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816 Razonamiento Matemático 817Und. 11 Artificios de Cálculo

Prob. 01

De acuerdo a los datos del gráfico mostrado, calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AON y MOB.

A) 45º B) 90º C) 30º D) 60º E) 22,5º

Ya que el resultado es independiente de las medidas de los ángulos AOM y NOB, asu-miremos que el ángulo AOM mide 0º, es de-cir OA

y OM

coinciden, quedando el grá-fico del problema de la siguiente manera:

Luego la bisectriz del RAON es OP

y la bi-sectriz del RMOB es ON

, siendo x la medi-da del ángulo pedido.

∴ x = 45º Rpta. A

Prob. 02

En el interior de un triángulo equilátero ABC se ubica un punto P, tal que la suma de las distancias de P hacia los lados del triángu-lo es 6 3 . Calcular la longitud del lado del triángulo equilátero.

A) 6 B) 12 C) 6 3 D) 9 E) 3 3

Como P es un punto cualquiera del interior del DABC, asumiremos que es el ortocentro de dicho triángulo. Por tratarse de un trián-gulo equilátero las distancia hacia los lados resultan ser iguales, así

Del Dato deducimos que:

PM = PN = PT = 2 3

Luego en PTC de 30º ∧ 60º: TC = 6

Análogamente: AT = 6

∴ AC = 12 Rpta. B

Prob. 03

En un triángulo ABC se trazan las cevianas interiores AF, BD y CE que concurren en el punto O. Calcular el valor de la siguiente ex-presión:

OFAF

ODBD

OECE

+ +

A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 1/3 E) 2/3

Dado que las alternativas son números, po-demos asegurar que el resultado se verifica para cualquier tipo de triángulo.

Si asumimos que el DABC es equilátero y que las cevianas dadas son medianas, el punto O será el baricentro de ese triángulo.

Ahora recordemos la propiedad del bari-centro, el cual dice que:

BO = 2(OD) → BD = 30 ∧ OD = b

AO = 2(OF) → AF = 3a ∧ OF = a

CO = 2(OE) → CE = 3c ∧ OE = c

Luego reemplazando estas relaciones en la expresión que se pide, tenemos:

x aa

bb

cc

x

= + +

→ =

3 3 3

1 Rpta. B

Prob. 04

En un triángulo acutángulo ABC, se ubi-ca un punto E sobre BC, de modo que: AB = EC = 18 y mRABC=60º. Calcular la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AE y BC.

A) 36 B) 18 C) 12 D) 9 E) 6

Inicialmente el gráfico es de la siguiente forma:

En donde: AM = ME ∧ BN = NC

Asimismo: MN = x = ?

Dado que mRABC = 60º, asumiremos que el DABC es equilátero; como AB = 18 y EC = 18 esto solo será posible si B y E co-inciden, en un mismo punto, con lo cual el gráfico tendría esta forma

Por base media: x = 9 Rpta. D

Prob. 05

En el gráfico mostrado se tiene que:

AB = BC y BD = AD

CAPÍTULO

11.3Situaciones GeométricasSituaciones Geométricas


Calcular x.

A) 45º B) 30º C) 37º D) 15º E) 60º

Reconociendo que el valor de x es indepen-diente de q y por consiguiente de la ubica-ción del punto D, trazamos AC y ubicamos en él al punto D.

De este modo: q + 2q = 180º

Es decir: q = 60º

Luego como AD = DB entonces DADB es isósceles.

→ mRBAD = 30º

Asimismo si AB = BC entonces DABC es isósceles. ∴ x = 30º Rpta. B

Prob. 06

En un polígono regular ABCDEF de n lados, calcular la medida del ángulo que determinan AC y BD.

A) 30º B) 180”n

C) 180 2” nn

−( )

D) 90”n

E) 90 2” nn

−( )

Como el problema considera las diagonales AC y BD del polígono, entonces este debe tener 4 ó más lados. Si asumimos que es un cuadrado, entonces: n = 4

Ahora, si evaluamos las alternativas para n = 4, reconocemos que la única que lo ve-rifica es la alternativa C.

180 4 24 90º º−( ) =

Este caso ocurre de modo que AC y BD al cortarse forman 90º.

Rpta. C

Prob. 07

En el gráfico mostrado; BH = 6 y AB = BC. Calcular AD.

A) 6 2 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18

De acuerdo con los datos debemos recono-cer que la medida de AD depende directa-mente de BH y de la condición: AB = BC. Luego AD resulta ser independiente de AH, es decir, de la ubicación de A sobre HD.

