UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA DESANTA ELENA 

FACULTAD DE TELECOMUNICACIONES  CARRERA DE INGENIERÍA EN ELECTRONICA Y

TELECOMUNICACIONES MATERIA: CIRCUITOS ELECTRICOS

DOCENTE: ISAAC NEWTON ZAMBRANO AGUILAR 

PRESENTADO POR:WELLINGTON BASILIO PANCHANA  

PARALELO 4/1  LA LIBERTAD – ECUADOR

2015

DEFINIR LOS SIGUIENTES PARAMETROS, REPRESENTACION, GRAFICAS, CARACTERISTICAS, ECUACIONES Y PROBLEMAS

INDUCTANCIA.

1.- INDUCTANCIA

Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud d y de sección A recorrido por una corriente de intensidad i.

En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida.

La variación del flujo magnético es producida por la variación de la corriente en el circuito. Esto lo podemos expresar como:

dtdI

dtd

Haciendo una igualdad y agregando una constante que la llamaremos L queda:

dtdIL

dtd

Aplicando la ley de Faraday para N espiras

dtdIL

dtdN

dtdN

Integrando

INL

LIN

Representa el flujo magnético a través del circuito.

Donde:

N representa el número de espiras que tenga el circuito.

I representa la corriente que circula en el circuito

La constante de proporcionalidad L es conocida con el nombre de inductancia, y representa físicamente la oposición que presenta el circuito a la variación de la corriente, es una propiedad similar a la inercia en los sistemas mecánicos, esto es, de oponerse al cambio en la cantidad de movimiento.

De la misma forma en que la resistencia R de un material es una propiedad del tipo de material y de su geometría, así como la capacitancia C de un circuito depende de la geometría , la inductancia L depende de la geometría del dispositivo del circuito

Ejemplo:

Un toroide tiene un radio mayor R y un radio menor r y se enrolla con N vueltas de alambre muy próximas entre si. Si R >>r, el campo magnético dentro de la región del toroide de área de sección transversal A =πr2 es esencialmente el de un solenoide largo que se ha doblado como un gran círculo de radio R. Demuestre que la inductancia de dicho toroide es aproximadamente:

RANL

2

20

IRNnIB

200

IR

NABAB

20

RAN

INL B

2

20

El campo magnético en el interior de un solenoide muy largo (ideal) es:

El flujo magnético en el interior del toroide, suponiendo el campo uniforme es:

2rA

BA

La inductancia del toroide será :

nIINA

INBA

INL 0

RNn

lNn

nIB

2

0

RANL

RNNAL

2

22

0

0

Observe que la inductancia depende de la geometría del toroide mas no del flujo magnético o de la corriente.

dNiB 0

dAiNNBAm

200cos

Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio m y la intensidad i.

dAN

iL m

20

Del mismo modo que la capacitancia, el coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide.

La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.

Sea un solenoide de N espiras, de longitud d, recorrido por una corriente I, cuya sección transversal es A.

Corriente autoinducida

Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una corriente en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.

Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio:

dtdi

dAN

dAiN

dtd

dtd m

20

20

dtdiL La fem autoinducida siempre actúa en el sentido

que se opone a la variación de corriente.

Circuitos RL

0 cabcab VVV

00 VdtdiLiR

tidt

iRVLdi

00 0

tLReRVi 10

Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V0/R muy rápidamente.

Circuitos RL

0 baab VV

0dtdiLiR

ti

idt

LR

idi

00

tLR

eii 0

La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente.

Energía del campo magnético

Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0· i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética.

dtdiLiRV 0 dt

diLiRiiV 20

El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado.

dtdiLi

dtdU B

221 LiUB

Esta es la energía acumulada en el campo magnético del inductor cuando la corriente es i.

Esta expresión representa la energía almacenada en el campo magnético del inductor cuando la corriente es I.

También se puede determinar la densidad de energía de un campo magnético.

