preparaciòn grado 11

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I.E.

CRDENAS CENTRO

MDULO DE MATEMTICA

CICLO VI GRADO UNDCIMO

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TABLA DE CONTENIDO

pg.

UNIDAD 1

1. PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS 6 1.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATMICAS 6 1.2. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES 6 1.2.1. Conectivos lgicos 6 1.2.2. Las proposiciones se clasifican 7 1.2.2.1. Negacin 8 1.2.2.2. Conjuncin 8 1.2.2.3. Disyuncin 8 1.2.2.4. Condicional 9 1.2.2.5. Bicondicional 9 1.2.2.6. Tautologas, contradicciones y contingencias 9 1.2.2.7. Implicaciones lgicas 12 1.2.2.8. Equivalencias lgicas 15

2. CUANTIFICADORES 18

3. CONCEPTUALIZACIN Y CLASIFICACIN DE LOS CONJUNTOS 18 3.1. CLASES DE CONJUNTOS 19 3.1.1. Conjunto Universal 19 3.1.2. Conjunto Infinito 19 3.1.3. Conjunto Finito 19 3.1.4. Conjunto Vaco 19 3.1.5. Conjunto Unitario 20 3.1.6. Conjuntos Iguales 20 3.1.7. Conjuntos Disjuntos 20 3.2. OPERACIONES CON CONJUNTOS 21 3.2.1. La unin de dos conjuntos A y B 21 3.2.2. La interseccin de dos conjuntos A y B 21 3.2.3. La diferencia de dos conjuntos A y B 21 3.2.4. La diferencia simtrica de dos conjuntos A y B 21

4. NMEROS REALES 22 4.1. NMEROS NATURALES 22 4.2. NMEROS ENTEROS 23 4.3. NMEROS RACIONALES 23 4.4. NMEROS IRRACIONALES 24 4.5. NMEROS REALES 24 4.6. OPERACIONES CON NMEROS REALES 24

PRUEBA TIPO ICFES 27

4

UNIDAD 2

1. INTERVALOS Y OPERACIONES CON INTERVALOS 32 1.1. OPERACIONES CON INTERVALOS 33

2. INECUACIONES CON UNA Y DOS VARIABLES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO 35 2.1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA 35 2.1.1. Inecuaciones equivalentes 35 2.2. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA 38 2.3. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCGNITAS 40 2.3.1. Sistemas de inecuaciones 41 2.4. PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES 42 2.5. DEFINICIN Y GRFICA DEL VALOR ABSOLUTO 43 2.5.1. Tratamiento del valor absoluto utilizando la grfica de f(x)=|x| 44 2.6. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 45 2.6.1. Ecuaciones con valor absoluto de la forma ax + b= c 45 2.6.2. Inecuaciones con valor absoluto de la forma ax + b< c 45 2.6.3. Inecuaciones con valor absoluto de la forma ax + b> c 46


UNIDAD 3

1. DEFINICIN Y PROPIEDADES DE RELACIONES Y FUNCIONES 52 1.1. DEFINICIN Y PROPIEDADES DE RELACIONES 52 1.2. DEFINICIN Y PROPIEDADES DE FUNCIONES 54 1.3. ALGEBRA DE FUNCIONES 55 1.3.1. Composicin de funciones 56 1.4. CLASES DE FUNCIONES: POLINMICAS, TRASCENDENTES Y ESPECIALES 57 1.4.1. Funciones polinmicas 57 1.4.2. Funciones trascendentes 57 1.4.2.1. La funcin exponencial 57 1.4.2.2. La funcin logartmica 58 1.4.3. Funciones especiales 59 1.4.3.1. Funcin constante 59 1.4.3.2. La funcin identidad 59 1.4.3.3. La funcin proyeccin 59 1.4.3.4. La funcin cannica 60 1.5. FUNCIN INVERSA Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN 60 1.6. SERIES, SUCESIONES Y PROGRESIONES 63


UNIDAD 4

1. LMITE FUNCIONAL 69 1.1. LMITE DE UNA SUCESIN 69 1.1.1. Lmite finito de una sucesin 70 1.1.2. Lmite infinito de una sucesin 71

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2. DEFINICIN ANALTICA DE LA DERIVADA 73 2.1. TCNICAS DE DERIVACIN 73 2.1.1. Tasa de variacin media 73 2.1.2. Tasa de variacin instantnea o derivada 74 2.1.3. Derivadas laterales 74 2.1.4. Derivabilidad y continuidad 75 2.2. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN OTRAS ASIGNATURAS Y CIENCIAS 75

3. DEFINICIN DE LA INTEGRAL 77 3.1. TCNICAS DE INTEGRACIN 78 3.1.1. Mtodo de integracin por sustitucin 78 3.1.2. Mtodo de integracin por partes 79 3.1.3. Mtodo de integracin por cambio de variables 80


BIBLIOGRAFA 87

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UNIDAD 1 1. PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

Proposicin es la oracin afirmativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas. En la lgica se distinguen dos tipos de proposiciones, siendo estas: Simples o atmicas y compuestas o moleculares.

Como ejemplos de proposiciones se dan los siguientes:

1. 4 es menor que ocho 2. Carlos es alto 3. Mxico es un pas de Amrica 5. Mara es inteligente 6. El sbado no hay clases 8. El uno es el primer nmero natural

Ahora se dan algunas expresiones que no son proposiciones:

1. Cmo te llamas? 2. Qu hora es? 4. El rbol 5. Levanta esa pluma!

Estas expresiones no son proposiciones porque no afirman nada que sea verdadero o falso, es decir, la 1 y 2 son preguntas, la 3 es una frase y la 5 es una orden.

1.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATMICAS Las proposiciones simples o atmicas son proposiciones que ya no pueden descomponerse en dos expresiones que sean proposiciones.

