UNIVERSIDAD RURAL DE GUATEMALAMETODOS ESTADÍSTICOS PARA INVESTIGADORESING. LUIS MANFREDO REYES

TEXTO PARALELOTEMA:

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

JOSE MANUEL ZECEÑA ALARCÓN 9800130

GUATEMALA, JUNIO 2003

INTRODUCCIÓN

En pleno Siglo XXI, el hombre actual enfrenta diversos problemas, los cuales exigen la toma de decisiones. Muchos desaciertos no suceden por falta de información sino por plantear de forma inadecuada e ilógica la información de que se dispone. Ordenando las ideas e información lógicamente podemos en muchos casos establecer todos los posibles resultados que pueden darse en un evento “X”, es decir identificar un espacio muestral. Luego de esto el problema de calcular probabilidades se convierte en un problema de contar de cuántas maneras puede suceder algo o de cuantas formas se puede hacer algo.

Para empezar con algo sencillo, veamos este ejemplo: Puedo llegar a mi casa utilizando tres distintas rutas de buses urbanos, en los cuales dependiendo de la hora, puedo ir sentado o de pié. Usted puede preguntarse: ¿De cuantas formas podria llegar a mi casa?, dicho de otro modo: ¿Cuántos puntos tiene el espacio muestral?

Casi automáticamente hemos contestado que son 6. Si alguien no nos cree, podemos describirlo de la siguiente forma: 3 * 2 = 6

Sin saberlo hemos estado haciendo uso de lo que se llama Principio Fundamental del Conteo. La aplicación de la lógica juega un papel determinante en la resolución de innumerables problemas y la optimización del uso de los recursos, es aquí donde radica la importancia de conocer y aprovechar aún de forma sencilla los conceptos relacionados con el Principio Fundamental del Conteo.

El presente trabajo bibliográfico: “Texto Paralelo” del curso Métodos Estadísticos para Investigadores, fue elaborado como parte del sistema de evaluación del Primer Semestre de la Maestría en Investigación y Proyectos, utilizado por la Universidad Rural de Guatemala con el propósito de que el Profesional que aspira al grado de Maestría refuerce sus conocimientos teóricos promoviendo la difusión del conocimiento para cada lector.

De forma sencilla, se trata en este documento varios temas interesantes como lo son: El Factorial, Permutaciones y Combinaciones, con repetición y sin repetición. Al final del cual se presenta como Conclusiones las diferencias entre cada tipo de conteo.

I N D I C E Pág.

Introducción 1

Principio Fundamental del Conteo o Principio Multiplicativo .......................................................................

2

1 El Factorial .......................................................................... 3

2 Permutaciones .................................................................. 4

2.1 Permutaciones de “n” Elementos Distintos ........................ 4

2.2 Permutaciones con Repetición .......................................... 7

2.3 Permutaciones sin Repetición .......................................... 8

3 Combinaciones .................................................................. 9

3.1 Combinaciones con Repetición .......................................... 10

3.1.1 Teorema Binomial .............................................................. 14

3.1.2 Particiones de un Conjunto ................................................ 15

3.2 Combinaciones con Repetición ......................................... 17

4 Pautas para la Resolución de Problemas .......................... 18

Comentarios 19

Conclusiones 20

Bibliografía 21

Anexo: Problemas Propuestos

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO O PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Muy a menudo nos encontramos con preguntas como: ¿qué proporción de algo necesito para...? ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra ...? ¿De cuántas maneras se puede hacer ...?

En general, para responder estas preguntas, se necesita un pensamiento sistemático y un poco de información adicional; por ejemplo, ¿cuántas rutas diferentes puedo usar para ir de la Zona 1 de la Ciudad de Guatemala a la Zona 8 de Mixco? o ¿De cuántas maneras pueden quedar los 3 primeros puestos en una carrera de 10 caballos?

Hay técnicas y principios matemáticos útiles en situaciones variadas, pero muchas preguntas se pueden responder directamente, contando en forma sistemática, es decir, listando todos los posibles resultados en un orden sistemático, para luego contar cuántos son, o desarrollando reglas de conteo. Algunas soluciones parecen ingeniosas cuando se ven por primera vez (y muchas veces lo son) pero, cuando podemos aplicar nuevamente estos métodos ingeniosos en problemas similares y en situaciones relacionadas entre sí, se puede decir que hemos desarrollado una técnica.

