Comprensión de su significado

Operaciones con números

Alfaro Perete, VirginiaÁlvarez Marín, EstelaFuentes Real, LucíaGómez Ruiz, RaúlHernández Martínez, IreneRubio Martínez, María

Problemas de Suma y RestaSituación Problema V. Incógnita Operación

Cambio

C. Aumentado• Final desconocido• Cambio desconocido• Comienzo desconocido

• Adición• Sustracción• Sustracción

C. Disminuido• Final desconocido• Cambio desconocido• Comienzo desconocido

• Sustracción• Sustracción• Adición

Cálculo Combinación • Total desconocido• Parte desconocida

• Adición• Sustracción

Comparación Comparación• Diferencia desconocida• Referente conocido• Referente desconocido

• Sustracción• Adición

• Sustracción

Problemas de AdiciónProblema Diagrama Descripción

Javier tiene 7 caramelos y Carmen tiene 5. ¿Cuántos caramelos tienen los dos juntos?

Unión (Combinación)

Isabel fue al cole con 98 monedas, al llegar se encontró 33 monedas más ¿Cuántas monedas tenía Isabel cuando llegó a casa?

Adjunción (Cambio aumentado)

Sara tiene 6 lápices, Enrique tiene 2 lápices más que Sara.¿Cuántos lápices tiene Enrique?

Comparación (Comparación)

Alejandro le da 47 coches a Alberto, ahora solo tiene 32. ¿Cuántos tenía al principio?

Sustracción Complementaria(Cambio disminuido)

Esta mañana Jose perdió 3 €. Pero por la tarde tenía 4 € más que por la mañana, porque su abuela le dio la paga. ¿Cuántos € le dio su abuela?

Sustracción Vectorial

Errores1. No tiene en cuenta el número que se lleva.

37+ 25 52

2. Confunde el papel del cero. 50

+ 24 70

3. Los sumandos tienen distinto número de cifras. Sitúa de forma incorrecta los números en columnas a) o suma unidades de un determinado orden con unidades de distintos órdenes del otro sumando b).

a) 234 b) 123 + 5 + 5 _ 734 678

Resta

Para lograr una correcta comprensión es necesario:Conocimiento de la estructura del sistema de numeración decimal .Habilidad en el conteo.

Lo facilitará:El conocimiento de la sumas básicas.La tabla de sumar.El dominio del contar descendente y del doble conteo, simultáneo, ascendente y descendente.

Problemas de SustracciónProblema Diagrama DescripciónSandra compró 10 pasteles. Camino de casa se comió 4. ¿Cuántos pasteles le quedan?

Separación (Cambio disminuido)

Andrés pesa 45 Kg y su hermana Ana pesa 25, ¿cuántos Kg de más pesa Andrés que Ana?

Comparación (Combinación)

Julia tiene 12 libros. Cuatro de ellos son azules, dos son rojos, y el resto son amarillos. ¿Cuántos libros amarillos tiene Julia?

Adición Complementaria (sin sumando explicito)

Problemas de SustracciónProblema Diagrama DescripciónLucía tenía trece canicas, y su amigo Iván le regaló las suyas y ahora ella tiene veinte canicas. ¿Cuántas canicas le regaló su amigo Iván?

Adición Complementaria(Cambio desconocido)

Virginia tenía algunas pulseras. Su madre le ha comprado 5 más y ahora ella tiene 14. ¿Cuántas pulseras tenía Virginia al principio?

Adición Complementaria(C. Aumentado)

Andrea perdió 15 caramelos hoy. Al salir de su casa perdió 10. Al volver después del colegio perdió dos más. ¿Cuántos caramelos perdió Andrea por la tarde?

Sustracción Vectorial

Errores

El cero en el sustraendo. 75

- 40 30

El cero en el minuendo. 80

- 36 56

No hay el mismo número de cifras en el minuendo y en el sustraendo. Colocación incorrecta de los números en columnas a), restar unidades de un cierto orden a unidades de órdenes distintos en minuendo b) y dejar incompleta la operación c).

a) 485 - 26__ XXX

b) 675 - 4 231

c) 471 - 58 13

Autores y experimentos(Suma y resta)

La mayoría de los estudios dedicados al significado de la adición y la sustracción se centran en la destreza de los niños para resolver “problemas de enunciado”

Dentro de los problemas de adición nos encontramos con una variedad de ellos como pueden ser de los problemas de cambio, combinación y/o comparación.