Se va a considerar un solenoide cuya inductancia está dada por:

AlnL 20

El campo magnético de un solenoide está por:

nBI

nIB

0

0

nBI

nIB

0

0

Sustituyendo L e I en la expresión para la energía:

InIAnl

InIAN

INBA

IL B 00

AlBnBAlnLIU

0

22

0

20

2

221

21

Debido a que Al es el volumen del solenoide, la energía almacenada por unidad de volumen en el campo magnético que rodea al inductor es:

0

2

2B

AlUuB

Aunque esta ecuación se dedujo para el caso de un solenoide, es válida para cualquier región del espacio en la cual haya un campo magnético

Una fem autoinducida en un solenoide de inductancia L cambia en el tiempo como:

kte 0

Encuentre la carga total que pasa por el solenoide, si la carga es finita.

dtdILe kt

0 dteL

dI kt 0

dteL

I kt0dtdqe

kLI kt 0

0000 1 ktkt e

kkLdte

kLQ 0

20 eeLk

Q

LkQ 2

0

Calcule la resistencia en un circuito RL en el cual L = 2.50 H y la corriente aumenta hasta 90.0% de su valor final en 3.00 s.

LRt

eR

I 1

50.2

00.3

190.0R

eRR

10.050.200.3

R

e 10.0ln50.200.3

R

00.310.0ln50.2

R 92.1R

Un inductor de 2.00 H conduce una corriente estable de 0.500 A. Cuando el interruptor en el circuito se abre, la corriente efectivamente es cero en 10.0 ms. ¿Cuál es la fem inducida promedio en el inductor durante este tiempo?

tIL

dtdIL

tII

L f

0

sAH

010.0500.0000.2

HA

Vsx

sAH

010.0500.000.2

V100

Considere el circuito de la figura. Tomando ε = 6.00 V, L = 8.00 mH. Y R = 4.00Ω,

a) ¿Cuál es la constante de tiempo inductivo del circuito?

msmHRLa 00.2

00.400.8)

b) Calcule la corriente en el circuito 250µs después de que se cierra el interruptor.

t

eR

I 1

8mH

R

ε

3

6

1000.210250

100.400.6 eVI AI 176.0

c) ¿Cuál es el valor de la corriente en el estado estable final?

AVR

I 50.100.400.6

d) ¿Cuánto tarda la corriente en alcanzar el 80% de su valor máximo?

t

eII 1max

31000.2maxmax 180.0

t

eII31000.220.0

t

e

20.0ln1000.2 3t st 31022.3

CAPACITANCIA.

CAPACITOR Conocidos también como condensadores son

dispositivos electrónicos que permiten almacenar energía eléctrica. En un circuito pueden estar asociados en serie paralelo o mixto, tal como lo hacen las resistencias.

Capacitor cilíndrico

DISEÑO DE UN CAPACITOR

Está formado por dos conductores, denominan placas, muy cercanos entre si. Entre ellas se coloca un dieléctrico que permite aislar las placas entre si. La figura muestra un esquema de un capacitor de placas paralelas, aislado, en este caso, por aire. Existen otros dieléctricos tales como vidrio, papel humedecido con parafina etc.

d

DISEÑO DE UN CAPACITOR, LA BOTELLA DE LEYDEN

• Es un condensador cilíndrico, tiene por armaduras hojas metálicas que envuelven el recipiente de vidrio (dieléctrico) por fuera y por dentro.

• Ocupa un volumen grande y tiene relativamente poca capacidad.

Vidrio

Hojas metálicas

(llamado botella de Leyden, por la ciudad holandesa donde primero se construyó)

DISEÑO DE UN CAPACITOR

• Se pueden construir condensadores de gran capacitancia y poco volumen usando como armaduras hojas metálicas, separadas por un dieléctrico (generalmente papel parafinado), y enrollado, tal como muestra la figura.

Aluminio

Dieléctrico

SIMBOLOGÍA DE UN CAPACITOR Tal como acontece con los componentes de

un circuito, los capacitores poseen su propia representación. Esta es la que indica la figura siguiente.

