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Actividad para el curso de Física:Mecánica del movimiento circular de un punto material.

Primera parte: Cinemática.Profesor Eduardo Abraham

Escárcega Pliego*.

*Colegio de Ciencias y Humanidades, plantel sur, Universidad Nacional Autónoma de México. Correo-e:[email protected]; [email protected]. Sitio en internet: http://cursodefisica.co.nf. Esta obra sedistribuye bajo una licencia Creative Commons tipo Atribución-NoComercial-SinDerivar 4.0 Internacional, cbnd. Consulte lasiguiente página en internet para conocer los términos de licenciamiento: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/. Ustedes libre de compartir la obra copiándola y redistribuyéndola en cualquier medio o formato. El licenciante no puede revocar estaslibertades en tanto usted siga los términos de licencia siguientes: (a) Atribución – Debe dar el crédito apropiado al autor de la obra,proporcionar un enlace a la licencia, e indicar si se han realizado cambios a la obra. Puede hacerlo en cualquier forma razonable,pero no de forma tal que sugiera que usted o el uso que hace de la obra tienen el apoyo del licenciante. (b) No Comercial – Nopuede utilizar la obra con fines comerciales. (c) Sin Obras Derivadas – Si reordena o transforma la obra o crea otra a partir dela obra, no deberá distribuir la obra modificada. (d) Sin restricciones adicionales – Usted no puede aplicar términos legales nimedidas tecnológicas que restrinjan legalmente a otros de hacer cualquier uso de la obra permitido por la licencia.

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mailto:[email protected]:[email protected]://cursodefisica.co.nfhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/

CCH SurActividad para el curso de Física:

Mecánica del movimiento circular e un punto material. Primera parte: Cinemática. UNAM

Índice

1. Introducción. 3

2. Apunte 42.1. Posición de un punto material en movimiento circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1. Punto material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2. Punto material en movimiento circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3. Posición de un punto material en movimiento circular. . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.4. Posición de un punto material en movimiento circular respecto a un plano cartesiano. 72.1.5. Posición de un punto material en movimiento circular en un plano respecto a un

sistema de coordenadas polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.6. Posición de un punto material en movimiento circular en un plano respecto a un

sistema de coordenadas circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.7. Media de ángulo en radianes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.8. Funciones trigonométricas de un ángulo ' en un triángulo rectángulo. . . . . . . . . 172.1.9. Conversión de coordenadas entre sistemas de coordenadas polar y cartesiano. . . . . 202.1.10. Conversión de coordenadas entre sistemas de coordenadas polar y circular. . . . . . 212.1.11. Conversión de coordenadas entre sistemas de coordenadas cartesiano y circular. . . . 22

2.2. Movimiento circular uniforme de un punto material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1. Condición de movimiento circular uniforme de un punto material. . . . . . . . . . . 242.2.2. Modelo de movimiento circular uniforme de un punto material. . . . . . . . . . . . 252.2.3. Aceleración centrípeta de un punto material en movimiento circular uniforme. . . . 28

cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 2

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/mx/



2.2.4. Suma de vectores libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.5. Aceleración centrípeta de un punto material en monimiento circular uniforme. . . . 322.2.6. Movimiento circular uniforme de un punto material en coordenadas cartesianas. . . . 35

2.3. Fuerza centrípeta actuando sobre un punto material en movimiento circular uniforme. . . . . 432.4. Movimiento circular no uniforme de un punto material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1. Modelo de movimiento circular uniformemente acelerado de un punto material. . . . 47

3. Ejemplos. 49

4. Guía de estudio para el estudiante. 794.1. Preguntas a nivel conocimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2. Preguntas a nivel comprensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3. Preguntas a nivel aplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5. Ejercicio de ensayo de examen. 94

1. Introducción.

Se presenta el material correspondiente a una actividad delCurso de Física del profesor EduardoAbrahamEscárcega Pliego para el tema: Mecánica del movimiento circular de un punto material en una primera parte.Se estudia la cinemática del movimiento circular de un punto material.

Se estudian las diferentes maneras de establecer la posición de un punto material en movimiento circular yla equivalencia entre ellas. Una vez estudiado cómo establecer la posición de un puntomaterial enmovimiento





circular se procede al estudio de la cinemática de este tipo de movimiento.Se hace una descripción paralela a la cinemática del movimiento rectilíneo de un punto material para el

caso del movimiento circular de un punto material, es decir, se estudian los conceptos de modelo de movi-miento circular uniforme y modelo de movimiento circular no uniforme de un punto material.

Se estudia el concepto de aceleración centrípeta de un punto material en movimiento circular uniforme.Se estudia el concepto de fuerza centrípeta que actúa sobre un punto material en movimiento circular.En el desarrollo de los temas en el apunte se irán planteando preguntas orientadoras que le den sentido a

cada tema tratado.Esta actividad sigue los lineamientos generales ya indicados para las actividades del Curso de Física del

Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego.Se incluye una tabla de contenidos que facilita la exploración del documento.

2. Apunte

2.1. Posición de un punto material en movimiento circular.

2.1.1. Punto material.

En esta sección se le da respuesta a la pregunta siguiente: ¿A qué se le considera punto material?Se considera punto material a un cuerpo que concentra su masa en un punto en el espacio, y que esta

suposición no afecta la descripción del movimiento del cuerpo o la descripción de la interacción del cuerpocon otro u otros cuerpos.

La consideración de un cuerpo como un punto material se hace para resaltar que sólo interesa estudiar el





movimiento de traslación del cuerpo como un punto en el espacio y en el tiempo. Con ello se evita consideraral cuerpo como un sólido en el espacio que puede rotar respecto a un eje de rotación que pase por el cuerpo.

2.1.2. Punto material en movimiento circular.

En esta sección se le da respuesta a la pregunta siguiente: ¿Qué es un punto material en movimientocircular?

Que un punto material se halle en movimiento circular corresponde a que se considere un cuerpo comoun punto material y que se considere que el cuerpo se halle en movimiento con una trayectoria que sea unacircunferencia en un plano en el espacio. Ver las figuras (1) y (2).

2.1.3. Posición de un punto material en movimiento circular.

En esta sección se le da respuesta a la pregunta siguiente: ¿Cómo se puede establecer la posición de unpunto material en movimiento circular?

Establecer la posición de un punto en el espacio es dar la información necesaria y suficiente que permitaubicar al punto en el espacio de manera única. Se debe de considerar conjuntamente las reglas usadas parainterpretar tal información que permita ubicar al punto en el espacio de manera única.

Al ser la trayectoria de movimiento de un punto material en movimiento circular una circunferencia enun plano en el espacio se deberá de establecer la posición de puntos en un plano en el espacio.

Son de utilidad tres maneras de establecer la posición de un punto en una circunferencia en un plano enel espacio:

Mediante las coordenadas de un punto en un pano cartesiano.





Figura 1: Un punto material en movimiento circular tiene como trayectoria de movimiento una circunferencia en unplano en el espacio.

Mediante las coordenadas polares de un punto en un plano.Mediante una coordenada de posición de un punto en la trayectoria circular de su movimiento en unplano. También se le nombra respecto a una coordenada natural de movimiento.

A continuación se considera cada una de ellas y su equivalencia.





Figura 2: Un punto material en movimiento circular tiene como trayectoria de movimiento una circunferencia en unplano en el espacio.

2.1.4. Posición de un punto material en movimiento circular respecto a un plano cartesiano.

En esta sección se le da respuesta a la pregunta siguiente: ¿Cómo se puede establecer la posición de unpunto material en movimiento circular respecto a un plano cartesiano?

La posición de un punto material en movimiento circular en un plano cartesiano queda establecida por laabscisa x y por la ordenada y del punto material en el plano cartesiano, es decir, por la pareja ordenada dedatos (x , y). Ver la figura (3).

Para describir el movimiento circular del punto material en el plano cartesiano habrá que describir cómo





Figura 3: Posición de un punto material en movimiento circular respecto a un plano cartesiano en el que se da sumovimiento circular.

varían la abscisa, x, y la ordenada del punto material en el tiempo, t. Es decir, hay que encontrar las funciones:

x = x(t)

y = y(t)

Aquí x(t) y y(t) indican que las posiciones x e y son funciones de la variable tiempo, t.Esta tarea se resolverámás adelante para los casos en que el puntomaterial se halle enmovimiento circular

uniforme y en movimiento circular no uniforme.





2.1.5. Posición de un punto material en movimiento circular en un plano respecto a un sistema decoordenadas polar.

En esta sección se le da respuesta a la pregunta siguiente: ¿Cómo se puede establecer la posición deun punto material en movimiento circular en un plano en el espacio respecto a un sistema de coordenadaspolar?

