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CENTRO PREUNIVERSITARIO UNSCH

EXPERIMENTO ALEATORIO (): Es cualquier experimento cuyo resultado no se puede predecir con exactitud antes de realizar el experimento ya que consta con más de un resultado posible.

EJEMPLO:1: Lanzar una moneda2: Lanzar un dado3: Formar un comité integrado por dos personas de un

grupo de 10.

ESPACIO MUESTRAL (): Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio ().

EJEMPLO 1: En el lanzamiento de una moneda

= C; S2: En el lanzamiento de un dado

= 1; 2; 3; 4; 5; 6

EVENTO (A): Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral ().

EJEMPLO : En el lanzamiento simultáneo de dos monedas = CC; CS; SC; SSA: Las dos monedas muestran el mismo lado A = CC; SS

Se observa que A

DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD: La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos (sucesos) favorables y el número total de casos (sucesos) posibles.

Donde: P(A): probabilidad que ocurra “A” n(A): número de casos favorables al evento

“A” n(): número de casos posibles en “”

EJEMPLOSe lanza un dado legal. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número no menor que 3?

: lanzar un dado legal Casos posibles: = 1; 2; 3; 4; 5; 6

n() = 6

A: obtener un número no menor que 3 Casos favorables: A = {3; 4; 5; 6}

n(A) = 4

PROBABILIDAD CONDICIONAL: Se calcula la probabilidad de un suceso “B”, sabiendo que ocurrió el suceso “A”, del cual depende el suceso “B”

EJEMPLOSe extrae una ficha de 10 que están numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad que sea múltiplo de 3, si se sabe que fue par?

: extraer una ficha Casos posibles: = 1; 2; 3; … ; 10

n() = 10

A: sea un número par A = 2; 4; 6; 8; 10 n(A) = 5

B: sea un número múltiplo de 3 B = 3; 6; 9 n(B) = 3

AB: sea par y múltiplo de 3 AB = 6 n(AB) = 1

Luego

PROPIEDADES

1. 0P(A) 1

2. Si “A” es un evento imposible en , P(A) = 0

3. Si “A” es un evento seguro en , P(A) = 1

CICLO ACADÉMICO 2015-III 1

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4. Si “A” y “B” son eventos independientes,P(A B) = P(A) .P (B)

5. Si “A” y “B” son eventos no excluyentes,P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B)

6. Si “A” y “B” son eventos mutuamente excluyentes, P(A B)= P(A) + P (B)

7. Si A es un evento contrario de A, P(A)= 1 – P(A)

Problema 1. Se lanza un dado legal. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo?A) 4/5 B) 4/6 C) 5/6 D) 1/4 E) 1/2

: lanzar un dado legal Casos posibles: = 1; 2; 3; 4; 5; 6

n() = 6A: obtener un número primo Casos favorables: A = {2; 3; 5} n(A) = 3

Problema 2. Se lanzan 2 dados legales. Determinar la probabilidad que el producto de los puntajes mostrados sea múltiplo de 3. A) 1/8 B) 3/8 C) 1/4 D) 1/2 E) 5/9

: lanzar dos dados legalesA: el producto de los puntajes mostrados sea múltiplo de 3

1er dado 2do dado n() = 6 6 = 36 n(A) = 20

Problema 3. Una urna contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se saca una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea negra? A) 1/8 B) 1/5 C) 1/3 D) 3/8 E) 5/8

: extraer una bolaA: la bola extraída sea de color negra

n() = 3B + 5N = 8 n(A) = 5

Problema 4. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja (52 cartas, 13 de cada palo), éstas sean una de corazón y la otra trébol?A) 11/102 B) 13/102 C) 1/4 D) 1/36 E) 17/102

: extraer dos cartas de una baraja

n() =

A: obtener una de corazón y la otra trébol Corazón -Trébol

n(A) =


N

B

B

B N

NN

N

N

1erdado

El producto de los puntajes es múltiplo de 3

2do dado 1 2 3 4 5 6

1234

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Problema 5. Si se arrojan 6 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 caras y 2 sellos?A) 15/34 B) 15/46 C) 15/64 D) 16/54 E) 15/19

