principios del Álgebra de boolehomepage.cem.itesm.mx/garcia.andres/pdf201411/te1010...sistemas...

Principios del Álgebra de Boole

Dr. Andrés David García García

Departamento de Mecatrónica

División de Ingeniería y Ciencias

TE 1010 1

Los sistemas Lógicos Digitales

• Se utilizan para poder procesar información:

– Clasificar, almacenar, organizar e intercambiar.

– Tomar decisiones.

• Ejemplo: Encender o apagar un calefactor:

– Control ON/OFF.

– Encendido toma 2 valores: F/V; ‘0’ ó ‘1’

– Dos valores posibles: SISTEMA BINARIO.

TE 1010 2

Sistemas Lógicos

➢ Los circuitos lógicos basa su funcionamiento en la “lógica de conjuntos”

➢ Principio fundamental de los circuitos lógicos:➢ Falso: ‘0’ (cero lógico)

➢Verdadero: ‘1’ (uno lógico)

➢Al tratarse de un dispositivo electrónico, estos “estados” se representan por un nivel de tensión eléctrica o “Voltaje”.

TE 1010 3

Sistemas lógicos

➢ Equivalente eléctrico de los niveles lógicos:

➢ Los niveles lógicos pueden ser vistos como un switch:

❖‘0’ es un circuito abierto

❖‘1’ es un circuito cerrado

‘0’

‘1’

S

TE 10104

Sistemas lógicos

➢Ejemplos:➢ Switches en serie:

➢ La función lógica que hace que A=B es una AND.

➢ Switches en paralelo:

➢ La función lógica que hace que A=B es una OR.

S SA B

S

SA B

TE 10105

Sistemas lógicos

➢Ejemplos:

X Y

X

Y

TE 10106

X AND Y

X OR Y

U

Sistemas lógicos➢ Fundamentos de teoría de conjuntos:

TE 1010 7

UNIVERSO A

U

B

U

A B

Sistemas lógicos➢ Fundamentos de teoría de conjuntos:

TE 1010 8

A BC A B

A B

C = A “y” B C = A “ó” B

C = A “ó excluyente” B

A

C = complemento (A)

Sistemas Lógicos

➢Niveles lógicos de voltaje:

TE 1010 9

Umbral de ruido

(nivel indefinido)

5V

0V

‘1’ (estado lógico

“alto”)

‘0’ (estado lógico

“bajo”)

Sistemas lógicos➢ Ley de Ohm:

➢ V = I*R❖V = Voltaje

❖ I = Corriente

❖R = Resistencia

➢ La ley de Ohm establece que la tensión (Volts) medida entre lasterminales de un elemento resistivo es igual al valor deresistencia (en Ohms) multiplicada por la corriente (enAmperes) que pasa por el resistor.

TE 1010 10

Sistemas lógicos

➢Ejemplo: La ley de Ohm:

➢ El valor de la resistencia es “R”.

➢ El voltaje medido entre las terminales de la resistencia es “V”.

➢ La corriente que alimenta el circuito es “i”.

i

R+

V

-

RIV

TE 101011

Sistemas lógicos

➢Ley de Ohm: nodos y mallas:

a b c

gnd

i1 i2

TE 101012

Sistemas lógicos

➢División de corriente:

➢División de voltaje:

i i/2

i/2

i

+

V/2

-

+

V/2

-

+

V

-

TE 101013

Compuertas lógicas

➢Símbolos de las funciones lógicas:

X Y

)( XnotXY

X

YZ

XandYYXZ

TE 101014

ZX

Y

XorYYXZ

ZX

Y

XxorYYXZ

Compuertas lógicas

➢Inversor: NOT:

X Y

)( XnotXY

X Y

0 1

1 0

TE 101015

Tabla de verdad

Compuertas lógicas

➢AND:

X

YZ

XandYYXZ

X Y Z

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

TE 101016

Compuertas lógicas

➢OR:

ZX

YXorYYXZ

X Y Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

TE 101017

Compuertas lógicas

➢Or Exclusiva ó XOR:

ZX

YXxorYYXZ

X Y Z

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

TE 101018

Compuertas lógicas

➢Usando varias compuertas lógicas se puede construir funciones más elaboradas:

X1

X2

X3

F

F_int

X1 X2 X3 F

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

TE 101019

F = F_int AND X3

F = (X1 + X2) * X3

Brown/Vranesic. “Fundamentals of logic design”.