Ejemplos de proposiciones simples o atmicas:

1. La ballena es roja 2. La raz cuadrada de 16 es 4 3. Gustavo es alto 4. Teresa va a la escuela

1.2. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES

Las proposiciones en las que aparecen las partculas gramaticales como: No, o, y, sientonces, si y solo

si. Se les llama Proposiciones Compuestas o Moleculares.

Ejemplos de proposiciones compuestas:

1. La ballena no es roja 2. Gustavo no es alto 3. Teresa va a la escuela o Mara es inteligente 4. 4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10 5. El 1 es el primer nmero primo y es mayor que cero 6. El 7 es mayor que 5 y 7 es menor que 10 7. Si Yolanda es estudiosa entonces pasar el examen 8. Si corro rpido entonces llegar temprano 9. Terminar rpido si y slo si me doy prisa 10. Aprender Matemticas si y slo si estudio mucho

Observacin. Se les llama trminos de enlace o conectivos lgicos a las partculas: No, o, y, sientonces, si y solo si. Observemos que los conectivos: o, y, sientonces, si y solo si, se usan para enlazar dos proposiciones, pero el conectivo no acta sobre una sola proposicin.

1.2.1. Conectivos lgicos: negacin, disyuncin, conjuncin, condicional y bicondicional.

A continuacin se da una tabla en la que se da la expresin gramatical y el nombre del conectivo que representa:

Para simbolizar cualquier proposicin es necesario saber cmo se simbolizarn las proposiciones simples y los conectivos. A las proposiciones simples las simbolizaremos con letras maysculas:

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A, B, C, , X, Y, Z

El nombre y smbolo de los conectivos se da en la tabla siguiente:

Ejemplos Simbolizar las proposiciones que se dan:

1. La ballena no se roja En este ejemplo la proposicin simple es: la ballena es roja, luego podemos proceder de la forma siguiente:

A=la ballena es roja

Y la simbolizacin para la proposicin compuesta, al utilizar el smbolo correspondiente para el conectivo no, es:

A Es importante tener presente que la negacin siempre antecede a la proposicin simple al dar la simbolizacin.

2. Gustavo no es alto

B=Gustavo es alto Luego la simbolizacin es: B

3. Teresa va a la escuela o Mara es inteligente

C=Gustavo es alto D=Mara es inteligente Luego la simbolizacin es: C D

4. El 1 es el primer nmero natural y es mayor que cero

G=el 1 es el primer nmero natural H=el 1 es mayor que cero La simbolizacin es: GH

5. Si Yolanda es estudiosa entonces pasar el examen L=Yolanda es estudiosa M=Yolanda pasar el examen La simbolizacin es: LM

6. Terminar rpido si y slo si me doy prisa

P=terminar rpido Q=me doy prisa La simbolizacin es: PQ

7. Si 3 es mayor que 2 y 2 es mayor que cero entonces 3 es mayor que cero

A=3 es mayor que 2 B=2 es mayor que cero C=3 es mayor que cero La simbolizacin es: (AB) C

8. No ocurre que Alejandro sea alto y sea chaparro

D=Alejandro es alto E=Alejandro es chaparro La simbolizacin es: (D E)

Observacin. Siempre que aparezca la expresin no ocurre que indica que en la simbolizacin la negacin antecede a los parntesis y dentro de ellos se debe incluir la simbolizacin de la proposicin restante.

9. Si estudio mucho y asisto a clases entonces no reprobar el examen y pasar la materia

F=estudio mucho G=asisto a clases H=reprobar el examen I=pasar la materia La simbolizacin es: (F G) (H I)

Con el fin de ahorrar parntesis es importante considerar la fuerza o jerarqua de los conectivos. A continuacin se dan los conectivos de menor a mayor fuerza: a) b) c) d) y e)

Como se observa el ms dbil de todos es el conectivo no y el ms de ellos es el conectivo si y slo si.

1.2.2. Las proposiciones se clasifican de la siguiente forma: A partir de la fuerza o predominancia de los conectivos:

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1.2.2.1. Negacin. Dada una proposicin p, se define la negacin de p como la proposicin p que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p". A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lgicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en funcin de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a travs de las tablas de verdad de dichas operaciones. La tabla de verdad de la negacin es la siguiente:

Ejemplo 1: Si p simboliza la proposicin estamos en la clase de lgebra, entonces p es no estamos en

la clase de lgebra.

Ejemplo 2: Consideremos la proposicin p: 10 es mltiplo de 5. Entonces el valor de p es (V). Su negacin dese ser una proposicin que es falsa siempre que p sea verdadera, por lo tanto p debe expresar exactamente lo contrario a lo que expresa p.

Ejemplo 3: Consideremos la proposicin q: Todos los perros son blancos. No debe confundirse la negacin con decir algo diferente, por ejemplo r: Algunos perros son blancos. La proposicin r no es la negacin de q, puesto que si q es verdadera tambin r lo es. Si decimos s: Ningn perro es blanco, tampoco s es la negacin de q, puesto que si existiera un nico perro de color blanco y los dems fueran marrones, entonces tanto q como s seran proposiciones falsas.

La negacin de q puede ser enunciada de la siguiente manera:

q: Algunos perros no son blancos. As, si q es verdadera, claramente q es falsa, mientras que si q es verdadera, resulta ser falsa q.

1.2.2.2. Conjuncin. Es aquella proposicin que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en

cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p y q". As por ejemplo, la proposicin compuesta Palmira tiene montaas y ros es verdadera porque cada parte de la conjuncin es verdadera. No ocurre lo mismo con la proposicin Palmira tiene montaas y tiene mar. Esta proposicin es falsa porque Palmira no tiene mar.

Ejemplo: Si p es algunas aves vuelan y q es el gato es un ave, entonces p q expresa algunas aves vuelan y el gato es un ave, que es obviamente falsa pues los gatos no son aves. Por otro lado la proposicin p q que dice algunas aves vuelan y el gato no es un ave es verdadera pues es la conjuncin de las proposiciones verdaderas.