: lanzar 6 monedas

1ºm 2ºm 3ºm 4ºm 5ºm 6ºm

n() = 2 2 2 2 2 2 = 26 = 64

A: obtener 4 caras y 2 sellos (CCCCSS)

n(A)=

Problema 6. Antonio, César, Rommel, Martha, Jessica se sientan alrededor de una mesa circular. Calcular la probabilidad de que Rommel y Jessica no se sienten juntos. A) 1/4 B) 3/4 C) 1/8D) 1/2 E) 1/3

: sentarse alrededor de una mesa circular

n() = 4! = 24

A: Rommel y Jessica se sienten juntos

n(A) = 2!3! = 12

Luego P(A) =

A: Rommel y Jessica no se sienten juntos

Problema 7. Si la probabilidad de que un alumno apruebe Física es 0,6; la probabilidad de que apruebe Química es 0,72 y la probabilidad de no aprobar ninguno de estos cursos es 0,1, calcule la probabilidad de aprobar solo uno de dichos cursos.A) 0,36 B) 0,48 C) 0,58D) 0,75 E) 0,15

Del enunciado

Luegob = (0,6+0,72+0,1) – 1 = 0,42a = 0,6 – 0,42 = 0,18c = 0,72 – 0,42 = 0,3 La probabilidad de aprobar sólo uno de dichos cursos es 0,18+0,3=0,48


M

C

R

Punto fijo

4!

AJ

Punto fijo

3!

2!R

J

C

AM

1

F(0,6) Q(0,72)

0,1

a b c

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Problema 8. ¿Cuál es la probabilidad que al retirar una carta de una baraja se obtenga “as”?A) 1/52 B) 2/13 C) 1/26D) 3/13 E) 1/13

: retirar una carta de una baraja n() = 52

A: la carta retirada sea “as” n(A) = 4 (1 de cada palo: corazón, trébol, pica y

diamante)

Problema 9. Mateo tiene 3 cartas con las letras «A» «E» y «C». Si coloca las cartas en una fila, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga la palabra «CAE»?A) 1/2 B) 1/6 C) 2/3 D) 5/6 E) 1/3

: colocar las cartas en una fila Casos posibles: =AEC; ACE; EAC; ECA; CAE;

CEA n() = 6A: obtener la palabra “CAE”

n(A) = 1 (CAE)

Problema 10. Se escogen al azar 4 focos de un total de 10, de los cuales 6 son defectuosos. Halle la probabilidad de que 2 exactamente sean defectuosos.A) 1/7 B) 2/7 C) 3/7 D) 4/7 E) 5/7

: escoger al azar 4 focos de un total de 10

n() =

A: de los 4 escogidos 2 sean defectuosos (si 2 son defectuosos, entonces 2 no son defectuosos)

Del enunciadoSi de los 10 focos 6 son defectuosos, entonces 4 no son defectuosos. Por lo que los 2 defectuosos pueden ser

escogidos de maneras y los 2 no defectuosos

pueden ser escogidos de maneras.

n(A) =

ORDEN DE DATOS Y TEST DE CUADRO DE DECISIONES

ORDEN DE INFORMACIÓN LINEAL : Consiste en ordenar un grupo de objetos o personas de acuerdo a una característica común, por ejemplo: la posición, el peso, la edad, la talla, la antigüedad, etc. El ordenamiento lineal se subdivide en: * El ordenamiento lineal horizontal: Ejemplo: El orden de llegada de autos de carrera a la meta.* El ordenamiento lineal vertical:Ejemplo: la distribución de departamentos dentro de un edificio.

