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PRESENTACIÓN DEL TEXTO DE MORITZ WILHELM DROBISCH “LOGIK-MATHEMATISCHER ANHANG”, APÉNDICE DE SU LIBRO NEUE DARSTELLUNG DER LOGIK (1836) Mario H. OTERO, Universidad de la República, Montevideo mhotero@adinet.com.uy 1. Alonzo Church, distinguido lógico y filósofo norteamericano nacido en Argentina, publicó en 1936 una extensa bibliografía de la entonces llamada lógica simbólica, especialmente clarificadora del período de transición hacia la de nuestros días. Entre Lebiniz y Boole figuran en dicha bibliografía una docena y media de autores, de los cuales nos hemos encargado en diversas oportunidades de difundir textos. Ahora vamos a presentar sucintamente la traducción castellana de un texto de Moritz Wilhelm Drobisch, el apéndice de su libro Neue Darstellung der Logik. 2. Drobisch (1802-1896) fue profesor de matemáticas (1826-1868) y de filosofía (desde 1842) en la Universidad de Leipzig y rector de la misma. En 1876 fue nombrado ciudadano ilustre de dicha ciudad. Aparte de su libro de lógica, publicó un conjunto muy amplio y variado de artículos, entre otros sobre la construcción geométrica de los números imaginarios, sobre el problema florentino, sobre la teoría de los tonos musicales, sobre sensaciones puras y temperatura de los tonos, sobre el libro quinto de las cónicas de Apolonio, sobre álgebra, sobre el espacio de tres dimensiones, sobre probabilidades. 3. El caso de Drobisch es de particular interés: publicó en 1836, en Leipzig, su Neue Darstellung der Logik nach ihren einfachsten Verhälnissen, nebst einem logischmathematischen Anhange, con tres sucesivas ediciones más en 1851, 1863 y 1875, con algunos cambios en el título. Lógico de ascendencia herbartiana, Drobisch, en su “Apéndice lógico-matemático “ (1836, p. 125-168), que resulta la parte más importante del libro, demuestra conocer algunos antecedentes importantes para su modo de encarar la lógica, entre los cuales figuran Ploucquet, Lambert, Semler, Bernoulli, Gergonne, Twesten, Hauber y, desde luego Herbart. 4. Dicho apéndice está subdividido en cinco partes: “Sobre la teoría de la demostración”, “Construcción algebraica de las formas del juicio más simples y deducción de las conclusiones basadas en dicha construcción”, “Sobre la teoría de las cadenas de conclusiones”, “Acerca de la teoría de las divisiones y clasificaciones” y “Acerca de la teoría de las demostraciones”. Esta última se apoya en la demostración prolija, para la época, de un teorema de geometría concerniente a los paralelogramos, y trata además sucesivamente: 1) la tesis de Hauber sobre la reversibilidad de los juicios universales afirmativos, 2) la demostración matemática de n a n + 1, y 3) la teoría de la analogía. 5. En la primera parte del Apéndice Drobisch utiliza visiblemente la teoría combinatoria, que tenía una acentuada tradición en la matemática

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alemana del momento, especialmente en la Escuela de K. F. Hindenburg, también de Leipzig. La segunda parte enfoca la representación de los juicios simples como relaciones de extensión y utiliza procedimientos algebraicos usuales. Es de señalar que la nota aclaratoria agregada alude a los cálculos de Lambert y de Ploucquet, de base no extensional, y remite a un significativo texto de Gergonne, de su Dialectique rationelle: “On ne doit jamais perdre de vue que le comble de la perfection des méthodes est de nous mettre en mains les moyens de parvenir mécaniquement et sans le secours d’aucun sorte de raisonnement, au but que nous nous proposons d’atteindre” (p. 213). Hay que recordar cómo Castillon, en un cálculo de base no extensional, que era el corriente, hacía participar en él elementos externos al mismo (Otero, 1997). En cambio, Drobisch tiene bien claras tanto la exigencia referida como la conveniencia del uso básico de la extensión. Aunque su punto de partida es nuevamente el silogismo, en sus planteos lo excede en mucho, especialmente por la generalidad de su método: procede a partir de problemas y de sus ejemplificaciones para llegar a propuestas de alcance general. Resulta especialmente interesante su estudio -en la tercera parte del apéndice- de las cadenas de conclusiones de n premisas. Por ejemplo, enuncia la siguiente propiedad: “una cadena con conclusión universal negativa siempre tiene entre sus premisas no más y no menos de una negativa, las restantes son universales afirmativas” (p. 144). Y así presenta, con demostración, un conjunto de propiedades de las cadenas de conclusiones (ejemplos en Drobisch, 1836, p. 145 y 151). En cuanto a la división de conceptos -cuarta parte- “se puede hacer uso, para la designación de estas operaciones lógicas, de los signos de sus aritméticas análogas” (p. 151). En este tema también introduce “algunas reflexiones combinatorias” y muestra cómo “… si un concepto tiene m divisiones secundarias, entonces se pueden ordenar de m (m-1) … 2.1 maneras distintas” (p. 154-155). 6. Aun fuera del texto del “Apéndice lógico-matemático”, en el libro mismo hay elementos de interés que hay que considerar, por ejemplo en cuanto a las técnicas lógico-diagramáticas: En lo que se refiere a la inferencia de los modos de la conclusión por la consideración de los círculos, puede remitirse -además de a las “Cartas de Euler a una princesa de Alemania” sobre distintos temas de física y de filosofía, segunda parte, p. 90 y siguientes, de las que ha pasado a varios libros recientes de lógica-, a un ensayo de Gergonne “escrito con elegancia francesa” y probablemente desconocido en su mayor parte por los lógicos alemanes, titulado Essai de dialectique rationelle, en sus Annales de Mathematiques. Lambert infiere de otro modo las conclusiones por su designación característica (Organon, primera parte, p. 132). En el Apéndice II se encuentra tratado el tema de una manera muy simple, mediante la construcción simbólica del cálculo lógico (Drobisch, 1836). 7. No es desdeñable la difusión que efectúa el libro de obras anteriores. Ya señalamos las de Ploucquet, Lambert, Semler, Bernoulli, Gergonne, Twesten, Hauber y Herbart.

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Esto desmiente la frecuentemente afirmada discontinuidad en el período de transición. Lo que resulta además confirmado por las referencias de Boole (Grattan-Guinness 1997, p. 133, 188) a Drobisch y a otros. 8. La fuerte influencia que Drobisch recibe de Gergonne, por más que no refleje detalladamente los algoritmos usados por éste, unida al hecho de la difusión de las varias ediciones que tuviera la obra a lo largo del siglo, hace plausible pensar nuevamente, a través de este caso, que los aportes a una nueva lógica, aun desde el marco del silogismo, pero sin limitarse a los esquemas tradicionales, no estuvieron nada aislados como parece surgir casi invariablemente de la historiografía del período. Drobisch no sólo describe sino que asume resultados de sus predecesores, cosa que en general no ha sido reconocida. Y eso hacen también otros lógicos modernos anteriores al siglo veinte, contrariamente a lo que dice la mayor parte de la historiografía recibida. Este hecho resulta especialmente interesante, central, más allá de la sola presentación del texto de Drobisch1. ---------------------------------------------------------------------------------------- BIBLIOGRAFÍA Church, Alonzo. “A bibliography of symbolic logic”. Journal of Symbolic Logic, v.1, 1936. Dauben, Joseph W. “Mathematics in Germany and France in the early 19th century: Transmission and transformation”. Jahnke, H. H. & Otte, M. (eds.) Epistemological and Social Problems of the Sciences. in the Early Nineteenth Century, Reidel, Dordrecht, 1981. Drobisch, Moritz Wilhelm. Neue Darstellung der Logik nach ihren einfachsten Verhälnissen, nebst einem logischmathematischen Anhange. Voss, Leipzig, 1836 . Ferreirós, José. «The road to modern logic – an interpretation”. The Bulletin o Symbolis Logic, v.7, 2001. Gallica-Math: Répertoire Bibliographique des Sciences Mathématiques : M. W. Drobisch Grattan-Guinness, Ivor & Bornet, Gérard (eds,) George Boolw; selected manuscripts on logic and its philosophy. Birkhäuser, Basel, 1997. Legris, Javier. “Risto Vikkko, A hundred years of logical investigations (1781-1879)”, Bulletin of Symbolic Logic, v.10, 2004. Mehrtens, Herbert. “Mathematicians in Germany circa 1800”. Jahnke, H. H. & Otte, M. (eds.) Epistemological and Social Problems of the Sciences. in the Early Nineteenth Century, Reidel, Dordrecht, 1981. Otero, Mario H. J.D.Gergonne: Histoire et philosophie des sciences, Université de Nantes, (Sciences et techniques en perspective), Nantes, 1997. Otero, Mario H. “Sobre la lógica en el siglo XIX y su reconstrucción historiográfica”. Villacañas, José Luis (ed.). La filosofía del siglo XIX. Consejo Superior de Investigaciones Científicas-Trotta, Madrid, 2001.

(1) Llegó a nuestras manos, una vez escrito lo anterior, el libro de Vilkko (2002) que contiene algunos detalles interesantes sobre el Apéndice en sus páginas 44-46 y 153. .