FUNCIONAMIENTO DE UN CAPACITOR PROCESO DE CARGA

Se conecta el capacitor inicialmente descargado, a una batería o fuente de poder, una placa al polo negativo y la otra al positivo, respetando la polaridad del capacitor y la batería. (positivo con positivo y negativo con negativo).

Generalmente el polo negativo del capacitor es más corto ( es usual que venga señalado en el cuerpo del capacitor)

+ _

FUNCIONAMIENTO DE UN CAPACITOR PROCESO DE CARGA

En esta situación la batería extrae electrones desde una placa, la que finalmente adquiere una carga +Q , y los deposita en la otra que gana una carga –Q. El capacitor queda entonces con carga Q. Para ello se hace referencia al módulo de la carga que adquiere una de las placas. +Q -Q

La carga neta del capacitor es cero

FUNCIONAMIENTO DE UN CAPACITOR PROCESO DE CARGA

La transferencia de carga va aumentando hasta un límite en el cual la diferencia de potencial entre las placas del capacitor se iguala con la que posee la batería. Esta condición es la que limita el almacenamiento de energía (carga eléctrica) en el capacitor

+Q -Q

V (volt)

V (volt)

FUNCIONAMIENTO DE UN CAPACITOR PROCESO DE CARGA

Si se cambia la fuente de poder por otra que posea más voltaje entre sus polos, entonces el capacitor junto con acumular más energía en forma de carga eléctrica, aumenta su voltaje terminal, de tal modo que el cuociente Q/V se mantiene constante. Este cuociente se denomina capacitancia y es característico de cada capacitor:

VQC

Si Q se mide en coulomb y V en volt, entonces C se

mide en Faradios (F)

Una capacitancia igual a 1F = 1C/V es una unidad muy grande. Se acostumbra a usar submúltiplos como el microfaradio (F) = 110-6 F o picofaradio (pF) = 110-12 F

FUNCIONAMIENTO DE UN CAPACITOR PROCESO DE CARGA

Se puede demostrar usando la ley de Gauss (contenido que escapa de los objetivos de este curso) que la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es:

dAC 0

0 : permitividad del espacio libre entre las placas (aire o vacío). Esta constante se relaciona con la constante de Coulomb a través de 0 = 1/ 4K y por tanto posee un valor igual a 8,8510-12 C2/Nm2

Área entre placas

Separación entre placas

FUNCIONAMIENTO DE UN CAPACITOR PROCESO DE CARGA

• Como la longitud “L” de las placas conductoras en comparación con la distancia “d” que las separa, es muchísimo mayor, dentro del capacitor se forma un campo electrostático uniforme.

Bajo estas condiciones el campoPosee un valor que depende del

Voltaje entre las placas y la Separación entre las mismas, es decir:

dVE 0

0

E0

ENERGÍA EN UN CAPACITORCuando un condensador se descarga, se produce un flujo de cargas desde la placa negativa a la positiva hasta que se igualen las cargas y desaparezca la diferencia de potencial. El transporte de esas cargas , implica un trabajo eléctrico y por tanto la transformación de energía eléctrica. La expresión general para la energía almacenada en un capacitor es:

2VQU c

2

2VCU c

CQU c 2

2

Q : carga acumulada, C: capacitancia , V: diferencia de potencial entre las placas

De acuerdo a los datos Puede expresarse también así

TIPOS DE CAPACITORES

Existen diversos condensadores, algunos denominados polarizados, variables, pasante electrolítico, ajustable etc. En esta unidad se ha centrado el estudio en los Condensadores no polarizados. Cada tipo posee su propia simbología.

SIMBOLOGÍA PARA DIVERSOS CAPACITORES

ALGUNAS EQUIVALENCIAS La carga acumulada se mide en Coulomb (C)

y el potencial en volt (V). Luego la unidad de medida en el sistema S.I. para la capacitancia es el : C/V. Que se denomina Farad o Faradio (F). Por ser una unidad más bien grande se utiliza otras submúltiplos como :

Nano faradio: nF = 110-9 F Micro faradio: F = 110-6 F Pico faradio: pF = 110-12 F Mili faradio: mF = 110-3 F

Cuando el flujo magnético a través de un circuito varía con el tiempo debido a corrientes variables en el tiempo en circuitos cercanos, se produce una fem a través de un proceso conocido como INDUCTANCIA MUTUA.

