“Si quieres triunfar, no te quedes

mirando la escalera. Empieza a

subir, escalón por escalón, hasta que

llegues arriba”

Medardo Galindo

7.6 Ecuaciones con Radicales

• Resolver ecuaciones con un radical

• Resolver ecuaciones con dos radicales

• Resolver ecuaciones que contienen dos

términos radicales y uno no radical

• Resolver problemas de aplicación

mediante ecuaciones radicales

• Despejar una variable en un radicando

Ecuaciones con una Radical

• Una ecuación radical es aquella que

contiene una variable en un radicando

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑥 = 5, 𝑦 + 43 = 9, 𝑥 − 2 = 7 + 𝑥 + 8

Para resolver ecuaciones radicales

• Reescriba la ecuacion de modo que el

radical que contiene a la variable quede

solo.

• Eleve el lado de la ecuacion a una

potencia igual al indice del radical

• Combine los terminos semejantes

• Si la ecuacion aun contiene un termino

con una variable en un radicando, repetir

pasos 1 a 3

• Despeje la variable de la ecuación

resultante

• Verifique todas las soluciones en las

ecuaciones originales

Resolver

𝑥 = 7

𝑥 2

= 7 2

𝑥 = 49

• Resolver

𝑎) 𝑥 − 4 − 6 = 0

𝑏) 𝑥3

+ 9 = 7

𝑐) 2𝑥 − 3 = 𝑥 − 3

Resolver ecuaciones con dos

radicales y un no radical

• Resolver

𝑎) 5𝑥 − 1 − 3𝑥 − 2 = 1

Resolver Aplicaciones

• Ver ejemplos libro de texto

Despejar una variabale de un

radicando• Despejar n de la siguiente ecuación

𝐸 = 𝑍𝜎

𝑛

7.7 Números complejos

• Reconocer un números complejo

• Sumar y restas números complejos

• Multiplicar números complejos

• Dividir números complejos

• Determinar potencias de i

Reconocer un numero complejo

• En la seccion 7.1 se determino que los

numero negativos como , no son

números reales.

• Todo numero imaginario tiene a como

factor, el numero , llamado unidad

imaginaria, se denota con la letra i.

−4

−1

−1

• Por lo tanto

• Para cualquier numero real positivo n,

𝑖 = −1

−𝑛 = −1 𝑛 = 𝑖 𝑛

• Por lo tanto, podemos escribir

• Todo numero con la forma , en

donde a y b son números reales, es un

numero complejo

Resolver

−4 = −1 4 = 𝑖2 𝑜 2𝑖

𝑎 + 𝑏𝑖

𝑎)3 + −36 𝑏)5 − −12 𝑐)19 𝑑) −50

Sumar y Restar números

complejos• Cambie todos los números imaginarios a

la forma bi

• Sume o reste las partes reales de los

números complejos

• Sume o reste las partes imaginarias de los

números complejos

• Escriba la respuesta en a forma a + bi

Resolver

𝑆𝑢𝑚𝑒 7 + 15𝑖 + −6 − 2𝑖 + 20

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑒 5 − −27 − (−3 + −48)

Multiplicar números complejos

• Cambie todos los números imaginarios a

la forma bi

• Multiplique los números complejos como

si multiplicara polinomios

• Sustituya cada aparición de

• Sume las partes reales e imaginarias.

Escriba la respuesta de la forma a+bi

𝑖2 𝑐𝑜𝑛 − 1

Resolver

Multiplique

𝑎)5𝑖 3 − 2𝑖

𝑏) −9 −3 + 7

𝑐) 2 − −18 −2 + 5

Dividir números complejos

• Cambien todos los numeros imaginarios a

la forma bi

• Racionalice el denominador, multiplicando

el numerador y el denominador por el

conjugado del denominador

• Escriba la respuesta en la forma a + bi

Resolver

• Dividir

𝑎)6 + 𝑖

𝑖

𝑏)3 − 2𝑖

4 − 𝑖

Determinar potencias de i

podemos

determinar otras potencia de i, por

ejemplo

𝑃𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑖 = −1 𝑦 𝑑𝑒 𝑖2 = −1,

𝑖3 = 𝑖2 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝑖

𝑖4 = 𝑖2 ∙ 𝑖2 = −1 −1 = 1

𝑖5 = 𝑖4 ∙ 𝑖1 = 1 ∙ 𝑖 = 𝑖

𝑖6 = 𝑖4 ∙ 𝑖2 = 1 −1 = −1

𝑖7 = 𝑖4 ∙ 𝑖3 = 1 −𝑖 = −𝑖

𝑖8 = 𝑖4 ∙ 𝑖4 = 1 1 = 1

8.1 Ecuaciones cuadráticas

completando el cuadrado

• Usar la propiedad de la raíz cuadrada

para resolver ecuaciones.

