presentacion p-valor

8/19/2019 Presentacion p-valor

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P-Valor

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8.3.4 P-Valor

Statistical InferenceGeorge Casella, R. Berger

Iván Y. Aliaga Casceres

Universidad del Bio Bio

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Definición

(Definición 8.3.26)

Un p-valor p (X) es un test estadı́stico que satisface 0 ≤

p (x) ≤ 1 para cada punto muestral x, pequeños valores de p (X) dan evidencia de que H 1 es verdadera. Un p-valor esválido si, para todo θ ∈Θ0 y para todo 0 ≤ α ≤ 1.

Pθ ( p (X) ≤ α ) ≤ α . (1)



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Si p (X) es un p-valor, es f ́acil construir una prueba de ni-vel α basado en p (X). La prueba rechaza H 0 si y sólo si p (X) ≤ α a un nivel de significación α debido a (8,3,8).Una ventaja para informar de un resultado de la prueba

a través de un p-valor es que cada experimentador puede

considerar un valor α apropiado y luego se puede compa-

rar p (X) y α y saber si estos datos llevan a la aceptación orechazo de H 0. Además, cuanto menor sea el p-valor, más

fuerte es la evidencia para rechazar H 0. Por lo tanto, un

valor de p reporta los resultados de una prueba en una es-

cala más continua, en lugar de sólo la decisión dicotómicaAceptar H 0 o Rechazar H 0. La forma más común para de-

finir un p-valor válido es dada en el teorema 8.3.27.

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(Definición 8.3.27)

Sea W (X) una estadı́stica de prueba de tal manera que los

valores grandes de W dan evidencia de que H 1 es verdade-ro. Para cada punto de la muestra x, se define.

p(x) = supθ ∈Θ0

Pθ (W (X) ≥W (x)). (2)

Entonces, p(X) es un p-valor válido.

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Prueba

Demostración.

Como θ ∈Θ0. Sea F θ (w) denota la función dedistribución acumulada de −W (X).

pθ (x) = Pθ (W (X) ≥W (x))

= Pθ (−W (X) ≤−W (x))

= F θ (−W (x))

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Nota

La variable aleatoria pθ (x) es igual a F θ (−W (X)).

La distribución de pθ (x) es estocásticamente mayor o iguala una distribución uniforme en (0, 1), es decir, para cada0≤α ≤ 1, Pθ ( p(X)≤α )≤α . Porque p(x) = sup

θ ∈Θ0

pθ (x)≥

pθ (x) para todo x.

Pθ ( p(X) ≤ α ) ≤ Pθ ( pθ (X) ≤ α ) ≤ α . (3)

Esto es cierto para cada θ ∈ Θ0 y para toda 0 ≤ α ≤ 1; p(X) es un p-valor válido.



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Ejemplos

Ejemplo 8.3.28. p-valor de dos lados normales

Sea X 1, X 2, . . . , X n una muestra aleatoria de una población

n(µ ,σ 2), se considera la prueba. H 0 : µ = µ 0 vs H 1 : µ =

µ 0

Ejemplo 8.3.29 p-valor de un lado normal

Sea X 1, X 2, . . . , X n una muestra aleatoria de una población

n(µ ,σ 2), se considera la prueba. H 0 : µ ≤ µ 0 vs H 1 : µ > µ 0

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Otra forma de definición

Sea W (X) un estadı́stico para los que valores grandes danevidencia de que H 1 es cierta, entonces para punto muestral

se define.

p(x) = P(W (X) ≥W (x)|S = S (x)) (4)

Argumentando en el teorema 8.3.27, pero tomando en

cuenta sólo la simple distribución que es la distribución

condicional de X dado S = s, se observa que, paracualquier 0 ≤ α ≤ 1.

P( p(X) ≤ α |S = s) ≤ α (5)

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Otra forma de definición

Entonces para todo θ ∈Θ0, incondicionalmente se tiene.

Pθ ( p(X) ≤ α ) = ∑s

P( p(X) ≤ α |S = s)Pθ (S = s)

≤ ∑s

α Pθ (S = s)

≤ α

Por tanto p(X) definido anteriormente en (4) (8.3.10 Case-lla) es un p-valor válido, las sumas pueden ser reemplaza-

das por integrales para S contı́nuo.

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Ejemplo

Sea S 1 y S 2 observaciones independientes con S 1 ∼ Bin(n1, p1y S 2 ∼ Bin(n2, p2), se considera la prueba, H 0 : p1 = p2versus H 0 : p1 > p2

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Para Resumir

Sobre α Sobre p

1 Es un número pequeño

preelegido al diseñar el

experimento2 Conocido α se sabe to-

do sobre la región crı́tica

1 Es conocido tras realizar

el experimento

2 Conocido p sabemos to-do sobre el resultado del

experimento.

Criterio de rechazo

Contraste significativo = p menor que α

P V l

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Referencias

George Casella, Roger L. Berger. (2002)

Statistical Inference

2nd ed , 397 – 399.

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