Compuertas lógicas

➢Ejemplo: Análisis de una red lógica:

)21()1( andXXorXnotF

X1

X2

F

0, 0, 1, 1

0, 1, 0, 1

1, 1, 0, 0

0, 0, 0, 1

1, 1, 0, 1A

B

TE 101020

)21(1 XXXF


Compuertas lógicas

➢Ejemplo: Análisis de una red lógica:

X1

X2

A

B

F

X1 X2 F

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

TE 101021


Diagrama de tiempo (cronograma):

Álgebra de Boole

➢ El álgebra booleana o álgebra de Boole define las reglas básicasde manipulación y simplificación de funciones lógicas.

➢ Este tipo de álgebra fue creada en 1849 por George Boole (de ahísu nombre).

➢ Sin embargo, los principios desarrollados por Boole no fueronusados dentro de la rama de la ingeniería sino 100 años después.

➢ En 1930, Claude Shannon demostró que los principios de Boolepodían ser usados para describir circuitos a base de switches, esdecir, circuitos lógicos.

TE 1010 22

George Boole, Matemático Autodidacta

británico nacido en Lincoln, Reino Unido, 1815.

• Profesor en el Queen’s College.

• Fundador de su propio colegio.

Álgebra de Boole❖Axiomas o reglas básicas del álgebra de boole:

1a: ‘0’ • ‘0’ = ‘0’

1b: ‘1’ + ‘1’ = ‘1’

2a: ‘1’ • ‘1’ = ‘1’

2b: ‘0’ + ‘0’ = ‘0’

3a: ‘0’ • ‘1’ = ‘1’ • ‘0’ = ‘0’

3b: ‘1’ + ‘0’ = ‘0’ + ‘1’ = ‘1’

4a: si X = ‘0’, entonces /X = ‘1’

4b: si X = ‘1’, entonces /X = ‘0’

TE 1010 23Brown/Vranesic. “Fundamentals of logic design”.

Álgebra de Boole❖De los axiomas anteriores podemos definir los

siguientes teoremas:

5a: X • ‘0’ = ‘0’

5b: X + ‘1’ = ‘1’

6a: X • ‘1’ = X

6b: X + ‘0’ = X

7a: X • X = X

7b: X + X = X

8a: X • /X = ‘0’

8b: X + /X = ‘1’

9 : //X = X


Álgebra de Boole

➢ Los axiomas y teoremas anteriores fueronexpresados por pares (a,b) esto con el fin dedemostrar de forma implícita el “principio dedualidad”, el cual tiene por reglas simples:

✓ Cambiar la operación lógica AND (•) por OR (+) y viceversa.

✓ Sustituir ‘0’s por ‘1’s y viceversa.

➢ Este principio será muy útil posteriormente en lasimplificación de ecuaciones lógicas complejas.

TE 1010 25

Álgebra de Boole➢ El álgebra booleana establece también algunas

propiedades que se usan para manipular y simplificarfunciones lógicas de 2 o 3 variables.

➢ Propiedad conmutativa:

10a: X • Y = Y • X

10b: X + Y = Y + X

➢ Propiedad asociativa:

11a: X • (Y • Z) = (Y • X) • Z

11b: X + (Y + Z) = (Y + X) + Z


Álgebra de Boole➢Propiedad distributiva:

12a: X • (Y + Z) = (X • Y) + (X • Z) 12b: X + (Y • Z) = (X + Y) • (X + Z)

➢Propiedad de absorción:

13a: X + (X • Y) = X 13b: X • (X + Y) = X

➢Propiedad de combinación:

14a: (X • Y) + (X • /Y) = X 14b: (X + Y) • (X + /Y) = X


Álgebra de Boole

➢Teorema de Morgan:

15a: /(X • Y) = /X + /Y

15b: /(X + Y) = /X • /Y

16a: X + (/X • Y) = X + Y

16b: X • (/X + Y) = X • Y

➢Tarea: usando los axiomas y propiedades del álgebra de Boole, comprobar los 4 casos del teorema de Morgan.