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Pulkkinen, Jarmo. Thought and logic: the debates between German-speaking philosophers and symbolic logicias at the turn of the 20th century. Peter Lang, Frankfurt am Main, 2005. Schubring, Gert. “The conception of pure mathematics as an instrument in the professionalization of mathematics”. Mehrtens et al. (eds.) Social history of nineteenth mathematics. Birkhauser, Boston, 1981. Schubring, Gert (2005) Conflicts between generalization, rigor, and intuition. Springer, New York. Vilkko, Risto. A hundred years of logical iInvestigation; reform efforts of logic in Germany (1781-1869) Mentis, Paderborn, 2002 Woodward, William R. & Reinhardt,Pester (1994) Romantic Naturphilosophie to a theory of scientific method in the medical disciplines. In Poggi, Stefano & Bossi, Maurizio, Romanticism in science; science in Europe, 1790-1840, Kluwer, Dordrecht. -------------------------------------------------------------------------------------------------- MORITZ WILHELM DROBISCH, APÉNDICE LÓGICO-MATEMÁTICO2 de su obra

NUEVA EXPOSICION DE LA LOGICA SEGÚN SUS RELACIONES MAS SIMPLES.

TEXTO 127 1. SOBRE LA TEORÍA DE LA SUBORDINACIÓN DE LOS CONCEPTOS

1. Problema. Determinar el número /Anzahl/ de conceptos a los que puede estar

subordinado un concepto compuesto de m características. Solución. Puesto que, según §16°, el orden de las características no debe ser

alterado arbitrariamente, entonces es 1) el número de conceptos inmediatamente superiores = m porque cada

característica puede dejarse fuera del concepto dado una tras otra. 2) El numeral /Zahl/ de los conceptos superiores de segundo orden es tan grande como las distintas formas en que dos características pueden ser eliminadas del concepto, por tanto = m(m-1)

1 · 2 . 3) De igual manera se encuentra el número de conceptos superiores de tercer

grado; su cifra es igual a las distintas formas en que tres características se abstraen del concepto dado, esto es = m(m-1) (m-2) .

1 · 2 · 3 Si se continúa de este modo, se encuentra así 4) en general el número para

los conceptos superiores de orden enésimo, donde es n ≤ m, m(m-1) (m-2) ... (m-n+1) . El número total resulta, por tanto, de sumar estos numerales 1 . 2 . 3 ... n hasta que n = m = m + m(m-1) + ... + m(m-1) ... (m-n + 1) + ... + m + 1 1 . 1 . 2 1 . 2 ...... n 1 = 2m – 1 2 Traducción de Begoña Gutiérrez revisada por Laura Moes. Revisión reciente de María Laura Martínes y Leda Sánchez Bettucci. .

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----------- 128 Ejemplo. Si el concepto dado es designado mediante αβγδ y tiene, por tanto, cuatro características, entonces es m = 4 y por consiguiente 2m – 1 = 15. De hecho se encuentran los siguientes conceptos superiores: del primer orden: αβγ, αβδ, αγδ, βγδ, del segundo orden: αβ, αγ, αδ, βγ, βδ, γδ del tercer orden: α, β, γ, δ del cuarto orden: el concepto algo.

2. Problema. Determinar el número de series posibles de conceptos

subordinados unos a otros que se encuentran entre un concepto dado de m características y cualquiera de estas características.

Solución. 1) El número de transiciones posibles del concepto dado a la clase de los conceptos inmediatamente superiores es manifiestamente = m. 2) El número de transiciones de cada uno de los conceptos de esta clase, que ahora poseen tan sólo m-1 características, a la clase de los conceptos superiores del segundo orden es, asimismo, = m-1; por tanto, el número de transiciones posibles del concepto dado a los conceptos superiores del segundo orden es = m(m-1). 3) Cada concepto de este orden tiene aún m-2 características, por ende hay también m-2 transiciones de un concepto dado tal a la clase de los conceptos superiores de tercer orden y m(m-1) (m-2) transiciones a los mismos a partir del concepto dado. 4) En general se encuentra que, si continuamos de este modo, el número de transiciones del concepto dado hasta la clase de los conceptos superiores de enésimo orden, donde n ≤ m, es

= m(m-1) (m-2) ... (m-n + 1).

Supongamos ahora que es n = m-1, entonces el número que resulta de las transiciones del concepto dado hasta una de sus características es, por tanto,

= m(m-1) (m-2) ... 3.2. Si se supone n = m, entonces no cambia este número que equivale entonces al número de series que hay entre el concepto dado y el concepto de algo.

El mismo resultado se obtiene si se investíga el número de transiciones que son posibles al descender de los conceptos superiores al concepto dado.

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Ejemplo. El concepto dado tiene nuevamente las cuatro características α, β, γδ Designaremos ahora la posición de cada concepto en su orden mediante 1, 2, 3, 4, 5, 6, pero por el orden de precedencia en el que escribimos estas cifras /Ziffern/, esto es, el orden al cual pertenecen los conceptos que les corresponden (de tal manera que, por ejemplo, 1111 significa la serie de conceptos αβγδ, αβγ, αβ, α), y dejemos fuera, para abreviar, al propio concepto que es común a todas las series de conceptos (de tal modo que ahora, por ejemplo, 123 significa la serie αβγ, αγ, γ), entonces si se sigue la regla de abstraer siempre las características designadas mediante las últimas letras, resultan las 24 series de conceptos que siguen:

111 211 321 442 112 212 323 443 121 231 331 452 123 234 334 454 142 252 363 463 143 254 364 464 Por el contrario, si se forman estas series por determinación y para ello se sigue la regla de determinar primeramente a aquél concepto mediante la característica que se designa por las primeras letras, y se advierte que el orden de precedencia de las cifras tiene ahora el significado contrario (a saber, en la primera posición se encuentran los conceptos más elevados, y en la última los conceptos inmediatamente

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superiores con respecto al concepto dado), entonces resulta la siguiente agrupación cuya igualdad con la agrupación anterior puede reconocerse fácilmente:

111 211 321 432 112 212 323 433 121 241 341 452 123 244 344 454 132 252 363 463 133 254 364 464

3. En (2) se mostró que el número de series que son posibles entre el concepto dado y la clase de los conceptos superiores de orden enésimo es

= m(m-1) (m-2) ... (m-n + 1)

La siguiente verificación es distinta de ésta.

…..130

Problema. Encontrar el número de series posibles entre el concepto dado y un determinado concepto superior de orden enésimo.

Solución. Todo concepto de orden n tiene m-n características, cuando el concepto dado está compuesto de m características. Para llegar a él, deben ser abstraídos de aquél, por tanto, n características. Esto puede ocurrir de tantos modos como distintas formas en que estas n características se pueden invertir; la cifra buscada de las series posibles es, por tanto,

= n (n-1) (n-2) ... 2.1.

Ejemplo. Se pregunta por las distintas maneras en que se puede llegar del concepto αβγδ a su característica simple �.

Ya que aquí n = 3 la solución resultante es

n(n-1) ... 2.1

De hecho se construye la inversión de las tres características restantes � �� que son las seis siguientes:

βγδ, βδγ, γβδ, γδβ, δβγ, δγβ.

En este orden séxtuple se pueden extraer gradualmente estas tres características a partir de αβγδ. De ahí que sean posibles las 6 siguientes transiciones ���� a ��

αγδ, αδ; αβγ, αδ; αβγ, αγ;

αγδ, αγ; αβδ, αβ; αβγ, αβ.

4. Problema. Encontrar (por cierto, bajo la misma presuposición que en el problema anterior) el número de transiciones de conceptos de un orden cualquiera respecto del concepto inmediato superior, así como la suma del total de las transiciones de cada orden respecto del inmediato superior.

Solución. 1) En el orden n se hallan

m(m-1) ..... (m-n + 1)

1. 2 ..... n

conceptos para m-n características. Por tanto, la cifra de las transiciones para orden (n + 1) esimo

= m (m-1) ..... (m-n + 1) (m – n) ·

1. 2 ..... n

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2) Supongamos ahora sucesivamente n = 1, 2, 3, ... m-1, y agreguemos además al

----------- primer orden las transiciones m del concepto dado; así resulta la suma deseada

131 = m + m (m-1) + m(m-1) (m-2) + ... + m(m-1) . 2 + m · 1 1 1 . 2 1 . 2 1.

= m . 2m-1

Ejemplo. Del concepto αβγδ hay 4 transiciones hacia los conceptos inmediatamente superiores, a saber, hacia αβγ, αβδ, αγδ, βγδ.

De cada uno de estos conceptos hay 3 transiciones hacia los conceptos inmediatamente superiores de segundo orden (por ejemplo, de αβγ a αβ, αγ, βγ); por lo tanto, juntos equivalen a 4.3 = 12 transiciones. De cada uno de los 6 conceptos de segundo orden αβ, αγ, αδ, βγ, βδ, γδ hay de nuevo dos transiciones hacia los cuatro conceptos α, β, γ, δ del tercer orden, por tanto, en total 6.2 = 12. Finalmente de estas cuatro transiciones de tercer orden, hacia el “algo”; por ende, en total 4 + 12 + 12 + 4 = 32 = 4·23, de acuerdo con la solución de arriba.

Nota aclaratoria. Las series de conceptos, cuyo número ha sido calculado en los problemas anteriores, poseen muchos conceptos comunes unos con otros. Pero debido a que en un concepto de m características siempre están presentes m series con conceptos completamente distintos, es claro que ninguno de los órdenes superiores contiene menos de m conceptos. Si se construyen las series provenientes de un concepto, mientras se escriben simétricamente los órdenes separados unos de otros, entonces se muestra que realmente forman una especie de tejido.

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II. CONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE LAS FORMAS DEL JUICIO MÁS SIMPLES Y DEDUCCIÓN DE LAS CONCLUSIONES EN BASE A ELLO

1. En completa conformidad con la expresión lingüística y en concordancia con ----------- la construcción esquemática indicada en §44°.