Un sistema de coordenadas polar plano es un sistema de coordenadas en un plano en el espacio o de dosdimensiones en el espacio constituido por la elección de un eje coordenado en el plano que es nombrado ejepolar y a cuyo origen se le nombra polo. La posición de un punto P en el plano en un sistema de coordenadaspolar queda establecida por la distancia r entre el punto P y el polo 0 del eje polar, dP 0, y por el ángulo ' quehace el segmento 0P con el eje polar. El eje polar solo tiene sentido positivo. A la distancia r se le nombracoordenada polar del punto P en el sistema de coordenadas polar, también se le nombra radio del punto Pen el sistema de coordenadas polar; al ángulo ' se le nombra coordenada angular del punto P en el sistemade coordenadas polar, también se le nombra ángulo polar o azimut del punto P en el sistema de coordenadaspolar. Ver las figuras (4) y (5).

La variación de la posición de un punto material P en movimiento circular en un queda establecida porel tamaño del radio r que hace el punto material P respecto al polo del eje polar usado para establecer suposición en el espacio, el cual no cambia en el tiempo, y por la descripción de la variación en el tiempo delángulo polar ' que hace el radio indicado con el eje polar, es decir, por la función:

' = '(t)

Para un punto materialP en movimiento circular no cambia el valor de la coordenada radial r, así que in-vestigar el movimiento circular del punto material P se reduce a investigar como cambia en el tiempo sucbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 9




Figura 4: La posición de un punto P en un sistema de coordenadas polar en un plano en el espacio queda especificadapor la coordenada polar r que es la distancia del polo 0 al punto P , d0P , y por la coordenada angular ' que es el ánguloque hace el segmento 0P con el eje polar 0R.

coordenada angular ', es decir, se reduce a investigar como ' depende del tiempo t, ' = '(t).Esta tarea se resolverámás adelante para los casos en que el puntomaterial se halle enmovimiento circular

uniforme y en movimiento circular no uniforme.

2.1.6. Posición de un punto material en movimiento circular en un plano respecto a un sistema decoordenadas circular.

En esta sección se le da respuesta a la pregunta siguiente: ¿Cómo se puede establecer la posición deun punto material en movimiento circular en un plano en el espacio respecto a un sistema de coordenadas





Figura 5: La posición de un punto P en un plano cartesiano en el espacio queda especificada por la coordenada polarr que es la distancia del polo 0 al punto P , d0P , y por la coordenada angular ' que es el ángulo que hace el segmento0P con el eje polar 0R.

circular?Un sistema de coordenadas circular o natural es un sistema de coordenadas puesto sobre la trayectoria de

movimiento de un punto material, que esta vez es una circunferencia en un plano: Consiste en la elección deun punto 0 u origen del sistema de coordenadas, un punto 1 que permita definir una longitud de arco unitaria,0l1, para poder medir la longitud de segmentos de arco y de la elección de un sentido positivo de recorridode la trayectoria de movimiento del punto material. El sentido positivo es comúnmente asignado el sentidoopuesto al sentido de movimiento de las manecillas del reloj. La posición de un punto P en un sistema decoordenadas natural queda especificada por la coordenada natural l que es la longitud de arco que va delpunto 0 u origen del sistema de coordenadas circular al punto P con el signo del sentido de recorrido elegidopara ir del punto 0 al punto P respecto al sistema de coordenadas circular. Ver la figura (6).

Para un punto materialP en movimiento circular no cambia el valor de la coordenada radial r, así que





Figura 6: La posición de un punto P en un sistema de coordenadas natural queda especificada por la coordenada naturall que es la longitud de arco que va del punto 0 u origen del sistema de coordenadas natural al punto material al P conel sentido positivo elegido comúnmente en el sentido de movimiento del punto material o en el sentido contrario alsentido de movimiento de las manecillas del reloj.

investigar el movimiento circular del punto material P se reduce a investigar como cambia en el tiempo sucoordenada la coordenada circular l, es decir, se reduce a investigar como l depende del tiempo t:

l = l(t)

Esta tarea se resolverámás adelante para los casos en que el puntomaterial se halle enmovimiento circularuniforme y en movimiento circular no uniforme.





2.1.7. Media de ángulo en radianes.

En esta sección se da respuesta a las preguntas: ¿Qué es un ángulo?, ¿Qué es una medida de ángulo enradianes?, ¿Tiene algún sentido geométrico o matemático una medida de ángulo en radianes?

La respuesta a la pregunta: ¿Qué es un ángulo? es como sigue. Un ángulo es la apertura definida por dossegmentos de recta que se cortan en un punto nombrado vértice del ángulo o que tienen un punto común enuno de sus extremos que también es nombrado como vértice del ángulo. Ver la figura (7).

Figura 7: Ángulo es la apertura definida por dos segmentos de recta que se cortan en un punto nombrado vértice delángulo o que tienen un punto en común en uno de sus extremos que también es nombrado vértice del ángulo.

La respuesta a la pregunta: ¿Qué es una medida de ángulo en radianes? es como sigue. Una medida deángulo en radianes, digamos', donde ”'´´ es la letra ”fi´´minúscula del alfabeto griego, es un valor numéricoasociado a un ángulo, a un radio r y a una longitud de arco l tal que al multiplicar el valor del ángulo enradianes, ', por el radio r se obtiene la longitud de arco l asociado al ángulo y al radio considerados:

l = ' r

Ver la figura (8).Para un ángulo de una circunferencia completa, ver la figura (9), la longitud de arco l, será el períme-

tro de la circunferencia, l◦, que esta asociada a un radio r y a un diámetro d igual a 2 r. Se sabe de unacbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 13




Figura 8: Un valor de ángulo en radianes, ', al ser multiplicado por un valor de radio, r, da la longitud del arco lasociado al ángulo y al radio considerados, l = ' r.

proporcionalidad directa entre el perímetro de una circunferencia, l◦, y su diámetro d :l◦d= 3.141592…

l◦d= �

l◦ = d �

O en términos del radio r de la circunferencia siendo el diámetro d de la circunferencia igual a dos veces





su radio r, d = 2r:l◦2r

= 3.141592…

l◦2r

= �

l◦ = r 2�

Figura 9: El perímetro de una circunferencia completa, l◦, de radio r tiene el valor de l◦ = r(2�). Si el perímetrode la circunferencia ha de ser igual al radio de la circunferencia por la medida en radianes del ángulo que describe unacircunferencia completa, '◦, l◦ = r '◦, entonces la medida en radianes del ángulo que describe una circunferenciacompleta ha de ser '◦ = 2�.

Si el perímetro de la circunferencia ha de ser igual al radio de la circunferencia por la medida en radianescbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 15




del ángulo que describe una circunferencia completa, '◦, l◦ = r '◦, entonces la medida en radianes delángulo que describe una circunferencia completa ha de ser '◦ = 2�.

Una medida de un ángulo en radianes, ', es una constante de proporcionalidad directa que hay entrecualquier longitud de arco l y cualquier radio r asociados al ángulo considerado, ver la figura (10). Si a unmismo ángulo se asocian diferentes radios r1, r2, r3, r4,… y diferentes longitudes de arco l1, l2, l3, l4,…la medida de ángulo en radianes del ángulo, ', valdrá:

' =l1r1

=l2r2

=l3r3

=l4r4… (1)

Esta afirmación queda demostrada en el caso de que se considere un ángulo de una circunferencia com-pleta, ver la figura (fig:angulo-en-radianes-4). Para un ángulo de una circunferencia completa, su valor enradianes, '◦, para diferentes arcos de circunferencia completa, l1, l2. l3, l4,… y para los radios de circun-ferencia correspondientes, r1, r2, r3, r4,… tendrá el valor de 2�.

'◦ =lcirc 1r1

=lcirc 2r2

=lcirc 3r3

=lcirc 4r4

= … = 2�

La unidad de medida de ángulo en radianes, el radian, es longitud de arco entre longitud de radio, lo queresulta en ser un cociente de longitudes que se considera adimensional.

(radian) =(

longitud de arcolongitud de radio

)

(2)

En el cuadro (1) se muestran valores en radianes de ángulos como fracciones del ángulo de una circunfe-rencia completa.cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 16




Para poder hacer equivalentes las posibles maneras de establecer la posición de un punto material en mo-vimiento circular serán necesarios conceptos de la trigonometría, por lo que serán revisados estos conceptosa continuación.

2.1.8. Funciones trigonométricas de un ángulo ' en un triángulo rectángulo.

En esta sección se responde a las pregunta: ¿Qué son las funciones trigonométricas de un ángulo en untriángulo rectángulo?.

Sea un triángulo en el espacio definido por tres puntos A, B, y C ,△ABC , y por los segmentos de recta,AB, BC , CA.