Álgebra de Boole

➢Simplificación algebraica de una función lógica:

➢Ejemplo:

❖ F = /X•Y•Z + /X•Y•/Z + X•Z

❖ F = /X•Y•(Z + /Z) + X•Z

❖ F = /X•Y•(‘1’) + X•Z

❖ F = /X•Y + X•Z

TE 1010 29M. Mano/Kime. “Logic & Computer Design Fundamentals”

Álgebra de Boole

➢Simplificación algebraica de una función lógica:➢ Circuito: F = /X•Y•Z + /X•Y•/Z + X•Z

➢ Circuito: F = /X•Y + X•Z

X

FY

Z

X

Y

Z

F

TE 101030

M. Mano/Kime. “Logic & Computer Design Fundamentals”

Álgebra de Boole

➢Compuertas con salida negada:

➢Ejercicio: Aplicando el principio de dualidad, proponga otro símbolo equivalente para las tablas de verdad anteriores.

TE 101031

A B S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A B S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Álgebra de Boole

➢Or Exclusiva negada:➢ Or exclusiva:

F = /X•Y + X•/Y

➢ Or exclusiva negada:

/F = /(/X•Y + X•/Y)/F = /(/X•Y) • /(X•/Y)/F = (//X + /Y) • (/X + //Y)/F = ……………………/F = …………………/F = /X•/Y + X•Y

➢ Aplicando el teorema de Morgan y la propiedad de distribución, demuestre la ecuación de una OR exclusiva negada y obtenga la tabla de verdad.

TE 101032

Álgebra de Boole

➢Simplificaciones:➢Haciendo uso del álgebra de Boole, simplifique la siguiente

ecuación:

(A•B) + [A •(B+C)] + [B •(B+C)]

A

B

C

F

TE 101033

Álgebra de Boole➢ Simplificaciones:

➢Haciendo uso del álgebra de Boole, simplifique la siguiente ecuación:

(A•B) + [A •(B+C)] + [B •(B+C)]

➢1) Aplicar la propiedad distributiva:

(A•B) + (A•B) + (A•C) + (B•B) + (B•C)

TE 1010 34

Álgebra de Boole➢ Simplificaciones:


(A•B) + [A •(B+C)] + [B •(B+C)]

➢2) Aplicar los axiomas básicos:

(A•B) + (A•B) + (A•C) + (B•B) + (B•C)

(A•B) + (A•C) + (B) + (B•C)

TE 1010 35

Álgebra de Boole

➢Simplificaciones:


(A•B) + [A •(B+C)] + [B •(B+C)]

➢3) Aplicar la propiedad de absorción:

(A•B) + (A•C) + (B) + (B•C)

(A•B) + (A•C) + (B)

TE 1010 36

Álgebra de Boole

➢Simplificaciones:

➢ Haciendo uso del álgebra de Boole, simplifique la siguiente ecuación:

(A•B) + [A •(B+C)] + [B •(B+C)]

➢ 4) Aplicar la propiedad de absorción:

(A•B) + (A•C) + (B)

(A•B) + (B) + (A•C)

(B) + (A•C)

TE 1010 37

Álgebra de Boole

➢Simplificaciones:➢ Haciendo uso del álgebra de Boole, simplifique la siguiente ecuación:

(A•B) + [A •(B+C)] + [B •(B+C)]

(B) + (A•C)

F

A

B

C

TE 101038

Jerarquía de las operaciones

• Al igual que en álgebra convencional, las operaciones lógicas tienen un nivel de jerarquía definido.

– Mutliplicación (X)

– División (/)

– Suma (+)

➢ ¿Cuál tiene prioridad?

• En álgebra de Boole, debemos distinguir la jerarquía (prioridad) entre las funciones lógicas:

– AND (●)

– OR (+)

– XOR (ꚛ)

– NOT (/)

➢ ¿Cuál tiene prioridad?

TE 101039

Jerarquía de las operaciones

• En álgebra de Boole, la jerarquía es:

– NOT

– AND

– OR

TE 1010-FIT 40

A=1, B=0 y C=0Ejemplo1:

AB+BC’+AB’

1 0 +0 0’+ 1 0’ Sustituimos los valores.

1 0 +0 1 + 1 1 Evaluación de las NOTs

0 + 0 + 1 Evaluación de las ANDs

0 + 1 Evaluación de las ORs

Ejemplo Curso FIT

1

Paréntesis: se deben resolver primero los más internos y trabajar hacia afuera.

