0682_CLOUDPYME2_1_E

Curso MaxFEM parte teórica

El proyecto CloudPYME (id: 0682_CLOUDPYME2_1_E) está cofinanciado por la Comisión Europea a través de el Fondo Europeo de Desarrollo Regional (FEDER), dentro de la tercera convocatoria de proyectos del Programa Operativo de Cooperación Transfronteriza España-Portugal 2007-2013 (POCTEP).

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¿QUÉ ES ?

Paquete de software libre para la simulación numérica de problemas de electromagnetismo en baja frecuencia.

Resolución basada en el método de elementos finitos. Adaptabilidad: el usuario puede realizar cambios tanto en la

interfaz como en los programas de cálculo. Software multiplataforma (Windows, Linux y MacOS). Abierto: el usuario puede incorporar otro tipo de problemas

gracias a la estructura modular de la interfaz. Descarga del software: http://www.usc.es/es/proxectos/maxfem/

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ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA INTEGRAL

Ley de Gauss del campo eléctrico

Ley de Gauss del campo magnético

Ley de inducción de Faraday

Ley de Ampère-Maxwell

Leyes constitutivas

Ley de Ohm

� 𝑬 · 𝑑𝑨𝑆

=𝑄𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

𝜀

� 𝑩 · 𝑑𝑨𝑆

= 0

�𝑬 · 𝑑𝒍 = −𝑑𝑑𝑑𝐿�𝑩 · 𝑑𝑨𝑆

�𝑩𝜇 · 𝑑𝒍 = 𝐼𝑆 +

𝑑𝑑𝑑𝐿�𝜀 𝑬 · 𝑑𝑨𝑆

𝑫 = 𝜀𝑬,𝑩 = 𝜇𝑯

𝑱 = 𝜎 𝑬

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ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL

Ley de Gauss del campo eléctrico

Ley de Gauss del campo magnético

Ley de inducción de Faraday

Ley de Ampère-Maxwell

Leyes constitutivas

Ley de Ohm

𝑑𝑑𝑑 𝑫 = 𝜌

𝑑𝑑𝑑 𝑩 = 0

𝜕𝑩𝜕𝑑 + 𝒓𝒓𝒓 𝑬 = 𝟎

𝜕𝑫𝜕𝑑

+ 𝑱 = 𝒓𝒓𝒓 𝑯

𝑫 = 𝜀𝑬,𝑩 = 𝜇𝑯

𝑱 = 𝜎 𝑬

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ELECTROSTÁTICA (2D/3D)

Solamente existen cargas en reposo. Ecuaciones:

Formulación utilizada:

Condiciones de contorno Dirichlet: valor de V en la frontera

Neumann: valor de 𝜀 𝜕𝑉𝜕𝑒

en la frontera 𝜀 𝜕𝑉𝜕𝒏

= −𝑫 · 𝒏 , densidad de carga superficial

𝑑𝑑𝑑 𝑫 = 𝜌

𝒓𝒓𝒓 𝑬 = 𝟎

𝑫 = 𝜀𝑬

− 𝑑𝑑𝑑 𝜀 𝜃 𝒈𝒓𝒈𝒈 𝑉 = 𝜌 ( ≡ 𝜌𝑣, 𝜎, 𝜆, 𝜌𝑃 )

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EJEMPLO 1: ELECTROSTÁTICA 2D

Condensador plano Dos placas conductoras paralelas e infinitas separadas una

distancia 𝑑. Región entre las placas formada por un dieléctrico de

permitividad 𝜀 Fuente en el dieléctrico: densidad volumétrica de carga 𝜌.

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Cálculo de la solución analítica: Resolución de la EDP

𝜀 constante, fuente volúmica 𝜌𝑣

Como las placas son infinitas en las direcciones 𝑥, 𝑧, por simetría tenemos que 𝑉(𝑥,𝑦, 𝑧) ≡ 𝑉(𝑦) y por tanto:

Ecuación a resolver: 𝜕2𝑉

𝜕𝑦2= −𝜌𝑣

𝜀

Solución general de la ecuación:

− 𝑑𝑑𝑑 𝜀 𝒈𝒓𝒈𝒈 𝑉 = −𝜀 𝑑𝑑𝑑 𝒈𝒓𝒈𝒈 𝑉 = 𝜌𝑣

𝒈𝒓𝒈𝒈 𝑉 =

0𝜕𝑉𝜕𝑦0

𝑑𝑑𝑑 𝒈𝒓𝒈𝒈 𝑉 =𝜕2𝑉𝜕𝑦2

𝑉 𝑦 = −𝜌𝑣2𝜀 𝑦

2 + 𝐶1𝑦 + 𝐶2

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Aplicación de las condiciones de contorno: 𝑉 = 𝑉0 en la placa inferior

𝑉 = 𝑉1 en la placa superior

𝑉 𝑦 = −𝜌

2𝜀 𝑦2 + 𝐶1𝑦 + 𝑉0

𝑉 𝑦 = −𝜌

2𝜀 𝑦2 +

𝑉1 − 𝑉0𝑑 +

𝜌𝑑2𝜀 𝑦 + 𝑉0

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Un único material de permitividad eléctrica 𝜀 constante. Condiciones de contorno:

𝑉 = 𝑉0,𝑉 = 𝑉1 en las fronteras horizontales.

𝜕𝑉𝜕𝒏

= 0 en las fronteras verticales (no es necesario especificarla).

Fuente: densidad de carga 𝜌. No se necesita fichero de temperatura.

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EJEMPLO 2: ELECTROSTÁTICA 3D

Condensador plano con discontinuidades en el dieléctrico. Estudiamos un condensador con una burbuja de aire esférica. Despreciamos los efectos de borde.

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Dos materiales: Dieléctrico del condensador. Aire en la burbuja.

Condiciones de contorno: 𝑉 = 𝑉0,𝑉 = 𝑉1 en las fronteras horizontales (placas).

𝜕𝑉𝜕𝒏

= 0 en el resto de fronteras.

No imponemos ninguna densidad de carga. No se necesita fichero de temperatura.

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CORRIENTE CONTINUA (2D/3D) Cargas y corrientes independientes del tiempo. Solamente

dominios conductores. Finalidad: determinar el campo eléctrico.

Ecuaciones:

Formulación utilizada:

Condiciones de contorno Dirichlet: valor de V en la frontera

Neumann: valor de σ 𝜕𝑉𝜕𝑒

en la frontera 𝜎 𝜕𝑉𝜕𝒏

= −𝑱 · 𝒏 densidad de corriente entrante en el dominio.

Neumann: valor de la intensidad 𝐼 entrante en el dominio.

𝒓𝒓𝒓 𝑬 = 𝟎, 𝑫 = 𝜀𝑬,

− 𝑑𝑑𝑑 𝜎(𝜃) 𝒈𝒓𝒈𝒈 𝑉 = 0

𝑱 = 𝜎 𝑬 𝒓𝒓𝒓 𝑯 = 𝑱

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EJEMPLO 3: DIRECT CURRENT 2D

Cuba electrolítica para la producción de aluminio.

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Varios materiales, todos ellos con conductividad eléctrica constante: Barra colectora. Bloque catódico. Pasta. Aluminio líquido. Baño electrolítico.

Condiciones de contorno: Voltaje 𝑉 = 𝑉0 en la frontera superior del baño. Densidad de corriente entrante en la barra colectora.

No es necesario proporcionar un fichero de temperaturas.

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EJEMPLO 4: DIRECT CURRENT 3D

Barra conductora de cobre atravesada por una corriente.

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Un único material con conductividad eléctrica constante. Condiciones de contorno

Potencial en la tapa trasera de la barra 𝑉 = 𝑉0. Potencial en la tapa delantera de la barra 𝑉 = 𝑉1.

No es necesario proporcionar un fichero de temperaturas.

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MAGNETOSTÁTICA (2D)

Corrientes independientes del tiempo. Determinar el campo magnético.

Ecuaciones:

Formulación utilizada:

Condiciones de contorno: Dirichlet: valor de 𝐴𝑧 en la frontera

Neumann: valor de 1𝜇𝒓𝒓𝒓 𝐴𝑧𝒆𝑧 × 𝒏 en la frontera 1

𝜇𝒓𝒓𝒓 𝑨 × 𝒏 = 𝑯 × 𝒏

𝒓𝒓𝒓 𝑯 = 𝑱 𝑑𝑑𝑑 𝑩 = 0 𝑩 = 𝜇𝑯

𝒓𝒓𝒓 1𝜇 𝒓𝒓𝒓(𝐴𝑧𝒆𝑧) · 𝒆𝑧 = 𝐽𝑧

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EJEMPLO 5: MAGNETOSTÁTICA 2D

Conductores coaxiales infinitos separados por un material magnético.