132 se pueden representar los juicios simples, como relaciones de extensión, también simbólicamente, por igualdades y desigualdades algebraicas. Si A y B significan las extensiones del sujeto y del predicado, a y b partes de estas extensiones y, por último, X la extensión de un concepto desconocido restante, el cual se piensa, sin embargo, mayor que A + B, entonces las siguientes fórmulas representan las formas posibles del juicio según la cualidad y la cantidad:

1) A = b el juicio universal afirmativo

2) A = B lo mismo, si el predicado corresponde exclusivamente

al sujeto (por tanto, el juicio es recíproco).

3) a = b el juicio particular afirmativo

4) a = B lo mismo, siempre que tenga origen analítico.

5) A < X – b el juicio universal negativo.

6) A = c < C < X – B, donde c significa la parte de la extensión C de

un tercer concepto, lo mismo siempre que tenga origen sintético.

7) a < X – B el juicio particular negativo.

8) a < A – B lo mismo, siempre que tenga origen analítico

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Como fórmulas principales, que representan las cuatro clases principales del juicio universal y particular, afirmativo y negativo, se pueden, por tanto, considerar la primera, tercera, quinta y séptima de las fórmulas de arriba. Si se coloca B en lugar de b en las que están debajo de ellas que contienen b, entonces resultan las restantes, distintas de ellas.

2. Expliquemos primeramente estas fórmulas mediante algunas observaciones. Expresar los juicios afirmativos mediante ecuaciones parece ser lo más conveniente para indicar que, en cierto modo, ellos representan siempre una identidad del sujeto y del predicado, como se aprecia más claramente en la inversión. Si se les quiere considerar (siguiendo a Lambert) tan sólo como subsunción del sujeto bajo el predicado (lo que es mucho más apropiado para los analíticos que para los sintéticos) mientras las relaciones

----------- de unificación y acuerdo son indicadas falsamente de ese modo, entonces se

133 pueden construir también con el signo <, con excepción de 2), sin que cambie nada esencial en las conclusiones así extraídas. X puede ser pensada en los juicios negativos incluso como ilimitada. De allí se infiere la carencia de limitación, que resulta para el sujeto cuando se oculta la negación mediante limitación en una forma afirmativa (§ 42°) y que se ha dado a los juicios limitados el nombre de ilimitados. Esta indeterminación es notablemente menor para los juicios negativos. Hay que tener presente además, que fuera de las igualdades y desigualdades aquí expuestas, todas las demás que se quieran formar, no pueden expresar en forma determinada ninguna forma del juicio. Esto se explica porque en el círculo al que nos hemos limitado, toda forma lógica del juicio ha encontrado su fórmula, pero puede ser demostrada aún en cualquier momento, particularmente en los casos aislados. La fórmula a< X – b, por ejemplo, podría ser tomada por un juicio negativo particular; pero esta fórmula no expresa adecuadamente tal juicio; es más bien ambigua, y podría ser inferida del modo más breve de § 79°, 2. Una expresión igualmente imperfecta sería por el mismo motivo, A < X – b.

3. La siguiente clasificación de estas fórmulas es ahora la derivación de las reglas de inversión en § 55° y 56°. De hecho sólo necesitamos colocar a los juicios y a sus inversiones unos frente a otros, para alcanzar seguridad respecto a la concordancia de ambos. Con omisión del número 6 que, en lo que concierne a su forma, no es distinto de 5, encontramos:

de A = b, la inversión b = A de A = B, la inversión B = A de a = b, la inversión b = a de a = B, la inversión B = a de A < X – B, la inversión B < X – A de a < X – B, la inversión B < X – a de a < A – B, la inversión B < A – a ……134

Las dos últimas inversiones son claramente expresiones incompletas de juicios y, por ende, ambiguas. Pueden ser consideradas negaciones en tanto que de A se extraiga algo, que sea más reducido que ella; pueden expresar afirmaciones, en parte según § 79°, 2, y en parte porque A-a no significa otra cosa que una parte de la extensión y, por tanto, debe poder encontrarse claramente una a’, que satisfaga la igualdad b = a’. De este modo se repite aquí la seguridad de la concordancia de la inversión del juicio particular negativo.

4. Mediante un mecanismo de cálculo sumamente simple se puede probar ahora, cuáles de las conexiones de las premisas introducidas en el cuadro del § 71° pueden conducir a conclusiones.

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Para incrementar la claridad demostremos primeramente, de nuevo mediante el cálculo, los 19 modos de la conclusión que tienen validez. Las letras con apóstrofe tienen significado similar a las homónimas sin él. Las proposiciones limitantes /Hülssätze/ necesarias se escriben en paréntesis.

I, 1) M = p 5) M < X - P

(Barbara) S = m (<M, = p’) (Celarent) S = m (<M) S = p’ (ωο p’ < p) S < X – P

DONDE

3) M = p 7) M < X - P (Darii) s = m (< M, = p’) (Ferio) s =m(<M)

s = p’ (p’ < p) s < X - P

II, 18) P = m 20) P = m

(Camestres) S < X–M( X – M <X-m ) (Baroco) s < X – M (wie in 18) S < X – P <x-P s < X - P

21) P < X – M 23) P < X - M (Cesare) S = m (<M < X – P) (Festino) s = m (wie in 21) S < X – P s < X – P III, 33) M = p 37) M < X - P (Darapti) M = s (Felapton) M = s s = p s < X – P 41) m = p 45) m < X – P (Disamis) M = s (Bocardo) M = s (wie in 41) s’ = p s’ < X – p 35) M= p 39) M < X – P (Datisi) m = s (Ferison) m = s ( m < M) s = p’ s < X - P

IV, 49) P = m 50) P = m (Bamalip) M = s (Calemes) M < X – S (m < M) (P = s’) (P < X – S) s’ = p S < X – P

57 p = m 53) P < X – M (M < X – P)

(Dimatis) M = s (Fesapo) M = s (p = s’) s < X - P s’ = p

55) P < X – M (M < X – P)

(Fresison) m = s (m < M)

s< X – P.

5. Sería una prolijidad inútil mostrar con igual detenimiento que los supuestos restantes no dan conclusiones. Antes bien, será perfectamente suficiente dar las demostraciones a las clasificaciones expuestas en el § 79°, como expresa allí el cálculo

(m < s) = s’

(m < p) = p’

(m < s) = s’

(m < s) = s’

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la imposibilidad de la conclusión. Como primer ejemplo utilicemos el número 9 de la exposición:

m = p

¿Es ahora m ≥ m’? Si m > m’, entonces también es

S = m’

p > m’, por tanto, se encuentra una p’ la cual es = m’; la conclusión sería entonces, por consiguiente, S = p’. Si m < m’, esto es S > m, entonces se encuentra una s = m, por tanto entonces s = p. Finalmente m = m’ daría evidentemente S = p. La indeterminación de las relaciones m y m’ da también, por tanto, una oscilación en el resultado. Como ejemplo de la segunda clase escogemos el número 26. Aquí es:

p = m

S < X – M (<X – m < X – p)

S < X – p, una expresión indeterminada

……136

Como ejemplo de la tercera clase tomemos el número 40, donde M < X – P igualmente en 54) P < X – M (M < X – P)

m < X’– S (m < M) M < X’ – S X’ – S < X – P, sin decisión X’ – S < X – P, incierto

Finalmente como ejemplo de la cuarta clase el número 63, donde

p < X – M (M < X – p (es una expresión indeterminada)

m = s (m < M) s < X – p, indeterminado.

Nota aclaratoria. La presente exposición parece más simple y las relaciones lógicas más apropiadas que las de Ploucquet (Colección de escritos referentes al cálculo lógico de Ploucquet, editados por Bök, Frankfurt y Leipzing, 1766) y que las de Lambert (véanse sus ensayos lógicos y filosóficos /logische und philosophische Abhandlungen/, editados por F. Bernoulli, Berlín, 1782, parte I, pág. 93; véase también su Programa del cálculo lógico /Programm de calculo lógico/, Lips, 1827, p. 14); el último se acerca muy poco a la expresión lingüística, mientras que el primero incluye demasiada arbitrariedad. Gergonne afirma en el ensayo mencionado en el § 76° (p. 213): On ne doit jamais perdre de vue que le comble de la perfection des méthodes est de nous mettre en mains les moyens de parvenir mécaniquement et sans le secours d’aucune sorte de raisonnement, au but que nous proposons d’atteindre. Respecto a la deducción de las conclusiones parece alcanzada esta meta en lo anteriormente expuesto.