En la vida diaria, saberlo talvés hemos estado haciendo uso de lo que se llama Principio Fundamental del Conteo. Esto sucede cuando un evento puede realizarse en n1 formas y si por cada una de éstas, un segundo evento puede llevarse a cabo en n2 formas, entonces los dos eventos pueden suceder simultáneamente en n1n2 formas.

Para ilustrar las diferentes posibilidades puede utilizarse un diagrama de árbol, sin embargo es importante aclarar que se complica mucho su elaboración cuando el número de elementos que intervienen aumenta.

Diagrama de Árbol

Ejemplo 1: A continuación un ejemplo sencillo: Si un investigador médico debe seleccionar aleatoriamente uno de los dos tipos Rh (positivo y negativo) y uno de los 4 grupos sanguíneos (A, O, B, AB). ¿Cuál es el número total de posibilidades?

2

Solución: n * m = 2 . 4 = 8. El número total de posibilidades que un investigador médico tiene de seleccionar una muestra de sangre es de ocho.Para ilustrar las diferentes posibilidades de este ejemplo puede usarse un diagrama de árbol. Este diagrama es utilizado por lo sencillo del razonamiento pero a medida que el número de elementos crece se complica bastante su uso.

Ejemplo 2.: ¿De cuantas formas distintas se pueden ordenar 10 libros en un estante?

Solución: Como un libro solo puede estar en un lugar a la vez, tenemos que son: 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3,628,800 formas distintas.

Ejemplo 3: Al diseñar encuestas, los sondeadores de opinión a veces tratan de minimizar el efecto de introducción reacomodando el orden en que se presentan las preguntas. (Ocurre un efecto de introducción cuando algunas preguntas influyen en las respuestas a las preguntas siguientes). Si Gallup planea realizar una encuesta de consumidores haciendo cinco preguntas a sujetos, ¿Cuántas versiones distintas de la encuesta se necesitan si se desea incluir todos los posibles acomodos?

Solución: Al organizar cualquier encuesta individual, hay cinco posibles opciones para la primer pregunta, cuatro opciones restantes para la segunda pregunta, tres opciones para la tercera, dos para la cuarta y sólo una opción para la quinta pregunta, de tal manera que el número total de acomodos posibles es:5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120Lo anterior quiere decir que Gallup necesitaría 120 versiones de la encuesta para poder incluir todos los posibles acomodos.

En el ejemplo anterior vimos que cinco preguntas de encuesta se pueden organizar de 5 . 4 . 3. 2. 1 = 120 formas distintas. Esta solución particular se puede generalizar empleando la notación siguiente para el símbolo ! y la Regla para el Factorial:

El símbolo del factorial !, denota el producto de números enteros positivos decrecientes. Por definición general, 0! = 1.

1 EL FACTORIAL

Una colección de n cosas distintas se puede acomodar de n! diferentes maneras. Esta regla se conoce como factorial y refleja el hecho de que la primera cosa se puede seleccionar de n maneras distintas, la segunda se puede seleccionar de n-1 maneras y así sucesivamente.

Para un entero n 0, n factorial, expresado n!, se define por:

n! = (n)·(n–1)·(n–2)·...·3·2·1, para n 1

3

El símbolo del factorial !, denota el producto de números enteros positivos decrecientes. Por definición general, 0! = 1.

Ejemplo 1: Supongamos que un vendedor de pasteles desea visitar tres ciudades por ejemplo A,B, y C. ¿Cuántas rutas distintas hay?

Solución: Si usamos la regla factorial veremos que las tres ciudades distintas (A, B, C) se pueden acomodar de 3! = 6 diferentes maneras. Es decir que que hay 3 opciones para la primera ciudad y dos opciones para la segunda. Esto deja sólo una opción para la tercera ciudad. El número de acomodos de las 3 ciudades es: 3 . 2 . 1 = 6.

Ejemplo 2:Tomando de nuevo el ejemplo de los diez libros en un estante, tenemos que:

Solución: 10 ! = 3,628,800 formas distintas en que pueden acomodarse los 10 libros en el estante.

