primer trabajo de vibraciones

8/3/2019 Primer Trabajo de Vibraciones

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Repblica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politcnica de las Fuerzas ArmadasNacionales

(UNEFA)

Ncleo Anzotegui

Asignatura: Vibraciones Mecnicas

ECUACIONESDE LAGRANGE

Prof. Pablo Quijada Integrante:

Yetsy J, Domnguez M

C.I: 15015522

Ing. Mecnica

8vo BN


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San Tome, Noviembre de 2011.

INDICE

Introduccin.. 3

Vinculacin de las Ecuaciones de Lagrange..4

Clasificacin de vnculos..4-6

Coordenadas Generalizadas.5-6

Teorema y desplazamientos virtuales.6-8

Ecuaciones de Lagrange para sistemas Holnomos idealmente

vinculados8-9Conclusin....10

Bibliografa.11

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INTRODUCCION

Fue Lagrange (1736-1813) quien en su obra McaniqueAnalytique de 1788

desarroll la mecnica analtica, que denomin as por el uso que hace en

ella del anlisis matemtico, junto con el mtodo de multiplicadores y

tcnicas variacionales. Las leyes fundamentales de la mecnica clsica,

estn basadas en los enunciados de Newton. Existen, sin embargo, otras

formulaciones de las leyes del movimiento, equivalentes a la de Newton, y

que han sido enunciadas partiendo esencialmente de los conceptos detrabajo y energa cintica. Es el caso de las ecuaciones de Lagrange que

permiten obtener ecuaciones del movimiento de un sistema mecnico sin

que las reacciones interiores entre las distintas partes compliquen la

formulacin y sin necesidad de evaluar los vectores de aceleracin. Otro

enunciado equivalente lo constituye el llamado principio de Hamilton que

proporciona una interpretacin fsica importante de las ecuaciones de la

dinmica y cuyos mtodos sirven de introduccin a la mecnicacuntica.

La formulacin de Lagrange se basa en los principios de definicin de la

masa y de los desplazamientos virtuales, la de Newton como ya hemos visto,

se basa en los principios de definicin de la masa, de accin y reaccin y de

la inercia. La formulacin de Hamilton, en cambio, se basa en un nico

principio, llamado de Mnima accin. Lastres son equivalentes entre s, es

decir, cada una implica a la otra.

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VINCULACIN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE.

Una forma equivalente a la formulacin newtoniana de la mecnica, la

constituye la formulacin lagrangiana. La principal ventaja practica que tiene

esta formulacin del sistema y adems que no es necesario conocer el

detalle de las fuerzas de vnculos para su formulacin, siempre que ellas

satisfagan ciertos requisitos

CLASIFICACIN DE VNCULOS

Sistemas holnomos: Un sistema se dice holnomo cuando todas sus

ligaduras son geomtricas o cinemticas integrables. A su vez, existen dos

tipos de sistemas holnomos:

Sistemas holnomos esclernomos: Aquellos en las que todas sus

ligaduras son estacionarias (ligaduras independientes del tiempo).

Sistemas holnomos renomos: En los que alguna de sus ligaduras

depende explcitamente del tiempo.

Sistemas no holnomos: Un sistema es no holnomo cuando alguna

de sus ligaduras es cinemtica no integrable.Ejemplo: Clasifiquemos ahora los casos vistos hasta ahora:

Pndulo simple: La condicin que determina que la cuerda sea inextensible

es independiente del tiempo, se trata por tanto de un sistema holnomo

esclernomo.

Vnculos holonmicos. Este tipo de Vnculos permiten disminuir el nmero de

variables de las inicialmente consideradas, por constituir relacionesfuncionales que permiten hacer la eliminacin de variables redundantes.

Rara vez se procede a eliminar variables redundantes explcitamente. En

vez, razonando se decide sobre cuantas variables son necesarias y se las

elige. As, para el caso de vnculos holnomos, si el sistema tiene N

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partculas, existencia en principio N vectores posicin o 3N coordenadas por

determinar. La existencia de un cierto nmero de vnculos constantes o

funciones conocidos del tiempo, hace que sea necesario un nmero menor

de coordenadas n (n


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Esta relacin es evidente si tenemos en cuenta que cada ecuacin de

ligadura limita el movimiento del sistemaen una dimensin. Los grados de

libertad se definen por tanto como el nmero de coordenadasindependientesque caracterizan a un sistema.Las propiedades que se

deducen del uso de las coordenadas generalizadas de un sistema

holnomos.

Al imponer una serie de ligaduras se est introduciendo una serie de

restricciones en el normal movimiento de un sistema. Esto provoca que no

todos los movimientos sean posibles y que stos tengan que estar sujetos auna serie de ecuaciones. As, las ecuaciones dinmicas expresadas en

trminos de las coordenadas cartesianas dejan de ser independientes. En

este punto se hace conveniente introducir una serie de coordenadas. A estas

nuevas coordenadas se les llamar coordenadas generalizadas

TEOREMA Y DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES

Consideremos dos configuraciones del sistema infinitamente prximas

{g i, . . . , g3N} y {g i+g i, . . . , g3N+g3N}

Se denomina desplazamiento virtual al paso de una configuracin del

sistema aotra infinitamente prxima en un instante tDesignaremos porgel

vector desplazamientovirtual. Se diferencia este desplazamiento virtual

respecto de unoreal en que este ltimo se realiza en un tiempo tmientrasque el primero esinstantneo. As mismo, el desplazamiento virtual no

corresponde en generalcon el desplazamiento que sufre el sistema como

resultado de las fuerzas actuandosobre l. Un ejemplo claro de esta situacin

se da cuando el sistema estasometido a ligaduras que dependen del tiempo.