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III. SOBRE LA TEORÍA DE LAS CADENAS DE CONCLUSIONES

1. En los §§ 81 a 84 han sido explicadas las figuras y modos de cuya conexión resultan cadenas de conclusión bimembres.

Ahora las introducimos además en cadenas individuales. Se hallan:

….137

in 1: 1) MaP ( I. ) 2) MaP ( I. ) 3) MeP ( I. )

<

> >

11

NaM (Barb.) NaM (Barb.) NaM (Celar) NaP ( I. ) NaP ( I. ) NeP ( I. ) SaN (Barb ) SiN (Darii) SaN (Celar) SaP SiP SeP

4) MeP ( I ) NaM (Celar) NeP ( I ) SiN (Ferio) SoP. in 2: 5) MaP ( I. ) 6) MaP ( I. ) 7) MaP ( I. ) NaM ( Barb.) NaM (Barb.) NiM (Darii) NaP ( III. ) NaP ( III. ) NiP ( III. ) NaS (Darap) NiS ( Dati ) NaS (Disam) SiP SiP SiP 8) MeP ( I. ) 9) MeP ( I. ) 10) MeP ( I. ) NaM (Celar) NaM (Celar) NiM (Ferio) NeP ( III .) NeP ( III. ) NoP (III.) NaS (Felap) NiS (Feris.) NaS (Bocar.) SoP SoP SoP in 3:11) PaM ( II. ) 12) PaM ( II. ) 13) PeM ( II. ) NeM (Cames.) NeM (Cames.) NaM (Cesa.) NeP ( I. ) NeP ( I. ) NeP ( I. ) SaN (Celar. ) SiN ( Ferio ) SaN (Celar.) SeP SoP SeP 14) PeM ( II. ) NaM (Cesa.) NeP ( I ) SiN (Ferio) SoP in 4:15) PaM ( II. ) 16) PaM ( II. ) 17) PaM ( II. ) NeM (Cames.) NeM (Cames.) NoM (Baroc.) NeP ( III. ) NeP ( III. ) NoP ( III. ) NaS ( Felap. ) NiS ( Feris. ) NaS (Bocar.) SoP SoP SoP 18) PeM ( II. ) 19) PeM ( II. ) 20) PeM ( II. ) NaM (Cesa.) NaM (Cesa.) NiM (Festi.) NeP ( III. ) NeP ( III. ) NoP ( III. ) NaS (Felap.) NiS Feris.) NaS (Bocar.) SoP SoP SoP in 5)21) MaP ( III. ) 22) MaP ( III. ) 23) MeP ( III. ) MaN (Darap.) MiN (Datis.) MaN (Felap.) NiP ( III. ) NiP ( III. ) NoP ( III. ) NaS (Disam) NaS (Disam.) NaS (Bocar.) SiP SiP SoP 24) MeP ( III. ) 25) MiP ( III. ) 26) MoP ( III. ) MiN (Feris.) MaN (Disam.) MaN (Bocar.) NoP ( III. ) NiP ( III. ) NoP ( III. ) NaS (Bocar.) NaS (Disam.) NaS (Bocar.) SoP SiP SoP

12

in 6: 27)PaM ( IV. ) 28) PaM ( IV. ) MeN (Calem.) MeN (Calem.) NeP ( I. ) NeP ( I. ) SaN (Celar. ) SiN ( Feris. ) SeP SoP in 7: 29)PaM ( IV. ) 30) PaM ( IV. ) 31) PaM ( IV. ) MaN (Bamal.) MeN (Calem.) MeN (Calem.) NiP ( III. ) NeP ( III. ) NeP ( III. ) NaS (Disam.) NaS ( Felap. ) NiS ( Ferio ) SiP SoP SoP 32) PeM ( IV. ) 33) PeM ( IV. ) 34) PiM ( IV. ) MaN (Fesap.) MiN ( Fresi.) MaN (Dimat.) NoP ( III. ) NoP ( III. ) NiP ( III. ) NaS (Bocar. ) NaS (Bocar.) NaS (Disam.) SoP SoP SiP

2. Twesten quiere considerar (Lógica /Logik/, pág. 133) a las cadenas de conclusiones como figuras de la conclusión ampliadas, y por tanto, las subordina a las cuatro figuras de la conclusión según las cuatro posiciones posibles que puede tener el concepto mayor y subalterno en la primera premisa mayor y en la última subalterna, de

…..139

tal manera que deben ser formadas, por así decir, cuatro figuras de las cadenas de conclusión, a saber:

I) MP II) PM III) MP IV) PM SN SN NS NS

en las cuales S y P poseen de hecho las mismas posiciones que en las cuatro figuras comunes a la conclusión. Twesten quiere decir que se puede encontrar fácilmente una cadena correspondiente de la conclusión mediante proposiciones intermedias generalmente afirmativas, ordenadas adecuadamente, no sólo para cada figura simple de la conclusión, sino incluso para cada modo de las mismas. Pero podemos mostrar sin dificultad, al contrario de lo que antecede, que esto no sucede de ningún modo normalmente; uno puede limitarse entonces a proposiciones generales afirmativas o escoger cualquier otra. Subordinemos los 34 números del artículo anterior a las cuatro posiciones del concepto; de este modo caen bajo I, : 1 a 4; bajo II, : 11 a 14, 27 y 28; bajo III, : 5 a 10, y 21 a 26; bajo IV, : 15 a 20, y 29 a 34.

Ahora indiquemos la cantidad y cualidad de la primera premisa superior, de la segunda premisa subalterna y de la conclusión como de costumbre; de este modo encontramos en I,: aaa, 2, aii, 3, eae, 4, eio; de hecho corresponden a los modos: Barbara, Darii, Celarent, Ferio de la primera figura.

En II, para 11 y 27 se encuentra aae; para 12 y 28, aio a cuya sucesión de vocales no le corresponde ningún modo de la segunda figura; para 13 eae = Cesare; para 14, eio = Festino.

Esta segunda colocación contiene, por tanto, más que la segunda figura, pero al mismo tiempo menos; pues faltan miembros que correspondan a Camestres y a Baroco.

En III, 5, 7, 21 y 22 dan aai correspondientes a Darapti; 6, aii = Datisi; 8, 10, 23 y 24, eao = Felapton; 9, eio = Ferison; 25, iai = Disamis; finalmente 26, oao = Bocardo. Aquí se encuentran, por tanto, nuevamente todos los modos de la tercera figura.

13

Por último en IV, 15, 17 y 30 dan aao, a lo que no corresponde ningún modo; 16 y 13, aio, también sin analogía en la cuarta figura; 18, 20, 32 y 33, eao = Fesapo; 29, aai = Bamalip;

------140 finalmente 34, iai = Dimatis. No obstante faltan Calemes y Fresison*)3

Según esto, en esta subordinación, en tanto que ella no justifica ninguna analogía rigurosa, no puede ponerse ningún valor, y no puede darse ningún significado especial al total de la opinión que considera a las conclusiones-cadenas como aplicaciones directas de las conclusiones simples.

3. Podemos realizar investigaciones sobre la construcción de cadenas de conclusión más amplias e independientes del mayor o menor número de miembros, si discutimos, con ayuda de las proposiciones 5 a 8, en el § 77°, la cuestión: ¿Qué conexión del modo de la conclusión puede, en una cadena de n miembros, preceder A) a una conclusión final universalmente afirmativa, B) a una universalmente negativa, C) a una particularmente afirmativa, D) a una particularmente negativa? Con esto tendemos a evitar detallismos inútiles de nuestra teoría de tres figuras de la conclusión y doce modos de ellas mismas como base y queremos repetirlos aquí una vez más juntos para tener un cuadro de conjunto cómodo:

I. Barbara, Darii, Celarent, Ferio. II. Camestres, Baroco, Cesare, Festino. III. Darapti, Disamis, Felapton, Bocardo.

4. Si la conclusión final es A) universal afirmativa, entonces sólo puede ser alcanzada por Barbara; la conclusión mayor es, por tanto, nuevamente a, sólo puede ser por ende, otra vez inferida de Barbara, etc.; la cadena completa sólo puede contener,

-------141

por tanto, Barbara. Por ende, si designamos nuevamente al sujeto y al predicado de la conclusión por S y P, los n conceptos intermedios por M1, M2, M3, .... Mn, entonces resulta el siguiente esquema, si concentramos la cadena de conclusión en la conclusión de las cadenas.

M1 a P n. Barbara

M2 a M1 o, si solo reunimos cualidad y cantidad

M3 a M2 de premisas y conclusión

.

. a (conclusión mayor)

.

Mn a Mn-1 (n-1) a (conclusiones medias)

S a Mn a (conclusión subalterna)

S a P a (conclusión final)

5. Si la conclusión final es B) universal negativa, entonces sólo puede ser extraída en primer lugar por Celarent, Camestres o Cesare. Si, por tanto, la conclusión final está,

3 Twesten menciona expresamente (p. 136) las dos analogías no existentes para Camestres y Calemes, al dar para ello los siguientes ejemplos: toda p es a toda p es a toda a es e (Camestr.) toda a es e (Calem.) ninguna s es e ninguna e es s Pero evidentemente las dos primeras premisas de estos ejemplos dan, según Bamalip, una premisa superior particular a la segunda premisa subalterna general negativa; pero a partir de estas premisas ninguna conclusión es posible.

14

en primer lugar en Celarent, entonces también puede darse cada conclusión en este modo. Esto muestra el esquema:

M1 e P n. Celarent M2 a M1 M3 a M2 . . e . . (n - 1) a Mn a Mn-1 a S a Mn e S e P Pero si la primera conclusión anterior también puede estar en Camestres, mientras que las conclusiones restantes siguen en Celarent. Entones resulta:

P a M1 1. Camestres + (n-1) Celarent M2 e M1 M3 a M2 . . a . . e Mn a Mn-1 (n-2) a S a Mn a S e P e

Asimismo, para la primera conclusión anterior puede valer Cesare y para las conclusiones siguientes Celarent:

----------- 142 P e M1 1. Cesare + (n-1) Celarent M2 a M1 M3 a M2 e . . . . (n – 1) a Mn a Mn-1 a S a Mn e S e P

En segundo lugar, para extraer la conclusión posterior en Camestres, la penúltima (según lo afirmado en el artículo anterior) deberá realizarse en Barbara; por consiguiente también cada una de las conclusiones anteriores. Unicamente estos modos son los que no se siguen unos a otros. Aquellas n – 1 conclusiones en Barbara darían, a saber, la conclusión final Mn a P, en la cual el concepto mayor es el predicado. Pero Camestres requiere que el concepto mayor sea sujeto. Por ejemplo, si se quiere aplicar la inversión (la que además está prohibida, ya que nos ocupamos sólo de conclusiones mediatas), entonces incluso la conclusión mayor de la conclusión posterior sería inaplicable a una particular, por tanto, por esta razón a Camestres.