Ejemplo 3: Supongamos que el suscrito, gracias al éxito obtenido en el curso de Métodos Estadísticos para Investigadores ( ... ) ha sido contratado por Prensa Libre y su primer encargo es realizar una encuesta en cada uno de los 22 departamentos de Guatemala. Ahora bien, para planear los viajes se necesita determinar el número de posibles rutas distintas. ¿Cuántas rutas distintas pueden haber?

Solución: Si aplicamos la regla factorial vemos que 22 cosas se pueden acomodar de 22! formas distintas. Es decir, el número de diferentes rutas es 22!, que es igual a: 1.1240007 * 21 elevado a la 10° potencia. Ese es un número muy grande.

Al usar la regla general de conteo, determinamos el número de posibles formas de acomodar cierto número de cosas en algún tipo de secuencia ordenada. La regla factorial nos dice cuantos acomodos son posibles cuando se usan las n cosas distintas. Sin embargo, hay veces en que queremos seleccionar sólo algunas de las n cosas. Si necesitamos realizar encuestas en cabeceras departamentales, como en el ejemplo anterior, pero solo tenemos tiempo de visitar cuatro de las cabeceras, el número de posibles rutas es 22 . 21. 20 . 19 = 175,560.

2. PERMUTACIONES

2.1 PERMUTACIONES DE “N” ELEMENTOS DISTINTOS

Definimos una permutación como una reorganización o reacomodo de objetos.

Para determinar el número de permutaciones, partimos de una colección de n objetos diferentes. De ellos se van a seleccionar r (r puede ser igual o menor que n) y el orden en que queden acomodados es importante. Esto quiere decir

4

que dos acomodos en orden distinto son contados como distintos. El número de estas permutaciones lo denotamos con nPr y se calcula así:

nPr = n! / [(n-r)!]cuando r es igual a n (es decir, cuando se trata de permutar todos los n objetos) la fórmula se reduce a:

nPn = n!ya que 0! = 1

En el caso especial en que n = k, se llama permutaciones de n, y se representa:

EJEMPLO 1: Una madre tiene 3 hijos ¿de cuántas maneras distintas, nombrándolos uno por uno, puede llamarlos a cenar?

Solución: P 3 = 3 ! = 6

Las permutaciones son muy útiles dentro de la informática, por lo que vamos a detenernos a ver un par de propiedades suyas.

En general, una permutación de n elementos no es más que una forma de escribir los mismos elementos en un orden distinto. Una forma útil de ver esto es pensar que lo que hacemos es llevar los números 1,...,n en números distintos que estén entre 1 y n. El conjunto de todas las permutaciones de los números {1,...,n} se suele denotar por Pn o por Sn.

Así, por ejemplo, la permutación que lleva las letras ABC en CBA puede verse como que lleva el 1 al 3 (es decir, lo que estaba en el lugar 1 ahora está en el lugar 3), el 2 al 2 y el 3 al 1. Con esta notación, una forma usual de escribir la

permutación anterior es .

Un tipo especial de permutación que aparece bastante a menudo es aquella que lleva un cierto elemento a otro, este segundo elemento a un tercero y así sucesivamente hasta llegar a un último elemento que es llevado al primero. Los elementos que no aparecen anteriormente quedan como estaban. En el ejemplo anterior, el 1 iba al 3 y el 3 al 1, mientras que el 2 quedaba fijo, por lo que es de este tipo. Estas permutaciones reciben el nombre de ciclos. Para

ellos se suele usar una notación abreviada, escribiendo = (1 3).

En general, no todas las permutaciones son ciclos, pero cualquier permutación puede conseguirse a base de varios ciclos consecutivos disjuntos (esto es, que afectan a números distintos). Veamos un ejemplo de cómo se puede hacer esto:

5

Supongamos que tenemos la permutación . Cogemos el primer

elemento que no queda fijo, en este caso el 1. Nuestra permutación lleva el 1 al 6, el 3 al 1 y el 6 al 3. Luego tenemos un ciclo que es (1 3 6. Sin embargo, hace algo más, porque lleva el 2 al 4 y el 4 al 2, por lo que tenemos un segundo ciclo que es (2 4. Con esto hemos acabado, ya que el único número que no ha aparecido aún, que es el 5, queda como estaba. Por tanto, nuestra permutación consta de dos ciclos y se suele escribir como (1 3 6) (2 4).