Por esta razón asumiremos que A y H son un mismo punto, con lo cual BC resultaría

ser paralelo a AD, obteniéndose el siguiente gráfico:

Según este esquema: BH = BA = 6

Y del dato: BC = 6

Luego al trazar CT ⊥ AD, se obtiene que:

AT = 6 y TD = CT = 6

∴ x = 12 Rpta. C

Prob. 08

Calcular la longitud del radio de la circunfe-rencia inscrita a un trapecio isósceles cuyas bases miden a y b.

A) ab2

B) ab C) a b2 2+

D) ab4

E) 2aba b+

Un caso particular de un trapecio isósceles es aquel en el que los lados congruentes son paralelos. Pero si en este debe inscribirse una circunferencia, este trapecio particular resultaría ser un cuadrado, con lo cual ten-dríamos el siguiente esquema:

Considerando los datos del problemas ten-dríamos que a = l y b = l y del gráfico R l= 2Luego reemplazamos los valores de a y b que hemos asumido en las alternativas y la única que concuerda con el resultado R l= 2 , es la alternativa A. Rpta. A

Prob. 09

En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se traza la bisectriz BD. Se ubica el punto E en BC, tal que mREDC = 90º. Si AB = a y BE = b, calcular BD.

A) a b+( ) 3 B) a b+( ) 2

C) a b+( ) 22

D) a b+( ) 32

E) a b+( ) 52

Elaboramos un esquema según las condi-ciones iniciales:

Asumamos que el triángulo rectángulo ABC sea isósceles, entonces BD y ED son un mis-mo segmento, de modo que el gráfico sería de la siguiente forma:


Bajo este supuesto B y E coinciden por lo que:

BE = b = 0

Luego, en el ADB: x a= 22

Ahora corresponde evaluar las alternativas para b = 0 y la correcta será aquella que co-incide con x a= 2 2/ Rpta. C

Prob. 10

En un triángulo ABC se tiene que: AB = a; AC = b y mRA = 2mRC. Calcular BC.

A) b a b+( ) B) a a b+( ) C) ab

D) aba b+ E) 2ab

a b+

Puesto que el valor de BC = x no depen-de de la medida de RA y RC, si no de la relación entre estos, vamos a asumir que: mRC = 30º.

De la condición tenemos que: mRA = 60º, con lo cual provocamos que el DABC sea un triángulo rectángulo notable de 30º ∧ 60º.

Del gráfico: b = 2a y x a= 3 ... (*)

Entonces, evaluando las alternativas para b = 2a, la única que verifica (*), es la B.

x a a a

x a

= +( )

∴ =

2

3 Rpta. B

Prob. 11

En el gráfico mostrado, AB = BC = a; AP = b y MN || BC. Calcular MN.

A) ba b

2

+ B) aba b− C) a b

a b

2 2++

D) aa b

2

+ E) ab

a b+

Como el DABC es isósceles, entonces vamos a asumir que es un triángulo equilátero, ob-teniéndose el siguiente esquema:

De este modo se cumplirá que:

i) AM = MN = AN = x

ii) PM = MT = x2

→ + = → =x x b x b2

23 ... (*)

Y por punto de tangencia

iii) a = 2b

Al evaluar las alternativas para a = 2b, la única que verifica (*) es la alternativa E.

x b bb b b= ⋅

+ =22

23 Rpta. E

Prob. 12

En el gráfico se cumple que AM = 2 y MN = 6. Calcular AB.

A) 3 2 B) 2 3 C) 4 D) 4 2 E) 2

Como CD es una cuerda cualquiera, asumi-remos que es paralela al diámetro, quedan-do el gráfico de la siguiente manera:

En el rectángulo MCDN:

MO = ON = 3 → OC = OA = 5

Finalmente en CMO:

x2 + 32 = 52 ∴ x = 4 Rpta. C

Prob. 13

Según el gráfico mostrado se tiene que:

(BC)2 + (AD)2 = 16.

Calcular R.

A) 1

B) 2

C) 2

D) 2 2

E) 5

En el gráfico del problema se observa que AB y CD son dos cuerdas cualquiera pero perpendiculares; por ello podemos asumir que ambos son diámetros y planteamos el siguiente gráfico:

Bajo esta suposición se tendría:

En el COB: BC = R 2

En el AOD: AD = R 2

Reemplazando en el dato tenemos que:

R R2 2 162 2( ) + ( ) = → 4R2 = 16

R2 = 4 ∴ R = 2 Rpta. C

Prob. 14

Se tiene un triángulo equilátero ABC cuyo lado mide l. En la circunferencia inscrita a dicho triángulo equilátero se ubica un punto P. Se pide calcular. (PA)2 + (PB)2 + (PC)2 en función de l.

A) 54

2l B) 34

2l C) 2l2 D) l2 E) 52

2l


Dibujamos el triángulo equilátero ABC y la circunferencia inscrita, luego como P es un punto cualquiera de la circunferencia, lo po-dríamos asumir como el punto de tangencia con AB.