En tercer lugar, la cadena tampoco puede terminar con Cesare puesto que la colocación de los conceptos en la conclusión mayor, de este modo, no se puede continuar ni en la conclusión final en Celarent ni en Camestres ni en el mismo Cesare.

Las tres formas precedentes son, por consiguiente, las únicas cadenas posibles que dan una conclusión universal negativa. De ellas se infiere de una cadena de conclusiones final universal negativa siempre tiene entre sus premisas no más y no menos de una sola negativa, las restantes son universales afirmativas.

15

6. Si la conclusión final C) es particular afirmativa, entonces puede ser obtenida de Darii, Darapti y Disamis.

Si, en primer lugar, estuviera en Darii, entonces deberán precederla n – 1 conclusiones en Barbara, en forma tal que la cadena sería como sigue:

-----------

143

M1 a P (n-1) Barbara + 1. Darii M2 a M1 M3 a M2 a . . . (n-1) a Mn a Mn-1 i S i Mn i S i P

Si en Segundo lugar, estuviera en Darapti, entonces de igual modo debe siempre concluirse antes de Barbara, de tal modo que:

M1 a P (n-1) Barbara + 1. Darapti M2 a M1 M3 a M2 a . . (n-1) a Mn a Mn-1 a Mn a S i S i P

Si, en tercer lugar, la cadena concluye en Disamis, entones:

α) pueden también estar formadas las conclusiones precedentes según Disamis, de manera que:

M1 i P n. Disamis M1 a M2 M2 a M3 i . . (n-1) a . Mn-1 a Mn a Mn a S i S i P β) Las últimas n-1 conclusiones posteriores pueden llevarse a cabo en Disamis, la primera conclusión anterior en Darii, de donde:

M1 a P 1. Darii + (n – 1) Disamis M2 I M1 M2 a M3 a M3 a Mn i . (n-2) a . . Mn-1 a Mn a Mn a S i S i P

-----------

144 γ) Las últimas n-1 conclusiones posteriores están en Disamis, la primera conclusión anterior en Darapti, de donde:

16

M1 a P 1. Darapti + (n-1) Disamis M1 a M2 a M2 a M3 (n-1) a . . . a Mn-1 a Mn i Mn a S S i P

δ De β ), en conexión con el primer esquema de este artículo se infiere además la validez de las conexiones de los siguientes modos, cuya última conclusión final es siempre Disamis:

1. Barb. + 1. Darii + (n-2) Disam. 2. Barb. + 1. Darii + (n-3) Disam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (n-3) Barb. + 1. Darii + 2 . Disam. (n-3) Barb. + 1. Darii + 1. Disam.

La naturaleza de las premisas es aquí como sigue:

a , a , .... a , a a 2a .... (n-3)a (n-2)a i i .... i i (n-3) a (n-4)a .... a a a .... a a i

ε) ) También de γ se sigue, en conexión con el segundo esquema de este artículo:

1. Barb. + 1. Darap. + (n-2) Disam. 2. Barb. + 1. Darap. + (n-3) Disam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(n-3) Barb. + 1. Darap. + 2 Disam. (n-2) Barb. + 1. Darap. + 1 Disam.

para los que todas las premisas son como sigue:

-----------

145

a (n-1) a a i Por tanto, en todos los casos sólo puede haber a lo sumo una premisa particular afirmativa, si la conclusión final ha de ser particularmente afirmativa, pero dicha premisa puede ocupa cualquier lugar en la cadena. Sin embargo, una conclusión final particular afirmativa puede ser obtenida a partir de premisas en todos los casos universalmente afirmativos.

7) Si la conclusión final D) es particular negativa, entonces puede ser obtenida en Ferio, Baroco, Festino, Felapton o Bocardo.

En primer lugar, si es en Ferio, entonces Celarent puede estar precedida (n-1) veces, de modo que:

M1 e P (n-1) Celarent + 1. Ferio M2 a M1 M3 a M2 e

17

. . . (n-1)a Mn a Mn-1 i S i Mn o S o P

Si se conecta esto con el segundo esquema en el artículo 5, entonces resulta:

1. Camest. + (n - 2) Celar. + 1. Ferio a e (n – 2) a i o

Si se conecta con el tercer esquema del mismo artículo, entonces tenemos: 1. Cesare + (n – 2) Celar. + 1. Ferio e (n – 1) a i o -----------

146 En segundo lugar, si la conclusión final es, si ello es posible, en Baroco, entonces Barbara parece poder preceder, pero la colocación del concepto no permite ninguna conexión con Barbara, al igual que para Camestres en el artículo 5. Lo mismo vale, en tercer lugar, en lo que respecta al intento de formar la conclusión final en Festino.

Apliquémosla, por tanto, en cuarto lugar, a Felapton, entonces se sigue, como en Ferio,

M1 e P (n-1) Celarent + 1. Felapton M2 a M1 e M3 a M2 (n-1)a . . . Mn a Mn-1 a S a Mn o S o P y de aquí

1. Camest. + (n – 2) Celar + 1. Felap. a e (n – 2) a a o y 1. Cesare + (n – 2) Celar. + 1. Felap. e (n – 1)a a o Si, por último, la conclusión final es, en quinto lugar, en Bocardo, entonces puede ser: α También concluirse en los miembros anteriores en Bocardo, de tal manera que: M1 o P n. Bocardo M1 a M2 o

18

M2 a M3 (n – 1) a . . . . a Mn-1 a Mn o S o P ----------- β) A Bocardo puede antecederlo Ferio: M1 e P 1. Ferio + (n – 1) Bocardo M2 i M1 e M2 a M3 i M3 a M4 (n –2)a . . . a Mn-1 a Mn o Mn a S S o P

γ) De la misma manera Baroco:

P a M1 1. Baroco + (n – 1) Bocardo M2 o M1 a M2 a M3 o M3 a M4 (n – 2) a . . a . Mn-1a Mn o Mn a S S o P δ) Igualmente Festino:

P e M1 1. Festino + (n – 1) Bocardo M2 i M1 e M2 a M3 i M3 a M4 (n – 2) a . . . a . Mn-1a Mn o Mn a S S o P ε) Asimismo también Felapton: M1 e P 1. Felapton + (n – 1) Bocardo M1 a M2 e M2 a M3 (n – 1) a . . . a Mn-1 a Mn o Mn a S S o P -----------

147 ζ) De β ) en unión con el primer esquema de este séptimo artículo:

19

1. Celar. + 1. Ferio + (n – 2) Bocar. 2. Celar. + 1. Ferio + (n – 3) Bocar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(n – 3) Celar. + 1. Ferio + 2. Bocar. (n – 2) Celar. + 1. Ferio + 1. Bocar. e , e , ...... e , e a 2a ...... (n – 3)a (n – 2)a i i .…. i i (n – 3) a (n – 4) a ….. a a a a ..... a a o η) De β, en unión con el segundo esquema de este artículo: 1. Cames. + 1 . Celar. + 1. Ferio + (n – 3) Bocar. 1. Cames. + 2 . Celar. + 1. Ferio + (n – 4) Bocar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Cames. + (n – 4) Celar. + 1. Ferio + 2 . Bocar. 1. Cames. + (n – 3) Celar. + 1. Ferio + 1 . Bocar. a , a , .…. a , a e e .…. e e a 2ª .…. (n – 4) a (n – 3) a i i …. i i (n – 4) a (n - 5) a .…. a a a .…. a a o σ) De β ) en unión con el tercer esquema de este artículo:

1. Cesare + 1 . Celar. + 1. Ferio + (n – 3) Bocar. 1. Cesare + 2 . Celar. + 1. Ferio + (n – 4) Bocar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Cesare + (n-4) Celar. + 1. Ferio + . 2 . Bocar. 1. Cesare + (n–3) Celar. + 1. Ferio + 1 . Bocar. ----------- 149

e , e , .... e , e 2a 3a .... (n - 3)a (n – 2)a i i i i (n – 4) a (n – 5)a …. a . a a a a o ι) De ε) en unión con el cuarto esquema de este artículo:

1. Celar. + 1. Felap. + (n – 2) Bocar. e 2. Celar. + 1. Felap. + (n – 3) Bocar. (n – 1) a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a

(n – 3) Celar. + 1. Felap. + 2 . Bocar. o (n – 2) Celar. + 1. Felap. + 1. Bocar.

χ) De ε) en unión con el quinto esquema de este artículo:

1. Cames. + 1. Celar. + 1. Felap + (n – 3) Bocar. a 1. Cames. + 2. Celar. + 1. Felap. + (n – 4) Bocar. e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (n – 2) a 1. Cames. +(n-4) Celar. + 1. Felap. + 2 . Bocar. a

1. Cames. + (n-3) Celar. + 1. Felap + 1 . Bocar. o λ) De ε) en unión con el sexto esquema de este artículo: 1. Cesare + 1 . Celar. + 1. Felap. + (n-3) Bocar. e

20

1. Cesare + 2 . Celar. + 1. Felap. + (n-4) Bocar. (n-1) a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1. Cesare + (n-4) Celar. + 1. Felap. + 2 . Bocar. o 1. Cesare + (n-3) Celar. + 1. Felap. + 1. Bocar.