El segundo ciclo que aparece suele llamarse una transposición porque afecta solamente a dos números. Lo mismo que cualquier permutación se puede descomponer en ciclos, así mismo cualquier ciclo (o permutación) puede descomponerse en transposiciones. Para ver esto, es necesario tener una forma de escribir el proceso consistente en realizar varias transposiciones una tras otra. Nosotros seguiremos la costumbre de escribirlas de izquierda a derecha, es decir, escribiremos más a la izquierda la que se vaya a hacer primero. Con esta notación, es fácil ver que el ciclo (1 3 6) puede ponerse como (3 6) (1 3. Esto puede hacerse en general, así el ciclo (a1....am) puede escribirse como (am am-1)..... (a2 a3) (a 1 a2).

Se llaman permutaciones de n elementos a las diferentes agrupaciones de esos k elementos de forma que:

En cada grupo intervienen los n elementos sin repetirse ninguno (intervienen todos los elementos.

Dos grupos son diferentes si el orden de colocación de alguno de esos n elementos es distinto (influye el orden.

EJEMPLO 2: Calcular las maneras posibles de colocar las letras a, b, c.

Solución: P = 3! = 6 abc Acb

bac Bcacab Cba

EJEMPLO 3: P10 son las permutaciones de 10 elementos:

Solución:

Es decir, tendríamos 3.628.800 formas diferentes de agrupar 10 elementos.

2.2 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

6

Las permutaciones son también conocidas como ordenaciones, y de hecho toman este nombre porque son ordenaciones de r objetos de n dados. En este curso las representaremos como ORn

r ó nORr.

Por ejemplo:

Sea A={a,b,c,d}, ¿cuántas "palabras" de dos letras se pueden obtener?

Se pide formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de letras es 4. En este caso r =2 y n =4.

Las "palabras" formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd. En total son 16.

En general, si se toman r objetos de n, la cantidad de permutaciones u ordenaciones con repetición obtenidas son:

ORnr = nORr = n r

Son permutaciones con repetición de n elementos (no todos distintos), todas las agrupaciones de n elementos formadas por aquellos, dispuestos linealmente y sin que ninguno falte.

El número de permutaciones con repetición que pueden realizarse con n elementos, donde existen r elementos iguales entre sí ( de una misma clase) y el resto distintos entre sí y distintos también a los anteriores ( P’n), es:

n !P’n = –––

r !

Observación: Esto puede extenderse a permutaciones de n elementos, donde existen r elementos de una clase, q elementos de otra clase, etc.

n ! P’n = ––––––––––––––

r ! × q ! × .....

EJEMPLO 1: ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con los dígitos 1 , 1 , 1 , 2 , 2 y 3?

Solución: 6 !––––––– = 603 ! 2 !

EJEMPLO 2: tenemos bolas de 6 colores diferentes y queremos formar subgrupos en los que pudiera darse el caso de que 2, 3, 4 o todas las bolas del subgrupo tuvieran el mismo color. En este caso no podríamos utilizar las fórmulas que vimos en la lección anterior. Así que debemos utilizar la siguiente fórmula:

7

Solución:

EJEMPLO 3: ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?

El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas para colocar.

Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas

EJEMPLO 4: Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones:

Es decir, tendríamos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos.

2.3 PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

En este caso, a diferencia del anterior, se realizan ordenaciones de r objetos de n dados atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. Su representación será Pn

r ó nPr.

EJEMPLO 1: Sea el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántas ordenaciones sin repetición se pueden obtener?

Solución: Lo que resulta es: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. Son 12 en total.

En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de permutaciones

Pnr = nPr =

EJEMPLO 2: En una clase de 15 alumnos, es necesario elegir una Directiva formada por un Presidente, Vicepresidente y Secretario ¿De cuántas formas es posible seleccionar a estos miembros?

Solución: nPr = 15P4 = 15! / (15-4)! = 32,760 formas distintas.

EJEMPLO 3: Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno.

8

Solución: En un principio se puede elegir cualquiera de los 7 libros para ubicarlo en Primer lugar, después quedan 6 libros posibles para colocar en el segundo lugar y por último solo 5 libros para el tercer lugar.

Por lo tanto las distintas maneras en que se pueden llenar los 3 huecos de la biblioteca son: 7.6.5 = 210 Si se tienen n libros y tres lugares es:

n.(n - 1).(n - 2) n. (n-1). (n-2). ..... .[n- (n-1)]

nPr = n!/(n-r)!