Ordenamiento horizontal y vertical

Se trata de situaciones que presentan característicamente criterios de comparación cuantitativa; utilizando mayormente la palabra mayor, menor , más , menos , adelante , primero , … etc. Como por ejemplo: El orden de la llegada de una competencia Atlética, la relación de las edades de un grupo de estudiantes, comparación de estaturas, etc. Para la solución de éste tipo de problemas es conveniente la utilización de un segmento de recta puntualizando en éste la información , con precisión, estableciendo las relaciones entre los datos que presente el enunciado , es recomendable no suponer lo que el problema no señale .

Problema 1. Cinco amigos: Ana, Cecilia, Jorge y Luis viven en un edificio de 7 pisos, cada uno en un piso distinto. Ana vive en un piso bajo y Cecilia en el inmediato superior al de Ana, Luis vive en el séptimo piso y Jorge entre los pisos de José y Luis. Si en el primer piso hay tiendas y no vive nadie y el


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cuarto piso está deshabitado, determine las afirmaciones verdaderas:I. Ana vive en el segundo piso.II. José vive en el quinto piso.III. Cecilia vive en el tercer piso. A) I, II y III B) I y II C) II y IIID) Sólo I E) Sólo II.

7 Luis6 Jorge5 José4 deshabitado3 Cecilia2 Ana1 Hay tiendas, no vive

nadie.

Problema 2. En una sala de conferencias están reunidos un ingeniero, un contador, un abogado y un médico; los nombres aunque no necesariamente en ese orden son: Pedro, Daniel, Junior y Fabián. Si se sabe que Pedro y el contador no se llevan bien. Junior es amigo del médico, Daniel es primo del abogado y éste amigo de Fabián; el ingeniero es muy amigo de Fabián y del médico. ¿Quién es el abogado?A) César B) Fabián C) Pedro

D) Junior E) Daniel

ingeniero contador abogado médicoPedro NO NO SI NODaniel NO NO NO SIJunior SI NO NO NOFabián NO SI NO NO

Problema 3. Alberto, Roberto, Juan, Luis y Guillermo se turnan para trabajar en una computadora. Solo uno puede usarla cada día y ningún sábado o domingo. Alberto solo puede usarla a partir del jueves. Roberto un día después de Luís. Juan solo el miércoles o viernes y ni Juan, ni Luís, ni Roberto trabajan los miércoles. ¿Qué día de la semana trabaja Roberto?A) Lunes B) Martes C) Miércoles D) Jueves E) Viernes

lun. mart. miérc juev. viern.Alberto NO NO NO SI NO

Roberto NO SI NO NO NOJuan NO NO NO NO SILuis SI NO NO NO NOGuillermo NO NO SI NO NO

Problema 4. Beatriz tiene un amigo en cada una de las ciudades siguientes: Huancayo, Tarma y Jauja; pero cada uno tiene caracteres diferentes: tímido, agresivo y liberal; si se sabe que:- Antonio no está en Tarma. - Andrés no está en Huancayo. - El que está en Tarma no es tímido. - Andrés no es liberal, ni tímido. - El que vive en Jauja es agresivo.Identifica en qué lugar vive Héctor y que carácter tiene.

A) Huancayo - tímido B) Jauja - agresivo C) Tarma - liberalD) Tarma - agresivo E) Huancayo - liberal

Huancayo Tarma JaujaAntonio SI NO NOAndrés NO NO SIHéctor NO SI NO

tímido agresivo liberalAntonio SI NO NOAndrés NO SI NOHéctor NO NO SI

01. Al lanzar un dado al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un numero múltiplo de 3? A) 1/3 B) 4/5 C) 1/5 D) 1/4 E) 1/2

02. Se lanza un dado común. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número no primo?A) 4/5 B) 4/6 C) 1/6 D) 1/2 E) 5/6

03. Al lanzar un dado al aire. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un número cuya raíz cuadrada sea exacta?A) 1/2 B) 3/4 C) 2/3 D) 1/4 E) 2/5


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04. Se lanza 5 monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos sean sellos?A) 5/12 B) 1/64 C) 5/16 D) 1/6 E) 3/16