Sea que los segmentos AB y BC definan un ángulo recto con vértice en el punto B, es decir, sea que lossegmentos AB y BC sean mutuamente perpendiculares, ver figura 12. Entonces diremos que tal triángulo△ABC será un triángulo rectángulo. Sea que nombremos por � al ángulo formado por los segmento ABy el segmento AC con vértice en el punto A del triángulo rectángulo △ABC , ver figura (12). Entoncesnombraremos como cateto adyacente al ángulo � al segmento AB, como cateto opuesto al ángulo � alsegmento BC y como hipotenusa del triángulo rectángulo al segmento AC .

Sea que el cateto adyacente al ángulo � del triángulo rectángulo, el segmentoAB, tenga un tamaño x. Seaque el cateto opuesto al ángulo � del triángulo rectángulo, el segmento BC , tenga un tamaño y. Sea que lahipotenusa del triángulo rectángulo, el segmento AC , tenga un tamaño r, todo en referencia a la figura (12).Entonces se definen las funciones trigonométricas del ángulo ' en el triángulo rectángulo △ABC seno,coseno y tangente del ángulo ' como:

seno(') = sen(') =yr

(3)cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 17




coseno(') = cos(') = xr

(4)

tangente(') = tan(') =yx

(5)Se cumple también la siguiente relación respecto a la función tangente del ángulo ' en el triángulo

rectángulo:

tan(') =yx=

yrxr

Considerando las definiciones de las funciones trigonométricas seno y coseno del ángulo' en un triángulorectángulo dadas por las formulas (3) y (4) se tendrá:

tan(') =sen(')cos(')

(6)La importancia de la trigonometría de triángulos rectángulos se da a partir de las propiedades de se-

mejanza de los triángulos. Las funciones trigonométricas de un ángulo ' que esté en triángulos rectángulossemejantes tienen el mismo valor, se les puede evaluar a partir de un trazo geométrico, como lo es el un círcu-lo de radio unitario, y se les puede usar para conocer el tamaño de algún segmento en un triángulo rectánguloconocido el tamaño de otro de sus segmentos.

Hay que resaltar también que los tamaños de los lados de un triángulo rectángulo cumplen el teorema dePitágoras.cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 18




Con referencia al triángulo rectángulo descrito para definir las funciones trigonométricas de un triángu-lo rectángulo, ver figura 12, El teorema de Pitágoras se puede enunciar en la forma siguiente: El área delcuadrado que tiene como lado la hipotenusa del triángulo rectángulo, r2, es igual a la suma de las áreas delos cuadrados que tienen como lados los tamaños de los catetos del triángulo rectángulo, x2 + y2, es decir,r2 = x2 + y2. Ver la figura (13):

r2 = x2 + y2 (7)Ó:

r =√

x2 + y2 (8)El teorema de Pitágoras se relaciona con las funciones trigonométricas seno y coseno de cierto ángulo '

en referencia a la figura (13).

r2 = x2 + y2

r2

r2= x

2

r2+y2

r2

1 =(xr

)2+

(yr

)2

Si se tienen en cuanta las igualdades (3) y (4) se confirma que:1 = cos2 (') + sen2 (') (9)





2.1.9. Conversión de coordenadas entre sistemas de coordenadas polar y cartesiano.

Para convertir las coordenadas de un punto en un plano entre sistemas de referencia de coordenadascartesianas y coordenadas plano polares se establecen ciertas condiciones en ambos sistemas de referencia:

Ambos sistemas de referencia se hallan en un mismo plano.El polo del sistema de referencia plano polar y el origen del sistema de referencia cartesiano coinciden,son el mismo punto en el plano.El eje polar y el eje de abscisas coinciden y tienen el mismo sentido positivo.Las unidades de escala de longitud de ambos sistemas de referencia coinciden.

Como referencia de cumplimiento de las condiciones indicadas en sistemas de referencia de posicióncartesiano y polar en un plano considere la figura (14).

Cumpliendo ambos sistemas de coordenadas las condiciones establecidas y en referencia a la figura (14),si se conocen las coordenadas plano polares de un punto P en un plano, digamos r y el valor de ánguloen radianes entre el radio r y el eje polar ⃖⃖⃖⃖⃗0R, ', las coordenadas cartesianas del punto P en el sistema decoordenadas cartesiano, digamos la abscisa x y la ordenada y, de acuerdo con la trigonometría del ángulo 'en el triángulo rectángulo△0xP serán:

x = r cos(') (10)

y = r sen(') (11)cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 20




Si se conocen las coordenadas rectangulares del punto P en el plano cartesiano, la abscisa x y la ordenaday con referencia en la figura (14 las coordenadas plano polares del puntoP , el radio r y el ángulo' en radianes,de acuerdo con el teorema de Pitágoras y al concepto de función trigonométrica inversa serán:

r =√

x2 + y2 (12)' = arctan

(yx

)

(13)

2.1.10. Conversión de coordenadas entre sistemas de coordenadas polar y circular.

Para convertir las coordenadas de un punto en un plano entre sistemas de referencia de coordenadascartesianas y coordenadas circulares se establecen ciertas condiciones en ambos sistemas de referencia:

Ambos sistemas de referencia se hallan en un mismo plano.El polo del sistema de referencia plano polar y el centro del sistema de referencia circular coinciden,son el mismo punto en el plano.El eje polar pasa por el punto origen del sistema de coordenadas circular.Las unidades de escala de longitud de ambos sistemas de referencia coinciden en magnitud o tamaño.

Como referencia de cumplimiento de las condiciones indicadas en sistemas de referencia de posiciónpolar y circular en un plano considere la figura (15).

Cumpliendo ambos sistemas de coordenadas las condiciones establecidas y en referencia a la figura (15),si se conocen las coordenadas plano polares de un punto P en un plano, digamos r y el valor de ángulo encbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 21




radianes entre el radio r y el eje polar ⃖⃖⃖⃖⃗0R, ', la coordenada circular del punto P en el sistema de coordenadascircular o natural, l, de acuerdo con la definición de medida de ángulo en radianes, ', será:

l = r ' (14)

Si se conoce la coordenada circular del punto P en el sistema de coordenadas circular, l, y el radio de lacircunferencia del sistema de coordenadas circular, r, este coincidirá con la coordenada radial del punto Pen el sistema de coordenadas plano polar y de acuerdo con la definición de medida de ángulo en radianes, lacoordenada radial del punto P , en el sistema de coordenadas plano polar, ', será:

' = lr

(15)

2.1.11. Conversión de coordenadas entre sistemas de coordenadas cartesiano y circular.

Para convertir las coordenadas de un punto en un plano entre sistemas de referencia de coordenadascartesianas y coordenadas circulares se establecen ciertas condiciones en ambos sistemas de referencia:

Ambos sistemas de referencia se hallan en un mismo plano.El origen del sistema de referencia cartesiano y el centro del sistema de referencia circular coinciden,son el mismo punto en el plano.El eje de abscisas del plano cartesiano pasa por el punto origen del sistema de coordenadas circular.Las unidades de escala de longitud de ambos sistemas de referencia coinciden.





Como referencia de cumplimiento de las condiciones indicadas en sistemas de referencia de posicióncartesiano y circular en un plano considere la figura (16).

Cumpliendo ambos sistemas de coordenadas las condiciones establecidas y en referencia a la figura (16),si se conocen las coordenadas cartesias de un punto P en un plano, digamos la abscisa x y la ordenada y, elvalor del radio r del sistema de coordenadas circular será:

r =√

x2 + y2 (16)El valor de la coordenada circular l se obtendrá obteniendo el valor del ángulo ' en radianes como:' = arctan

(yx

)

(17)Y luego usando la definición de medida de ángulo en radianes:l = ' r (18)

Si se conoce la coordenada circular del punto P en el sistema de coordenadas circular, l, y el radio dela circunferencia del sistema de coordenadas circular, r, el ángulo que hace el radio r con el eje de abscisasdel plano cartesiano, ', es ' = l

r. Entonces las coordenadas cartesianas del punto P en el plano cartesiano

a partir de la coordenada circular l y el radio del sistema de coordenadas circular r serán:

x = r cos(

lr

)

(19)

y = r sen(

lr

)

(20)





2.2. Movimiento circular uniforme de un punto material.

2.2.1. Condición de movimiento circular uniforme de un punto material.

Sea un punto material de masa m en movimiento circular en una trayectoria circular de radio r.Sea que la posición del punto material quede establecida mediante sistemas de coordenadas polar y cir-

cular coincidentes en polo y centro de la trayectoria circular y que el eje polar pase por el punto origen delsistema de coordenadas circular. Ver la figura (17).

Se dirá que el punto material en movimiento circular tendrá un movimiento circular uniforme si durantesu movimiento en intervalos de tiempo de igual duración manifiesta cambios en posición angular de igualvalor o si manifiesta cambios en posición circular de igual valor. Ver la figura (18).