3 COMBINACIONES

El número de combinaciones de r cosas seleccionadas de entre n cosas distintas es:

nCr = n! / (n – r)! r!

Es muy importante darse cuenta que al aplicar la regla de las combinaciones deben darse las condiciones siguientes:

Debe haber un total de n cosas distintas disponibles Debemos seleccionar r de las n cosas (sin repetición) Debemos considerar que reacomodos de las mismas cosas son el

mismo agrupamiento.

Debido a que un mismo suceso puede parecer que es una Combinación, tratándose de una Permutación y viceversa, a continuación se presenta un ejemplo en el cual pueden observarse claras diferencias entre uno y otro tipo de cálculo:

EJEMPLO 1: El consejo de administración de la Universidad tiene 9 miembros. Cada año, ellos eligen un comité de tres personas para supervisar los edificios y terrenos. Además, cada año el consejo elige un presidente, un vicepresidente y un secretario.

a. Cuando el consejo elige el comité de edificios y terrenos, ¿Cuántos comités distintos constituidos por 3 personas puede haber?

b. Cuando el consejo elige a los 3 funcionarios (presidente, vicepresidente y secretario), ¿Cuántas planillas de candidatos distintas puede haber?

Solución: Tomamos nota de que el orden no importa cuando se elige al comité de edificios y terrenos. En cambio al elegir funcionarios, los diferentes órdenes cuentan aparte.

a. Aquí queremos el número de combinaciones de r = 3 personas seleccionadas de las n = 9 personas disponibles. Obtenemos9C3 = n! / (n – r)! r! = 9! / (9 – 3)! 3! = 362,880 / 4320 = 84

b. Aquí queremos el número de secuencias (o permutaciones) de r = 3 personas seleccionadas de las n = 9 personas disponibles. Obtenemos9P3 = n! / (n – r)! = 9! / (9 – 3)! = 362,880 / 720 = 504

9

En resumen tenemos que hay 84 posibles comités distintos de 3 miembros del consejo, pero hay 504 posibles planillas de candidatos.

Las técnicas de conteo pueden ser utilizadas en problemas de probabilidad. Como los siguientes ejemplos:

EJEMPLO 2: En la lotería del estado de Nueva York, un participante gana el primer premio seleccionando la combinación correcta de seis números cuando se sacan seis números distintos del 1 al 54. Si un participante escoge una combinación dada de seis números, calcule la probabilidad que tiene de ganar. NOTA: El participante no tiene que seleccionar los seis números en el mismo orden en que se sacan, así que el orden no importa.

Solución: Puesto que se seleccionan 6 números distintos de 54 posibilidades distintas, el número total de combinaciones es:

54C6 = 54! / (54 – 6)! 6! = 54! / 48! 6! = 25.827,165

De tal manera que si un participante escoge solamente una combinación, su probabilidad de ganar es de apenas 1 / 25.827,165.

Ejemplo 3: Un despachador del servicio de envío de paquetes, manda un camión de entrega a ocho lugares distintos. Si el orden en que se hacen las entregas se determina aleatoriamente, calcule la probabilidad de que la ruta resultante sea la mas corta posible.

Solución: Con ocho destinos tenemos 8! = 40,320 posibles rutas distintas. Entre esas 40,320, solo dos rutas serán las mas cortas (en realidad, la misma ruta en dos direcciones distintas). Por tanto, hay una probabilidad de 2 / 40,320, ó 1 / 20,160, ó 0.0000496 de que la ruta escogida sea la mas corta posible.

3.1 COMBINACIONES CON REPETICIÓN

Tomamos las n·(n-1)·..... ·(n-k+1) posibilidades y las partimos en clases, de forma que en cada clase estén aquellas elecciones que sean la misma, salvo el orden. Como se han escogido k elementos, la forma de ordenarlos será k! y así, en cada clase tendré exactamente k! casos. Por tanto, el número de clases, es decir, el número de posibilidades de escoger k elementos sin importar el orden y sin repetir será

Este número suele conocerse como las combinaciones de n elementos tomadas de k en k y se denota por

Cn,k =

10

Se llaman combinaciones de n elementos tomados de k en k (n + k) a todas las clases posibles que pueden hacerse con los n elementos de forma que:

Cada agrupación está formada por n elementos distintos entre sí Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin

tener en cuenta el orden.