05. Si se arrojan 6 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 caras y 2 sellos?A) 63/64 B) 15/64 C) 1/2 D) 1/5 E) 1/64

06. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 4 tiros de una moneda y una suma igual a 11 en un tiro de 2 dados?A) 5/72 B) 2/73 C) 1/72 D) 3/73 E) 17/72

07. Juan y 4 amigos se ubican en una fila, ¿Cuál es la probabilidad de que juan quede en el centro?A) 2/5 B) 3/10 C) 3/13 D) 1/5 E) 4/7

08. Se conoce que en cada 100 tortas se observa que 64 tienen chocolate y los restantes no, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 tortas con chocolate y 2 sin chocolate al escoger 5 tortas?A) 201/1067 B) 372/1067 C) 37/512 D) 65/542 E) 5/21

09. Nueve libros, de los cuales 5 son de Razonamiento matemático y 4de Razonamiento verbal, se colocan al azar en una estantería. Halle la probabilidad de que los libros de cada materia estén juntos?A) 2/63 B) 3/62 C) 1/63 D) 3/77 E) 7/63

10. 9 amigos se sientan alrededor de una mesa circular. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos queden juntos?A) 5/8 B) 7/8 C) 4/5 D) 1/4 E) 1/2

11. En una fiesta donde asistieron 90 personas; resulta que 70 bailan, 50 comen y 15 no bailan ni comen; si de estas personas se eligen a una de ellas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que coman y bailen?A) 4/5 B) 1/2 C) 1/3 D) 9/23 E) 5/21

12. A lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor que 10?A) 13/15 B) 10/15 C) 11/12 D) 13/12 E) 1/12

13. De un total de 52 cartas, se extrae dos a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que dichas cartas sean de espadas?A) 1/23 B) 3/17 C) 13/52 D) 1/52 E) 1/17

14. En una caja hay 10 bolas de billar; de las cuales solo 4 son amarillas, se toman 3 al azar; halle la probabilidad de que por lo menos una resulte de color amarillo?A) 1/6 B) 15/24 C) 5/6 D) 10/12 E) 1/30

15. En una caja hay 12 bolas negras y 8 rojas, que probabilidad hay de, sacar una bola negra y luego de reponerla, sacar una bola roja. A) 7/22 B) 6/23 C) 7/24 D) 7/25 E) 6/25

16. En un curso de 60 alumnos, 1/3 de los alumnos hablan portugués, ¼ habla inglés y 1/10 habla los dos idiomas. ¿cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable solo un idioma?A) 20/33 B) 23/60 C) 25/67 D)1/13 E) 21/60

17. Un sistema electrónico consta de 2 dispositivos M y N, la probabilidad que falle M es 0.2 de que fallen ambos es 0.15 y de que falle solo N es 0.45. determine la probabilidad de que falle M sabiendo que fallo N.A) 1/2 B)1/3 C)1/6 D) 1/5 E)1/4.

ORDEN DE DATOS Y CUADRO DE DECISIONES

18. X es el niño más alto del aula, en la misma aula, Y es más alto que Z y más bajo que W.¿Cuál de las siguientes afirmaciones son correctas?

I. Y, Z y W son más bajos que X.II. X es más alto que W y más bajo que Z.III. Z es el más bajo de todos.

A) Solo I B) I y II C) I y IIID) Solo II E) II y III

19. Cinco amigos están sentados en una banca en el cine, ubicados uno a continuación de otro. Zenaida y Pedro se ubican en forma adyacente. Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan. Zenaida está en un extremo.Si Silvia y Manuel están peleados, ¿Quién se sienta al lado de Silvia?A) Juan B) Pedro C) José D) Manuel E) Zenaida


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20. Seis amigas están escalando una montaña. Carla está más abajo que Juana, quien se encuentra un lugar más abajo que María.Daniela está más arriba que Carla pero un lugar más abajo que Tania, quien está más abajo que Rosa, que se encuentra entre Juana y Tania. ¿Quién está en el cuarto lugar del ascenso?