En consecuencia:

PA ; PB PC= = =l l l2 2 2 3 y

Luego la expresión que se pide estará dada por:

PA + PB + PC =2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( )l l l2 2 2 3

2 2 2

∴ ( ) + ( ) + ( ) =PA PB PC2 2 2 254l Rpta. A

Prob. 15

En el gráfico mostrado, T es punto de tangen-cia y AP = 8. Calcular el área de la región triangular APD.

A) 8 B) 16 C) 32 D) 24 E) 26

Como P es un punto que podemos deslizar por la semicircunferencia, entonces asumi-remos que coincide con el punto de tangen-cia T, con lo cual: AT = 8 y AP = 8

En este gráfico el área de la región sombrea-da estará dado por:

S R=2

2 ... (1)

Pero en el ADT:

R R2 8 4 2= → = ... (2)

De (2) en (1): S = ( )4 22

2

∴ S = 16 Rpta. B

Prob. 16En un triángulo ABC cuya área es S se trazan las alturas AM y CN. Si mRABC=60º, calcule el área de la región triangular BNM.

A) S2

B) S3

C) S4

D) S 32

E) S 34

Como el ángulo B del triángulo ABC mide 60º, podemos asumir que es un triángulo equilátero, con lo cual, luego de trazar las alturas, tendríamos el siguiente esquema:

En este gráfico se observa que M y N son puntos medios, entonces se cumple que el área del DBMN será la cuarta parte del área del DABC, cuyo valor es S.

∴ =( )S SMBN 4 Rpta. C

Prob. 17

Exteriormente a un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se construye el cuadrado ACPQ de centro O. Si OB = a, calcular el área de la región cuadrangular ABCO.

A) 2a2 B) a2 2 C) 32

2a

D) a2 E) a2

2

Vamos a asumir que el ABC es isósceles; con lo cual el esquema sería de la siguiente manera:

Luego de este gráfico se observa que el cua-drilátero ABCO es un cuadrado, cuya área S está dado por:

S = l2 ... (1)

Pero: a l l a= → =22

... (2)

De (2) en (1): S a=2

2 Rpta. E

Prob. 18En el gráfico los triángulos ABC y CDE son equiláteros. Calcular el área de la región triangular sombreada, si (AB)(DE) = 12

A) 6 B) 6 3 C) 3 D) 3 3 E) 8 3

Asumamos que los triángulos equiláteros ABC y CDE son congruentes, entonces el DBCD será otro triángulo equilátero con-gruente a los otros dos y el gráfico, de esta particularidad, sería

Del dato: (AB)(DE) = 12

→ a· a = a2 = 12 ... (1)

Luego el área S estará dado por:

S a=2 34 ... (2)

De (1) en (2): S = 3 3 Rpta. D

Prob. 19

La base de un paralelepípedo recto es un rom-bo, cuya área es igual a S. Las áreas de las secciones diagonales son iguales a S1 y S2.


Calcular el volumen del paralelepípedo.

A) S S S1 2

2

⋅ ⋅ B)

S S S1 2

4

⋅ ⋅

C) S S S1 2

6

⋅ ⋅ D)

S S S1 2

3

⋅ ⋅

E) S S S1 2

5

⋅ ⋅

Si la base de un rombo, podemos asumir como caso particular un cuadrado, con lo cual también podemos colegir que el pa-ralelepípedo recto es un cubo, entonces el gráfico sería de esta manera:

En este cubo las secciones diagonales son: AECG y BDHF cuyas áreas serían:

S a S a12

222 2= =y

Además el área de la base EFGH es:

S = a2

Y su volumen sería: V = a3 ... (*)

Finalmente reemplazamos estos valores en las alternativas y la que coincide con (*) es la respuesta. Esto se cumple en (A):

V a a a a= ⋅ ⋅ =2 2 2 32 2

2 Rpta. A

Prob. 20

En un paralelepípedo rectangular, calcular la suma de las longitudes de sus dimensiones, si la suma de su área total y el cuadrado de su diagonal es 36.

A) 6 B) 9 C) 12 D) 18 E) 6 3

Asumiremos que el paralelepípedo rectan-gular es un cubo cuya arista mide «a».

En este caso la suma de las dimensiones sería:

x = 3a . . . (1)

Del dato: AT + d2 = 36

→ 6 3 362 2a a+ ( ) =

9a2 = 36

→ a = 2 . . . (2)

De (2) en (1): x = 3(2)

∴ x = 6 Rpta. A

01.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOB y COD, si mRAOC = 80º y mRBOD = 70º.

A) 90º B) 70º C) 75º D) 85º E) 95º

02.- En el gráfico mostrado, el DABC es equi-látero. Si PM PH PN+ − = 8 3 , calcular AB.