Si se conocen datos de tiempo, t, posición angular, ', y posición circular, l, del movimiento circular deun punto material de masa m, digamos:

(

t1, '1, l1)

,(

t2, '2, l2)

,(

t3, '3, l3)

,(

t4, '4, l4)

, …

Con referencia en la figura (18) el punto material de masa m se hallará en movimiento circular uniforme sien intervalos de tiempo de igual duración Δt:

Δt = t2 − t1 = t3 − t2 = t4 − t3 …

Manifiesta cambios en posición angular Δ':Δ' = '2 − '1 = '3 − '2 = '4 − '3 …

De igual valor. O si manifiesta cambios en posición circular Δl:Δl = l2 − l1 = l3 − l2 = l4 − l3 …





De igual valor.Si se representa la posición angular, ', y la posición circular l, del punto material en movimiento circular

uniforme como una función del tiempo se obtienen gráficas como las indicadas en las figuras (19) y (20) quecorresponden a rectas en sus espacios posición – tiempo correspondientes.

2.2.2. Modelo de movimiento circular uniforme de un punto material.

Sea un punto material de masa m en movimiento circular uniforme en una trayectoria circular de radio r.Sea que la posición del punto material quede establecida mediante sistemas de coordenadas polar y cir-

cular coincidentes en polo y centro de la trayectoria circular y que el eje polar pase por el punto origen delsistema de coordenadas circular. Ver la figura (17).

Sean conocidos las posiciones angulares y de trayectoria circular del punto material en movimiento cir-cular uniforme a dos tiempos distintos, digamos:

ti, 'i, litf , 'f , lf

Se define la velocidad angular del punto material en movimiento circular uniforme, ! omega minúscula delalfabeto griego, como el cociente del cambio en la posición angular entre el cambio en tiempo de dos estadosde movimiento conocidos del cuerpo en movimiento circular uniforme o mcu:

! ='f − 'itf − ti

(21)





La velocidad angular de un cuerpo en movimiento circular uniforme es la razón de cambio de la posiciónangular del cuerpo en mcu con respecto al tiempo. Ver la figura (21).

La velocidad angular de un punto material el movimiento circular uniforme no tiene una interpretaciónvectorial más halla de que su signo indica si el movimiento circular del punto material se de en el sentido degiro opuesto al de las manecillas de un reloj mecánico tradicional cuando es positivo y en el sentido de girode las manecillas de un reloj cuando es negativo.

Conocido un estado inicial de movimiento del punto material en movimiento circular uniforme, (ti , 'i),

y la velocidad angular !, del punto material en movimiento circular uniforme, cualquier otro estado de mo-vimiento del punto material en mcu, digamos (t , '), ver la figura (21), deberá cumplir con la igualdad:

' = 'i + !(

t − ti) (22)

Se define la velocidad de trayectoria circular del punto material en movimiento circular uniforme, vl,como el cociente del cambio en la posición circular entre el cambio en tiempo de dos estados de movimientoconocidos del cuerpo en movimiento circular uniforme o mcu:

vl =lf − litf − ti

(23)

La velocidad de trayectoria circular de un cuerpo en movimiento circular uniforme es la razón de cambiode la posición de trayectoria circular del cuerpo en mcu con respecto al tiempo. Ver la figura (22).

El signo de la velocidad de trayectoria circular de un punto material el movimiento circular uniformeindica si el movimiento circular del punto material se de en el sentido de giro opuesto al de las manecillas de





un reloj mecánico tradicional cuando es positivo y en el sentido de giro de las manecillas de un reloj cuandoes negativo.

La velocidad de trayectoria circular de un punto material en movimiento circular uniforme tiene unamagnitud o valor absoluto constante y su dirección es siempre tangente a la trayectoria circular de movimientodel punto material en mcu.

Conocido un estado inicial de movimiento del punto material en movimiento circular uniforme, (ti , li),

y la velocidad de trayectoria circular vl, del punto material en movimiento circular uniforme, cualquier otroestado de movimiento del punto material en mcu, digamos (t , l), ver la figura (22), deberá cumplir con laigualdad:

l = li + vl(

t − ti) (24)

La velocidad de trayectoria circular y la velocidad angular de un punto material en movimiento circularuniforme se relacionan mediante la definición de radian, ', que representa la proporcionalidad directa entrela longitud de arco l y el radio r que se puedan trazar en una misma apertura angular la cual afirma que' = l

r





o que l = 'r. Se parte de la definición de velocidad de trayectoria circular de un punto material en mcu:

vl =lf − litf − ti

vl =r 'f − r 'itf − ti

vl =r(

'f − 'i)

tf − ti

vl = r'f − 'itf − ti

Si la velocidad angular del punto material en mcu es el cociente del cambio en posición angular entre elcambio en tiempo, ver la ecuación (21), la velocidad de trayectoria circular vl y la velocidad angular ! de unpunto material que se mueve en una trayectoria circular de radio r se relacionan con la igualdad siguiente:

vl = r ! (25)

2.2.3. Aceleración centrípeta de un punto material en movimiento circular uniforme.

Sea un punto material de masa m en movimiento rectilíneo uniforme o mru en una trayectoria circular deradio r en cierta posición angular ' con una velocidad angular! y con cierta velocidad de trayectoria circularvl en cierto valor de tiempo t. Ver la figura (23).

Sea que las velocidades angular,!, y de trayectoria circular, vl, del puntomaterial enmovimiento circularuniforme se relacionan entre sí cumpliendo la igualdad (25):

vl = r !





Sea que se consideren dos estados de movimiento del punto material en mcu caracterizados por valores detiempo, t, posición angular, ',iniciales y finales:

(

ti, 'i)

(

tf , 'f)

Ver la figura (24).La velocidad angular del punto material en mcu, !, será igual al cociente del cambio en posición angular

del punto en mcu entre los dos estados de movimiento indicados, 'f − 'i, y del cambio en tiempo entre losdos estados de movimiento indicados, tf − ti:

! ='f − 'itf − ti

La velocidad de trayectoria circular del punto material en mcu vl, mantiene constante su valor y su direcciónes siempre tangente a la trayectoria de movimiento del punto material. Al ser un circulo la trayectoria demovimiento del punto material la velocidad de trayectoria circular del punto material será tangente al radiode giro del punto material en cualquier estado de movimiento del punto material en mcu. Ver la figura (24).

La velocidad de trayectoria circular del punto material en mcu cambia continuamente en dirección másno en magnitud. Deberá existir una de fuerza que actúe sobre el punto material en mcu la cual cause al puntomaterial una aceleración relacionada con el cambio en dirección de la velocidad instantánea del puntomaterialen mcu. Tal aceleración esta vez ha de ser considerada con carácter de propiedad con magnitud y dirección,como una propiedad vectorial.

Aceleración de un puntomaterial enmovimiento en general es igual al cociente del cambio en la velocidaddel punto material entre el cambio en tiempo que acompaña al cambio en velocidad:cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 29




cambio envelocidad

La es instantáneaaceleración igual del punto

de un al materialpunto cociente ——————

material de cambioen tiempo

Asociando la aceleración del punto material en mcu a los estados de movimiento del punto materialindicados esta vez como propiedades vectoriales se tendrá:

⃖⃗a =⃖⃗vf − ⃖⃗vitf − ti

(26)

En la figura (25) se hace una representación de los estados de movimiento inicial y final del punto materialen movimiento circular con velocidades representadas como vectores.

Para el punto material en mcu los vectores velocidad ⃖⃗vi y ⃖⃗vf ambos tienen el mismo tamaño o magnitud,la cual es igual al valor de la velocidad de trayectoria circular vl

| ⃖⃗vi| = | ⃖⃗vf | = vl (27)

Obtener la aceleración del punto material en mcu requerirá de hacer la diferencia de los vectores velocidad⃖⃗vf y ⃖⃗vi, ⃖⃗vf − ⃖⃗vi, por lo que resulta necesario saber como hacer esta operación algebraica con vectores libres.





2.2.4. Suma de vectores libres.

Un vector libre es un segmento de recta con un punto de inicio y un punto de término que establece unsentido de recorrido.

Un vector libre pude ser representado por una letra en minúsculas con una flecha encima, ⃖⃗a, una letraminúscula en negritas, a, o una letra minúscula en negritas con flecha encima, ⃖⃗a.

La magnitud o tamaño del segmento de recta que corresponde a un vector puede ser representado porbarras verticales rodeando al vector: | ⃖⃗a|, |a| o | ⃖⃗a|, o por la misma letra en italicas: a, o simplemente porlamisma letra a.

Un vector libre posee un tamaño o magnitud que corresponde con su longitud como segmento de rectaen el espacio. Un vector libre se le representa por una letra minúscula en negritas, como a o b, o por unaletra minúscula con una flecha encima, como ⃖⃗a o ⃖⃗b Se usarán ambas notaciones en el documento para referira vectores libres. Ver la figura (26).