Los conductores transportan la misma intensidad en dirección opuesta.

La fuente del problema será la densidad de corriente:

𝑱 𝜌 =

𝐼𝜋 𝑎2 𝒆𝑧 0 ≤ 𝜌 < 𝑎 𝟎 𝑎 ≤ 𝜌 < 𝑏

𝐼𝜋 𝑐2 − 𝑏2 −𝒆𝑧 𝑏 ≤ 𝜌 < 𝑐

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Cálculo de la solución analítica: Resolución de la EDP

𝜇 constante, fuente volúmica 𝑱

Como los conductores son infinitos en la dirección 𝑧 y la fuente es de la forma 𝑱(𝜌,𝜃, 𝑧) ≡ 𝐽𝑧(𝜌)𝒆𝑧 , por simetría se tiene que 𝑯 𝜌,𝜃, 𝑧 ≡ 𝐻𝜃 𝜌 𝒆𝜃 y por tanto:

Ecuación a resolver:

𝒓𝒓𝒓 𝑯 = 𝑱

𝒓𝒓𝒓 𝑯 =1𝜌𝜕𝐻𝑧𝜕𝜃 −

𝜕𝐻𝜃𝜕𝑧 𝒆𝜌 +

𝜕𝐻𝜌𝜕𝑧 −

𝜕𝐻𝑧𝜕𝜌 𝒆𝜃 +

1𝜌𝜕(𝜌𝐻𝜃)𝜕𝜌

−1𝜌𝜕𝐻𝜌𝜕𝜃 𝒆𝒛

=1𝜌𝜕(𝜌𝐻𝜃)𝜕𝜌 𝒆𝑧

1𝜌𝜕(𝜌𝐻𝜃)𝜕𝜌 = 𝐽𝑧

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Solución general de la ecuación:

Aplicación de la continuidad de la solución:

𝐻𝜃 𝜌 = 𝐽𝑧𝜌2

+𝐶𝜌

𝑯 𝜌 =

𝜌𝐼2𝜋 𝑎2 𝒆𝜃 0 ≤ 𝜌 < 𝑎 𝐼

2𝜋𝜌 𝒆𝜃 𝑎 ≤ 𝜌 < 𝑏

−𝜌𝐼

2𝜋 𝑐2 − 𝑏2 +1𝜌

𝐼2𝜋 +

𝑏2𝐼2𝜋 𝑐2 − 𝑏2 𝒆𝜃 𝑏 ≤ 𝜌 < 𝑐

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Dos materiales: Un material de permeabilidad magnética constante 𝜇 (lineal). Un material con permeabilidad 𝜇0.

Condición de contorno: 𝐴𝑧 = 0. Fuente: densidad de corriente volumétrica dada a través de la

intensidad constante 𝐼.

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EJEMPLO 6: MAGNETOSTÁTICA 2D

Un contactor electromagnético “tipo-E” es un componente electromecánico que establece o interrumpe el paso de corriente en un circuito

Simularemos una versión simplificada: La parte móvil (armadura) será fija No estará presente ningún imán permanente

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Dos materiales: Vacío en la bobina. Armadura y núcleo de un material magnético no lineal (descrito por

una tabla BH).

Condición de contorno: 𝐴𝑧 = 0 en una frontera exterior suficientemente alejada del dispositivo.

Fuente: densidad de corriente uniforme 𝐽𝑧 (volumétrica). Parámetros para la resolución de la no linealidad: máximo

número de iteraciones y tolerancia.

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Ley B-H:

𝐵 = 𝜇0𝐻 +2𝐽𝑠𝜋 tan−1

𝜋 𝜇 − 𝜇02𝐽𝑠

𝐻

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TRANSIENT MAGNETICS (2D)

Baja frecuencia (despreciamos el término en desplazamiento eléctrico).

Dependencia arbitraria del tiempo para las fuentes. Fuentes:

densidad de corriente, intensidad, caída de potencial.