Se llama así porque depende de la interacción de dos circuitos.

Bobina 1

Bobina 2

N2

I2

N1

I1

Vista transversal de dos bobinas adyacentes. Una corriente en la bobina 1 establece un flujo magnético, parte del cual pasa por la bobina 2.

Inductancia mutua se define como:

1

12212 I

NM

1

12212 I

NM

Bobina 1

Bobina 2

N2

I2

N1

I1

Φ12 flujo magnético causado por la corriente en la bobina 1 y que pasa a través de la bobina 2.

Si la corriente I1 varía con el tiempo, a partir de la ley de Faraday se ve que, la fem inducida por la bobina 1 en la bobina 2 es:

2

1122

222 N

IMdtdN

dtdN

dtdIM 1

122 Similarmente:

dtdIM 2

211 Donde M12 = M21

dtdIM 1

2 dtdIM 2

1

PREGUNTA

¿Se puede tener inductancia mutua sin autoinductancia?

NO, porque la inductancia mutua depende de un sistema de bobinas y que cada bobina tenga autoinductancia.

¿Qué hay acerca de la autoinductancia sin inductancia mutua?

Si puede haber autoinductancia ya que una sola bobina tiene autoinductancia pero no inductancia mutua porque no interactúa con otras bobinas.

Por lo tanto:

RESPUESTA TRANSITORIA Y NATURAL• Concepto de transitorio• Orden del circuito

1. Transitorios de primer orden• Respuesta natural• Respuesta transitoria en continua• Respuesta transitoria en alterna

2. Transitorios de segundo orden• Circuitos básicos• Respuesta natural• Respuesta ante escalón (continua)• Respuesta a onda sinusoidal (alterna)

3. Ejemplos de aplicación

V(t)

t=0

Transitorio: Evolución debida a cambios topológicos en el circuito. Transición entre un régimen permanente y otro, tras un cambio en las condiciones del estado del circuito.

Los transitorios son debidos a elementos que almacenan energía: Bobinas y condensadores.

Resistencias y

FuentesCeq

Resistencias y

FuentesLeq

Resistencias y

FuentesCeq1

Ceq2

ORDEN DEL CIRCUITO: número de elementos almacenadores de energía (Leq o Ceq) que tenga el circuito.

Circuitos de primer orden

Circuitos de segundo orden

Resistencias y

FuentesLeq1

Leq2

Resistencias y

FuentesLeq

Ceq

CVC(t)ReqResistencias

CVC(t)

Req vista desde el condensador

0(0)cv V

e( ) R ( )c q cv t i t

( )( ) c

cdv t

i t Cdt

e

( ) 1 ( ) 0R

cc

q

dv t v tdt C

/( ) tcv t A e

eR q C

0A V

Cte de tiempo

El condensador se descarga sobre la resistencia siguiendo una evolución exponencial desde el valor inicial V0 hasta 0=V∞

Para un t=τ se alcanza un 63% del ΔV=V0-V∞

/0( ) t

cv t V e

Cálculo de la constante, A:

0(0)cv V

/( ) tcv t A e

Respuesta natural

Condiciones iniciales

CVC(t)

Req

V

CircuitoActivo

CVC(t)

Thévenin visto desde el condensador

Resistencias Y Fuentes

/0( ) ( ) tX t X X X e

0(0)cv V

e e

( ) 1 1( )R R

cc

q q

dv t v t Vdt C C

/0( ) ( ) t

cv t V V V e

eR q C Cte de tiempo

( )cv V

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la tensión del condensador.