Suma

Algunos autores han realizado diversos estudios para ver como los niños son capaces de resolver los diferentes tipos de problemas, las dificultades que encuentran en ellos y que problemas les resultan más fáciles.

Podemos nombrar a autores tales como Carpenter y Moser, Vergnaud, Nesher o Brown entre otros.

Tipos de Problemas

Autor Edad Tipo problema % Problemas Resueltos

Brown 11-12 años Problemas de unión 97%

Vergnaud y Durand 11-12 años Sustracción vectorial 25%

Matthews 6-8 añosProblemas de unión 70 %

Problemas de comparación 35 %

Brown

Llevo a cabo varios estudios sobre las dificultades que los niños encontraban a la hora de resolver una problema de adición.

Dicho autor proporciona un ejemplo de dos niños de 11 años que encuentran dificultades para resolver este tipo de problemas. El ejercicio con el que experimentó Brown es el siguiente:

Brown

El indicador muestra que hay 18 Km al Oeste hasta Grange y 23 Km hacía el Este hasta Barton

¿Cuantos Kilómetros hay desde Grange hasta Barton?

BARTON 23

18 GRANGE

Brown

También pidió a 58 niños de 11 y 12 años que prepararan cuentos con las sumas 9+3 y 84+28 con el fin de disponer de pruebas directas de los significados asignados a la operación de adición.

Brown encontró que alrededor de la tercera parte daban un modelo de “unión”.

CONCLUSIÓN: Con este estudio podemos ver como los niños pueden atribuir diversidad de significados a una suma.

Problemas de Restar

Al igual que para la suma, también para la sustracción se ha diferenciado y descrito una variedad de tipos de problemas de restas como son:

Los problemas de separación.Los de comparación.Los de adición complementaria.Los de sustracción vectorial.

RestaSe llevo a cabo también un estudio con niños para comprobar

que problemas les resultaban mas difíciles dentro de los tipos de problemas de sustracción.

Vernaud y Durand encontraron que:

Edad Tipo problema % Resueltos7-9 Prob. de “Quitar” 90-100 %

11 Prob. de sustracción vectorial 50 %

Resta

Un estudio realizado por Schell y Bunrs mostró que en un grupo de niños de 7 a 8 años el orden de dificultad era:

1 “Quitar” 2 “Comparar” 3 “Añadir”

Resultados de Experimentos

Carpenter y Moser vieron que la mayoría de los problemas de sustracción correspondientes a la forma “adición complementaria” eran resueltos mediante técnicas de adición,

Giba hallo que las ¾ partes de una muestra de niños de siete a ocho años resolvía problemas de adición complementaria usando alguna forma de adición .

APU constato que los 3/5 de los de 11 años recurrían a la forma de añadir mentalmente para resolver estos y otros problemas de adición similares.

Resultados de Experimentos

Brown concluyó, al proponer a niños de entre 11 y 13 años un problema del tipo “adición complementaria” con números mayores de 100, que los niños empleaban estrategias aditivas y en la mayoría de los casos los niños no alcanzaron a reconocer que el problema podía resolverse con una resta.

Por ultimo, McIntosh proporciona algunos ejemplos de historias escritas por niños para efectuar la resta 72-29.

Conclusión

• Estos ejemplos ponen de manifiesto que los niños pueden interpretar de muchas maneras expresiones como 72-29, aunque los resultados sugieren asimismo que en varios casos los niños sabían efectuar el calculo pero no supieron darle significado a la expresión.

Métodos de la Suma y la Resta

Comprensión del niño sobre el significado y estructura de las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división)

Base en fases del desarrollo Grossnickle (1959): -Significado de la operación en casos concretos -Cómputo y propiedades de las operaciones. -Comprensión de propiedades de las operaciones.

EstrategiasMATEMÁTICA GUIADA: El profesor guía a los alumnos.

Concepto matemático específico. Aporta nuevas estrategias adaptadas al individuo

MATEMÁTICA COMPARTIDA: Realización de actividades en

grupo. Los niños se comuniquen , intercambio de ideas. MATEMÁTICA INDEPENDIENTE: Alumnos trabajan

individualmente. Ritmo de trabajo, desarrollando independencia y autoconfianza.