A) María B) Juan C) CarlaD) Daniela E) Tania

21. Un abogado invito a 5 personas a una conferencia. Los nombres de las seis personas que se reunieron alrededor de una mesa circular eran: Luis, Guillermo, Carlos, Eduardo y Marcos. Las profesiones de estos eran: médico, psicólogo, ingeniero, sociólogo, profesor y abogado. El profesor, que tenía discrepancias con Carlos, se sentó frente a Andrés. El médico se sentó frente a Luis. Luis se sentó entre el sociólogo y el profesor. Marcos se sentó a la derecha del ingeniero y frente al abogado. El ingeniero se sentó frente a Eduardo, junto al médico y a la izquierda del profesor. ¿Quién tenía discrepancias con Carlos?A) Eduardo B) Marcos C) Luis D) Andrés E) Guillermo

22. En un comedor, 8 comensales se sientan en una mesa circular. Las 8 personas son estudiantes de diversas especialidades: el de ingeniería esta frente al de educación y entre los de economía y farmacia, el de periodismo está a la izquierda del de educación y frente al de economía. Frente al de farmacia está el de derecho; este a su vez a la siniestra del de arquitectura. ¿Cuál es la profesión del que esta entre el de biología y educación? A) Derecho B) Farmacia C) Periodismo D) IngenieríaE) Economía

23. Juana tiene un amigo en cada una de las ciudades siguientes: Lima, Cusco e Iquitos; pero cada uno tiene caracteres diferentes: tímido, agresivo y liberal: * Marcos no está en Lima. * Luis no está en Cusco. * El que está en Lima no es tímido. * Luis no es liberal ni tímido. Se quiere saber: en qué ciudad vive Víctor, que es uno de los amigos y que carácter tiene. Además se sabe que quien vive en Iquitos es agresivo.

A) Lima: liberal B) Cusco: tímidoC) Lima: agresivo D) Cusco: liberal

E) Iquitos agresivo

24. Un estudiante, un médico y un abogado comentan que cada uno de ellos ahorra en un banco diferente:- Yo ahorro en Interbanc, dice el medico a Jacinto.- Tito comenta: “El banco que más intereses paga es el latino”- El abogado dice: “Mi secretaria lleva mi dinero al Banco de Lima”- El tercer personaje se llama José. ¿Cómo se llama el estudiante?

A) Alex B) Tito C) PedroD) Jacinto E) José

TAREA

25. Se lanza una moneda y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y un número mayor que 2?A) 1/5 B) 1/6 C) 1/3 D) 1/4 E) 1/2

26. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 o 4 al lanzar un dado?A) 2/3 B)2/9 C)2/5 D) 1/4 E)1/3

27. Se tienen 12 bolitas en una bolsa, 6 rojas y 6 verdes. Se extraen 4 bolitas al azar. Calcular la probabilidad de obtener 2 de cada color (sin reemplazo).A) 3/10 B)1/10 C)4/11 D) 5/11 E) 7/10

28. Se extrae una bola de billar de un total de 10 numeradas del 1 al 10. ¿calcular la probabilidad de que dicha bola sea múltiplo de 3, si se sabe que fue par?A) 1/4 B) 1/3 C) 1/7 D) 1/2 E) 1/5

29. Ana, Betty, Carol y Diana son 4 señoritas cuyas ocupaciones son: enfermera, profesora, secretaria y actriz (aunque no en ese orden necesariamente). Se sabe lo siguiente:- Ana y Betty son vecinas y se turnan para

llevarse el auto al trabajo.- Betty gana más dinero que Carol.- Ana le gana siempre a Dina jugando casino.- La actriz no vive cerca de la casa de la

profesora.- La enfermera camina siempre a su trabajo.- La única vez que la secretaria vio a la actriz

detuvo su auto para pedirle un autógrafo.- La actriz gana más dinero que la profesora o

la secretaria, pero no tiene auto.¿A qué ocupación se dedica Carol?


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A) Contadora B) profesora C) secretariaD) enfermera E) actriz


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