Funciones Booleanas

TE 1010 41

Notación

➢LSB: Bits menos significativos.➢ Aquellos bits que tienen un peso cercano o igual a cero:

22, 21, 20

➢MSB: Bits más significativos.➢ Aquellos bits que tienen un peso cercano o igual a n (donde n es el peso mayor):

2n, 2n-1, 2n-2

➢En las ecuaciones lógicas anteriores se puedeobservar que la letra “A” se usa para designar al bitmás significativo:➢ F = (A•/B•C)

➢Es importante hacer notar que muchas veces seutiliza un criterio inverso:➢ F = (C•/B•A)

TE 1010 42

Expresiones Booleanas

➢ Las ecuaciones lógicas se expresan, como lo hemosvisto, en funciones de sumas y productos.

➢ Existen dos tipos de representación de las funcioneslógicas:

➢Sumas de productos:✓Σ (π)

➢Productos de sumas:✓π (Σ)

TE 1010 43

Ejemplos

TE 1010 44

A B C Z

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Ejemplos

TE 1010 45

A B C Z

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Otra forma es considerar que el término (A ●B

●C), convenientemente, puede ser usado como

factor común y agregarse 2 veces mas:

Solución de Sistemas Digitales, principios y aplicaciones. Tocci, Widmer, Moss. Pp129.

Expresiones Booleanas➢ Sumas de productos Σ (π):

(A•B) + (/A•C) + (/B•C)

(A•/B) + (B) + (B•/C)

(/A•B) + (A•/B•C) + (/B) + (B•C)

➢ Productos de sumas π (Σ):

(A+B) • (/A+C) • (/B+C)

(A+/B) • (B) • (B+/C)

(/A+B) • (A+/B+C) • (/B) • (B+C)

TE 1010 46


➢Sumas de productos Σ (π):

➢ Implementación de una suma de productos:

➢ (A•B) + (A•C) + (B•C)

➢El circuito:

A

B

C

F

TE 101047


➢Sumas de productos Σ (π):➢ Hasta ahora se hemos visto sumas de productos que no incluyen todas

las combinaciones posibles de las variables de entrada, por ejemplo:

✓ (A•/B) + (B) + (B•/C)

➢ Sus productos no incluyen todas las variables de entrada A, B, C.

➢ En la suma de productos “estándar”, todos los productos incluyen atodas las variables.

➢ A los Términos que componen una Suma de Productos se les llama:MiniTérminos.

TE 101048



➢Cada término que no contenga todas las variables deentrada puede transformarse a la forma “estándar” usandoel teorema:

8b: X + /X = ‘1’

➢Ejemplo:

(A•B) + (/A•C) + (/B•C)

(A•B) •(C + /C) + (/A•C) •(B + /B) + (/B•C) •(A + /A)

(A•B•C) + (A•B•/C) + (/A•B•C) + (/A•/B•C) + (A•/B•C) + (/A•/B•C)

TE 101049



➢Término de producto estándar: Se utiliza para representaraquella(s) condicion(es) que debe(n) ser verdadera(s):

✓ (A•/B•C) = ‘1’ : Esto implica que A = ‘1’, B = ‘0’, C = ‘1’

➢ En el ejemplo anterior, el número sobre 3 bits que cumplecon el “término de producto estándar” es el número 5.

✓ (A•/B•C•/D) => A = ‘1’, B = ‘0’, C = ‘1’, D = ‘0’

➢ En este caso, el valor que cumple con el TPE es el número(10)d, ó (A)h

TE 101050


➢Productos de sumas π (Σ):➢ Al inverso de la suma de productos, el producto de sumas esta

compuesto de la siguiente forma:

✓ (A+B) • (A+C) • (B+C)

➢ El producto de sumas puede contener términos de una solavariable.

➢ El circuito: A

B

C

F

TE 101051


➢Productos de sumas π (Σ):➢ Hasta ahora se hemos visto productos de sumas que no incluyen todas

las combinaciones posibles de las variables de entrada, por ejemplo:

✓ (A+/B) • (B) • (B+/C)

➢ Las sumas no incluyen todas las variables de entrada A, B, C.

