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Estimación de incertidumbre para
aforo de tanques y carrotanques
basado en ajuste por método de
mínimos cuadrados lineales
M.Sc. Carlos Andrés Macana
Ing. Liz Giraldo
Ing. Stivinson Córdoba
INTRODUCCIÓN
Tablas de aforo: conversión de los
resultados de la medición de nivel en
capacidad.
Fuente: “Transporte de agua potable Jose Miguel Cepeda”
INTRODUCCIÓN
Método de obtención de datos
intermedios: Interpolación.
INTRODUCCIÓN
Los métodos para la medición del
volumen: Geométrico, gravimétrico o
volumétrico.
Fuente: “Transporte de agua potable Jose Miguel Cepeda”
INTRODUCCIÓN
La recomendación
internacional OIML R80
de 2009 establece como
requisito metrológico el
almacenamiento de una
tabla de aforo del tanque
en cada carro cisterna.
Fuente: “Transporte de agua potable Jose Miguel Cepeda”
Fuente: “Transporte de agua potable Jose Miguel Cepeda”
INTRODUCCIÓN
Fuente: DANE - DIAN. Cálculos OEE - MCIT
Exportaciones totales de
Colombia en el año 2013
INTRODUCCIÓN
Actividad metrológica: Obtención
de Tablas de Aforo
Volumen de patrones de medición +
incertidumbre
Factores complementarios
de medición + incertidumbre
Indicación de Volumen del
instrumento + incertidumbre
Medición de Nivel +
incertidumbre
MODELO DE MEDICIÓN
La relación
Volumen/Altura en
configuraciones
horizontales, puede
modelarse por
funciones continuas
de tipo polinomial
𝑽𝒔 ≅ 𝒑 𝒉𝒊 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒉𝒊 + 𝒂𝟐𝒉𝒊𝟐 +⋯+ 𝒂𝒎𝒉𝒊
𝒎
𝑉𝑠: es el volumen estimado correspondiente a la altura ℎ𝑖.
Tomado de: [3] Xie Wei, et al. "
57
58
59
60
61
62
63
64
65
240 250 260 270 280 290 300 310
Vo
lum
en
x 1
04 (
L )
Altura (mm)
Comportamiento del volumen en tanque cisterna
Volumen experimental
[3] Xie Wei, et al. Optimization Model of Oil-Volume Marking with Tilted Oil
Tank."Open Journal of Optimization 1 (2012): 20.
AJUSTE DE CURVA POR MÉTODO DE MÍNIMOS
CUADRADOS LINEALES
Donde [𝑋]−1 es una
matriz simétrica
cuadrada, denominada
la matriz de varianza -
covarianza.
Calculo de los coeficientes y
análisis de varianza y covarianza
Desarrollo
Planteamiento del desarrollo para encontrar la pendiente
{𝑥𝑖 , 𝑦𝑖} {𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑖, 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑢𝑙𝑜 𝑖}
{ℎ𝑖, 𝑉𝑆}
𝑋 =
𝑁 𝑥
𝑥 𝑥2
𝑥2 …
𝑥3 ⋯
𝑥𝑚
𝑥𝑚+1
𝑥2 𝑥3
⋯
𝑥𝑚
⋯
𝑥𝑚+1
𝑥4 ⋯
⋯
𝑥𝑚+2⋯⋯
𝑥𝑚+2
⋯
𝑥𝑚+𝑛
ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRE
Para el caso de tablas de aforo, la
incertidumbre de la indicación (volumen
estimado) obtenida de la curva de ajuste se
obtiene aplicando la siguiente ecuación:
𝒖𝑽𝒔𝒆𝒔𝒕 = 𝒖𝒊𝒏𝒕𝒓𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍𝟐 + 𝒖𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒋𝒖𝒔𝒕𝒆
𝟐
Fuente: MetAs, Linealidad, La Guía MetAs, Año 08 # 01, 2008-enero.
Incertidumbre de los Puntos:
Desviación estándar punto por
punto de los valores estimados.