1.2.2.3. Disyuncin. Es aquella proposicin que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p v q, y se lee "p o q". La disyuncin de dos proposiciones puede ser de dos tipos: Exclusiva o excluyente e inclusiva o incluyente. La exclusiva es aquella proposicin que es verdadera cuando una y slo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.

La disyuncin de tipo inclusivo entre dos proposiciones es falsa slo si ambas proposiciones son falsas. En el lenguaje coloquial y en matemtica es ms frecuente el uso de la disyuncin inclusiva, tambin llamada el o inclusivo. A veces el contexto de una frase indica si la disyuncin es excluyente o incluyente.

Ejemplo: Los alumnos regularizan la materia si aprueban tres parciales o si aprueban o si aprueban dos parciales y tienen un 80% de asistencia.

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En este caso, los alumnos pueden cumplir cualquiera de los dos requisitos, o tambin cumplir los dos. Pero por ejemplo, si en un restaurante con men fijo se nos dice que tenemos como postre helado o flan

normalmente no significa que podamos pedir ambos, siendo en este caso la disyuncin exclusiva.

1.2.2.4. Condicional. Es aquella proposicin que es falsa nicamente cuando la condicin suficiente p es verdadera y la condicin necesaria q es falsa. Se escribe p q, y se lee "si p entonces q".

1.2.2.5. Bicondicional. Es aquella proposicin que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "si y slo si p entonces q".

Ejemplos de proposiciones simbolizadas en donde se pueden eliminar algunos parntesis:

1. La proposicin condicional (A B) C se puede expresar como A B C, dado que el conectivo supera al conectivo .

2. La proposicin bicondicional (A C) (D E) puede expresarse como A C D E.

3. La proposicin disyuntiva (A) (B) se puede escribir como A B.

4. La proposicin bicondicional (A) (B) (C) D se puede escribir como A B C D.

1.2.2.6. Tautologas, contradicciones y contingencias. Haciendo uso de las tablas de verdad podemos verificar cuando una proposicin es una tautologa, cuando es una contingencia y cuando es una contradiccin, para tal efecto se dan las definiciones siguientes:

Definicin 1. Una proposicin compuesta es una Tautologa si al construir su tabla de verdad el resultado en cada rengln es verdadero independientemente de los valores de verdad que tomen las proposiciones simples que intervienen.

Definicin 2. Una proposicin compuesta es una Contradiccin si al construir su tabla de verdad el resultado en cada rengln es falso

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independientemente de los valores de verdad que tomen las proposiciones simples que intervienen.

Definicin 3. Una proposicin compuesta es una Contingencia si al construir su tabla de verdad no resulta tautologa o contradiccin.

Ejemplos Construir la tabla de verdad de las proposiciones compuestas que se dan e indicar si se trata de una tautologa, contradiccin o contingencia.

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Ejercicios 1. Simbolizar las proposiciones que se dan.

a) Sergio es doctor y Gustavo es Matemtico. b) El rbol es alto y da mucha sombra. c) Si corro entonces no llego tarde. d) 7-2=5 o 2+3=5 e) 16=42 si y slo si 16=4x4. f) No ocurre que el 3 sea nmero par e impar. g) No ocurre que si me levanto temprano entonces no llegue a tiempo. h) Si no estudio y no asisto a clases entonces no pasar el examen. i) Si 2>1 y 1>-4 entonces 2>-4. j) Un nmero es primo si y slo si es divisible por si mismo y por la unidad.

3. Evala cada proposicin segn los valores de verdad p = F. q = V. r = F.

a) p v q b) p v q c) p v q d) p v (q r) e) (p v q) ( p v r)

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4. Escribe la negacin de cada una de las siguientes proposiciones:

a) Todos los alumnos del curso son inteligentes. b) Todas las mujeres son lindas. c) Ninguna mujer es linda. d) Hay un banco que est roto. e) Hay exactamente un hombre inteligente. f) Al menos un hombre es inteligente. g) 4 es mltiplo de 8. h) A veces llueve. i) Me gusta estudiar. j) Me gusta estudair y tomar mate. k) Me gusta estudiar pero no me gusta tomar mate. l) No me gusta estudiar ni tomar mate. m) 7 8 n) 2 < 3 5 (significa: 2 es menor que 3 y 3 es menor o igual a 5) o) a A B.

1.2.2.7. Implicaciones lgicas. La nocin de implicacin lgica es esencial para formalizar los razonamientos deductivos.

La proposicin P implica lgicamente la proposicin Q si, y slo si la proposicin condicional P Q es una tautologa.

Demostracin: Veamos que P Q slo si P Q es una tautologa.

En efecto, supongamos que P implica lgicamente Q. Entonces, de acuerdo con la definicin, cuando P es verdad, Q tambin lo es y cuando Q es falso, P es falso, por tanto, la tabla de verdad de P Q conteniendo nicamente estas opciones es:

es decir, P Q es una tautologa.

Recprocamente, veamos que P Q si P Q es una tautologa.

En efecto, si P es verdad y P Q es una tautologa entonces Q ha de ser verdad.

Tambin podramos haber dicho que si Q es falso y P Q es una tautologa, entonces P ha de ser falso. Debido a este teorema, los lgicos prefieren adoptar el lenguaje comn como el lenguaje de la lgica y leen p q como p implica q. En este caso, ellos utilizan la palabra implica como el nombre de un conectivo lgico y como el nombre de una relacin paralela entre proposiciones.

Resolvemos ahora el ejemplo anterior viendo que (pq) p es una tautologa. Su tabla de verdad es:

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luego, (p q) p es, efectivamente, una tautologa.

Implicaciones lgicas ms comunes. La tabla siguiente presenta algunas implicaciones logicas con los nombres que usualmente reciben.