Conductores: stranded. No se calculan corrientes inducidas.

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Ecuaciones:

Formulación utilizada:

𝜕𝑩𝜕𝑑

+ 𝒓𝒓𝒓 𝑬 = 𝟎

𝒓𝒓𝒓 𝑯 = 𝑱

𝒓𝒓𝒓 𝑬 = 𝟎

𝑫 = 𝜀𝑬,𝑩 = 𝜇𝑯, 𝑱 = 𝜎 𝑬

𝑑𝑑𝑑 𝑩 = 0

1𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑎 Ω𝑒

𝑑𝑑𝑑� 𝜎𝐴𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑑 𝑑𝑥𝑑𝑦

Ω𝑛𝒆𝑧 + 𝒓𝒓𝒓

1𝜇 𝒓𝒓𝒓 𝑨 = −

𝑉𝑒(𝑑)𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑎(Ω𝑒)� 𝜎

Ω𝑛𝑑𝑥𝑑𝑦

𝒓𝒓𝒓1𝜇 𝒓𝒓𝒓 𝑨 =

𝐼𝑒(𝑑)𝑚𝑚𝑑𝑑𝑑𝑎(Ω𝑒) 𝒆𝑧 en Ω𝑒, 𝒓𝒓𝒓

1𝜇 𝒓𝒓𝒓 𝑨 = 𝟎 en Ω0

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Condiciones de contorno Dirichlet: valor de 𝐴𝑧 en la frontera

Neumann: valor de 1𝜇𝒓𝒓𝒓 𝐴𝑧𝒆𝑧 × 𝒏 en la frontera 1

𝜇𝒓𝒓𝒓 𝑨 × 𝒏 = 𝑯 × 𝒏

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EJEMPLO 7: TRANSIENT MAGNETICS 2D

Núcleo cilíndrico infinito compuesto de un material magnético, rodeado de un conductor infinitamente fino en el que existe una corriente superficial.

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Ley B-H:

𝐵 = 𝜇0𝐻 +2𝐽𝑠𝜋 tan−1

𝜋 𝜇 − 𝜇02𝐽𝑠

𝐻

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Dos materiales: Aire rodeando al dispositivo. Material magnéticamente no lineal y conductor en el núcleo.

Condición de contorno: 𝐴𝑧 = 0 en la frontera exterior del dominio.

Fuente superficial: caída de potencial (conductores acoplados) ∆𝑉 = 𝑉𝑒1 − 𝑉𝑒2.

Intervalo de tiempo. Parámetros para la resolución de la no linealidad: máximo

número de iteraciones y tolerancia.

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EDDY CURRENTS

Baja frecuencia (despreciamos el término en desplazamiento eléctrico).

Régimen armónico: los campos se escriben en la forma 𝓕 𝒙, 𝑑 = 𝑅𝑚 𝔽 𝒙 𝑚𝑖𝑖𝑖 , con 𝔽: ℝ3 ⟶ ℂ3

Problemas: 2D plano, 2D axisimétrico, 3D

Ecuaciones:

𝑑𝜔𝑩 + 𝒓𝒓𝒓 𝑬 = 𝟎

𝑑𝑑𝑑 𝑩 = 0

𝒓𝒓𝒓 𝑯 = 𝑱

𝑫 = 𝜀𝑬, 𝑱 = 𝜎 𝑬 𝑩 = 𝜇𝑯,

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EFECTO PIEL

Tendencia de la corriente alterna a concentrarse en la zona cercana a la superficie exterior del conductor que la transporta.

Suponemos una solución de tipo onda plana de las ecuaciones de Maxwell en régimen armónico que penetra en un dominio conductor. Entonces la constante de atenuación de la onda es:

Por tanto, la profundidad de la piel es:

𝛼 = 𝜔 𝜇𝜀

21 +

𝜎𝜀𝜔

2− 1

12�

≈𝜔𝜇𝜎

2

𝛿 =2

𝜔𝜇𝜎

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Fuentes: densidad de corriente, intensidad, caída de potencial. Conductores: stranded, solid Formulación:

Condiciones de contorno Dirichlet: valor de 𝐴𝑧 en la frontera

Neumann: valor de 1𝜇𝒓𝒓𝒓 𝐴𝑧𝒆𝑧 × 𝒏 en la frontera 1

𝜇𝒓𝒓𝒓 𝑨 × 𝒏 = 𝑯 × 𝒏

𝑑𝜔𝜎𝐴𝑧 + 𝑟𝑟𝑑 1𝜇𝑟𝑟𝑑(𝐴𝑧) = −𝜎𝑉𝑒,

𝑑𝜔� 𝜎𝐴𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝐼𝑒 = −𝑉𝑒 � 𝜎 𝑑𝑥 𝑑𝑦Ω𝑛Ω𝑛

,

𝑟𝑟𝑑1𝜇 𝑟𝑟𝑑(𝐴𝑧𝒆𝑧) · 𝒆𝑧 = 𝐽𝑧 .

EDDY CURRENTS 2D PLANO

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EJEMPLO 8: EDDY CURRENTS 2D

Un conductor infinito rodeado por un material dieléctrico.

La fuente del problema será la intensidad de corriente total, 𝐼(𝑑) = 𝐼0cos (𝜔𝑑) , que circula por el conductor.

Solución analítica: donde ℐ1denota la primera función de Bessel modificada de orden 1.

ℍ 𝜌, 𝑑 =

𝐼02𝜋𝑎

ℐ1 𝜌 𝑑𝜔𝜇𝜎ℐ1 𝑎 𝑑𝜔𝜇𝜎

𝒆𝜃 0 ≤ 𝜌 < 𝑎

𝐼02𝜋𝜌 𝒆𝜃 𝑎 ≤ 𝜌 < 𝑏

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Cálculo de la solución analítica: Resolución de la EDP

𝜇 y 𝜎 constantes en cada dominio 𝑑𝜔𝜇𝑯 + 𝒓𝒓𝒓 𝑬 = 𝟎 𝒓𝒓𝒓 𝑯 = 𝑱 = σ𝑬 en el conductor, 𝒓𝒓𝒓 𝑯 = 𝟎 en el dieléctrico

Como los dominios son infinitos en la dirección 𝑧 y la fuente es de la forma 𝑱(𝜌,𝜃, 𝑧) ≡ 𝐽𝑧(𝜌)𝒆𝑧, por simetría se tiene que 𝑯 𝜌, 𝜃, 𝑧, 𝑑 ≡𝐻𝜃 𝜌, 𝑑 𝒆𝜃 y por tanto:

𝑑𝜔𝜇𝑯 + 𝒓𝒓𝒓1𝜎𝒓𝒓𝒓 𝑯 = 𝟎 en el conductor,

𝒓𝒓𝒓 𝑯 = 𝟎 en el dieléctrico

𝑑𝜔𝜇𝐻𝜃 −𝜕𝜕𝜌

1𝜎𝜌

𝜕𝜕𝜌 𝜌𝐻𝜃 = 0 si 0 ≤ 𝜌 < 𝑎,

1𝜌𝜕𝜕𝜌

𝜌𝐻𝜃 = 0 si 𝑎 ≤ 𝜌 < 𝑏

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Haciendo el cambio de variable 𝛾 = 𝜌 𝑑𝜔𝜇𝜎, en el conductor cuya solución general es:

En el dieléctrico:

Aplicación de la continuidad de la solución y las condiciones:

𝛾2𝜕2

𝜕𝛾2 𝐻𝜃 𝛾 + 𝛾𝜕𝜕𝛾

𝐻𝜃 𝛾 − (𝛾2 + 1)𝐻𝜃 𝛾 = 0 si 0 ≤ 𝛾 < 𝑑𝜔𝜇𝜎𝑎

𝐻𝜃 𝛾 = 𝐶1ℐ1 𝜌 𝑑𝜔𝜇𝜎 + 𝐶2𝒦1 𝜌 𝑑𝜔𝜇𝜎

𝐻𝜃 𝜌 =𝐶3𝜌 +𝐶4

𝐻𝜃 0 < ∞,𝐻𝜃 𝑎 =𝐼02𝜋𝑎

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Dos materiales: Un material de permeabilidad magnética 𝜇 y conductividad 𝜎

constantes (conductor). Un material de permeabilidad 𝜇0 y conductividad nula (dieléctrico).

Condición de contorno: 𝐴𝑧 = 0 en la frontera exterior. Fuente: intensidad 𝐼. Dato del problema: frecuencia de trabajo 𝜔.