Respuesta forzada=permanente

Respuesta natural=transitorio

Respuesta forzada=permanente

Respuesta natural=transitorio

El condensador evoluciona desde su valor inicial hasta el nuevo régimen permanente siguiendo una exponencial

Para un t=τ se alcanza un 63% del salto (ΔV=V∞-V0)

Única para el circuito/ /

0( ) (1 )t tcv t V e V e

Respuesta a entrada cero

Respuesta a estado cero

CircuitoActivo

CVC(t)

Thévenin visto desde el condensador

Resistencias Y Fuentes

CVC(t)

Req

Vca(t)

/( ) 2 cos( ) tX t X t K e

0(0)cv V

e e

( ) 1 1( ) ( )R R

cc ca

q q

dv t v t V tdt C C

/( ) 2 cos( ) tcv t V t K e

eR q C Cte de tiempo

/tK e

Respuesta forzada=permanente

Respuesta natural=transitorio

Respuesta forzada=permanente

Respuesta natural=transitorio

Vc(t)

Única para el circuitoCálculo de la

constante, K:

0(0)cv V

(0) 2 coscv V K

0 2 cosK V V

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la tensión del condensador.

L

iL(t)

Geq

0(0)Li I

0A I

e( ) ( )L q Li t G v t

( )( ) LL

di tv t Ldt

e

( ) 1 0LL

q

di t idt G L

/( ) tLi t A e

eqG L Cte de tiempo

La bobina se descarga sobre la resistencia siguiendo una evolución exponencial desde el valor inicial I0 hasta 0

Para un t=τ se alcanza un 63% del ΔI=I0-I∞

Resistencias L

Geq vista desde la bobina

iL(t)

Cálculo de la constante, A:

/( ) tLi t A e

0(0)Li I

/0( ) t

Li t I e

Respuesta natural

Condiciones iniciales

CircuitoActivo

L

Norton visto desde la bobina

Resistencias Y Fuentes

iL(t)

Geq L

iL(t)

i

/0( ) ( ) tX t X X X e

0(0)Li I

e e

( ) 1 1( )Lc

q q

di t v t Idt G L G L

Cte de tiempo

/0( ) ( ) t

Li t I I I e

iL(t

)

I0

I∞

La bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el nuevo régimen permanente siguiendo una exponencial

Respuesta forzada=permanente

Respuesta natural=transitorio

Respuesta forzada=permanente

Respuesta natural=transitorio

( )Li I

Para un t=τ se alcanza un 63% del valor salto

/ /0( ) (1 )t t

li t I e I e

Respuesta a entrada cero

Respuesta a estado cero

Única para el circuito

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la intensidad de la bobina.

eqG L

( )Li t

/( ) 2 cos( ) tX t X t K e

CircuitoActivo

L

Norton visto desde la bobina

Resistencias Y Fuentes

iL(t)

0(0)Li I

.e e

( ) 1 1( ) ( )Lc LR P

q q

di t v t i tdt G L G L

/( ) 2 cos( ) tLi t I t K e

Cte de tiempo

Geq L

iL(t)

Icc(t)

Respuesta forzada=permanente

Respuesta natural=transitorio

Respuesta forzada=permanente

/tK e

Respuesta natural=transitorio

Única para el circuitoCálculo de la

constante, K:(0) 2 cosli I K

0 2 cosK I I 0(0)Li I

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la intensidad de la bobina.

eqG L

Resistencias y

FuentesC

L

00

( )(0) cL

t

dv ti I C

dt

2e

2

R( ) ( ) 1 1( ) ( )qC Cg

d v t dv t Vc t V tdt L dt LC LC

• RLC serie: circuito compuesto por una resistencia, bobina y condensador en serie.

0(0)cv V

• RLC paralelo: circuito compuesto por una resistencia, bobina y condensador en paralelo.