μ) Si se supone que la cadena de β es todavía Camestres, entonces tenemos: P a M1 1. Cames. + 1. Ferio + (n-2) Bocar. M2 e M1 a M3 i M2 e M3 a M4 i M4 a M3 (n-3) a . . . a Mn a S o S o P ν) Si se supone igualmente en β Cesare, entonces se obtiene: P e M1 1. Cesare + 1. Ferio + (n-2) Bocar. M2 a M1 e M3 i M2 a M3 a M4 i M4 a M3 (n-3)a . . . a Mn a S o S o P ξ) ) Si se antepone Camestres a la cadena en εentonces resulta:

P a M1 1. Cames. + 1. Felap. + (n-2) Bocar. M2 e M1 a M2 a M3 e M3 a M4 (n-2)a M4 a M5 a . . . . a Mn a S o S o P

ο) ) Si, finalmente, Cesare se antepone a la misma cadena en ε, entonces se obtiene: P e M1 1. Cesare + 1. Felap. + (n-2) Bocar. M2 a M1 M2 a M3 e M3 a M4 ( n-1)a

M4 a M3 . a . o . Mn a S S o P

Por tanto, si la conclusión final ha de pertenecer a una cadena particular negativa, entonces no se permite más de una premisa universal o particular negativa y entonces debe pertenecer siempre a la primera conclusión anterior; en caso de que la premisa sea universal negativa, puede encontrarse aún una

21

-------151

premisa particular afirmativa, la que, exceptuando el lugar de la primera conclusión mayor, puede ocupar cualquier otro lugar.

OBSERVACIÓN. Herbart afirma (Introducción, p. 98): “La lógica debería entonces concretarse al examen de: ¿Cuántos silogismos y en cuántas conexiones posibles pueden provenir de un número dado de premisas de determinada cantidad y cualidad? Con la respuesta a esta pregunta la lógica se convertiría en tanto le es posible, en el Organon de la ciencia en el aspecto formal. Sería construida ya sea a partir de los principios disponibles o también, de otro modo, a partir de proposiciones demostradas, y sería así posible inferir en forma exhaustiva el todo del saber y exponerlo ordenadamente.

El presente estudio, completo en sí, puede ser considerado como una aportación a tal fin. Dado que la forma de las cadenas de la conclusión de juicios compuestos no es otra que la de los juicios simples, y que de la bifurcación de las cadenas de la conclusión provienen las demostraciones, entonces, en lo que antecede, parece estar resuelto lo esencial de esta cuestión y apenas valdría la pena discutirla aún más.

______________

IV. ACERCA DE LA TEORÍA DE LAS DIVISIONES Y CLASIFICACIONES

1. Según el § 21° los miembros de la extensión de un concepto o de una parte del mismo, pueden conectarse mediante el signo de adición, siempre y cuando se les designe, como de costumbre, con letras para expresar su adscripción en la extensión. Pero dos o más conceptos que se determinan mutuamente (conforme al § 17°) se escriben unos junto a otros como en la multiplicación. Puesto que la separación de la

152 substracción equivale a la abstracción de la división (§21° y 17°), entonces uno puede hacer uso, para la designación de estas operaciones lógicas, de los signos de sus aritméticas análogas. Cuando se trata de la extensión de un concepto puede ponerse delante del signo del concepto, a diferencia del signo del contenido, un Σ (Σ ϕ ατρ α El contenido por extenso o la extensión se indica por el signo =, y el incompleto mediante >.

Ejemplo. Sean A = ángulo; α= recto; β = agudo; γ = obtuso, entonces tenemos:

Σ Α = Α (α + β + γ);

Sean Δ triángulo; a = equilátero; b = isósceles; c = escaleno, entonces tenemos:

Σ Δ > Δ (a + b + c);

porque el triángulo es considerado aquí sólo respeto a las relaciones de sus lados.

Sean Q = cuadrado; v = cuadrangular; r = rectangular; g = equilátero, entones tenemos:

Q = v r g; Q > v r ; Q > v g ; Q = r g.

2. El método de la clasificación sintética descrito con palabras en el § 109° se puede transferir ahora en forma muy fácil y sencilla en signos aritméticos. Las letras pueden tener el mismo significado que en los dos primeros ejemplos del número anterior. Si a eso agregamos además a = rectilíneo b = curvilíneo, entonces tenemos:

22

Σ Δ = Δ(a + b) (a + b + c) (α + β + γ)

= Δ a {a (aβ + γ ) + b α + β + γ) + c (α + β + γ}

+ Δ b{a (α + β + γ) + b α + β + γ) + c α + β + γ)}

= Δ ( aa α + a a β+ aa γ + a b α + ab β + ab γ + ac α + ac β

+ ac γ + + b a α + b a β + b a γ + + b b α + + b b β + + b b γ + + b c α

+ b c β + b c γ))

Estos conceptos se encuentran en el tercer nivel de la subordinación. En el primero se encuentran, omitiendo el signo Δ, y sin distinción del orden en el que las series de divisiones se designan unas a otras,

a, b; a, b, c; α, βγ

-----------

153 En el segundo nivel se encuentran (a + b) (a + b + c); (a + b) (α + β + γ);

(a + b + c) (α+ β + γ);

desarrollado esto resulta:

a a, a b, a c, ba, bb, bc;

a α, a β, a γ, , ba, bβ, , bγ;

aα, , aβ, aγ , bα, bβ , bγ , cαcβ cγ

3. En el ejemplo anterior hay dos miembros no válidos, a saber, Δ a a αy Δ a a γ. La extensión de Δ completa y válida en todos sus miembros puede ser expresada por tanto mediante

ΣΔ = Δa + b) (a + b + c) (α + β + γ) − Δa a α − Δ aa γ

Esta separación puede evitarse, si la serie de α, β, γ respecto a a se hace sólo debido a la subdivisión de b y c. Entonces se convierte en

ΣΔ = Δ{a[a + (b+c) (α + β + γ)] + b (a + b + c) (α +β + γ)},

lo que puede ser transformado aún de distintas maneras.

4. Para dar un ejemplo de la clasificación analítica, formemos la acostumbrada del reino animal. Si c significa de sangre caliente, f de sangre fría, g que tiene partos, e ovíparo, r de sangre roja, w de sangre blanca, l respiración pulmonar, k respiración branquial, γ dotado de articulaciones, o sin articulaciones, entonces los mamíferos = egrl, las aves = cerl, los anfibios = ferl, los peces = ferk, los insectos = ewγ, los gusanos = ewo, de este modo la extensión del reino animal =Τ

ΣΤ = Τ( (cgrl + cerl + ferl + ferk + ewγ + ewo)

= T {gcrl + e [r(cl + f (l + k) + w (γ + o)]}

= T {r [cl (g + e) + f (l + k)] + we (γ+ o)} u. f. w.

5. Aún pueden exponerse aquí algunas otras operaciones. Si, en primer lugar, un

----------- concepto está dividido según m razones de división secundaria, cuyas series,

23

154 respectivamente n1, n2, n3 ... nm, tienen miembros, entonces el número de conceptos que resultan unos con otros de la determinación completamente desarrollada de estas series = n1, n2, n3 ... nm. Si investigamos el número de conceptos que se encuentran en los niveles

elevados de la subordinación, encontramos

1) En el primer nivel, bajo el concepto dado, las m series que forman la división secundaria; la cifra de sus conceptos es

= n1 + n2 + n3 + .... + nm

2) En el segundo nivel se encuentran los conceptos que resultan de las uniones binarias de las m divisiones secundarias; el número de las series de conceptos es, por tanto, = m(m – 1); el número de conceptos en ellas 1.2 = n1n2 + n1n3 + .... + n1nm + n2n3 + .... + n2nm + .... + nm-1nm

3) En el tercer nivel se encuentran los conceptos que se originan de las relaciones ternarias de las m divisiones secundarias; el número de series es, por tanto,

= m(m-1) (m-2); el número de conceptos que se encuentran en ellas 1 · 2 · 3 = n1n2n3 + n1n2n4 + .... + n2n3n4 + n2n3n5 + .... nm-2 nm-1nm

u. f. w. (etc.)

4) Si para simplificar fijamos n1 = n2 = n3 = ... = nm = n, entonces el número de los conceptos se convierte, en 1 = m n ; en 2, = m(m-1) n2 ; 1 1.2 en 3, = m(m-1) (m-2) n3

1 . 2 . 3

y así sucesivamente en el nivel más bajo = nm; por ende, el número de los conceptos subordinados en general en todos los niveles es

= m n + m(m-1) n2 1 1 1.2 + m(m-1) (m-2) n3 + .... + nm = (1+n)m - 1

1.2.3

6. También en relación con la conclusión del § 109° se pueden hacer aún

algunas reflexiones combinatorias. Si un concepto tiene m divisiones secundarias entonces se pueden ordenar m(m-1) .... 2.1 maneras distintas. Conforme a este distinto ordenamiento, las clasificaciones que de ahí se originan contienen, pues, en los órdenes superiores en parte conceptos distintos y en parte iguales. Para examinar esto más de cerca, supongamos, en primer lugar sólo a manera de ejemplo, que las tres divisiones A + B, a + b, α + β son dadas; entonces tenemos los seis ordenamientos posibles siguientes:

1) (A + B) (a + b) (α + β); 2) (A + B) (α + β) ) (a + b)

3) (a + b) (A + B) (α + β); 4) (a + b)α + β A + B);

5) (α + β(A + B) (a + b) 6) (α + β) (a + b) (A + B)

aquí el primer orden es ahora, en lo tocante a estas seis clasificaciones, como sigue:

----------- 155

24

1) A + B; 2) A + B; 3) a + b; 4) a + b; 5) α + β; 6) α + β

El Segundo orden:

1) Aa + Ab + Ba + Bb; 2) Aα + Aβ + Bα + Bβ;

3) aA + aB + bA + bB; 4) aα + aβ + bα + bβ;

5) αA + αB + βA + βB; 6) αa + αb + βa + βb.