En la figura (27) se expone la suma de vectores libres ⃖⃗a y ⃖⃗b, ⃖⃗a + ⃖⃗b por el método del polígono. En elpunto de termino del vector que sea el primer sumando se traslada el vector que sea el segundo sumando. Elvector suma de ambos vectores libres se traza del punto inicial del primer vector sumado al punto de terminodel segundo vector sumado.

En la figura (28) se expone el inverso aditivo de un vector libre ⃖⃗b, −⃖⃗b y su relación con el vector neutroaditivo ⃖⃗0. Para todo vector libre ⃖⃗b existe un vector libre −⃖⃗b que sumados, b + (−b) resultan ser un vector nulo⃖⃗0 que también es considerado un vector neutro aditivo. ⃖⃗b +

(

−⃖⃗b)

= ⃖⃗0 o ⃖⃗b − ⃖⃗b = ⃖⃗0.En la figura (29) se expone la resta de dos vectores libres ⃖⃗a y ⃖⃗b, ⃖⃗a − ⃖⃗b por el método del polígono. La

resta de los vectores ⃖⃗a y ⃖⃗b, ⃖⃗a − ⃖⃗b, corresponde a la suma del vector ⃖⃗a con el vector inverso aditivo del vector⃖⃗b, con −⃖⃗b.cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 31




En la figura (30) se expone suma de dos vectores libres ⃖⃗a y ⃖⃗b, ⃖⃗a + ⃖⃗b por el método del paralelogramo.Ambos vectores libres se trazan con su punto de inicio en un mismo punto en el espacio. Se trazan rectasauxiliares paralelas a ambos vectores que pasen por los puntos de término de cada vector sumando. Se formaun paralelogramo con los dos vectores y las dos rectas auxiliares como lados. El vector suma de ambosvectores libres se traza del punto de inicio común de ambos vectores al punto de intersección de ambas rectasauxiliares, por la diagonal principal del paralelogramo.

En la figura (31) se expone resta de dos vectores libres ⃖⃗a y ⃖⃗b, ⃖⃗a − ⃖⃗b por el método del paralelogramo.Ambos vectores libres se trazan con su punto de inicio en un mismo punto en el espacio. Se trazan rectasauxiliares paralelas a ambos vectores que pasen por los puntos de término de cada vector sumando. Se formaun paralelogramo con los dos vectores y las dos rectas auxiliares como lados. El vector resta de ambos vectoreslibres se traza del punto de termino del vector sustraendo, ⃖⃗b, al punto de inicio del vector minuendo, ⃖⃗a por ladiagonal secundaria del paralelogramo.

2.2.5. Aceleración centrípeta de un punto material en monimiento circular uniforme.

Se regresa al análisis del movimiento circular uniforme de un punto material.Una vez explicado como realizar la diferencia de dos vectores libres se pasa ha realizar la diferencia de

los vectores velocidad, ⃖⃗vf − ⃖⃗vi, eligiendo un cambio en tiempo, tf − ti, cercano a cero. Ver la figura (32).Eligiendo un cambio en tiempo, tf − ti, cada vez más próximo a cero se confirma que la dirección del vectorcambio en velocidad, ⃖⃗vf − ⃖⃗vi, es hacia el centro de la trayectoria circular, ver la figura (33).

La dirección del vector aceleración, ⃖⃗a, será la de el vector ⃖⃗vf − ⃖⃗vi, hacia el centro de la trayectoriacircular. Razón por la cual a la aceleración de un punto material en movimiento circular uniforme que causaque cambie continuamente su dirección de movimiento sin cambiar la magnitud de su velocidad se le nombra





aceleración centrípeta y se le representa por ⃖⃗ac o simplemente por ac cuando se refiere a su magnitud y nocomo vector. Ver la figura (34). La magnitud del vector ⃖⃗vf − ⃖⃗vi, | ⃖⃗vf − ⃖⃗vi|, puede ser aproximada a partir deuna aproximación geométrica. La igualdad (27) indica que la magnitud de cada uno de los vectores velocidad⃖⃗vi y ⃖⃗vf , | ⃖⃗vi| y | ⃖⃗vf |, es igual a vl

| ⃖⃗vi| = | ⃖⃗vf | = vl

Recurriendo a la figura(35). La diferencia de velocidades ⃖⃗vf − ⃖⃗vi al ser desarrollada por el método delparalelogramo forma un triángulo con dos lados iguales en tamaño correspondientes a ⃖⃗vi y a ⃖⃗vf , con tamañovl, y con un lado correspondiente a ⃖⃗vf − ⃖⃗vi cuyo tamaño que puede ser aproximado por la definición de unamedida de ángulo en radianes. Para cierto ángulo definido por los segmentos de recta 0A y 0B su valor enradianes � es igual al cociente de la longitud de arco l y el radio r que se puedan trazar en el ángulo indicado,� = l

r, luego la longitud de arco l es: l = r�. El tamaño de la diferencia de velocidades ⃖⃗vf − ⃖⃗vi, | ⃖⃗vf − ⃖⃗vi|,

es:| ⃖⃗vf − ⃖⃗vi| = vl Δ' (28)

La magnitud de la aceleración centrípeta del punto material en movimiento circular uniforme, | ⃖⃗ac| se obtienede la definición de la aceleración dada en la igualdad (26):

⃖⃗a =⃖⃗vf − ⃖⃗vitf − ti

Que será:

| ⃖⃗ac| =| ⃖⃗vf − ⃖⃗vi|tf − ti





El tamaño de la diferencia en velocidades, | ⃖⃗vf − ⃖⃗vi|, según la igualdad (28) es vl Δ' o vl(

'f − 'i) .

Sustituyendo este resultado en la igualdad anterior:

| ⃖⃗ac| =vl

(

'f − 'i)

tf − ti

| ⃖⃗ac| = vl'f − 'itf − ti

Si la velocidad angular del punto material en mcu, !, es igual al cociente del cambio en posición angular delpunto en mcu entre los dos estados de movimiento indicados, 'f −'i, y del cambio en tiempo entre los dosestados de movimiento indicados, tf − ti:

! ='f − 'itf − ti

Y si se denota la magnitud de la aceleración centrípeta del punto material en mcu, | ⃖⃗ac|, simplemente por ac ,la magnitud de la aceleración centrípeta de un punto material en mcu será:

ac = vl ! (29)Sí vl = r !, la magnitud de la aceleración centrípeta de un punto material en mcu también será:

ac = vl !

ac = r !!

ac = !2 r (30)cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 34




Sí ! = vlr, la magnitud de la aceleración centrípeta de un punto material en mcu también será:

ac = vl !

ac = vlvlr

ac =v2lr

(31)

La magnitud de la aceleración centrípeta de un punto material en mcu tiene las unidades del producto develocidad de trayectoria circular por velocidad angular.

ac ∶ vl ! ∶marcos

radians

∶marcos

marcomradios

∶

m2arcomradios2

Se puede considerar por simplicidad que las unidades de la aceleración centrípeta sean ms2, pero deben ser

m2arcomradios2

.

2.2.6. Movimiento circular uniforme de un punto material en coordenadas cartesianas.

Si se quiere describir como cambia la posición de un punto material en movimiento circular uniformeen coordenadas cartesianas se recurre a la conversión de coordenadas polares a coordenadas cartesianas del





punto material como ha sido indicado en la sección (2.1.9) en las ecuaciones (10) y (11). Ver las figuras (14)y (36).

x = r cos(')

y = r sen(')

Si se sustituye para la posición angular' su variación para el punto material en movimiento circular uniformedada por la fórmula (22):

' = 'i + !(

t − ti)

La variación de la posición cartesiana del punto material en movimiento circular uniforme en el tiempo será:

x = r cos('i + !(

t − ti)

) (32)

y = r sen('i + !(

t − ti)

) (33)

La velocidad del punto material en movimiento circular uniforme o mcu en coordenadas cartesianas deberáobtenerse por eje coordenado como funciones del tiempo, (vx(t), vy(t)

). Ver la figura (37). Cada velocidaddeberá obtenerse como la derivada de la posición con respecto al tiempo. Esta vez se dan si deducción lasvelocidades por eje coordenado de un punto material:

vx = −! r sen(

'i + !(

t − ti)) (34)





vy = ! r cos(

'i + !(

t − ti)) (35)

La magnitud de la velocidad del punto material en mcu, digamos v, será:

v =√

v2x + v2y (36)

Que al introducir los valores de velocidades del punto material en mcu por eje coordenado dadas en lasigualdades (34) y (35) y teniendo en cuenta la igualdad (9), que para un ángulo cualquiera � se cumple laigualdad:

sen2(�) + cos2(�) = 1

Se transforma en:v =

√

v2x + v2y

v =√

(

−!rsen(

'i + !(

t − ti)))2 +

(

!rcos(

'i + !(

t − ti)))2

v =√

!2r2sen2(

'i + !(

t − ti))