Req L

iL(t)

Ig(t)C

VC(t)

L CResistencias

y Fuentes

2

2e

( ) ( )1 1 1( ) ( )R

L Lg

q

d i t di t Vc t i tdt C dt LC LC

0(0)Li I 00

( )(0) LC

t

di tv V Ldt

Condiciones iniciales

VC(t)

Req

C

L

Vg(t)

iL(t)

Condiciones iniciales

Equivalante Théveninvisto desde el cjto. LC

Leq

Ceq

Equivalante Norton visto desde el cjto. LC

Leq Ceq

2 21 2 0,S S

2 202 0S S

Respuesta natural

2202

( ) ( )2 ( ) 0d X t dX t X tdt dt

1 21 2( ) S t S tX t K e K e

e

e

0

R,

2constante de amortiguamiento α 1 ,2R

1frecuencia de resonancia ,

q

q

para RLC serieL

para RLC paraleloC

para RLC serie y paraleloLC

Polinomio característico

2 21 0S 2 2

2 0S

0

1 21 2( ) S t S tX t K e K e

Respuesta Sobre amortiguada

1 2S S 0

1 2( ) ( ) tX t K t K e

Respuesta Críticamente amortiguada

1 dS j 2 dS j 0

1 2( ) os( )tdX t K e c t K

Respuesta Subamortiguada

220frecuencia natural d

Transitorios de segundo orden. Respuesta en ausencia de fuentes

2 21 0S 2 2

2 0S

0

1 21 2( ) S t S t

cV t V K e K e

Respuesta Sobreamortiguada

t

X(t)

0V

V

( )cV t

Determinación de K1 y K2:Condiciones iniciales: V0 e I0 Rég. permannete: V∞

1 21 1 2 2

( ) ( ) S t S tc cI t dV tK S e K S e

C dt

01

01 2 2

1 1/

V VKI CS S K

0 1 1 2 2/I C K S K S En forma matricial:

0 1 2V V K K

Determinación de K1 y K2:Condiciones iniciales: V0 e I0 Rég. permannete: V∞

1 1 2( ) ( )

( )t tc cI t dV tK e K t K e

C dt

01

02

0 1/1

V VKI CK

0 1 2/I C K K

En forma matricial:

0 2V V K

1 2S S

0

1 2( ) ( ) tcV t V K t K e

Respuesta Críticamente amortiguada

0V V

( )cV t

Determinación de K1 y K2:Condiciones iniciales: V0 e I0 Rég. permannete: V∞

1 2 1 2( ) ( )

( ) os( )t tc cd d d

I t dV tK e sen t K K e c t K

C dt

0

0

1 1/d

V VXI CY

0 1 2 1 2/ osdI C K senK K c K En forma matricial:

0 1 2osV V K c K

1 dS j 2 dS j

0

1 2( ) os( )tc dV t V K e c t K

Respuesta Subamortiguada

220frecuencia natural d

0V

V

( )cV t

1 2osX K c K 1 2Y K senK2 2

1K X Y

2 ( / )K arctg Y X

2 21 0S 2 2

2 0S

0

1 21 2( ) 2 cos( ) S t S t

cV t V t K e K e

Respuesta Sobreamortiguada

Determinación de K1 y K2:Condiciones iniciales: V0 e I0 Rég. permannete:

1 21 1 2 2

( ) ( )2 ( ) S t S tc cI t dV tV sen t K S e K S e

C dt

01

1 2 2 0

2 cos1 1

/ 2

V VKS S K I C V sen

0 1 1 2 2/ 2I C V sen K S K S

En forma matricial: 0 1 22 cosV V K K

2 cos( )V t

( )cV t

1 21 2

S t S tK e K e

1 1 2( )

( ) 2 ( ) ( )t tcc

dV tI t C V sen t K e K t K e

dt

01

2 0

2 cos0 11 / 2

V VKK I C V sen

0 1 2/ 2I C V sen K K

En forma matricial: 0 22 cosV V K

1 2S S

0

1 2( ) 2 cos( ) ( ) tcV t V t K t K e

Respuesta Críticamente amortiguada

( )cV t

1 2( ) tK t K e

Determinación de K1 y K2:Condiciones iniciales: V0 e I0 Rég. permannete:

2 cos( )V t

1 2 1 2( )