DOS TIPOS. (dependiendo si se basan en modelo discreto o en el continuo)

OBJETOS INDIVIDUALES (m. discreto): representación de + ó - mediante dos conjuntos de objetos (cantidades discretas)

LONGITUDES CONTÍNUAS: (modelo continuo): Operación con cantidades continuas (longitudes):

USO: problemas combinación (+) o partición (-), con objetos o longitudes. También comparación.

MATERIAL: LEGO.

EstrategiasPocas investigaciones sobre la capacidad de niños de usar

estos modelos visuales para interpretar significado de + y –

Fennema (en 1972) un estudio viendo experimentos con las regletas de Cuisenaire (m. continuo), y el modelo tradicional (discreto).

Muestra resultados similares en ambos métodos.

Un algoritmo de multiplicación es un método para multiplicar dos números.

Multiplicación = suma reiterada.Necesario: aprendizaje y dominio de las tablas de multiplicar y

la propiedad conmutativa y distributiva del producto respecto de la suma, el conocimiento del sistema decimal, y saber descomponer números.

Multiplicación

Problemas de multiplicación y división

Situación Operación Tipos

Proporcionalidad Simple

Multiplicación

Contexto de Reiteración “Cada”

Contexto de Tasa “Por”

División

Como medida Cuotitiva

Como partición Partitiva

Problemas de multiplicación y división

Situación Tipo Expresión

Comparación

Aumento Veces más que

Igualación Tantas veces como

Disminución Veces menos que

Producto Cartesiano

S. de CombinatoriaDiagrama de árbol

Matrices

S. de Producto de Medidas Área

Tipos de MultiplicaciónProblema Diagrama Descripción

Juan tenía 28 lacasitos. Susana tenía 7.5 veces más. ¿Cuántos lacasitos tenía

Susana?

Factor Multiplicante (Comparación Aumento)

Hay 6 cajas y en cada una tenemos 13 caramelos. ¿Cuántos caramelos hay en

total?Razón (P. Simple,

reiteración)

En una tienda hay caramelos de 5 tamaños distintos y de cada tamaño hay 13 colores

distintos. ¿cuántos caramelos distintos puedes comprar?

Producto cartesiano (P. Cartesiano, Situación

combinatoria)

Categoría 1 (Identificativa): El algoritmo no se utiliza pero es reconocido como un método de cálculo distinto al de la suma o la resta.

Categoría 2 (Sintáctica): El algoritmo se utiliza mecánicamente como instrumento para resolver: a) Ejercicios con números de diferente tamaño que hay que multiplicar. El algoritmo aparece descontextualizado, sin relación con el concepto de multiplicación. b) Problemas aritméticos de enunciado verbal de estructura multiplicativa (situaciones de mercado,...).

Niveles de entendimiento del algoritmo

Categoría 3 (Funcional): se razona sobre el propio mecanismo del algoritmo en problemas donde se dan procedimientos heurísticos. Resolución de multiplicaciones con cifras desconocidas.

Categoría 4 (Justificativa): Problemas de justificar regularidades y propiedades acerca del algoritmo de la multiplicación. Conocimiento de los principios en los que se fundamenta el algoritmo para abordar los problemas de esta categoría.

• La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo).

• Según su resto, las divisiones se clasifican como exactas si su resto es cero (r = 0), transcriptas como a = b · c , ó inexactas (r ≠0) cuando no lo es, siendo r mayor que d (el divisor), en este caso, su transcripción sería a = b · c + r con 0 ≤ r ‹ b .

La División

PRUEBA DE LA DIVISION:Dividendo = cociente × divisor + resto

Tipos de División

Problema Diagrama Descripción

María tiene 25 ceras de colores y quiere repartirlas entre ella y sus compañeros de clase Pablo, Alicia, Alberto, Joseja y Ana. ¿Entre cuántos podrá repartir sus ceras si

regala 5 a cada uno? ¿cuántos se quedarán sin las ceras de María?

Agrupar

Lucía e Irene quieren invitar a sus amigos Virginia, Raúl, Estela y María a golosinas. Entre las dos tienen 80 céntimos. Si cada

golosina cuesta 5 cent., ¿cuántas golosinas podrá comer cada uno?

