nmero de mquinas de cada categoria.
Eltrica Manuais Totais
Novas 10 60 70Usadas 200 40 240
Totais 210 100 310
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Exemplo - Continuao
Sabendo que uma determinada pea foi soldada usando uma
mquina nova, qual a probabilidade de ter sido soldada por
uma mquina eltrica?
Soluo:
Note queP(N) = 70310 eP(E N) = 10310 . Portanto,
P(E|N) =P(E N)
P(N)
=10/310
70/310
= 1/7 = 0, 1428571.
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Exemplo - Continuao
Sabendo que uma determinada pea foi soldada usando uma
mquina eltrica, qual a probabilidade de ter sido soldada por
uma mquina nova?
Soluo:
Note queP(E) = 210310 eP(N E) = 10310 . Portanto,
P(E|N) =P(E N)
P(N)
= 10/310
210/310
= 1/21 = 0, 04761905.
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Probabilidade Condicional
Exemplo: Se dois dados (um vermelho e o outro verde) so
lanados, qual a probabilidade da soma das faces superiores ser8 dado que o dado verde saiu 3? O espao amostral do
experimento
={(i, j) :i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6},
ondei representa o resultado do dado verde ej o do dado
vermelho.
Defina
G= {(3, j) :j = 1, . . . , 6}eS={(i, j) :i +j = 8, i , j = 1, . . . , 6}.
Ento
P(S|G) =P(S G)
P(G) =
1/36
6/36=
1
6.
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Probabilidade condicional
Decorre da definio de probabilidae condicional que
P(A B) =P(B)P(A|B).
Podemos generalizar essa igualdade: se A, B,C A, ento
P(A B C) = P((A B) C)
= P(A B)P(C|A B)
= P(A)P(B|A)P(C|A B).
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Teorema da Multiplicao
Por induo, temos o seguinte:
Teorema (Teorema da Multiplicao)
Seja(,A, P)um espao de probabilidade. Ento
1 P(A B) =P(A)P(B|A) =P(B)P(A|B)para todoA, B A,
2 P(A1 A2 An) =
P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2) . . . P (An|A1 An1)para
todoA1, . . . , An Ae para todon = 2, 3, . . . .
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Teorema da Multiplicao
Exemplo: Selecionar trs cartas de um baralho, ao acaso e sem
reposio. Qual a probabilidade de tirar 3 reis?
Seja
Ai = tirar rei na i-sima extrao, parai = 1, 2, 3.
Ento o evento tirar 3 reis em termos dos Ais dado por
A1 A2 A3.
Logo,
P(A1 A2 A3) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2) = 4
52.3
51.2
50.
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Teorema da Probabilidade Total
Definio
Uma sequnciaA1, A2, . . . finita ou enumervel de conjuntos uma
partiode um conjuntoA quando
for uma sequncia de conjuntos disjuntos e
iAi =A.
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Teorema da Probabilidade Total
Definio
Uma sequnciaA1, A2, . . . finita ou enumervel de conjuntos uma
partiode um conjuntoA quando
for uma sequncia de conjuntos disjuntos e
iAi =A.
Teorema (Teorema da Probabilidade Total)
Se a sequncia (finita ou enumervel) de eventos aleatrios
A1, A2, . . . forma uma partio de, ento
P(B) =i
P(Ai)P(B|Ai),B A.
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Teorema da Probabilidade Total
Prova:
Note que
B =i (B Ai)e que os(B Ai)s so disjuntos. Ento, pelo Axioma 3,
P(B) =i
P(B Ai)
=iP(Ai)P(B|Ai)
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Teorema da Probabilidade Total
Exemplo: Uma empresa produz circuitos em trs fbricas, denotadas
por I, II e III. A fbrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e III
produzem30% cada uma. As probabilidades de que um circuito
produzido por essas fbricas no funcione so0.01, 0.04e 0.03,
respectivamente. Escolhido ao acaso um circuito da produo
conjunta das trs fbricas, qual a probabilidade do circuito no
funcionar?
Soluo: Considere os eventos
A1 =o circuito foi produzido pela fbrica I
A2 =o circuito foi produzido pela fbrica II
A3 =o circuito foi produzido pela fbrica III
B=o circuito defeituoso
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E l C i
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Exemplo - Continuao
Note que os eventosA1, A2, A3 formam uma partio do espao
amostral.
Sabemos queP(B|A1) = 0.01,P(B|A2) = 0.04e
P(B|A3) = 0.03.Assim aplicando o Teorema da Probabilidade Total, temos que
P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B|A3)
= 0.4 0.01 + 0.3 0.04 + 0.3 0.03
= 0.025.
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T d B
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Teorema de Bayes
Teorema
Seja(,A, P)um espao de probabilidade. Se a sequncia (finita ouenumervel) A1, A2, Aforma uma partio de, ento
P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)
j P(Aj)P(B|Aj),
para todoi = 1, 2, . . . .
Prova:
P(Ai|B) = P(Ai B)P(B) = P(Ai)P(B|Ai)P(B)
= (pelo Teorema da Prob. Total) = P(Ai)P(B|Ai)j
P(Aj)P(B|Aj)
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T d B
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Teorema de Bayes
Exemplo: Um teste de laboratrio tem5% de falso negativoe1% de
falso positivoem detectar diabetes. Se a prevalncia de diabetes
em uma certa populao de0.5%, qual a probabilidade de uma
pessoa ter a doena quando o teste deu positivo?
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