1.2.2.8. Equivalencias lgicas. La perder su semntica.

Las proposiciones compuestas P y Q son ltienen los mismos valores de verdad.

Obsrvese que de esta definicin se sigue que para probar que dos proposiciones son lhay que probar que si P es verdad, Q tambi

Obsrvese tambin que otra forma de demostrar lo mismo es probar que P es verdad partiendo de queprobar que si Q es falso, entonces P tambi

Equivalencia Lgica y Proposicin Bicondicional. Q si, y slo si la proposicin bicondicional

Demostracin. Veamos que P En efecto, si P Q, entonces tienen los mismos valores de verdad, es decir P y Q son, ambos,falsos, de aqu que el valor de verdad de P

Recprocamente, probemos que P

Efectivamente, si la proposicin bicondicional P definicin, P y Q son, ambas, falsas o verdaderas, es decir tienen los mismos valores delgicamente equivalente a Q.

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equivalencia permite hacer transformaciones sintcticas de las sentencias sin

iciones compuestas P y Q son lgicamente equivalentes y se escribe P ores de verdad.

n se sigue que para probar que dos proposiciones son lar que si P es verdad, Q tambin ha de serlo y que si P es falso, Q tiene que ser

orma de demostrar lo mismo es probar que P es verdad partiendo de quesi Q es falso, entonces P tambin lo es.

Equivalencia Lgica y Proposicin Bicondicional. La proposicin P es lgicamente equivalente a la proposicin bicondicional P Q es una tautologa.

Q slo si P Q es una tautologa. Q, entonces tienen los mismos valores de verdad, es decir P y Q son, ambos,

el valor de verdad de P Q sea siempre verdadero, es decir es

Q si P Q es una tautologa.

n bicondicional P Q es siempre verdadera, entonces de acuerdon, P y Q son, ambas, falsas o verdaderas, es decir tienen los mismos valores de

equivalencia permite hacer transformaciones sintcticas de las sentencias sin

gicamente equivalentes y se escribe P Q P Q cuando ambas

n se sigue que para probar que dos proposiciones son lgicamente equivalentes n ha de serlo y que si P es falso, Q tiene que ser falso.

orma de demostrar lo mismo es probar que P es verdad partiendo de que Q lo es y

gicamente equivalente a la proposicin

Q, entonces tienen los mismos valores de verdad, es decir P y Q son, ambos, verdaderos o Q sea siempre verdadero, es decir es una tautologa.

Q es siempre verdadera, entonces de acuerdo con su n, P y Q son, ambas, falsas o verdaderas, es decir tienen los mismos valores de verdad y, por tanto, P es

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En el ejemplo anterior vimos que (p q) p q, luego este teorema afirma que la proposicin bicondicional (p q) p q es una tautologa. Veamos que es cierto. En efecto,

Equivalencias lgicas ms comunes. Al igual que en la implicacin lgica, veamos una tabla con las equivalencias lgicas ms tiles junto con los nombres que reciben.

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Ejemplo. Probar que la proposicin condicional P Q es lgicamente equivalente a su contrarrecproca Q P.

Solucin: Veamos que ambos condicionales tienen los mismos valores de verdad. En efecto, si P Q es verdad, entonces P puede ser verdad o falso. Pues bien, si P es verdad, q ha de ser verdad, luego P y Q son, ambas, falsas y, consecuentemente, Q P es verdad. si P es falso, entonces P es verdad y Q P es verdad, cualquiera que sea el valor de verdad de Q. Por lo tanto, en cualquier caso, Q P es verdad. Por otra parte, si P Q es falso, entonces P es verdad y Q es falso, luego Q es verdad y P es falso y, por lo tanto, Q P es falso.

Tambin podemos hacerlo escribiendo su tabla de verdad.

Entonces, el bicondicional (P Q) (Q P) es una tautologa y es una equivalencia lgica.

Ejercicios a) Verificar si las proposiciones condicionales son equivalencias lgicas o no.

b) Simbolizar los argumentos que se dan y utilice tablas de verdad para verificar si son vlidos o no.

1. Si no nos despedimos ahora, entonces no cumpliremos nuestro plan. No nos despedimos ahora. Por tanto, no cumpliremos nuestro plan. 2. Si llovi la pasada noche, entonces la pista se ha limpiado. La pista no se ha limpiado. Por tanto, no llovi la pasada noche.

3. Este hombre es un abogado o un poltico. No es un abogado. Por tanto, no es un poltico.

4. Si Mr. Lincoln es elegido, entonces los Estados del Sur se separarn con seguridad. Si los estados del sur se separan, entonces estallar una guerra civil. Por tanto, Si Mr. Lincoln es elegido, entonces estallara una guerra civil.

5. Si 5>3, entonces 7>3. Si 7>3, entonces 5>0. Por tanton, 5>0.

2. CUANTIFICADORES

En lgica, teora de conjuntos y matemticas en general, loscuntos o qu tipo de elementos de uncuantificadores, entre los ms utilizados estn:

Cuantificador universal

Para todo x, y...

Cuantificador existencial

Existe al menos un x, y...

Cuantificador existencial nico

Existe exactamente un x, y...

Negacin del cuantificador existencial

No existe ningn x, y...

3. CONCEPTUALIZACIN Y CLASIFICACIN DE LOS CONJUNTOS

Un conjunto es una coleccin de objetos. Dichos objetos pueden ser de diferente naturaleza, tanto objetos tangibles como abstracciones matemEsos objetos que al reunirse forman el conjunto, se denominarn elementos del conjunto.

Se designa a los conjuntos y a los elementos que los constituyen por medio de letras pertenecien

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3. Este hombre es un abogado o un poltico.

4. Si Mr. Lincoln es elegido, entonces los Estados del Sur se separarn con seguridad. del sur se separan, entonces estallar una guerra civil.