Repartir

LA DIVISION COMO RESTA REITARADA DE SUSTRAENDOS IGUALES En el caso 21 : 7 tenemos que: 21 – 7 = 14, 14 – 7 = 7, 7 – 7 = 0 (el cociente es

tres, que es el número de veces que hemos restado siete). Deberemos restar hasta que el resto sea 0 o menor que 7.

RELACION INVERSA ENTRE LA MULTIPLICACION Y LA DIVISION

De una multiplicación obtenemos dos divisiones exactas, y de una división exacta, una multiplicación y otra división del mismo tipo.

7 · 5 = 35 → { 35 : 7 = 5 35 : 5 = 7 42 : 6 = 7 → { 7 · 6 = 42 42 : 7 = 6 Para todo par de números naturales ay b b≠ 0, a : b es el único número

natural c, si existe, tal que b · c = a, es decir, a : b =c ↔ a= b · c .

La División

DIVISION CUOTITIVA Se trata de una resta sucesiva y tenemos que averiguar cuántas veces se

puede resta un nº d a otro nº D. ¿Cuántos subconjuntos podré formar?

Por ejemplo: 21 : 3 = ___ puede significar que hay un conjunto de 21 objetos con los que se quieren formar subconjuntos de 3 elementos cada uno.

Problema: Hay 24 niños jugando en casa de Pablo. En cada habitación juegan 8 niños. ¿En cuántas habitaciones hay niños jugando?

División cuotitiva y división partitiva

DIVISION PARTITIVA El reparto se realiza colocando un objeto en cada una de sus partes, a

continuación otro y así sucesivamente hasta que se agotan los elementos a repartir. ¿Cuántos objetos habrá en cada parte?

Por ejemplo: 21 : 3 = ___ también puede sugerir que tenemos un conjunto de 21 objetos que deberá ser separado en 3 partes iguales.

Problema: Lucía e Irene quieren invitar a sus amigos Virginia, Raúl, Estela y María a golosinas. Entre las dos tienen 80 céntimos. Si cada golosina cuesta 5 cent., ¿cuántas golosinas podrá comer cada uno?

División cuotitiva y división partitiva

Modelos asociados a la división y multiplicación

MODELOS LINEALES: Modelo de recuento.- Utiliza la línea numérica, tiene un soporte gráfico, el

producto n · a (“n veces a”) se modeliza formando un intervalo de longitud a unidades y contando n veces.

- Consiste en contar hacia atrás desde el dividendo, y de tanto en todo, según indique el divisor. El número de pasos dados es el cociente.

MODELOS NUMERICOS: Estos modelos son estrictamente utilizados en un contexto simbólico, y los números aparecen únicamente simbolizados. La división como una resta reiterada. La multiplicación será una suma reiterada.

0 1 2 3 4 5

MODELOS NUMERICOS: Estos modelos son estrictamente utilizados en un contexto simbólico, y los números aparecen únicamente simbolizados. La división como una resta reiterada. La multiplicación será una suma reiterada.

MODELOS CARDINALES: Sistema de matrices. La división 24 : 8 = ___ puede representarse preguntando cuántas filas hay en una matriz de 24 elementos dispuestos en 8 columnas.

Unión repetida de conjuntos normalmente con los mismos objetos.

También se utilizan diagramas de árbol y diagramas de flechas.

• MODELO DE RAZÓN ARITMÉTICA: Se da sólo en casos de multiplicación. Comparación de dos conjuntos, o dos cantidades, en términos de “cuantas veces más”.

MODELOS DE MEDIDA: Las regletas de Cuissenaire nos proporcionan un modelo adecuado del número como longitud.

La utilización de la balanza resulta también una opción muy ventajosa. La división con estos materiales consiste en establecer la equivalencia

entre una longitud o peso global (dividendo) y otro más pequeño (divisor) que hay que reiterar varias veces hasta conseguir el equilibrio. El número de veces en ambos casos se obtiene contando y nos da el cociente.

En el caso de la multiplicación: La balanza de platillos (colocar tantas veces una unidad de peso indicada en el multiplicando como nos indique el multiplicador, y en el otro platillo poner el peso que equilibre la balanza (resultado)).