Ahora bien, si se considera que en este caso dos conceptos, que sólo se diferencian por el orden de las características, no pueden ser diferentes puesto que todas estas características son sólo determinaciones más próximas de uno y el mismo concepto, del concepto a dividir, entonces uno se percata que en el ejemplo introducido, tanto en el primero como en el segundo orden dos clasificaciones nunca tienen los mismos conceptos, o sea, que en ambas sólo restan tres de las formas de clasificación esencialmente distintas unas de otras.

7) Ahora, para generalizar estas investigaciones, si el número de las divisiones secundarias es nuevamente = m, entonces

1) El número de las clasificaciones distintas mediante los conceptos del primer nivel de la subordinación es = m; porque cada división puede 1 ser la primera.

…..156

2) El número de las clasificaciones distintas mediante los conceptos del segundo nivel es = m(m-1); porque son posibles tantas formas 1 . 2 distintas de conexión de las m series de conceptos tomadas de a dos.

3) Del mismo modo, el número de las clasificaciones distintas mediante los conceptos del tercer nivel = m(m-1) (m-2). 1 . 2 . 3 4) En general, el número de las clasificaciones caracterizadas mediante distintos conceptos del enésimo nivel es = m (m– 1) ... (m-n+1). 1 . 2…….n Ahora bien, puesto que, como ya se ha notado, el numeral de las clasificaciones posibles es en general = m(m-1) ... 2.1, entonces

5) El número de las clasificaciones, que no tienen en común los conceptos del primer nivel, es

= m(m-1) ... 2.1 = (m-1) (m-2) ... 2.1 m 6) El número de clasificaciones, que no tienen en común los conceptos del segundo nivel es = m(m-1) ... 2.1.1.2 m(m – 1)

= (m-2) (m-3) ... 2.1.1.2

7) En general, el número de clasificaciones, que no tienen en común los conceptos del enésimo nivel, es = m(m-1) ... 2.1.1.2 ... n m(m-1)….(m – n + 1)

= (m-n) (m-n-1) ... 2.1.1.2. ... n.

La última expresión es sólo utilizable hasta n = m-1, donde da

25

1.1.2 ... (m-1); la primera rige hasta n = m, donde da 1.2 ... m también en forma totalmente correcta.

OBSERVACIÓN. Acerca de la clasificación combinatoria mencionada en el § 110° no hacen falta reflexiones especiales, ya que todo lo que contiene el apéndice I, puede ser fácilmente transpuesto a ella.

……….

157

V. ACERCA DE LA TEORÍA DE LAS DEMOSTRACIONES

1. Análisis lógico de la demostración para el teorema: los paralelogramos ABCD y ABEF son iguales entre sí en área sobre una base cualquiera AB y entre los mismos paralelos AB y DE4.

I. DEMOSTRACIÓN DE DICHO TEOREMA

1) Si en dos triángulos dos lados y el ángulo comprendido, son iguales según la serie, entonces los triángulos son congruentes.

2) En los ΔΔADF, BEC es AD = BC, DF = CE, ∟D = ∟C.

3) Por tanto, ΔADF Ε BCE

4) Lo mismo sumado a lo mismo da lo mismo.

5) ΔADF = ΔBCE (3); ABCF = ABCF

6) El paralelogramo ABCD = al paralelogramo ABEF

entonces aquí 4 es postulado; por el contrario, 1 y 2 han de probarse, por lo tanto:

II. DEMOSTRACIÓN DE 1

7) Entre dos puntos dados sólo es posible una línea recta.

8) En dos triángulos ΔΔabc, αβγ que se encuentran uno contra otro, en los que ab = αβac = αγ ∟a = ∟α coinciden b y β , c y γ.

1) Por tanto, coinciden también bc y βγ y los triángulos se cubren uno al otro (son congruentes).

Sin embargo, aquí 8 requiere todavía una demostración; no obstante, como veremos inmediatamente, se trata de una demostración analítica mediante la definición. A saber:

……..

158

III. DEMOSTRACIÓN DE 8

9) Líneas rectas y ángulos iguales se cubren unos a otros.

(Definición de igualdad)

10) En los ΔΔabc, αβγ, es ab = αβ, ac = αγ, , ∟a = ∟α ( supuesto).

4 El lector atento trazará con facilidad las figuras que se requieren para esto.

26

8) Por tanto, b y β,, c y γ coinciden.

____________

Resta ahora la demostración de 2. Pero esta proposición se compone de tres partes que no están contenidas en ninguna de las otras; por tanto, cada una debe ser comprobada, lo que ha de darse en IV. 1), 2), 3).

IV. 1) Demostración de la primera parte de 2.

11) Los lados de un paralelogramo que se encuentran uno frente al otro, son iguales.

12) ABCD Y ABEF SON PARALELOGRAMOS (supuesto en I)

2) primera parte: AD = BC; además 13) AB = CD, AB = EF. Pero 11 requiere de una demostración adicional; por tanto

V. DEMOSTRACIÓN DE 11

14) Los lados homólogos de triángulos congruentes son iguales.

15) Los lados de un paralelogramo que se encuentra uno frente al otro son así

11) Los lados que se encuentran unos frente a otros en el paralelogramo son iguales. Aquí se da 14, en la explicación de la congruencia; pero necesita 15 para ser demostrado.

VI. DEMOSTRACIÓN DE 15

16) Si en dos triángulos, dos ángulos y los lados intermedios según la serie, son iguales, entonces los triángulos son congruentes.

17) Esto tiene lugar, si se divide el paralelogramo en dos triángulos mediante su diagonal.

15) Estos triángulos son congruentes y los lados del paralelogramo que se encuentran unos frente a otros, como homólogos, son iguales en estos triángulos. …..159

Ambas premisas mayores deben ser demostradas aquí.

VII. DEMOSTRACIÓN DE 16.

18) Dos líneas rectas sólo se cortan en un punto.

19) Si se ponen uno contra otro dos ΔΔ abc, αβγen los que ∟a=∟α, ∟b=∟β y ab = αβ, entonces los lados ac y αγ, bc y βγ caen uno sobre otro

16) Por tanto, c cae sobre γ y los triángulos son congruentes.

Aquí se postula 18, y 19 se sigue de la definición de la igualdad.

VIII. DEMOSTRACIÓN DE 17

20) Cuando dos líneas paralelas son cortadas por una tercera línea recta, entonces los ángulos alternos son iguales.

27

21) La diagonal corta dos pares de líneas rectas paralelas.

17) Primera parte: por tanto, los ángulos alternos adyacentes en la diagonal son iguales.

17) Segunda parte: cualquier segmento, por tanto también la diagonal, es igual a sí mismo.

El número 21 se deduce de la explicación de las paralelas como líneas rectas de igual dirección; 21, resulta de la definición de paralelogramo.

IV. 2) DEMOSTRACIÓN DE LA SEGUNDA PARTE DE 2

22) Lo mismo substraído de lo mismo da lo mismo.

23) En los paralelogramos ABCD, ABEF, es CD = EF, por otra parte, es FC = FC

2) Segunda parte: DF = CE. Sólo 23 requiere aquí prueba.

IX. DEMOSTRACIÓN DE 23

24) Dos segmentos que son iguales a un tercero son iguales entre sí.

13) AB = CD, AB = EF.

23) CD = EF.

24) es postulado; 13 ya está demostrado.

160

IV. 3) DEMOSTRACIÓN DE LA TERCERA PARTE DE 2.

25) Cuando dos líneas paralelas son cortadas por una tercera línea recta, los ángulos correspondientes son iguales.

26) ∟D y ∟C son ángulos correspondientes así.

2) Tercera parte: ∟D = ∟C.

Al número 25, al igual que al 20, podemos considerarlo como una deducción del concepto de paralelas*; 26 se sigue de la definición de paralelogramo.

Todas estas conclusiones solo se dejan integrar en el siguiente esquema, el cual hará más claro el encadenamiento de las proposiciones según coordinación y subordinación. Se aprecia fácilmente que las rayas horizontales simples, como hasta ahora, separan premisas mayores de conclusiones finales, las dobles empero separan proposiciones que no tienen nada en común unas con otras.

_______________________

*. Quien no esté satisfecho con esto (acerca de lo cual no sería aquí en absoluto el lugar para suscitar una discusión), puede dar como razón el undécimo axioma de Euclides y considerar lo anterior sólo como una abreviación.

28

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162

2. TESIS DE HAUBER DE LA REVERSIBILIDAD DE LOS JUICIOS

AFIRMATIVOS UNIVERSALES.

(Scholae lógico-mathematicas. Cap. VII. Suttgard. 1829)

Sea un concepto A, a o b o c; sea otro concepto B, α o β o γ, y se sabe además que: 1) Si A, a : entonces B, α; 2) Si A, b: entonces B, β; 3) Si A, c: entonces B, γ; luego también es 4) Si B, α: entonces A, a; 5) Si B, β: entonces A, b; 6) Si B, γ: entonces A, c.

DEMOSTRACIÓN. Porque suponiendo que: si B, α entonces no es A, a, entonces es –a causa del supuesto de la integridad de la disyunción o A, b, o A, c. Pero si A, b, entonces B, β (supuesto 2), o sea, que no es B, α, ya que α y β son conceptos disyuntivos; contra la suposición. Asimismo, si A, c, entonces es B, γ (supuesto 3), o sea, que no es B, α; por la misma razón que antes e igualmente contra el supuesto. Por tanto, si B, α no es ni A, b ni A, c; por consiguiente es A, a como se afirma en 4.