Por tanto, Si Mr. Lincoln es elegido, entonces estallara una guerra civil.

y matemticas en general, los cuantificadores son smbolos utilizados para indicacuntos o qu tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los ms utilizados estn:

Existe exactamente un x, y...

cuantificador existencial

. CONCEPTUALIZACIN Y CLASIFICACIN DE LOS CONJUNTOS

n de objetos. Dichos objetos pueden ser de diferente naturaleza, tanto

bles como abstracciones matemticas. rman el conjunto, se

n elementos del conjunto. Se designa a los conjuntos y a los elementos que los

letras pertenecientes a

diversos alfabetos. Lo mtradicin que por norma) es usar para designar a los conjuntos, yminsculas para designar elementos

Como se puede fcilmente imaginar, la expresitipo x es un elementoequivalentemente x pertenece al conjunto A

4. Si Mr. Lincoln es elegido, entonces los Estados del Sur se separarn con seguridad.

son smbolos utilizados para indicar dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de

diversos alfabetos. Lo ms frecuente (ms por por norma) es usar letras maysculas

para designar a los conjuntos, y reservar las sculas para designar elementos.

cilmente imaginar, la expresin del tipo x es un elemento del conjunto A o equivalentemente x pertenece al conjunto A es de

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uso muy frecuente cuando se habla de conjuntos y elementos. Por ello, es til recurrir a un smbolo que nos permita expresar esa idea ms brevemente. Concretamente, x pertenece al conjunto A se representa por x A, x no pertenece al conjunto A se representa por x / A.

Del mismo modo, usamos smbolos para sintetizar o acortar las expresiones ms frecuentes. As, el smbolo se lee para todo, el smbolo se lee existe, los dos puntos : se leen como tal que, etc...

Los conjuntos suelen describirse encerrando sus elementos entre llaves { y }. Entre esas llaves pueden aparecer o bien todos los elementos del conjunto separados por comas, o bien expresar la condicin que deben cumplir los elementos para pertenecer a dicho conjunto. Con un ejemplo se entiende mejor... pretendemos definir el conjunto A formado por los naturales que estn entre 4 y 26 (ambos inclusive). Podemos hacerlo de dos modos, o bien A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}, o tambin como: A = {n N : 4 n 26}.

3.1. CLASES DE CONJUNTOS

3.1.1. Conjunto Universal. Es aquel conjunto que contiene a oros conjuntos. Se simboliza con la letra U. Si observas el siguiente diagrama de Venn, el conjunto universal U contiene a los conjuntos A,B,C,

3.1.2. Conjunto Infinito. Es aquel que tiene una cantidad ilimitada de elementos. Es decir, tiene infinitos elementos.

= {0,1,2,3,4,5,} Naturales

= {,-2, -1, 0,1,2,3,} Enteros 3.1.3. Conjunto Finito. Es aquel conjunto que tiene una cantidad limitada de elementos.

A = {0,1,2,3} B = {a,e,i,o,u} 3.1.4. Conjunto Vaco. Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se le representa por sin llaves. A ={ }

3.1.5. Conjunto Unitario. Es aquel que tiene un solo elemento.

A = { 2} B = {3,3,3,3} es tambin unitario. Los elementos repetidos se consideran una sola vez.

3.1.6. Conjuntos Iguales. Son aquellos conjuntos que tienen los mismos elementos. Dados los conjuntos: A={2,3} y B={3,2}, entonces, debido a que tienen los mismos elementos, afirmamos que A = B

Ejemplo: Si los siguientes conjuntos son iguales, hallar x+y.

A={x + 2; 4} y B={5; y 3) Como los conjuntos A y B son iguales, entonces deben tener los mimos elementos: Si en el conjunto A hay un elemento 4, entonces debe haber en el

EJERCICIOS 1) Cules son los elementos de: a) El conjunto de los das de la semana b) El conjunto de las estaciones del ao c) Los nmeros impares menores de 11 d) Los nmeros pares mayor que e) Los nmeros primos menores de 152) Colocar V F segn lo afirmado a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } b) y { o, p, q, x } c) x { o, p, q, y } d) Per { pases de Europa } e) Amazonas { ros de Amrica }3) Cules de los siguientes conjuntos son: a) A = { x / x es da de la semana} b) B = { vocales de la palabra vals} c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} d) D = { x / x es un habitante de la luna} e) E = { x N / x < 15} f) F = { x N y 5 < x < 5 } g) G = { x N y x > 15}

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Es aquel que tiene un solo

unitario. Los elementos repetidos se consideran una sola vez.

Son aquellos conjuntos que tienen los mismos elementos. Dados los conjuntos: A={2,3} y B={3,2}, entonces, debido a que tienen los mismos elementos, afirmamos que A = B.

Ejemplo: Si los siguientes conjuntos son iguales,

Como los conjuntos A y B son iguales, entonces deben tener los mimos elementos: Si en el conjunto A hay un elemento 4, entonces debe haber en el

conjunto B un elemento 4. El elemento 5 no lo es, entonces y 3 = 4. Resolviendo: y obtenemos: y = 7.

Igualmente, si en el conjunto B, hay un elemento 5, entonces debe haber en el conjunto A un elemento 5. El elemento 4 no lo es, entonce, x + 2 = 5.

Resolviendo: x + 2 = 5, obtenemos : x = 3.

Por lo tanto: x + y es: 3 + 7 = 10

3.1.7. Conjuntos Disjuntos. conjuntos son disjuntoselemento en comn. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos.