Ejemplo 1: Un alumno decide rendir tres de los cinco exámenes finales ¿De cuántas maneras distintas puede elegir esas tres pruebas?

Solución : 5 !C5,3 = ––––––––– = 10 3 ! × 2 !

Ejemplo 2: ¿Cuantas combinaciones de 6 aciertos existen en la lotería

primitiva?

Solución:

Es decir, que tendríamos que echar 13.983.816 apuestas de 6 números para tener la seguridad al 100% de que íbamos a acertar.

Ejemplo 3: ¿Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)

Solución:

No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición.Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos.

En general, calcular por la fórmula anterior implica calcular varios factoriales, lo que hace que no sea muy útil en la práctica. Un método alternativo viene dado por las siguientes propiedades:

PROPOSICIÓN

11

1)

2)

Esta otra propiedad permite calcular números de la forma una vez

conocidos los números de la forma . Para usar este método se hace una tabla de doble entrada, en las filas se pone el valor de n y en las columnas el valor de k, poniendo en la casilla correspondiente el valor del número combinatorio que queremos calcular. Veamos cómo se hace esto con una taba de números combinatorios para n entre 0 y 5.

Paso 1.- Construimos la tabla

0 1 2 3 4 50 *1 * *2 * * *3 * * * *4 * * * * *5 * * * * * *

donde hemos puesto un * en las casillas a rellenar. Por la propiedad 1), las casillas situadas en la columna 0 así como aquellas en las que el número de fila sea igual al número de columnas deben valer todas 1

0 1 2 3 4 50 11 1 12 1 * 13 1 * * 14 1 * * * 15 1 * * * * 1

Paso 2.- Vamos a rellenar la tabla usando la propiedad 2). Esta viene a decir que cada casilla es igual a la suma de la que tiene inmediatamente encima con la que queda encima y a la izquierda. Así, la casilla (2,1) será igual a la suma de las casillas (1,1) más (1,0), por tanto, vale, 1 + 1 = 2.

0 1 2 3 4 50 11 1 12 1 2 13 1 * * 14 1 * * * 15 1 * * * * 1

12

Una vez rellena la fila 2, pasamos a rellenar la fila 3. Para ello, observemos que la casilla (3,1) será la suma de la (2,1) con la (2,0), por lo que vale 3. Así mismo, la (3,2) vale 1 + 2 = 3.Tenemos ahora

0 1 2 3 4 50 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 * * * 15 1 * * * * 1

Rellenamos por el mismo procedimiento la fila 4, que queda

0 1 2 3 4 50 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 * * * * 1

Finalmente, rellenamos la última fila

0 1 2 3 4 5

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

Si queríamos calcular, por ejemplo, tendremos que mirar la casilla (5,3) que

vale 10.

Este método suele conocerse con el nombre de triángulo de Pascal, el cual tiene la siguiente presentación:

1

1 1

13

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Si se puede repetir y no importa el orden

En este caso el resultado es

.

3.1.1 TEOREMA BINOMIAL :

Si x e y son variables y n es un entero positivo, entonces

(x+y)n =

Demostración:Al desarrollar el producto (x+y) (x+y) (x+y) ... (x+y) obtendremos una serie de sumandos de forma que cada uno de ellos será un producto de un cierto número de x’s por otro cierto número de y’s. Si contamos en cada sumando el número de x’s más el número de y’s, tendremos que ese número siempre es igual al número de paréntesis que multiplicamos, que es n. Estos posibles sumandos variarán desde tener 0 x’s y n y’s, después 1 x’s con n-1 y’s, y así sucesivamente. Cualquiera de ellos lo podemos escribir de la forma xkyn-k, con 0 + k + n.

Al sumar, el coeficiente de xkyn-k, 0 + k + n, es el número de veces que aparece ese sumando al desarrollar el producto, esto es, formas distintas en que se pueden seleccionar las k x’s (y en consecuencia las (n–k) y’s) de las n x’s disponibles en los n factores (por ejemplo, una forma es elegir x de los primeros k factores e y de los últimos n–k factores).El número total de las selecciones de tamaño k de una colección de tamaño n

es de donde resulta el teorema.

Debido a este resultado, suele denominarse coeficiente binomial.

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Corolario

Para cualquier entero n>0,

a

b

Demostración: El apartado a) resulta del teorema binomial al hacer x = y = 1. Cuando x = –1 e y=1, resulta el apartado b).