+ !2r2cos2(

'i + !(

t − ti))

v =√

!2r2(

sen2(

'i + !(

t − ti))

+ cos2(

'i + !(

t − ti)))

v =√

!2 r2 (1)

v =√

!2 r2

v = ! r (37)cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 37




Comparando la magnitud de la velocidad del punto material en mcu, v, dada por la formula (37) con lamagnitud de la velocidad en coordenadas circulares, vl, dada por la formula (eq:rel-v-omega-1) se compruebaque son equivalentes, por lo que se puede afirmar la siguiente relación entre v y vl

v = vl = ! r (38)

La dirección de la velocidad del punto material en mcu se da por el ángulo � entre los vectores velocidad vxy vy, ver la figura (37). La pendiente del ángulo � es igual al cociente de las velocidades vy y vx:

tan(�) =vyvx

(39)

Sustituyendo las igualdades para las velocidades vectoriales por eje coordenado (34) y (35) y las igualdadespara la abscisa x y la ordenada y del punto material en mcu (32) y (33) en la igualdad (eq:tan-theta-vy-vx-1)se puede relacionar el ángulo � con el ángulo ' y confirmar que la dirección del vector velocidad del puntomaterial en mcu es perpendicular al radio r que va del origen del plano cartesiano al punto material teniendoen cuenta que rectas que son perpendiculares tienen pendientes contrapositivas, es decir, que son inversasmultiplicativas opuestas en signo y que la pendiente de una recta es la tangente del ángulo que hace la recta





con el eje de abscisas o con cualquier otra recta paralela al eje de abscisas:tan(�) =

vyvx

tan(�) =! r cos

(

'i + !(

t − ti))

−! r sen(

'i + !(

t − ti))

tan(�) =r cos

(

'i + !(

t − ti))

− r sen(

'i + !(

t − ti))

tan(�) = x− y

tan(�) = − xy

tan(�) = − 1yx

Si

tan(') =yx

(40)

Resulta que:

tan(�) = − 1tan(')

(41)

Lo que confirma que la dirección de la velocidad de un punto material en movimiento circular uniforme essiempre perpendicular al radio vector posición del punto material al ser contrapositivas las pendientes de lasrectas que incluyen al radio vector posición y al vector velocidad del punto material en movimiento circularuniforme.cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 39




Para hallar la aceleración del punto material en movimiento circular uniforme como una función deltiempo se debe de obtener las componentes de la aceleración por eje coordenado como funciones del tiempo,ax(t) y ay(t). Ver la figura (fig:mcu-pm-planos-cartesiano-polar-ac-1). Esto se logra derivando con respectoal tiempo a las velocidades del punto material en mcu dadas en las igualdades (34) y (35). Esta derivación seexpone sin deducción:

ax = −!2 r cos(

'i + !(

t − ti)) (42)

ay = −!2 r sen(

'i + !(

t − ti)) (43)

La magnitud de la aceleración del punto material en mcu, digamos a, será:

a =√

a2x + a2y (44)

Que al introducir los valores de aceleraciones del punto material en mcu por eje coordenado dadas en lasigualdades (42) y (43) y teniendo en cuenta la igualdad (9), que para un ángulo cualquiera � se cumple laigualdad:

sen2(�) + cos2(�) = 1





Se transforma en:a =

√

a2x + a2y

a =√

(

−!2rcos(

'i + !(

t − ti)))2 +

(

−!2rsen(

'i + !(

t − ti)))2

a =√

(!2)2r2cos2(

'i + !(

t − ti))

+ (!2)2r2sen2(

'i + !(

t − ti))

a =√

(!2)2 r2(

cos2(

'i + !(

t − ti))

+ sen2(

'i + !(

t − ti)))

a =√

(!2)2 r2 (1)

a =√

(!2)2 r2

a = !2 r (45)

Teniendo en cuenta que las velocidades angular, !, y de trayectoria circular, vl, del punto material en mcuestán relacionadas entre sí en las igualdades vl = !r y ! =

vlr

la magnitud de la aceleración del puntomaterial el movimiento circular también será:

a = !2 r

a = !! r

a =vlr! r

a = vl ! (46)





Los valores para la magnitud de la aceleración de un punto material en movimiento circular uniforme dadospor las igualdades (45) y (46) ya habían sido demostrados en la sección sobre aceleración centripeta encoordenadas polares y circulares en las igualdades (30) y (29).

La dirección de la aceleración del punto material en mcu se da por el ángulo� entre los vectores velocidadax y ay, ver la figura (38). La pendiente del ángulo � es igual al cociente de las aceleraciones ay y ax:

tan(�) =ayax

(47)Sustituyendo las igualdades para las velocidades vectoriales por eje coordenado (42) y (43) y las igualdadespara la abscisa x y la ordenada y del punto material en mcu (32) y (33) en la igualdad (eq:tan-theta-vy-vx-1)se puede relacionar el ángulo � con el ángulo ':

tan(�) =vyvx

tan(�) =−!2 r sen

(

'i + !(

t − ti))

−!2 r cos(

'i + !(

t − ti))

tan(�) =− r sen

(

'i + !(

t − ti))

− r cos(

'i + !(

t − ti))

tan(�) =− y− x

tan(�) =yx

Sitan(') =

yx

Resulta que:tan(�) = tan(') (48)





Los ángulos ' y � son iguales ya que tienen pendientes iguales. Ver la figura (38).

� = ' (49)

Lo que confirma que la aceleración de un punto material en movimiento circular uniforme está dirigidahacia el centro de la circunferencia en la que se da el movimiento del punto material, que es una aceleracióncentrípeta.

2.3. Fuerza centrípeta actuando sobre un punto material en movimiento circular uniforme.

En el estudio de la causa de que un punto material modifique su estado de movimiento se encontró queuna fuerza actuando sobre el punto material es la causa de tal modificación.

Una modificación en el estado de movimiento de un punto material se hace manifiesta por el hecho deque el punto material modifique su velocidad, de que tenga una aceleración no nula.

La aceleración de un punto material sobre el que actúa una fuerza tendrá la misma dirección que la fuerza.En el caso del movimiento circular uniforme de un punto material se tiene una aceleración centrípeta, ac ,

como se ha propuesto. Ver la figura (39). En consecuencia con la causa de esta aceleración centrípeta se tieneuna fuerza centrípeta actuando en un punto material en movimiento circular uniforme, Fc . Ver la figura (40).

Tal fuerza centrípeta siempre esta dirigida hacia el centro de la trayectoria circular de movimiento delpunto material, su magnitud, Fc , será igual al producto de la masa del punto material, m, por la magnitud dela aceleración centrípeta del punto material, ac:

Fc = mac (50)

La fuerza centrípeta está dirigida siempre en dirección perpendicular a la trayectoria circular de movimientocbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 43




del punto material, razón por la cual no realiza trabajo ya que no actúa en la dirección de movimiento delpunto material creándole un desplazamiento en el tiempo con carácter de uniformemente acelerado.

2.4. Movimiento circular no uniforme de un punto material.

Al estudiar el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de un cuerpo se tiene que la aceleracióndel cuerpo se halla en la trayectoria rectilínea de movimiento del cuerpo y su efecto directo es el de modificarla magnitud y posiblemente el sentido de la velocidad del cuerpo. En general, una aceleración de un cuerpo endirección paralela a la trayectoria de movimiento del cuerpo le modificará al cuerpo su velocidad en magnitudy posiblemente en sentido, más no en dirección.

En el estudio del movimiento circular uniforme de un cuerpo se identifica a la aceleración centrípetacomo una aceleración que modifica la dirección del movimiento del cuerpo sobre el que actúa manteniendola magnitud y el sentido de la velocidad del cuerpo en su trayectoria circular de movimiento.

En el caso de un punto material restringido a moverse en una trayectoria circular sobre el que actúa unafuerza ⃖⃖⃗F causando al punto material una aceleración ⃖⃗a siempre va ser posible descomponer la aceleraciónen un componente en la dirección radial o centrípeta, ⃖⃗ac y otro componente en la dirección tangente a latrayectoria circular de su movimiento, ⃖⃗al, es decir: ⃖⃗a = ⃖⃗ac + ⃖⃗al. Ver la figura (41). La aceleración centrípeta,⃖⃗ac , causará movimiento circular al punto material. La aceleración tangencial, ⃖⃗al causará movimiento circularacelerado en la trayectoria circular de movimiento del punto material. En este caso aún cuando no cambie ladirección de la fuerza ⃖⃖⃗F o si la dirección de la fuerza ⃖⃖⃗F se modifica en el espacio y en el tiempo el puntomaterial sobre el que actúa se hallará en movimiento circular no uniforme.