Formalmente, dos conjuntossu interseccin es el conjunto vaco

Cules son los elementos de: El conjunto de los das de la semana El conjunto de las estaciones del ao

ros impares menores de 11 que 10 y menor que 20

Los nmeros primos menores de 15 segn lo afirmado sean verdadero o falso

( ) ( ) ( ) ( )

{ ros de Amrica } ( ) Cules de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos, infinitos?A = { x / x es da de la semana} B = { vocales de la palabra vals}

D = { x / x es un habitante de la luna}

emento 4. El elemento 5 no lo es, 3 = 4. Resolviendo: y 3 = 4,

Igualmente, si en el conjunto B, hay un elemento 5, entonces debe haber en el conjunto A un elemento 5. El elemento 4 no lo es, entonce, x + 2 = 5.

: x + 2 = 5, obtenemos : x = 3.

Por lo tanto: x + y es: 3 + 7 = 10

.1.7. Conjuntos Disjuntos. Se dice que dos disjuntos si no tienen ningn

o en comn. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos.

Formalmente, dos conjuntos A y B son disjuntos si conjunto vaco; es decir, si

vacios, unitarios, finitos, infinitos?

21

h) H = { x N y x = x}

i) I = { x / x es presidente del Ocano Pacfico}

j) J = { x / x es nmero de cabellos total de los habitantes del Per }

3.2. OPERACIONES CON CONJUNTOS

3.2.1. La unin de dos conjuntos A Y B, denotada por A B, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos de A B, de ambos.

Ejemplos: 1) Si A = {a, b}, B = {c, d}, entonces A B = {a, b,c, d}

2) Si A = {a, b}, B = {a, c}, entonces A B = {a, b, c}

3) Si A = {a,b}, B = {}, entonces A B = {a, b}

4) Si A = {a, b}, B = {c, {a, b}}, entonces A B = {a, b, c, {a, b}}

3.2.2. La interseccin de dos conjuntos A Y B, denotada por A B, es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos que estn tanto en A como en B.

Ejemplos: 1) {a, b} {a, c} = {a}

2) {a, b} {c, d} = {}

3) {a, b} {} = {}

3.2.3. La diferencia de dos conjuntos A Y B, denotada por A B, es el conjunto que contiene exactamente aquellos elementos de A que no estn en B.

Ejemplos: 1) {a, b, c} {a} = {b, c}

2) {a, b, c} {a, d} = {b, c}

3) {a, b, c} {d, e} = {a, b, c}

3.2.4. La diferencia simtrica de dos conjuntos A Y B, denotada por A B, es el conjunto que contiene todos los elementos que estn en A o en B pero no en ambos, es decir, A B = (A B) (A B).

Ejemplos: 1) {a, b} {a, c}={b, c}

2) {a, b} {}= {a, b}

3) {a, b} {a, b}={}

22

EJERCICIOS

1. Sea A= {a,b,c} y B= {b,c,d,e} entonces AB = (represente con Diagrama de Venn).

2. Sea A= {1,3,5,7,} y B= {2,4,6,8,} entonces AB = (represente con Diagrama de Venn).

3. Supongamos que C= {a,e,i,o,u} y D= {e,o,u} entonces CD= (represente con Diagrama de Venn).

4. Sean A= {p,q,r,s} y B= {r,s,k} entonces: A B= y B A= (represente con Diagrama de Venn).

5.

4. NMEROS REALES

Los nmeros son muy importantes para el hombre moderno. En estos tiempos en los que se realizan viajes espaciales y en los que las computadoras son usadas tanto por amas de casa, as como por investigadores, los nmeros estn presentes en toda actividad del hombre. Los nmeros afectan a las actividades ms comunes, como la adquisicin de alimentos en el mercado y la consulta de fechas en el calendario. Resulta claro que sin los nmeros no existiran instrumentos de medicin como el reloj, la regla y el termmetro.

El nmero es til en una amplia gama de situaciones reales. Sin embargo, situaciones reales diferentes requieren el uso de diferentes clases de nmeros: el pastor, que desea conocer el nmero de ovejas de su rebao, necesita de los nmeros naturales o nmeros para contar; el ama de casa, que dispone de la receta de un guiso para 7 personas y desea prepararlo para 11, necesita de los nmeros racionales o nmeros para comparar. Para diversas

aplicaciones, se han creado diversas clases de nmeros.

Los nmeros reales son: Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales.

4.1. NMEROS NATURALES

Son los que se usan con mayor frecuencia, en actividades cotidianas; son tambin los nmeros ms antiguos que se conocen. Este conjunto de nmeros se denota como: y est definido como sigue:

= {1,2,3,4,5, }

La grfica de los nmeros naturales sobre la recta real (siendo sta la recta horizontal que va de menos infinito a ms infinito) es la siguiente:

23

Observemos que los nmeros naturales al ser graficados sobre la recta real, son nicamente puntos aislados sobre ella.

4.2. NMEROS ENTEROS

Los nmeros naturales no son suficientes para todas las actividades del hombre. Existen diversas situaciones en que las cantidades pueden considerarse en una direccin o en la direccin opuesta. Por ejemplo, un saldo de quinientos pesos a favor es muy diferente a un saldo de quinientos pesos en contra, una temperatura de quince grados sobre cero es diferente a quince grados bajo cero, no es lo mismo 100 aos antes de cristo que 100 aos despus de cristo, etc. En estas situaciones los nmeros naturales nicamente sirven para describir una direccin y para describir la direccin contraria, es necesario usar los nmeros enteros. El conjunto de nmeros enteros se denota como: y se define por:

La grfica de los nmeros enteros sobre la recta real es:

En la grfica se observa que los nmeros enteros sobre la recta real, continan siendo puntos aislados, pero ya tambin aparecen nmeros negativos. Adems tambin nos damos cuenta que los nmeros naturales son un subconjunto de los nmeros enteros, es decir, todo nmero natural es un nmero entero y se representa como:

Un diagrama de Venn es el siguiente:

4.3. NMEROS RACIONALES

Estos nmeros son tiles cuando es necesario trabajar con fracciones. Los nmeros racionales se denotan por: y para definirlos se utiliza la notacin constructiva de un conjunto.