Teorema: Para cada n, k + N + {0} y para k + n se cumple la siguiente igualdad

3.1.2. PARTICIONES DE UN CONJUNTO

Finalmente vamos a dar una fórmula para calcular de cuántas formas puede partirse un conjunto de n elementos en k partes no vacías. Denotaremos dicho número por S(n,k).

En general dar una fórmula explícita es demasiado complicado, por lo que daremos un método semejante al triángulo de Pascal para el cálculo de números combinatorios.

PROPOSICIÓN

1) S(n,1) = 12) S(n,n) = 13) S(n,k) = S(n-1,k-1) + k S(n-1,k)

Demostración.- Vamos a ver solamente la demostración de 3) ya que 1) y 2) son obvias.

Si quiero partir los números {1,..,n} en k partes lo puedo hacer de dos formas. O bien dejo al n en un trozo él sólo y reparto los otros n-1 números en k-1 trozos o bien el n va en un trozo junto con algunos de los demás. Este último caso lo puedo hacer en dos partes, primero parto los n-1 primero números en k partes y después decido en cuál de esos trozos meto al n.

Usando el principio aditivo tendré que

S(n,k) = formas del primer tipo + formas del segundo tipo

15

Ahora bien, el primer caso consiste en partir n-1 números en k-1 trozos, luego habrá S(n-1,k-1). El segundo caso se divide en dos pasos, usando el principio multiplicativo será igual a:

(formas de partir n-1 números en k-1 trozos) x (formas de elegir uno de esos k trozos) =

S(n-1,k) k.

Por tanto, S(n,k) = S(n-1,k-1) + k S(n-1,k)

La forma de calcular un número S(n,k) es la misma que para calcular , con la diferencia de que, al rellenar la tabla, cada casilla es suma de la que tiene encima a la izquierda más su número de fila multiplicado por el que tiene encima. Si queremos calcular, por ejemplo, S(3,2) lo haremos en los siguientes pasos

Ponemos la tabla

1 2 31 *2 * *3 * * *

Ponemos un 1 en la primera columna y en la diagonal

1 2 31 12 1 13 1 * 1

La casilla (3,2) la ponemos como suma de la (2,1) más 3 (estamos rellenando la tercera fila) por la casilla (2,2), esto es, valdrá 1 + 3 x 1 = 4. La tabla queda

1 2 31 12 1 13 1 4 1

Por tanto, S(3,2) vale 4.

3.2. COMBINACIONES CON REPETICIÓN

se trata de una combinación con repetición de tamaño k es una selección no ordenada de k objetos elegidos entre n tipos diferentes de objetos, habiendo una cantidad ilimitada de cada grupo.

Una combinación con repetición puede describirse diciendo que elegimos x1

objetos de tipo 1, x2 objetos de tipo 2,..., xn objetos de tipo n para alguna n-pla (x1,x2,...,xn). Cada uno de los enteros x1,x2,...,xn es no negativo y x1 + x2 +...+ xn

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= k. Así pues las combinaciones con repetición de tamaño k se corresponden con las soluciones enteras no negativas de la ecuación x1 + x2 +...+ xn = k

El número de combinaciones de tamaño k con repetición ilimitada elegidas entre n tipos

diferentes de objetos es:

Cada combinación con repetición se representa por una palabra en el alfabeto {0,1} del siguiente modo: Los 0’s son las marcas que separan los objetos de cada tipo y los 1’s indican los objetos que hay de cada uno de los tipos entre dos marcas consecutivas. Si hay n tipos de objetos se necesitan n - 1 marcas para separar los tipos y, por tanto, las palabras de 0’s y 1’s tienen longitud n - 1 + k. Así se convierte cada combinación con repetición de tamaño k en una combinación de k objetos (las posiciones de los 1’s) elegidos entre un conjunto de n - 1 + k elementos (las posiciones).

SELECCIONES (de k elementos entre n)

ORDENADAS NO ORDENADAS

SIN REPETICIÓN n(n- 1) (n- 2).... (n- k+1)

CON REPETICIÓN nk

se llama combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n,.0 a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

Los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos. Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin

tener en cuenta el orden.