➢ En el producto de sumas “estándar”, todas las sumas incluyen a todaslas variables.

➢ A los Términos que componen un Producto de Sumas se les llama:MaxiTérminos.

TE 101052


➢Productos de sumas π (Σ):

➢Cada término que no contenga todas las variables deentrada puede transformarse a la forma “estándar” usandoel teorema:

8a: X • /X = ‘0’

➢Ejemplo:

[(A+B) + (C•/C)] • [(/A+C) + (B•/B)] • [(/B+C) + (A•/A)]

[(A+B+C) • (A+B+/C)] • [(/A+B+C) •(/A+B+/C)] • [(A+/B+C) •(A+/B+/C)]

TE 101053


➢Productos de sumas π (Σ):

➢ Término de suma estándar: Se utiliza para representaraquella(s) condicion(es) que debe(n) ser falsas(s):

✓ (A+/B+C) = ‘0’ : Esto implica que A = ‘0’, B = ‘1’, C = ‘0’

➢ En el ejemplo anterior, el número sobre 3 bits que cumplecon el “término de suma estándar” es el número 2.

✓ (A+/B+C+/D) => A = ‘0’, B = ‘1’, C = ‘0’, D = ‘1’

➢ En este caso, el valor que cumple con el TSE es el número(5)d.

TE 101054


➢ Conversiones de sumas de productos a productos desumas:➢ Los elementos que no aparecen dentro de una suma de productos

estándar, son aquellos que hacen falsa a la función.

TE 1010 55

001 010

011

100101

110111

000

Σ (π): {000,100,101,110,111}


➢ Tablas de verdad para las sumas de productos y los productos de suma:

➢ En una suma de productos, se eligen las combinaciones que, evaluadas con ‘1’, hacen la salida ‘1’.

➢ En un producto de sumas, se eligen las combinaciones que, evaluadas con ‘0’, hacen la salida ‘0’.

➢ Ejemplo:

F = (A•/B•C) + (/A•/B•C) + (/A•B•C) + (A•B•C)

/F= (/A+B+/C) •(A+B+/C) •(A+/B+/C)+(/A+/B+/C)

TE 1010 56

A B C Σ (π) /π (Σ)

0/1 0/1 0/1 0 1

0/1 0/1 1/0 1 0

0/1 1/0 0/1 0 1

0/1 1/0 1/0 1 0

1/0 0/1 0/1 0 1

1/0 0/1 1/0 1 0

1/0 1/0 0/1 0 1

1/0 1/0 1/0 1 0

Ejercicios➢ Tarea:

➢Realizar los siguientes ejercicios de final del capítulo 4 del libro de referencia:

✓4-1

✓4-2

✓4-3

✓4-4: de 4-4 al 4-7

➢Ronald Tocci, Neal S. Widmer “Sistemas Digitales, principios y aplicaciones”. 10a edición. Pearson. Pp 194-195.

TE 1010 57

Mapas de Karnaugh

➢ Los Mapas de Karnaugh son una tabla de valores muy similares alas tablas de verdad que ya aprendimos a obtener de un circuitológico:➢ Muestran los valores lógicos que corresponden a todas las combinaciones

posibles de entrada.

➢ A diferencia de una tabla de verdad, el mapa de Karnaugh nosiguen una secuencia ascendente o descendente.

➢ La disposición de un mapa de Karnaugh se basa en unasecuencia de código Gray con el objetivo de agrupar las salidaspara facilitar la reducción de la ecuación lógica.

TE 1010 58

Mapas de Karnaugh

➢ Código GRAY (recordatorio):

➢ No tiene un peso, por ende no representa valores específicos.

➢ Es un código no aritmético

➢ La condición del código Gray es que, al aumentar las secuencia de forma ascendente, solo cambia un bit dentro de la palabra de código:

TE 1010 59

Número Binario Gray

0 000 000

1 001 001

2 010 011

3 011 010

4 100 110

5 101 111

6 110 101

7 111 100

Mapas de Karnaugh

➢ Cada celda del Mapa representa la salida quecorresponde a alguna de las combinaciones deentrada.

➢Normalmente estos Mapas se usan para resolverfunciones lógicas de 3, 4 y 5 variables.

➢ Para funciones de muchas variables se utilizan otrosmétodos como el de Quine-McClusky, el cual seestudiará posteriormente.