Observemos que el cociente formado por nmeros enteros (siempre y cuando el denominar sea diferente de cero) es un nmero racional. Como ejemplos de nmeros racionales se dan los siguientes:

Anteriormente se indic que todo nmero natural es un nmero entero, ocurrir que todo nmero entero tambin sea un nmero racional, la respuesta es si y la forma ms simple es dividir a cada nmero entero entre uno. De esta forma siguen siendo nmeros enteros, pero representadas como nmeros racionales. Luego, se obtiene que los nmeros enteros sean un subconjunto de los nmeros racionales, es decir: de manera mas completa

El diagrama de Venn es:

La grfica de algunos nmeros racionales es la siguiente:

24

Se puede observar que aunque fueron graficados slo algunos nmeros racionales, cubren mucho ms espacio sobre la recta real y si nos imaginamos la grfica de todos los nmeros racionales, nos podremos dar cuenta que an quedan huecos sobre la recta real y dichos huecos corresponden a los nmeros irracionales.

4.4. NMEROS IRRACIONALES

Estos nmeros no son representados como nmeros racionales y si se representan en su expansin decimal, se distinguen de los nmeros racionales por que su expansin decimal no es peridica y la expansin decimal de todo nmero racional si es peridica. A continuacin se dan ejemplos de nmeros en su expansin decimal y se indica si es racional o irracional.

Los ejemplos 1, 2, 3 y 4 representan nmeros irracionales, dado que su expansin decimal no es peridica y los nmeros de los ejemplos 5, 6 y 7 son nmeros racionales por que su expansin decimal si es peridica, para el ejemplo 5 el perodo es dos, para el ejemplo 6 el perodo es tres y para el ejemplo 7 el perodo es cuatro.

Si ahora sobre la recta real se graficaran todos los nmeros racionales y todos los nmeros irracionales, se cubriran todos los puntos de la recta real, es esta la razn del por qu a cada punto de la recta real le corresponde un nmero real y tambin el por qu de dicho nombre. Los nmeros irracionales sern denotados como: .

4.5. NMEROS REALES

Los nmeros reales se denotan por: y lo forman todos los nmeros racionales y todos los nmeros irracionales, es decir:

Un diagrama de Ven en donde se contemplan a todos los conjuntos de nmeros que hemos visto es el siguiente:

4.6. OPERACIONES CON NMEROS REALES

Para todo nmero real a, b y c:

Propiedad Conmutativa: a + b = b + a a b = b a Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5 2 x 4 = 4 x 2

Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c

Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4 5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7

Elemento Identidad de la Suma: a + 0 = a

Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4

Elemento Identidad de la Multiplicacin: a 1 = a

Ejemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3

25

Inverso Aditivo: a + (-a) = 0

Ejemplo: 6 + (-6) = 0

Inverso

Multiplicativo:

Ejemplos:

Propiedad Distributiva: a (b + c) = a b + a c

Ejemplo: 5 (3 + 4) = 5 3 + 5 4

26

EJERCICIOS

Indica a cual o cuales de los siguientes conjuntos pertenecen los nmeros de la izquierda de la tabla con una marca de cotejo:

Nmero/Conjunto numrico

Natural

Cardinal

Entero

Racional

Irracional

Real 11 -7 0 0.272727 7.25 2.7985413 1

Identifica la propiedad en cada enunciado:

1. 7 + 5 = 5 + 7 ___________________________ 6. 11 + 0 = 11 ___________________________

2. 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5) ___________________ 7. 9 + -9 = 0 ____________________________

3. (6 x 3) x 1 = 6 x (3 x 1) ____________________ 8. 2 x = 1 ____________________________

4. 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2) ____________________

5. 7 x 1 = 7 ________________________________

CONTESTA LAS PREGUNTAS 1 A 3 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIN

El gerente de una compaa procesadora de atn cita al fabricante de envases de lata, especificaciones sobre algunas de alternativas. El fabricante advierte que el calibre de las latas con las cuales se fabrican los envases es el mismo y por lo tanto no incide en la capacidad de los envases. Adems presenta las dos alternativas siguientes:

1. Si por conveniencia financiera, la compaa requiere la lata en la cual pueda envasar la menor cantidad de atn, cul de las dos latas se debe elegir?:

a) La No. 2 ya que el radio de la No. 1 es el triple de la No. 2 y en consecuencia, el volumen de sta resulta menor.

b) Cualquiera de las dos latas, pues ambas tienen un volumen igual a 108 cm.

c) La No.1 ya que la No.2 tiene mayor volumen por tener una altura mayor.

d) Cualquiera de las dos latas, pues, aunque el radio No.2 es la tercera parte del radio de la lata No.1, su altura es nueve veces la de la No.1, lo cual implica que su volumen sea el mismo.

2. Si al envase se le debe colocar una etiqueta de papel en el contorno (como lo indica la figura) y deseamos saber la cantidad de papel requerida en cada lata; de los siguientes cul ser el ms conveniente?:

a) Determinar la longitud de la circunferencia de una

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PRUEBA TIPO ICFES CONTESTA LAS PREGUNTAS 1 A 3 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIN El gerente de una compaa procesadora de atn cita al fabricante de envases de lata, especificaciones sobre algunas de sus posibles alternativas. El fabricante advierte que el calibre de las latas con las cuales se fabrican los envases es el mismo y por lo tanto no incide en la capacidad de los envases. Adems presenta las dos alternativas

ncia financiera, la compaa requiere la lata en la cual pueda envasar la menor cantidad de atn, cul de las dos latas se debe

La No. 2 ya que el radio de la No. 1 es el triple de la No. 2 y en consecuencia, el volumen de sta resulta menor.

alquiera de las dos latas, pues ambas tienen un volumen igual a 108 cm. La No.1 ya que la No.2 tiene mayor volumen

Cualquiera de las dos latas, pues, aunque el radio No.2 es la tercera parte del radio de la

es nueve veces la de la No.1, lo cual implica que su volumen sea el

2. Si al envase se le debe colocar una etiqueta de papel en el contorno (como lo indica la figura) y deseamos saber la cantidad de papel requerida en cada lata; de los siguientes procedimientos

a) Determinar la longitud de la circunferencia de una

de las bases circulares de la lata y multiplicar dicho valor por la altura.

b) Multiplicar el dimetro de una de las bases circulares por la altura

c) sumar a la altura la longitud de la circunferencia de una de las bases circulares de la lata.

d) Determinar el rea total de la lata y ha dicho valor restarle el doble del rea de una de las bases circulares de la lata.