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Fuentes: densidad de corriente, intensidad, caída de potencial. Conductores: stranded, solid Formulación:

Condiciones de contorno Dirichlet: valor de 𝐴𝜃 en la frontera

Neumann: valor de 1𝜇𝒓𝒓𝒓 𝐴𝜃𝒆𝜃 × 𝒏 en la frontera 1

𝜇𝒓𝒓𝒓 𝑨 × 𝒏 = 𝑯 × 𝒏

EDDY CURRENTS 2D AXISIMÉTRICO

𝑑𝜔𝜎𝐴𝜃 + 𝑟𝑟𝑑 1𝜇𝑟𝑟𝑑(𝐴𝜃) = − 𝜎𝑉𝑛

2𝜋𝜌,

𝑑𝜔� 𝜎𝐴𝜃 𝑑𝜌 𝑑𝑧 + 𝐼𝑒 = −𝑉𝑒2𝜋�

𝜎𝜌

𝑑𝜌 𝑑𝑧Ω𝑛Ω𝑛

,

𝑟𝑟𝑑1𝜇 𝑟𝑟𝑑(𝐴𝜃𝒆𝜃) · 𝒆𝜃 = 𝐽𝜃 .

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EJEMPLO 9: EDDY CURRENTS AXISIMÉTRICO

El ejemplo está basado en un horno de inducción usado en la industria metalúrgica para purificar metales.

Componentes principales: Bobina conectada a una fuente de potencia (armónica) Crisol hecho de un material conductor Material a fundir

Cuando la carga del horno se funde la fuerza de Lorentz tiende a mover el metal. En función del movimiento inducido las impurezas se acumularán en diferentes zonas del metal cuando éste se enfríe.

Con MaxFEM solamente se simula la parte electromagnética del proceso.

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Tres materiales: Aire en las bobinas. Material conductor en el crisol. Material conductor en el metal.

Condiciones de contorno: 𝐴𝜃 = 0 en una frontera exterior suficientemente alejada del

dispositivo. 𝐴𝜃 = 0 en el eje de simetría.

Fuente: intensidad 𝐼 (solid conductor) en las bobinas, caída de potencial (solid conductor) nula en el crisol y el metal.

Dato del problema: frecuencia de trabajo 𝜔.

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Las fuentes se imponen como una condición de contorno. Solamente fuentes de intensidad (solid conductor).

Formulación:

Condiciones de contorno

Frontera del dieléctrico: deben indicarse, por separado, las componentes conexas de la frontera del dieléctrico

EDDY CURRENTS 3D

𝑑𝜔𝜇𝑯 + 𝒓𝒓𝒓 𝑬 = 𝟎 en Ω𝑒𝑐𝑒𝑒𝑐𝑒𝑖𝑐𝑒 ∪ Ω𝑒𝑖𝑒𝑑𝑑𝑒𝑖𝑒𝑖𝑒𝑐

𝑑𝑑𝑑 𝜇𝑯 = 0 en Ω𝑒𝑐𝑒𝑒𝑐𝑒𝑖𝑐𝑒 ∪ Ω𝑒𝑖𝑒𝑑𝑑𝑒𝑖𝑒𝑖𝑒𝑐

𝒓𝒓𝒓 𝑯 = 𝜎 𝑬 en Ω𝑒𝑐𝑒𝑒𝑐𝑒𝑖𝑐𝑒

𝒓𝒓𝒓 𝑯 = 𝟎 en Ω𝑒𝑖𝑒𝑑𝑑𝑒𝑖𝑒𝑖𝑒𝑐

� 𝒓𝒓𝒓 𝑯 · 𝒏 = 𝐼𝑒Γ𝐽

𝑛

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EJEMPLO 10: EDDY CURRENTS 3D

Inducción en una barra conductora por una espira elíptica.

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Dos mallas: Malla del dominio dieléctrico. Malla de todo el dominio.

Tres materiales: Aire que rodea el dispositivo. Conductor en el que se induce corriente. Material conductor en la bobina.

Condiciones de contorno: Frontera del dieléctrico. Dos condiciones puesto que tenemos dos

componentes conexas. Intensidad en uno de los extremos de la bobina.

Frecuencia de trabajo.

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