A. Incertidumbre de la curva de
ajuste
Incertidumbre de la Curva: Desviación estándar de los
errores residuales para todo el
intervalo
𝑆𝑒𝑟 = 𝑉𝑠𝑖 − 𝑝(ℎ𝑖)
2𝑁𝑖=1
𝑁 −𝑚 − 1
𝑆𝑒𝑟: Es la desviación estándar de
los residuales, para cuanto puntos
quisiera con un polinomio de grado 𝑚
𝑢𝑝 ℎ𝑖 = 𝑠𝑒𝑟[{ℎ}[𝑋]−1{ℎ}𝑇]1/2
ℎ = Vector de alturas evaluadas
{ℎ}𝑇= Matriz de alturas
[𝑋]−1= Coeficiente de sensibilidad
B. Estimación de la incertidumbre
instrumental COMPONENTE EXPRESIÓN DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD
Trazabilidad del Recipiente
Volumétrico Patrón Normal
Resolución en la lectura de
volumen Rectangular
Trazabilidad de la regla 𝑢𝑅𝑡𝑟𝑎𝑧 =𝑈𝑒𝑥𝑝
2 Normal
Resolución en la lectura de
altura 𝑢𝑅𝑟𝑒𝑠 =
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
12 Rectangular
𝑢𝑅𝑉𝑃𝑡𝑟𝑎𝑧 =𝑈𝑒𝑥𝑝2
𝑢𝑅𝑉𝑃𝑟𝑒𝑠 =𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
12
𝒖𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 = 𝜹𝑽𝒔
𝜹𝑽𝒊𝒖𝑹𝑽𝑴𝒓𝒆𝒔
𝟐
+𝜹𝑽𝒔
𝜹𝑽𝒊𝒖𝑹𝑽𝑴𝒕𝒓𝒂𝒛
𝟐
+𝜹𝑽𝒔
𝜹𝒉𝒊𝒖𝑹𝒕𝒓𝒂𝒛
𝟐
+𝜹𝑽𝒔
𝜹𝒉𝒊𝒖𝑹𝒓𝒆𝒔
𝟐
COEFICIENTES DE SENSIBILIDAD
Coeficiente de sensibilidad para
componentes Volumétricas 𝛿𝑉𝑠
𝛿𝑉𝑖= 𝑁
Coeficiente de sensibilidad para
componentes
𝛿𝑉𝑠𝛿ℎ𝑖= 𝑎1+ 𝑎2ℎ𝑖+⋯+𝑚 𝑎𝑚ℎ𝑖
𝑚−1
RESULTADOS INTERPOLACIÓN
Datos experimentales
0
10
20
30
40
50
60
70
0 100 200 300 400
Vo
lum
en
[m
3]
Altura [cm]
Curva de Ajuste
Volumenexperimental
Volumen estimado
Curva ajustada con 8 pares de datos
Fuente: [3] Xie, Wei, et al. "Optimization Model of Oil-Volume
Marking with Tilted Oil Tank."Open Journal of Optimization 1
(2012): 20
Ilustración 1. Curva de ajuste obtenida
Puntos Volumen (L) xi(cm)
1 630,242 10,000
2 6725,86 50,000
3 18488,1 100,000
4 32264,6 150,000
5 46027,5 200,000
6 57745,1 250,000
7 63764 290,000
8 64331,2 300,000
Resultados Estimación de
Incertidumbre
La gráfica permite evidenciar los sectores en donde no es
recomendable el uso de dicha tabla de acuerdo a la
incertidumbre relativa obtenida.
21,25%
11,43%
6,86%
4,58% 1,81%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
Porcentaje del volumen estimado respecto a la capacidad máxima
Incertidumbre Relativa al Punto de Medición (%)
0.5% ?
Resultados Estimación de
Incertidumbre
Áreas con comportamiento (80% al 100% de la capacidad
máxima).
57,00
58,00
59,00
60,00
61,00
62,00
63,00
64,00
65,00
66,00
230 240 250 260 270 280 290 300 310
Vo
lum
en
[m
3]
Altura [cm]
V+Uexp
V - Uexp
Volumenexperimental
Volumen estimado
Ilustración 3. Regiones de incertidumbre sobre la curva de ajuste. (80% al 100% de la
capacidad máxima)
Resultados Estimación de
Incertidumbre
Áreas con comportamiento (de 0% al 10% de la capacidad
máxima).
Ilustración 4. Regiones de incertidumbre sobre la curva de ajuste. (0% al 10% de la
capacidad máxima)
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
0 10 20 30 40 50 60 70
Vo
lum
en
[m
3]
Altura [cm]
V+Uexp
V - Uexp
Volumenexperimental
Volumen estimado
El método propuesto presenta ventajas frente a métodos de
interpolación lineal punto a punto ya que obtiene márgenes de
error residual que conllevan a minimizar la incertidumbre por
ajuste de la curva en cada punto.
Como alternativas de reducción de incertidumbre se plantea
el ajuste con un polinomio de menor grado y un aumento del
número de datos de interpolación.
La propuesta presentada se constituye en una herramienta
útil para garantizar el aseguramiento metrológico en procesos
de medición industriales de grandes volúmenes de líquidos.
CONCLUSIONES
REFERENCIAS [1] OIML RI 80-1: Metrological and technical requirements. Road and rail tank cars.
2009.
[2] Jieqiong Wu; Jian Ping Li; Man Huang; Jianming Du, "The intelligent simulation of oil
tank based on genetic algorithm," Wavelet Active Media Technology and Information
Processing (ICCWAMTIP), 2013 10th International Computer Conference on , vol., no.,
pp.320,322, 17-19 Dec. 2013.
[3] Xie, Wei, et al. "Optimization Model of Oil-Volume Marking with Tilted Oil Tank."Open
Journal of Optimization 1 (2012): 20.
[4] Xuan, Haiyan, Youming Guo, and Hongmei Wu. "Analysis of the Identification of Oil
Tank's Position and the Calibration of Tank Capacity Table." Computational Intelligence
and Design (ISCID), 2012 Fifth International Symposium on. Vol. 1. IEEE, 2012.
[5] BIPM, IEC, ILAC IFCC, IUPAP IUPAC, and OIML ISO. JCGM 200: 2012. (2008). The
international vocabulary of metrology—basic and general concepts and associated
terms (VIM). 3ra Ed. París : s.n., JCGM 200: 2012. (2008).
[6] MetAs, Linealidad, La Guía MetAs, Año 08 # 01, 2008-enero.
[7] BIPM, IEC., et al. "Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement." ISO,
Geneva (1993).
[8] Kay, Steven M., “Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory”,
Prentice Hall, 1993. ISBN: 0-13-345711-7. Capítulos 4,6 y 8.