Ejemplo 1: Las combinaciones con repetición de los elementos (a, b, c, d) tomados de dos en dos son:

Solución: aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd

Ejemplo 2: Otro ejemplo: en una bodega hay 12 botellas de ron, 12 de ginebra

y 12 de anís. Un cliente compró 8 botellas en total. ¿Cuántas posibilidades

hay?

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Solución: CR8,3 = 120

Ejemplo 3: C'10,4 son las combinaciones de 10 elementos con repetición,

agrupándolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían

estar repetidos:

Solución:

Es decir, podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.

Ejemplo 4: En una confitería hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles)

No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles en un grupo, luego con repetición.

Solución:

Por tanto, se pueden formar 142,506 grupos distintos

4. PAUTAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Si en cada agrupación figuran todos los elementos disponibles, importando su orden de colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones.

Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de combinaciones.

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COMENTARIOS

Con el propósito de facilitar la toma de decisiones en lo relacionado con el método de cálculo para realizar conteos simples, a continuación se proponen los siguientes métodos.

¿Hay una secuencia de sucesos en la que el primero pueda ocurrir de m maneras, el segundo pueda ocurrir de n maneras, etc?. Si, así es, utilice la regla de conteo fundamental y multiplique m . n, etcétera.

¿Hay n cosas distintas y todas ellas se usarán en diferentes órdenes?, si así es, use la regla factorial y calcule n!.

¿Hay n cosas distintas y solo algunas de ellas se usarán en diferentes órdenes?. Si así es, evalúe nPr.

¿Hay n cosas, de las cuales algunas son idénticas a otras y es necesario calcular el número total de acomodos diferentes de todas esas n cosas?. Si así es, use la siguiente expresión n! / n1! n2! ...nk!.

¿Hay n cosas distintas, de las cuales algunas se seleccionarán y es necesario calcular el número total de combinaciones (el orden no importa)?. Si es así, evalúe nCr.

CONCLUSIONES

El Principio Fundamental del Conteo es uno de los métodos utilizados junto con la Enumeración Directa y el Diagrama del Árbol, para enumerar los espacios muestrales.

Las Permutaciones consisten en una reorganización o reacomodo de un subconjunto r de elementos extraidos de una población de n elementos en la cual es importante el orden en el que son extraidos.

Las Combinaciones consisten en una reorganización de r elementos en un subconjunto, el cual es extraido de una población de n elementos, en la cual el orden de extracción no diferencia dos casos.

1. Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabras distintas se pueden formar?

2. De cuantas maneras se pueden ordenar en fila 15 niños de distintas edades?

3. Una señora tiene 7 canastos con un tipo de fruta distinto en cada uno, si quiere vender bolsas que contengan 5 frutas distintas. ¿Cuántos tipos de bolsas puede formar?

4. Si las Cédulas de Vecindad contienen ocho dígitos. ¿Qué probabilidad hay de generar aleatoriamente los ocho dígitos y obtener el número de Cédula de una persona específica?.

5. De cuantas maneras pueden sentarse 6 personas alrededor de una mesa si solo hay 5 sillas están disponibles?

6. Se necesita que 8 niños y 7 niñas hagan fila antes de entrar a clase, pero se desea que las niñas se coloquen alternadas entre los niños. ¿Cuántas formas hay de hacerlo?

7. Si se dispone de las letras ABCDEFG, ¿De cuántas formas distintas pueden reacomodarse?

8. De cuantas formas pueden dividirse una docena de huevos entre cuatro personas, de tal forma que el primero desayune 5 huevos, el segundo 4 huevos y el tercer 3 huevos respectivamente?

9. Con 6 consonantes y 4 vocales. ¿Cuántas palabras, con 3 consonantes diferentes y 3 vocales diferentes, se pueden formar?. No es necesario que las palabras tengan significado.

10.Si disponemos de 38 canicas de distintos colores y queremos regalarlas a cuatro niños. ¿De cuantas formas pueden obsequiarse si se desea que el primero tenga 19, el segundo 10 y el tercero 9 de distintos colores?

BIBLIOGRAFÍA

CONSULTAS EN INTERNET:http:// www.mor.itesm.mx/-mendoza

http:// www.thales.cica.es/re/recursos/matematica

Kreyszig, Erwin, INTRODUCCION A LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA, Editorial Limusa, México.

Mendoza D. Carlos E., PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA, Unidad I, Elementos Básicos de Probabilidad.