: 4

12 ---------- Operador -------» 3

Estado Estado

• MODELOS FUNCIONALES: La división y la multiplicación aparecen con el carácter de función u operador. Hay un estado inicial (3), un estado operador (x4) y un estado final (12).

Nesher y Katriel: Demuestran la mayor dificultad de la multiplicación y división

Luriya: Experimentos con individuos adultos con lesiones mentales. Multiplicación División

Hart: 30 % niños de secundaria, adición reiterada en lugar de razón.

Autores y Experimentos (Multiplicación y División)

• Propone expresiones para que los niños planten enunciados de problemas.

• Resultados peores en multiplicaciones. Los atribuye a la diferencia de trabajar con esas operaciones.

• También atribuyó una palabra a cada operación y le resulto complicado atribuir una para multiplicar (tantas veces).

• Brown y Vergnaud crean una clasificación de los tipos de multiplicación.

Brown

Tipos de multiplicaciónJuan tenía 3 coches. Juana 4 veces más que él.

¿Cuántos coches tiene Juana?Factor Multiplicante (Brown)

4 niños tienen 3 coches cada uno. ¿Cuántos coches tienen en total?

Razón (Brown)Isomorfismo de medidas (Vergnaud)

Un coche se fabrica en 4 tamaños y 3 colores. ¿Cuántos coches diferentes se pueden fabricar?

Producto cartesiano (Brown)Producto de medidas (Vergnaud)

Producto cartesiano es el más difícil para los niños 46%, frente al 73% del modelo de razón.

A la hora de plantear un enunciado la mayoría de los que acertaba, lo hacía con un modelo de razón, y ninguno con producto cartesiano.

Por último Brown y McIntosh, señalan que los niños les resulta sencillo interpretar la multiplicación como una división.

Tipos de DivisiónJuan tiene 12 caramelos. Si los coloca en 4 hileras iguales,

¿Cuántos ha de poner en cada una?Repartir (Brown)

Repartir (William y Moore)

Juan tiene 12 caramelos, quiera colocarlos en hileras de 4, ¿Cuántas hileras puede hacer?

Agrupamiento (Brown)Sustracción repetida (William y Moore)

• Brown, William y Moore crean la clasificación de tipos de división.• Hill y Brown concluyen que hay poca diferencia de dificultad entre ambos

modelos • Pero Gunderson y Zweng al hacer experimentos con niños más pequeños

consideran los de agrupamiento como más sencillos.• Pero sin embargo Brown que intentó que los niños plantearan un problema

para un expresión de división comprobó que la mayoría los hacían del tipo repartir.

ESTUDIO EXPERIMENTAL

3º CICLO, 6º PRIMARIAMultiplicación

División

Tipo problema Bien resuelto Mal resuelto

Razón 100% 0%

F.Multiplicante 70’4% 29’5%

P.Cartesiano 94% 6%

Tipo problema Bien resuelto Mal resuelto

Repartir 35’3% 64’5%

Agrupar 32’5 % 68’5%

Multiplicación División

SUMA: (1º CICLO / 2º PRIMARIA)Tipo de problema Correcto Erróneo

Adición 81’82% 19’18%

Comparación 54’55% 45’45%

Sustracción complementar.

50% 50%

Unión 86’36% 13’64%

Unión (letra) 77’27% 22’73%

Sustracción vectorial 22’70% 77’30%

Suma

DIVISIÓN: 3º Y 4º PRIMARIA Tipo de problema Correcto Erróneo

Partitiva 46’6% 53’4%

Cuotitiva 42’3 % 57’7%

Resta: 2º primaria

Tipo de problema Correcto Erróneo

Separación 41’6% 58’4%

Comparación 50% 50%

Adición Complementaria

16’6% 83’4%

Sustracción Vectorial 25% 75%

DIVISIÓN

3º Y 4º PRIMARIAMultiplicación

Sustracción vectorial: suma y resta

Tipo problema Bien resuelto Mal resuelto

Razón 100% 0%

F.Multiplicante 100% 0%

P.Cartesiano 75% 25%

S. Vectorial Correcto Erróneo

Suma 91’7% 8’3%

Resta 66’6% 33’4%

Multiplicación Sustracción Vectorial