A) 16

B) 12

C) 4 3

D) 6 3

E) 24

03.- En un triángulo ABC; ma; mb y mc son las longitudes de sus medianas y ha, hb, hc son las longitudes de sus alturas.

Si h h h

m m mka b c

a b c

+ ++ + < , entonces el valor de k es:

A) 1/4 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 3/4

04.- En el gráfico mostrado; AP = 6 y QC = 8. Calcular MN, siendo M y N puntos medios.

A) 5 B) 2 5 C) 7 D) 3,5 E) 3 3

05.- En el gráfico mostrado se cumple que (AC)2 + (BC)2 = 16. Calcular R.

A) 2 B) 2 2 C) 2 3 D) 4 E) 4 2

06.- En un polígono convexo de n lados, cal-cule el número de diagonales medias sin con-siderar aquellas que unen los puntos medios de los lados consecutivos del polígono.

A) n2

B) n n −( )23

C) n n +( )12

D) n n −( )32 E) n n −( )1

2

07.- Exteriormente a un triángulo ABC se construye el cuadrado BCDE cuyo centro es O. Calcular la distancia de O a la recta AC, sabiendo que AC = 6 y mRBAC = 45º.

A) 3 3 B) 4 2 C) 3 2

D) 3 E) 2 5

08.- La suma de las longitudes de las bases de un trapecio isósceles es 24 y la altura del trapecio mide 5. Calcular la longitud de la dia-gonal.

A) 12 B) 5 C) 17 D) 13 E) 14,5

Práctica11.3 Situaciones Geométricas


09.- Si 1 1 12AB BC

+ =

Calcular la longitud del radio de la circunfe-rencia mostrada.

A) 1,5 B) 1 C) 2 D) 2 E) 4

10.- En un triángulo se tiene que dos de sus lados miden a y b; y forman un ángulo que mide 120º. Calcular la longitud de la bisectriz interior relativa al tercer lado.

A) aba b

3+ B) ab

a b+ C) 2aba b+

D) aba b

2+ E) ab

11.- Si el triángulo ABC es equilátero y AB = l, calcular el perímetro del triángulo MBN.

A) 2l/3 B) 3l/2 C) l/2 D) l E) 2l

12.- En una circunferencia de radio R se trazan las cuerdas AB y CD perpendiculares y secantes en el punto Q. Determinar el valor de la siguien-te expresión (AQ)2 + (QB)2 + (QC)2 + (QD)2 en función de R.

A) R2 B) 2R2 C) 3R2

D) 4R2 E) 6R2

13.- En el gráfico mostrado se cumple que (AB)(CD) = 16. Calcular PQ.

A) 5 B) 5 2 C) 4 2 D) 8 E) 4

14.- Se tiene un triángulo equilátero de lado a. En la circunferencia circunscrita a dicho trián-gulo equilátero se ubica el punto P. Calcular el valor de (PA)2 + (PB)2 + (PC)2 en función de a.

A) a2 B) 2a2 C) 32

2a

D) 52

2a E) 34

2a

15.- En el gráfico mostrado, ABCD es un cua-drado y CD es diámetro de la circunferencia. Si DP = 6, calcular el área d la región som-breada.

A) 9 B) 12 C) 18 D) 36 E) 24

16.- En el gráfico mostrado P es punto de tangencia, el DABC es equilátero y PB = a. Calcular el área de la región cuadrangular AMNC.

A) a2

2 B) a

2 32

C) a2 34

D) a2 33

E) a2

17.- En el gráfico mostrado: P, Q y R son pun-tos de tangencia; PB = m y PA = n. Calcular el área de la región triangular ABC.

A) m · n B) m n⋅2

C) m n⋅ 3

D) m n⋅ 32

E) m n⋅ 33

18.- Un prisma tiene A aristas, entonces la suma de las medidas de sus ángulos diedros es:

A) 90(A – 1) B) 120(A – 3)

C) 180(A – 2) D) 360 (A – 1)

E) 360 (A – 2)

19.- En el gráfico mostrado ABCD es un cua-drado y se cumple que: (BQ)2 + (QD)2 = 32. Calcular el área de la región sombreada.

A) 18 B) 16 C) 4 D) 24 E) 32

20.- En un prisma recto ABCD – A’B’C’D’, las bases tienen diagonales perpendiculares. Calcular el volumen del prisma si las áreas de las regiones AA’C’C y BB’D’D son S1 y S2, además CC’ = C.

A) c S S1 2⋅ B) 2 1 2c S S⋅

C) 3 1 2c S S⋅ D) S S

c1 2⋅

E) S S

c1 2

2

⋅

Claves:

20E

19B

18D

17C

16C

15C

14B

13C

12D

11D

10B

09B

08D

07D

06D

05A

04A

03D

02A

01C

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