➢ El número de celdas del Mapa es igual al número decombinaciones posibles de las entradas.

TE 1010 60

Mapas de Karnaugh

➢ Mapa de Karnaugh de 3 variables:

➢ 8 combinaciones posibles.

➢ A, B, C: Entradas

➢ Z : Salida

➢ Z = F(A, B, C)

➢ Nota: A es el MSb

TE 1010 61

A B

C

0 1

0 0 /A/B/C /A/BC

0 1 /AB/C /ABC

1 1 AB/C ABC

1 0 A/B/C A/BC

Mapas de Karnaugh

➢ Mapa de Karnaugh de 4 variables:➢ 16 combinaciones posibles.

➢ A, B, C,D: Entradas

➢ Z : Salida

➢ Z = F(A, B, C, D)

TE 1010 62

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 /A/B/C/D /A/B/CD /A/BCD /A/BC/D

0 1 /AB/C/D /AB/CD /ABCD /ABC/D

1 1 AB/C/D AB/CD ABCD ABC/D

1 0 A/B/C/D A/B/CD A/BCD A/BC/D

Mapas de Karnaugh

➢ Celdas Adyacentes:

➢ Las celdas del Mapa se ordenan en código Gray para que entre una celda y la adyacente solo cambie una de las variables.

➢ Las celdas de una orilla se consideran adyacentes a la de la orilla opuesta.

➢ Las asociaciones de celdas no son en diagonal.

TE 1010 63

Mapas de Karnaugh

➢ Solución de una función lógica mediante Mapas de Karnaugh:

➢ La función puede expresarse en suma de productos estándar:

➢Ejemplo:

F = /A/BC + /AB/C + ABC + AB/C

TE 1010 64

A B

C

0 1

0 0 0 1

0 1 1 0

1 1 1 1

1 0 0 0

Mapas de Karnaugh➢ Solución de una función lógica mediante

Mapas de Karnaugh:

➢ Ejemplo:

F = /A/BC + /AB/C + ABC + AB/C

➢ Primero hay que realizar las asociaciones pertinentes.

➢ Posteriormente re-escribir la ecuación en base a las variables que permanecen constantes.

➢ Existe la posibilidad de que un término no pueda asociarse

TE 1010 65

A B

C

0 1

0 0 0 1

0 1 1 0

1 1 1 1

1 0 0 0

Mapas de Karnaugh


➢ Ejemplo:F = /A/BC + /AB/C + ABC + AB/C

➢ De las asociaciones tenemos como resultado:B/C

AB

/A/BC

➢ Por lo que:F = /A/BC + AB + B/C

TE 1010 66

A B

C

0 1

0 0 0 1

0 1 1 0

1 1 1 1

1 0 0 0

Mapas de Karnaugh➢Solución de una

función lógica mediante Mapas de Karnaugh:

➢ La función puede ser expresada en suma de productos no estándar:

➢ Ejemplo:

F = /C + ABC

TE 1010 67

A B

C

0 1

0 0 1 0

0 1 1 0

1 1 1 1

1 0 1 0

Mapas de Karnaugh

➢Solución de una función lógica mediante Mapas de Karnaugh:

➢ Ejemplo:

➢ F = /C + ABC

➢ Como se puede observar, se tienen 2 elementos:

➢ /C

➢ ABC

TE 1010 68

A B

C

0 1

0 0 1 0

0 1 1 0

1 1 1 1

1 0 1 0

Mapas de Karnaugh➢ Solución de una función lógica mediante

Mapas de Karnaugh:

➢ Ejemplo:

F = /C + ABC

➢ Las asociaciones son:

/C

AB

➢ Y el resultado es:

F = AB + /C

TE 1010 69

A B

C

0 1

0 0 1 0

0 1 1 0

1 1 1 1

1 0 1 0

Mapas de Karnaugh

➢ Forma alterna de representación de los mapas de Karnaugh:➢ Arreglo en base al MSb:

TE 1010 70

B C

0 0 0 1 1 1 1 0

0

A

1

/A/B/C /A/BC /ABC /AB/C

A /B/C A /BC ABC AB/C

Mapas de Karnaugh

➢ Forma alterna de representación de los mapas de Karnaugh:➢ En este caso, también se hacen las asociaciones con las celdas vecinas:

TE 1010 71

B C

0 0 0 1 1 1 1 0

0

A

1

Mapas de Karnaugh➢ Ejemplo de una función lógica de 4 variables:

TE 1010 72

A B C D Z

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1

1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1


TE 1010 73

A B C D Z

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1

1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1


TE 1010 74

A B C D Z

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1

1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1


TE 1010 75

A B C D Z

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1

1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1


TE 1010 76

/A/BC + /AC/D + A/BC

/AB/D + A/B/D + /BC

F = /AB/D + A/B/D + /BC

F = (/AB + A/B)/D + /BC

F = (A B)/D + /BC

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 1

1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1


TE 1010 77

B C

D E

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1

0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 1

B C

D E

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 1

1 1 1 0 0 0

1 0 1 0 1 0

A = ‘0’ A = ‘1’


TE 1010 78

B C

D E

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1

0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 1

B C

D E

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 1

1 1 1 0 0 0

1 0 1 0 1 0

A = ‘0’ A = ‘1’


TE 1010 79

B C

D E

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1

0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 1

B C

D E

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 1

1 1 1 0 0 0

1 0 1 0 1 0

A = ‘0’ A = ‘1’

Mapas de Karnaugh

➢Agrupaciones:

/A[ /C/E + /CD + BD ]

A[ B/D/E + /CDE + /BD/E ]

➢Entonces:

F = /A[ /C/E + /CD + BD ] + A[ B/D/E + /CDE + /BD/E ]

F = /A/C/E + /A/CD + /ABD + AB/D/E + A/CDE + A/BD/E

➢ ¿Existe la posibilidad de simplificar aún mas esta ecuación?

TE 1010 80

Mapas de Karnaugh

➢Asociación implícita en Mapas de 5 variables:

TE 1010 81

Adyacencia en 3D Las celdas de las

orillas son adyacentes

Mapas de Karnaugh

➢ Como hemos visto, las celdas de los Mapas de Karnaugh se“llenan” en base a una Suma de Productos.

➢ Sin embargo, puede suceder que una función lógica noesté expresada en términos de una suma de productos.

➢ Para el caso de una función lógica en base a un Productode Sumas, el Mapa de Karnaugh se “llena” de formadistinta.

➢ Las reglas de asociación siguen siendo las mismas.

➢ Recordar que, en Producto de Sumas, se busca lacombinación de Maxitérminos que hacen ‘0’ la función.

TE 1010 82

Mapas de Karnaugh


➢ La función puede expresarse en suma de productos estándar:

➢ Ejemplo:

F = (/A+/B+C) (/A+B+/C) (ABC) (AB/C)

TE 1010 83

A B

C

1 0

1 1 1 0

1 0 0 1

0 0 0 0

1 1 1 1

Mapas de Karnaugh

• Solución de una función lógica mediante Mapas de Karnaugh:– Ejemplo:

• F = (/A+/B+C) (/A+B+/C) (ABC) (AB/C)

– Primero hay que realizar las asociaciones pertinentes.

– Posteriormente re-escribir la ecuación en base a las variables que permanecen constantes.

– Existe la posibilidad de que un término no pueda asociarse

TE 1010 84

A B

C

1 0

1 1 1 0

1 0 0 1

0 0 0 0

1 1 1 1

Mapas de Karnaugh

• Solución de una función lógica mediante Mapas de Karnaugh:– Ejemplo:

• F = (/A+/B+C) (/A+B+/C) (ABC) (AB/C)

– De las asociaciones tenemos como resultado:

• B+/C

• A+B

• /A+/B+C

– Por lo que:

➢ F = (/A+/B+C) (A+B) (B+/C)

TE 1010 85

A B

C

1 0

1 1 1 0

1 0 0 1

0 0 0 0

1 1 1 1

Mapas de Karnaugh

• Ecuaciones o tablas de verdad incompletas:– Muchas veces las tablas de verdad de una función lógica no contiene todas las

combinaciones de suma de productos:

TE 1010 86

A B

C

0 1

0 0 0 1

0 1 1

1 1 0 0

1 0 1

A B C Z

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

Mapas de Karnaugh• Ecuaciones o tablas de verdad incompletas:

– Aquellas casillas que no tengan un dato, serán tomadas como un “no importa” o “Don´t Care” que se simbolizará con una “X” :

TE 1010 87

A B

C

0 1

0 0 0 1

0 1 X 1

1 1 0 0

1 0 1 X

A B C Z

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0


– El estado “X” facilita la solución del Mapa ya que permita agrupar las “X” con los ‘1’ (o con los ‘0’ en el caso de los productos de sumas:

TE 1010 88

A B

C

0 1

0 0 0 1

0 1 X 1

1 1 0 0

1 0 1 X

A B C Z

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0


– De tal suerte que la función lógica es:

• Z = /AC + /AB + A/B => Z = /AC + (A B)

TE 1010 89

A B

C

0 1

0 0 0 1

0 1 X 1

1 1 0 0

1 0 1 X

A B C Z

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

Mapas de Karnaugh• Otro ejemplo:

– Tabla incompleta de 4 variables:

TE 1010 90

A B C D Z

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1

0 1 1

1 1 1 0

1 0 0 0 1


– Los espacios libres se llenan con ‘X’:

TE 1010 91

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 X

0 1 1 X X X

1 1 1 0 X X

1 0 X 0 0 1

A B C D Z

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0


– Posteriormente se realizan las asociaciones pertinentes:

TE 1010 92

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 X

0 1 1 X X X

1 1 1 0 X X

1 0 X 0 0 1

A B C D Z

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

Mapas de Karnaugh

• Otro ejemplo:– Posteriormente se realizan las asociaciones pertinentes:

TE 1010 93

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 X

0 1 1 X X X

1 1 1 0 X X

1 0 X 0 0 1

Primera asociación:

/AC

Mapas de Karnaugh


TE 1010 94

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 X

0 1 1 X X X

1 1 1 0 X X

1 0 X 0 0 1

Segunda asociación:

C/D

Mapas de Karnaugh


TE 1010 95

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 X

0 1 1 X X X

1 1 1 0 X X

1 0 X 0 0 1

Tercera asociación:

/AB

Mapas de Karnaugh


TE 1010 96

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 X

0 1 1 X X X

1 1 1 0 X X

1 0 X 0 0 1

Cuarta asociación:

A/D

Mapas de Karnaugh

• Otro ejemplo:– La ecuación que se obtiene del Mapa es:

TE 1010 97

A B

C D

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 X

0 1 1 X X X

1 1 1 0 X X

1 0 X 0 0 1

Z = /AC + C/D + /AB + A/D

¿Es posible reducir aún mas la función Z?

Mapas de Karnaugh

•Tarea: Complete la tabla,realice los mapas deKarnaugh y obtenga elcircuito mas simple paracada segmento delDisplay de 7-segmentos:

Hexadecimal Binario 7 segmentos

0 0000 ?

1 0001 ?

2 0010 ?

3 0011 ?

4 0100 ?

5 0101 ?

6 0110 ?

7 0111 ?

8 1000 ?

9 1001 ?

A 1010 ?

B 1011 ?

C 1100 ?

D 1101 ?

E 1110 ?

F 1111 ?

TE 101098

Selectores

• Existen 2 tipos de selectores:

– Selección de varias entradas hacia una salida:

– Selección de una sola entrada hacia varias salidas:

TE 1010 99

Selectores

• Ejemplo de un selector de N entradas a 1 salida:

– Selector de canales de Televisión:

TE 1010 100

Demodulador

Canales

Sel A la

Pantalla

Señal de control

(selección)

Antena

Multiplexor

Selectores

• Ejemplo de un selector de 1 entrada a N salidas:

– Conmutador telefónico:

TE 1010 101

Conmutador ExtensionesSel

Señal de control

(selección)

Línea

Telefónica

Demultiplexor

Selectores

• Multiplexores: circuito lógico que permite seleccionar una de entre N entradas.

– Símbolo:

M

U

X

TE 1010102

En

tra

da

s

Salida

Señales de

control

Selectores

•Ejemplo de un Multiplexor de 4 a 1:

S1 S0 Salida

0 0 A

0 1 B

1 0 C

1 1 D

TE 1010103

S0

S1

A

B

C

D

Salida

principios del Álgebra de boolehomepage.cem.itesm.mx/garcia.andres/pdf201411/te1010...sistemas...

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