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Considerar una partcula queest situada sobre unamesa giratoria, que gira

con velocidad angular constante. Considerar un desplazamiento que

consiste en una variacin del radio. Enun desplazamiento virtual nicamente

vara la distancia al centro de la partcula.En un desplazamiento real varan tanto la distancia al centro como el

ngulorespecto de una recta fija en el plano.

Desplazamiento real es el que experimentan las partculas del sistema

debido a la variacin del o los parmetros de configuracin, ms el

desplazamiento producido por el movimiento de la o las ligaduras del sistema

mientras dura esa variacin.

Si el sistema tiene ligaduras fijas (sistema esclernomo), no hay diferencia

entre un desplazamiento real y un desplazamiento virtual. Si el sistema tiene

ligaduras mviles, los desplazamientos reales son diferentes de los virtuales ,

para tener el desplazamiento real de las partculas hay que sumar al

desplazamiento virtual de las mismas del desplazamiento provocado por el

movimiento de las ligaduras durante el intervalo de tiempo considerado.

Desplazamiento real o simplemente desplazamiento es el que experime

ntan las partculas del sistema debido a la variacin del, o los parmetr

os de configuracin, mas el desplazamiento producido porel movimiento

de la o las ligaduras del sistema, mientras dura esa

variacin.Si el sistema tiene ligaduras fijas ( sistema esclernomo), no

hay diferencia entre un desplazamiento real y un desplazamiento virtual.

Si el sistema tiene ligaduras mviles los desplazamientos reales son

diferentes de los virtuales: para tener el desplazamiento real de las

partculas hay que sumar al desplazamiento virtual de las mismas, el

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desplazamiento provocado por el movimiento de las ligaduras durante el

intervalo de tiempo considerado.

ECUACIONES DE LAGRANGE PARA SISTEMAS HOLNOMOS

IDEALMENTE VINCULADOS.Considerar un sistema dinmico en el que hay impuestas un conjunto de M

ligaduras holnomas que se pueden escribir en la forma;

Este conjunto de M ecuaciones son independientes, por lo que de las 3N

coordenadas originales tendremos que ahora nicamente 3N-M

sonindependientes.

Sea f=3N-M el nmero de grados de libertad, supongamos por simplicidad

que consideremos como independientes las 3N-Mprimeras coordenadas,puesto que las anteriores ecuaciones de ligadura son independientes,

podemos despejar las M ltimas coordenadas como funcin de las 3N-

Mprimeras coordenadas:

gj= gj(g1, . . . , g3NM, t),j= 3NM+1, . . . ,3N

Ahora bien siempre es posible emplear un conjunto de 3N-Mcoordenadas

cualesquiera q j, con tal que el jacobiano de la transformacin de las

g j qksea distinto de cero. De tal forma que:

gi= gi(q1, . . . ,q f, t) i= 1, . . . , f

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Y a partir de las ecuaciones obtenemos el resto de las coordenadas g i= g i

(q1, . . . ,q f, t) i= 3NM+1, . . . ,3N

Por lo que tenemos que resolver el problema nicamente en trminos de las f

coordenadas qique ya son independientes. El conjunto de ecuaciones y

contienen las ecuaciones de ligadura, pues si eliminamos las {qi,i=1, . . . , f=

3NM} en trminos de las g j, {j= 1, . . . ,3N} obtendremos el conjunto de M

ecuaciones de ligadura. Al conjunto de f coordenadas cualesquiera qi, que

junto con las M ecuaciones de ligadura especifica por completo la

configuracin del sistema se le denomina coordenadas generalizadas para

sistemas holnomos.

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CONCLUSION

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales

cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Las ecuaciones de

LaGrange constituyen una formulacin alternativa a la formulacin clsica

Newtonianas las cuales pueden ser introducidas de diversas formas. La

principal ventaja practica que tiene esta formulacin del sistema y adems

que no es necesario conocer el detalle de las fuerzas de vnculos para suformulacin.El nmero de coordenadas generalizadas n, es llamado el

nmero de grados de libertad del sistema.

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BIBLIOGRAFA

lvaro Hacar Gonzlez, Fabio Revuelta Pea, Israel Saeta Prez,Pablo M.

BalachandranBalakumar, Magrab Edward, Vibraciones.

Garca Corzo, Enrique MaciBarber, Mecnica lagrangiana, Teora y

prctica. Versin pdf

http://fisica.usach.cl/~lhrodrig/mecanica.pdf

Roca Vila, Len Juan, Vibraciones Mecnicas

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