En la misma forma se prueba apagógicamente la validez de 5 y 6.

Esta demostración apagógica de la proposición general puede evitar la demostración de la reversibilidad para muchos casos particulares de la geometría. Por ejemplo, por Euclides, I, 5 y 18, la demostración de I, 6 y 19 es superflua de acuerdo con la proposición anterior. Asimismo de I, 47 y II, 12 y 13 se sigue I, 48 y la reversibilidad de las proposiciones II, 12 y 13. Si a I, 37 y 38 se agregan además las proposiciones análogas para paralelas distintas, entonces I, 39 y 40 se dejan de lado. Si se procede a

29

demostrar I, 29 y 16 en forma independiente del principio 11 (once), entonces éste al igual que I, 27 y 28 no requiere ninguna demostración particular.

Aquí viene al caso también la proposición siguiente que es muy general. Sea y = f(x) y x = ϕ (y) y llegue a ser x = x’ e y = y’. Ahora bien, si se procede a demostrar, para

algún significado determinado del signo de función f, que si para x x’ o x ≥ x´, f (x) ≤ f (x’) o f (x) ≥ f (x’), f (x) ≥ f (x’) o f (x) ≤ f (x’), entonces se sigue también el teorema antes mencionado, que si bien para y ≤ y’ o y ≥ y, ϕ (y) ≤ ϕ (y ’) ó ϕ (y) ≥ ϕ (y ’), ϕ (y) ≥ ϕ (y ’), ϕ (y) ≤ ϕ (y ’).

La regla de tres directa e inversa, así como el crecimiento y decrecimiento del arco, del ángulo, del seno, del coseno, son ejemplos simples de esta tesis.

3. LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA DE n EN n + 1

Como es sabido en matemáticas, tanto en las partes aritméticas como también en las geométricas, se usa la inducción incompleta, como en la investigación de la naturaleza, para dar con una ley oculta de la conexión de magnitudes. Sin embargo, siempre que esto parezca haberse logrado, debe hacerse aún una demostración más rigurosa. El completo que se encuentra en seguida es pues la forma de demostración conocida bajo el nombre arriba mencionado, que también suele ser designado como un completamiento de la inducción, y ello no le es de poco valor a un breve análisis lógico. Comenzamos la explicación del método como un ejemplo muy sencillo. En forma inmediata mediante multiplicación se encuentra

(1 + x)1 = 1 + x

(1 + x)2 = 1 + 2x + ...

(1 + x)3 = 1 + 3x + ...

(1 + x)4 = 1 + 4x + ...

De aquí se infiere por deducción la ley general de que el coeficiente del segundo miembro del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio es siempre igual al exponente.

Por tanto, por analogía para cualquier potencia n será:

(1 + x)n = 1 + nx + ...

La analogía es aquí completa; porque según el concepto de potencia no cabe la menor duda de que (1 + x)n con (1 + x)1, (1 + x)2, (1 + x)3, y (1 + x)4 pertenecen al mismo género. En cambio, la inducción es incompleta y notoriamente muy limitada en relación al número infinito de todas las potencias posibles. Por ende, la fórmula planteada al final requiere aún de más comprobación. Esta comprobación la obtiene por la manera de surgir cada potencia a partir de la inmediatamente inferior, que permanece con la base en la multiplicación repetida. Por tanto, si se busca a partir de (1 + x)n la siguiente (1 + x)n+1 por multiplicación con (1 + x), y por la misma multiplicación a partir del 1 + x + ... la expresión correspondiente (1 + x)n+1, entonces se encuentra

(1 + x)n+1 = 1 + (n + 1)x + ...;

se trata de una igualdad en la que la ley formulada inductivamente se encuentra sancionada y cuya validez rigurosamente general es comprobada, por tanto, a partir de la forma del surgimiento de las potencias.

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30

Ahora bien, este método se puede exponer fácilmente de manera general como sigue. Sean

U1, u2, u3, u4, ...

funciones de la misma forma, que dependen de cualquier magnitud constante y variable y además de las cifras ordenadas 1, 2, 3,4, ... , mediante las que sólo se diferencian en forma inmediata. Mediante transformación inmediata pueden dejarse expresar por

f (1), f (2), f (3), f (4) y

entonces ya que el signo de la función f representa la ley de su dependencia de la cifra ordenada, como se encuentra en los miembros de la extensión, entonces, por analogía será el último: un = f (n). Ahora bien, si la forma de surgimiento del miembro siguiente llega a ser un + 1 a partir de un miembro que se encuentra algunos o todos los miembros antes que él, designado por:

un+1 = ψ (un , un-1, ... un-m),

donde m significa cero o una cifra <n entera y positiva, y ψ significa una dependencia legal, entonces también es por tanto,

un+1 = ψ (f (n), f (n-1), ... f (n – m)

….165

Ahora bien, si se puede mostrar por conversión inmediata de esta expresión a la derecha, que es de la forma f (n’ + 1) entonces está comprobada rigurosamente la ley admitida en forma inductiva.

4. SOBRE LA TEORÍA DE LA ANALOGÍA

Si dos conceptos de m características tienen dichas características completamente en común, entonces la cifra de los posibles conceptos antepuestos y las series de los mismos es también, por supuesto, la misma para los dos. Estas cifras ya han sido determinadas en el apéndice I, 1. Pero si entre estas m características son sólo q las mismas, entonces la cifra de los conceptos iguales de cada orden superior es más pequeña.

Para orientarnos acerca de esto, primeramente con un ejemplo, sean αβγδε y αβγζη los dos conceptos. Los conceptos superiores del primer orden son para cada uno:

αβγδ, αβγε, αβδε, αγδε, βγδε; (para este)

αβγζ, αβγη, αβζη,αγζη, βγζη;

por tanto, completamente distintos. Para el segundo orden:

αβγ, αβδ, αβε, αγδ, αγε, αδε, βγδ, βγε, βδε, γδε; y

31

αβγ, αβζ, αβη, αγζ, αγη, αζη, βγξ, βγη, βζη, γζη;

por tanto, en ambos un concepto igual. Para el tercer orden:

αβ, αγ, αδ, αε, βγ, βδ, βε, γδ, γε, δε; y

αβ, αγ, αζ, αη, βγ, βζ, βη, γζ, γη, ζη;

Por tanto, tres conceptos iguales; otros tantos en el cuarto orden.

En general es ahora claro que en la suposición de q características iguales junto a m-q diferentes, habrá en cada orden tantos conceptos iguales como conexiones de clase se puedan formar a partir de q elementos, perteneciendo dichas conexiones al orden. Ahora bien, los órdenes primero, segundo, tercero, ..., (m-1) de lugares (m – 1), (m –2), (m –3), ... 1 corresponden respectivamente a las clases de combinaciones. Por ende, en general rige la siguiente tabla, en la que hemos comenzado con el orden más elevado con la intención de facilitar las expresiones.

-----------

166 NUMERO DE CONCEPTOS NUMERO DE CONCEPTOS ORDEN IGUALES EN GENERAL m – 1; q m 1 1

m – 2; q(q-1) ; m (m – 1) 1 . 2 1 . 2

. . . . . . . . .

m – n; q(q – 1) ... (q – n + 1); m(m – 1) ... (m – n + 1) 1. 2 n 1 . 2 ...... n . . . . . . . . .

2; q(q – 1) ... (q – m + 3); m ( m – 1) 1 . 2 ... (m – 2) 1 . 2 1; q(q – 1) ... (q – m + 2); m 1 . 2 ... (m – 1) 1

De la columna del centro se infiere que: 1) para cada valor de m – n, que sea

= m – q – 1, el número de conceptos iguales es = 0, pero para los valores precedentes de m-1, a saber, m – q, m – q + 1; m -q + 2, corresponden 1, q, q(q – 1) .

1 1.2 2) Por ende, la columna del centro representa el total de coeficiente binomiales de la potencia q, y la suma de todos los conceptos iguales es, por tanto, para cada q, que sea <m, siempre = 2q – 1. Pero la suma en general de todos los conceptos superiores que se forman a partir de m características es, en virtud de la tercera columna, = 2m – 2 = (2m-1 – 1) o incluyendo el propio concepto, = 2m – 1.

3) Si q puede tener cualquier valor, entonces el orden para el que

n = 2q – 1± 1, por tanto m – n = 2(2m – q) ± 1 – 1, (en cualquiera 4 4

<

32

expresiones ± se refiere a una q{impar/par} contiene la cifra mayor de conceptos iguales.

4) Según esto, la relación del número de conceptos iguales del orden (m – n) con respecto al de los conceptos de este orden es = q(q – 1) ... (q – n + 1): m(m – 1) ... (m –n + 1);

5) Y la del número de conceptos iguales respecto a la de los conceptos en general, sin distinción de los órdenes es =

2q – 1 : 2m – 1

Ahora bien, si nos acercamos más a esta última relación de igualdad –la cual, sin embargo, nunca puede ser alcanzada porque indicaría la completa identidad de ambos conceptos- entonces tanto más probable será que la coordinación de ambos conceptos esté bajo uno y el mismo género inmediatamente superior y de este modo también la concordancia en las características esenciales restante aún desconocidas. Sin embargo, la dificultad de una enumeración completa de las características y propiedades de un concepto ofrece resistencia, en todos los casos donde la conclusión por analogía incompleta es fructífera, a la aplicación de consideraciones como las anteriores en el caso particular, las que, no obstante, no son de poca utilidad ya que sirven para esclarecer más el concepto general.

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