( ) 2 ( ) ( ) os( )t tcc d d d

dV tI t C V sen t K e sen t K K e c t K

dt

0

0

1 1 2 cos

/ 2d

V VXY I C V sen

0 1 2 1 2/ 2 osdI C V sen K senK K c K

En forma matricial: 0 1 22 cos osV V K c K

1 dS j 2 dS j

0

1 2( ) 2 cos( ) os( )tc dV t V t K e c t K

Respuesta Subamortiguada

220frecuencia natural d

1 2osX K c K 1 2Y K senK

2 21K X Y

2 ( / )K arctg Y X

1 2os( )tdK e c t K

Determinación de K1 y K2:Condiciones iniciales: V0 e I0 Rég. permannete:

2 cos( )V t

50 V

Interruptor

4

0.1 H

t = 0

R = 4 R = 2.5 R = 7.5

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

14

16

18

20

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)t 0.025 s

t 0.013 s

t 0.04 si = 50/4 = 12.5 A

L/R 0.1/4 0.025 s

i = 50/2.5 = 20 A

L/R 0.1/2.5 0.04 s

i = 50/7.5 = 6 A

L/R 0.1/7.5 0.013 s

Motor de CC

/0( ) ( ) t

Li t I I I e

Circuito de primer orden

Influencia de la resistencia:

R afecta a la cte. de tiempo y a I∞

La intensidad de la bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el régimen permanente siguiendo una exponencial

50 V

Interruptor

4

0.1 H

t = 0

L = 0.1H L = 0.2H L = 0.05H

Tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

14

L → 0

i = 50/4 = 12.5 A

L/R

Influencia de la bobina:

L afecta a la cte. de tiempo

Motor de CC

/0( ) ( ) t

Li t I I I e

Circuito de primer orden

La intensidad de la bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el régimen permanente siguiendo una exponencial

t 0.025 s

t 0.0125 s

t 0.05 s

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-6

-4

-2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Cor

rient

e de

l prim

ario

(A)

1er Orden 2º Orden

Conmutación

2

12 VInterruptor cerrado

1F

1 100

5 mH

R/2L 200

0 1/LC 14142 << 0 Subamortiguad

o

Interruptor abierto

Circuito de primer ordenCircuito de segundo orden serie

2 20 0d

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-150

-100

-50

0

50

100

150

Tiempo (s)

Tens

ión

del p

rimar

io d

el tr

ansf

orm

ador

(V)

Conmutación Régimen permanente final

Pico de tensión: chispa en la bujía

R = 2 R = 4 R = 0.5

R

12 VInterruptor C

1 100

L

Interruptor abierto: 2º orden subamortiguado R/2L 0 1/LC α<< 0

2 20 0d

Interruptor abierto: 1er orden τ=L/R

0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.0165 0.017 0.0175 0.018 0.0185 0.019

-300

-200

-100

0

100

200

300

Tiempo (s)

Tens

ión

del p

rimar

io d

el tr

afo

(V)

2 20 0d

Influencia de la resistencia:

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

4

Tiempo (s)

Tens

ión

del s

ecun

dario

del

traf

o (V

)

L = 5 mH L = 7.5mHL = 2.5mH

R

12 VInterruptor C

1 100

L

Interruptor abierto: 2º orden subamortiguado R/2L 0 1/LC α<< 0

2 20 0d

Interruptor abierto: 1er orden τ=L/R

0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.0165 0.017 0.0175 0.018

-1

-0.5

0

0.5

1

x 104

Tiempo (s)

Tens

ión

del s

ecun

dario

del

traf

o (V

)

Influencia de la bobina:

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-6

-4

-2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Cor

rient

e de

l prim

ario

(A)

L = 2.5mH R = 4 C = 0.5F

R

12 VInterruptor C

1 100

L

Interruptor abierto: 2º orden subamortiguado R/2L 0 1/LC α<< 0

2 20 0d

Interruptor abierto: 1er orden τ=L/R

Influencia de R, L y C en el transitorio de 1er orden:

WEDGRAFIAhttp://www.definicionabc.com/ciencia/inductancia.php

https://es.wikipedia.org/wiki/Capacidad_el%C3%A9ctrica