Surge entonces el concepto de aceleración angular, �, de un punto material en movimiento circular nouniforme.





Sea un punto material en movimiento circular no uniforme del que se conocen dos valores de tiempo, t,y de velocidad angular, !:

(

ti , !i)

(

tf , !f)

Se define aceleración angular promedio del punto material en movimiento circular no uniforme, ⟨�⟩, ser:

⟨�⟩ =!f − !itf − ti

(51)

Para un proceso llevado al límite en el que el tiempo final, tf , tiende al tiempo inicial, ti se tendrá unaaceleración angular instantánea � en el tiempo ti, �|ti , dada por:

� = �|ti = lı́mtf→ti

!f − !itf − ti

(52)

La aceleración angular instantánea al tiempo ti corresponde a la pendiente de la recta tangente a la trayectoriavelocidad angular versus tiempo al punto tiempo inicial, ti, – velocidad angular inicial, !i.

Para un punto material en movimiento circular en una trayectoria circular de radio r que tiene una acele-ración angular � la aceleración de trayectoria circular al tendrá dirección tangente a la trayectoria circular ysu magnitud guardará la siguiente relación con la aceleración angular:

al = � r (53)

Para un punto material restringido a moverse en una trayectoria circular sobre el que actúa una fuerza que lecausa una aceleración ⃖⃗a que puede considerarse la suma de una aceleración centrípeta ⃖⃗ac y de una aceleracióncbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 45




de trayectoria circular o tangencial a la trayectoria circular al la magnitud de la aceleración ⃖⃗a, | ⃖⃗a|, en funciónde las magnitudes de las aceleraciones ⃖⃗ac y ⃖⃗al, | ⃖⃗ac| y | ⃖⃗al| será:

| ⃖⃗a| =√

| ⃖⃗ac|2 + | ⃖⃗al|2 (54)Si se toman en cuenta las igualdades para expresar las aceleraciones centrípeta, ac , y de trayectoria circular,al, en términos de velocidad y aceleración angulares, ! y �, y el radio de giro, r, correspondientes a lasecuaciones (30) y (53), se puede expresar a la magnitud de la aceleración de un punto material en movimientocircular no uniforme como:

| ⃖⃗a| =√

| ⃖⃗ac|2 + | ⃖⃗al|2

| ⃖⃗a| =√

(!2r)2 + (� r)2

| ⃖⃗a| =√

!4 r2 + �2 r2

| ⃖⃗a| =√

r2(

!4 + �2)

| ⃖⃗a| =√

r2√

!4 + �2

Finalmente:| ⃖⃗a| = r

√

!4 + �2 (55)Esta es la magnitud de una aceleración instantánea que dependerá de los valores instantáneos de velocidad yde aceleración angulares.

Se podrá obtener la magnitud del ángulo � que hace el vector de aceleración ⃖⃗a con el radio vector r⃗, verla figura (41), como:

� = arctan( �!2

)

(56)cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 46




2.4.1. Modelo de movimiento circular uniformemente acelerado de un punto material.

Un caso particular de movimiento circular no uniforme de un punto material es uno en el cual se tieneaceleración angular constante. Se presenta el modelo de éste tipo de movimiento.

Sea un punto material en movimiento circular en una trayectoria circular de radio r. Sea que es posibledeterminar valores de posición angular, ', y velocidad angular, !, a todo tiempo t. El punto material ten-drá un movimiento circular uniformemente acelerado si en intervalos de tiempo de igual duración, digamosΔt, manifiesta cambios en velocidad angular Δ! de igual valor. Ver la figura (42). Sea que del punto mate-rial en movimiento circular uniformemente acelerado se conozcan dos juegos de datos de velocidad angularinstantánea, posición angular y tiempo:

(

ti 'i !i)

(

tf 'f !f)

La aceleración angular del punto material en movimiento circular uniformemente acelerado podrá ser eva-luada como:

� =!f − !itf − ti

(57)

Para el punto material en movimiento circular uniformemente acelerado se han de cumplir las ecuaciones demovimiento angular siguientes:

� = constante a todo tiempo t (58)! = !i + �

(

t − ti) (59)

' = 'i + !i(

t − ti)

+ 12�(

t − ti)2 (60)





Combinando cambio en tiempo de la ecuación de velocidad angular en la ecuación de cambio en posiciónangular para el punto material en movimiento circular uniformemente acelerado, se obtiene una igualdadentre cambio en posición angular y cambio en cuadrados de velocidad angular:

2 �(

' − 'i)

= (!)2 −(

!i)2 (61)

Teniendo en cuenta las relaciones entre posición, velocidad y aceleración de trayectoria circular, l, vl y aly posición, velocidad y aceleración angular, ', ! y �, y el radio de la trayectoria circular, r, siguientes:

l = ' r

! = ! r

� = � r

Las ecuaciones de movimiento circular uniformemente acelerado de un punto material en coordenadas cir-culares serán:

al = constante a todo tiempo t (62)vl = vl i + al

(

t − ti) (63)

l = li + vl i(

t − ti)

+ 12al

(

t − ti)2 (64)

Combinando cambio en tiempo de la ecuación de velocidad de trayectoria circular en la ecuación de cambioen posición de trayectoria circular para el punto material en movimiento circular uniformemente acelerado,se obtiene una igualdad entre cambio en posición y cambio en cuadrados de velocidad de posición circular:

2 al(

l − li)

=(

vl)2 −

(

vl i)2 (65)





3. Ejemplos.

Considere sistemas de referencia en un plano para describir el movimiento circular de un punto material.Uno es un plano cartesiano, otro un sistema de coordenadas polar y otro un sistema de coordenadas circularo natural. Los sistemas de coordenadas indicados coinciden con tener centro y polo en el origen del planocartesiano, en tener unidad de escala de igual longitud y en que el origen del sistema de coordenadas naturalse halle en el punto en el que coinciden el eje de abscisas que es también el eje polar con la trayectoria circularde movimiento del punto material.

(1) Convierta la posición de un punto un plano de coordenadas cartesianas:(x , y) = (−4.3 , −8.2)

A:cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 49




(a) Coordenadas polares, (r , ').(b) Coordenadas circulares, (r , l).Respuestas:

(a) Coordenadas polares, (r , ').Se halla la magnitud r del radio vector que va del polo del sistema de referencia polar al punto en elplano como:

r =√

x2 + y2

r =√

(−4.3)2 + (−8.2)2

r =√

18.49 + 67.24

r =√

85.73

r = 9.2590496272566

Se halla el ángulo ' que hace el radio vector que va del polo al punto en el plano:

' = arctan(yx

)

' = arctan(−8.2−4.3

)

' = arctan (1.906976744186)

' = 1.0878274509383(radian)





El punto en el plano en coordenadas cartesianas (x y) de acuerdo a los valores de sus coordenadasse halla en el tercer cuadrante del plano cartesiano. Así que al valor de ángulo reportado por lacalculadora habrá que sumarle � radianes ya que corresponde también a la tangente de un ángulo enel primer cuadrante, es decir:

' = 1.0878274509383 + �

' = 1.0878274509383 + 3.141592

' = 4.2294201045281 (radian)

Finalmente:

(r , ') = (9.2590496272566 , 4.2294201045281)

(b) Coordenadas circulares, (r , l).La coordenada de radio r ya fue obtenida para la conversión de coordenadas cartesianas a polares.Es:

r =√

x2 + y2

r =√

(−4.3)2 + (−8.2)2

r =√

18.49 + 67.24

r =√

85.73

r = 9.2590496272566





La coordenada de arco l se obtiene a partir de la coordenada angular ', ya obtenida en la conversiónde coordenadas cartesianas a polares, y de la coordenada de radio, r, como:

l = r × '

l = 9.2590496272566 × 4.2294201045281

l = 39.160410642342

Finalmente:(r , l) = (9.2590496272566 , 39.160410642342)

(2) Convierta la posición de un punto un plano de coordenadas polares:((r , ') = (23.7 , 3�

4)

A:(a) Coordenadas cartesianas, (x , y).(b) Coordenadas circulares, (r , l).Respuestas:

(a) Coordenadas cartesianas, (x , y).Las coordenadas cartesianas del punto en el plano (x , y) a partir de las coordenadas polares delpunto en el plano (r , '), se hallan por x = r cos(') y y = r sen('). La calculadora deberá serconfigurada para operar funciones trigonométricas con medida de ángulo en radianes. Serán:





x = r cos(')

x = 23.7 × cos(3�4)

x = 23.7 × cos(3 × 3.1415924

)

x = 23.7 × cos(2.3561944901923)

x = 23.7 × −0.70710678118655

x = −16.758430714121

y = r cos(')

y = 23.7 × sen(3�4)

y = 23.7 × sen(3 × 3.1415924

)

y = 23.7 × sen(2.3561944901923)

y = 23.7 × 0.70710678118655

y = 16.758430714121

Finalmente:

(x , y) = (−16.758430714121 , 16.758430714121)





(b) Coordenadas circulares, (r , l).La coordenada de arco l se obtiene a partir de la coordenada angular ' dada y de la coordenada deradio r dada como:

l = r × '

l = 23.7 × 3�4

l = 23.7 × 3 × 3.1415924

l = 23.7 × 2.3561944901923

l = 55.841809417559

Finalmente:

(r , l) = (23.7 , 55.841809417559)

(3) Convierta la posición de un punto un plano de coordenadas circulares:

(r , l) = (17.63 , 82.72)

A:(a) Coordenadas polares, (r , ').(b) Coordenadas cartesianas, (x , y).Respuestas:





(a) Coordenadas polares, (r , ').La coordenada radial, r, del punto en el plano es la misma que el radio de la trayectoria circular quese a dado:

r = 17.63

La coordenada angular, ', del punto en el plano respecto al sistema de coordenadas polar a partirde las coordenadas circulares del punto en el plano, (r , l), se halla de la definición de medida deángulo en radianes: ' = l

r. Será:

' = lr

' = 82.7217.63

' = 4.6920022688599 (radian)

Finalmente:

(r , ') = (17.63 , 4.6920022688599)

(b) Coordenadas cartesianas, (x , y).Ya obtenida la coordenada angular varpℎi del punto en el plano y conociendo su coordenada radialr sus coordenadas cartesianas se obtienen por x = r cos(') y y = r sen('). Serán:





x = r cos(')

x = 17.63 × cos(4.6920022688599)

x = 17.63 × −0.020385299373403

x = −0.35939282795309

y = r sen(')

y = 17.63 × sen(4.6920022688599)

y = 17.63 × −0.99979219819393

y = −17.626336454159

Finalmente:(x , y) = (−0.35939282795309 , −17.626336454159)

(4) Un cuerpo de masa m de 60 (Kg) se halla en el ecuador del planeta Tierra a nivel del mar. Ver las figuras(43) y (44).El radio aproximado del planeta Tierra en su ecuador, RT Ecuador, tiene un valor de 6371000 (m).Cada punto en el planeta Tierra tiene un movimiento circular uniforme o mcu que completa una vueltacada 24 (ℎr), es decir que su periodo de movimiento, T , es de 24(ℎr), T = 24(ℎr).Halle para el cuerpo en movimiento circular uniforme:





(a) Su periodo de movimiento en segundos.(b) Su velocidad angular, !.

Su velocidad de trayectoria circular, vl, del cuerpo en:(c)

(

ms

)

(d)(

Kmℎr

)

(e) La magnitud de su aceleración centrípeta, ac .(f) La magnitud de la fuerza centrípeta, Fc , necesaria para mantener el movimiento circular uniforme

del cuerpo.(g) La magnitud del peso del cuerpo, Fg ℎ = mg.(h) Compare si el peso del cuerpo da la fuerza centrípeta necesaria para mantener el movimiento circular

uniforme del cuerpo.

Respuestas:

(a) Su periodo de movimiento en segundos.El cambio en tiempo en que se completa una trayectoria circular de movimiento se le nombra co-múnmente como periodo de movimiento circular y se le denota por T . Se pasa el periodo de horas





a segundos:

T = 24(ℎr)

T = 24(ℎr) × 1

T = 24(ℎr)3600(s)1(ℎr)

T = 24 × 3600(ℎrℎr

)

(s)

T = 86400(s)

(b) La velocidad angular, !, del cuerpo se halla como:

! =Δ'Δt

El cambio en posición angular de cada punto en el planeta Tierra, Δ', es de 2� (radianes) en uncambio en tiempo Δt de un periodo de movimiento T .





Luego es posible evaluar la velocidad angular del cuerpo, !, como:

! =Δ'Δt

! = 2�T

! =2 × 3.141592(radian)

86400(s)

! =6.283184(radian)

86400(s)

! = 7.272205 × 10−5(rads

)

! = 0.00007272205(rads

)

(c) Su velocidad de trayectoria circular, vl, en:(

ms

)

:Para hallar la velocidad de trayectoria circular de un cuerpo en movimiento circular uniforme, vl,se usa la igualdad entre sus velocidades angular, ! y de trayectoria circular, vl, y el radio, r, de latrayectoria circular de su movimiento:

vl = ! r





Será:vl = !RT Ecuador

vl = 7.272 × 10−5⎛

⎜

⎜

⎝

marcomradio

s

⎞

⎟

⎟

⎠

× 6371000(

mradio)

vl = 463.3122(marco

s

)

(d) Su velocidad de trayectoria circular, vl, en:(

Kmℎr

)

:Será:

vl = 463.3122(ms

)

vl = 463.3122(ms

)

× 1 × 1

vl = 463.3122(ms

)

×(

1(Km)1000(m)

)

×(

1(ℎr)3600(s)

)

vl = 463.3122 ×36001000

×(mm

)

×(ss

)

×(Kmℎr

)

vl = 463.3122 × 3.6 × 1 × 1 ×(Kmℎr

)

vl = 1667.9240(Kmℎr

)

(e) Su aceleración centrípeta, ac .La aceleración centrípeta del cuerpo en el radio de giro del ecuador del planeta, ac , se evalúa comoel producto de su velocidad angular, !, y de su velocidad de trayectoria circular, vl, en el radio del





ecuador del planeta:

ac = vl !

Será:ac = vl !

ac = 463.3122(marco

s

)

× 7.27 × 10−5⎛

⎜

⎜

⎝

marcomradios

⎞

⎟

⎟

⎠

ac = 463.3122 × 7.272205 × 10−5⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

m2arcomradio

s2

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

ac = 0.0336930136

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

m2arcomradio

s2

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

ac = 0.0336930136(

ms2

)

(f) La magnitud de la fuerza centrípeta, Fc , necesaria para mantener el movimiento circular uniformedel cuerpo.La magnitud de la fuerza centrípeta que causa el movimiento circular uniforme del cuerpo, Fc , sehalla por el producto de la masa del cuerpo, m, por la aceleración centrípeta del cuerpo,ac , es decir:

Fc = mac





Valdrá:Fc = mac

Fc = 60(Kg) × 0.0336930136(ms2)

Fc = 2.0215808(

Kg ms2

)

Fc = 2.0215808 (Newton)

(g) El peso del cuerpo, Fg ℎ.El peso del cuerpo o fuerza de gravedad homogénea con la que la masa del planeta atrae a la masadel cuerpo hacia el centro del planeta, Fg ℎ, se halla por:

Fg ℎ = mg

Será:Fg ℎ = mg

Fg ℎ = 60(Kg) × 9.81(ms2)

Fg ℎ = 588.6(

Kg ms2

)

Fg ℎ = 588.6 (Newton)

(h) Compare si el peso del cuerpo da la fuerza centrípeta necesaria para mantener el movimiento circularuniforme del cuerpo.





El peso del cuerpo, Fg ℎ, está dirigido hacia el centro del planeta y para una masa en el ecuador delplaneta coincide con la dirección de la fuerza centrípeta, Fc , requerida para mantener al cuerpo en elecuador en movimiento circular uniforme.La magnitud del peso del cuerpo, 588.6 (Newton), es una fuerza de mayor magnitud que la fuerzacentrípeta, 2.02158 (Newton), requerida para mantener al cuerpo en movimiento circular uniformepor lo que es la causa de tal fuerza centrípeta y por tanto del movimiento circular uniforme del cuerpo.

(5) Suponga que el planeta Tierra tenga un movimiento circular uniforme en torno al Sol. Ver la figura (45).El periodo de giro, T , es:

T = 365.3563(dia)

El radio de giro promedio, RT−−S , es:

RT−−S = 149597870691(m)

La masa aproximada del planeta Tierra, mT , es:

mT = 5.9736 × 1024(Kg)

La masa aproximada del Sol, mS , es:

mS = 1.989 × 1030(Kg)

Para el supuesto movimiento circular uniforme del planeta Tierra en torno al Sol, halle:





(a) El periodo de giro, T , en segundos.(b) La velocidad angular, !.(c) La velocidad de trayectoria circular, vl, en

(

metrosegundo

)

.(d) vl en

(

Kmℎr

)

.(e) la magnitud de la aceleración centrípeta, ac .(f) La magnitud de la fuerza centrípeta, Fc , requerida para mantener al planeta Tierra en movimiento

circular uniforme en torno al Sol.(g) La magnitud de la fuerza de gravitación universal que se ejercen el planeta Tierra y el Sol, F .

F = GmS mT(

rT −S)2

G = 6.67408 × 10−11(

Newton × metro2

Kilogramo2

)

(h) Comparando la magnitud de la fuerza centrípeta con la de la fuerza de gravitación universal qu

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