• Entender los trinomios cuadrados

perfectos.

• Resolver ecuaciones cuadráticas

completando el cuadrado

Propiedad Raíz Cuadrada

Resolver

𝑆𝑖 𝑥2 = 𝑎, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙,

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = ± 𝑎

𝑎)𝑥2 + 5 = 80 𝑏)𝑥2 + 7 = 0 𝑐) 𝑧 + 3 2 + 28 = 0

Trinomios Cuadrado Perfectos

Ecuaciones cuadráticas

completando el cuadrado• Si es necesario, utilice la propiedad de la

multiplicación (o división) de la igualdad

para hacer que el coeficiente sea 1

• Reescriba la ecuación aislando la

constante en el lado derecho.

• Tome la mitad del coeficiente numérico

del termino de primer grado, elévela al

cuadrado y sume la cantidad resultante en

ambos lados de la ecuación.

• Reemplace el trinomio con el cuadrado de

un binomio

• Utilice la propiedad de la raíz cuadrada

para tomar la raíz cuadrada en ambos

lados de la ecuación

• Despeje la variable

• Compruebe sus soluciones en la ecuación

original

Resolver completando el

cuadrado𝑎)𝑥2 + 6𝑥 + 5 = 0

𝑏) − 𝑥2 = −3𝑥 − 18

𝑐) − 3𝑚2 + 6𝑚 + 24 = 0

8.2 Ecuaciones cuadráticas

mediante la formula cuadratica• Deducir la formula cuadrática

• Utilizar la formula cuadrática para resolver

ecuaciones

• Escribir una ecuación cuadrática dadas

sus soluciones

• Usar el discriminante para determinar el

numero de soluciones reales

• Problemas de aplicación

Formula cuadrática para

resolver problemas• Escriba la ecuación cuadrática en la forma

general , y determine los

valores de a, b y c

• Sustituya a, b y con los valores

correspondientes en la formula cuadrática,

y luego evalúe la formula para obtener la

solución

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Formula Cuadrática

• Resolver

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑎)𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0

𝑏)𝑝2 +2

5𝑝 +

1

3= 0

Escribir Ecuación Cuadrática

dadas sus soluciones• Si nos dan soluciones, podemos deducir

la ecuación correspondiente siguiendo el

procedimiento a la inversa.

Resolver

𝑎) − 4 𝑦 1 𝑏)3 + 2𝑖 𝑦 3 − 2𝑖

Usar el discriminante para

determinar soluciones• La expresión bajo el signo radical en la

formula cuadrática se denomina

discriminante

𝑏2 − 4𝑎𝑐

Soluciones de una ecuación

cuadrática𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 0:

1)𝑆𝑖 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0,

𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠

2)𝑆𝑖 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙

3)𝑆𝑖 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

Resolver por Discriminante

𝑎)2𝑥2 − 4𝑥 + 6 = 0

𝑏)𝑥2 − 5𝑥 − 8 = 0

𝑐)4𝑥2 − 12𝑥 = −9

Aplicaciones con ecuaciones

cuadráticas• Ver ejemplos del libro

8.3 Aplicaciones y resolución de

problemas• http://www.ceutec.unitec.edu/elearning/rep

ositorio/index.php?page=vfile&file_id=398

Soportar con ejemplos del libro

8.4 Planteamiento Ecuaciones

en forma cuadrática

Para resolver ecuaciones en la

forma cuadrática• Haga una sustitución que tenga como

resultado una ecuación de la forma

, en donde u es una

función de la variable original

• Despeje u en la ecuación

• Reemplace u con la función de la variable

original del paso 1 y resuelva la ecuación

• Verificar si hay soluciones extrañas

𝑎𝑢2 + 𝑏𝑢 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 0

𝑎𝑢2 + 𝑏𝑢 + 𝑐 = 0

Resolver

𝑎)𝑥4 − 5𝑥2 + 4 = 0

𝑏)𝑝4 + 2𝑝2 = 8

𝑐)4 2𝑤 + 1 2 − 16 2𝑤 + 1 + 15 = 0

Ecuaciones con exponentes

racionalesResolver

𝑎)𝑥2 5 + 𝑥1 5 − 6 = 0

𝑏)2𝑝 − 𝑝 − 10 = 0