3. Para vender atn, las lacajas sin tapa, como se muestra en las figuras. Si el gerente se decidi por la lata No.1 y en cada caja deben ir 6 latas, cul de las siguientes cajas no debe usar la compaa, si quiere utilizar la caja de volumen menor?:

a)

b)

d)

de las bases circulares de la lata y multiplicar dicho valor por la altura.

b) Multiplicar el dimetro de una de las bases circulares por la altura.

c) sumar a la altura la longitud de la circunferencia de una de las bases circulares

d) Determinar el rea total de la lata y ha dicho valor restarle el doble del rea de una de las bases circulares de la lata.

3. Para vender atn, las latas se empacan en cajas sin tapa, como se muestra en las figuras. Si el gerente se decidi por la lata No.1 y en cada caja deben ir 6 latas, cul de las siguientes cajas no debe usar la compaa, si quiere utilizar la caja de volumen menor?:

c)


Para probar el efecto que tiene una vacuna aplicada a 516 ratones sanos, se realiza un experimento en un laboratorio. El experimento consiste en identificar durante algunas horas la regularidad en el porcentaje de ratones que se enferman al ser expuestos posteriormente al virus que ataca la vacuna. Las siguientes grficas representan el porcentaje de ratones enfermos al cabo de la primera, segunda y tercera hora de iniciado el experimento.

4. La grfica que representa mejor el porcentaje de ratones enfermos es:

a) b)

c) d)

5. Sea t el nmero de horas trdespus de iniciado el experimento. La expresin que representa el incremento en el

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CONTESTA LAS PREGUNTAS 4 A 6 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIN Para probar el efecto que tiene una vacuna aplicada a 516 ratones sanos, se realiza un experimento en

ratorio. El experimento consiste en identificar durante algunas horas la regularidad en el porcentaje de ratones que se enferman al ser expuestos posteriormente al virus que ataca la vacuna. Las siguientes grficas representan el porcentaje de

rmos al cabo de la primera, segunda y tercera hora de iniciado el experimento.

4. La grfica que representa mejor el porcentaje

el nmero de horas transcurridas despus de iniciado el experimento. La expresin que representa el incremento en el

porcentaje de ratones enfermos entre el tiempo t y un tiempo (t + 1) es:

a) 25t b) 25 2

6. Luego de resultar infectado con el ratn tiene tan solo un 35% de posibilidad de sobrevivir. Segn esto, si hubiera suspendido el experimento al cabo de la primera hora de iniciado, el nmero de ratones vivos, unas horas ms tarde, posiblemente sera 432. Esta afirmacin es:

a) Falsa, porque de los 516 ratones moriran 129.

b) Falsa, porque al cabo de esta hora habra aproximadamente 180 ratones vivos.

c) Verdadera, porque sobreviviran 65 ratones de los 387 que se contagiaron con el virus.

d) Verdadera, porque al cabo de esta hora lograran sobrevivir 45 ratones de los infectados.


7. El vendedor del almacn afirma que en el da se recibi la misma cantidad de dinero por la venta de baldosas triado que por la venta de baldosas cuadu. Basndose en la afirmacin del vendedor usted puede deducir que:

a) La cantidad de baldosas cuadu vendidas fue el 1.6% de la cantidad de baldosas trado.

b) Por cada 8 baldosas triado vendidas, se vendieron 5 baldosas cuadu.

c) La cantidad de baldo1.6 veces la cantidad de baldosas cuadu.

d) El 50% del total de baldosas vendidas fue triado ya que se recibi la misma cantidad de dinero por su venta que por la venta de las baldosas cuadu.

porcentaje de ratones enfermos entre el tiempo + 1) es:

b) 25 2t c) d) 6. Luego de resultar infectado con el virus, un ratn tiene tan solo un 35% de posibilidad de sobrevivir. Segn esto, si hubiera suspendido el experimento al cabo de la primera hora de iniciado, el nmero de ratones vivos, unas horas ms tarde, posiblemente sera 432. Esta

sa, porque de los 516 ratones moriran

Falsa, porque al cabo de esta hora habra aproximadamente 180 ratones vivos. Verdadera, porque sobreviviran 65 ratones de los 387 que se contagiaron con el virus. Verdadera, porque al cabo de esta hora

n sobrevivir 45 ratones de los


7. El vendedor del almacn afirma que en el da se recibi la misma cantidad de dinero por la venta de baldosas triado que por la venta de baldosas cuadu. Basndose en la afirmacin del vendedor usted puede deducir que:

La cantidad de baldosas cuadu vendidas fue el 1.6% de la cantidad de baldosas trado. Por cada 8 baldosas triado vendidas, se vendieron 5 baldosas cuadu. La cantidad de baldosas triado vendida fue 1.6 veces la cantidad de baldosas cuadu. El 50% del total de baldosas vendidas fue triado ya que se recibi la misma cantidad de dinero por su venta que por la venta de las baldosas cuadu.

29

8. Para incentivar la compra de baldosas cuadu, el dueo del almacn decide unificar el valor por centmetro cuadrado de baldosas triado y cuadu. El procedimiento que usted le sugerira al dueo para encontrar valores adecuados a sus propsitos es:

a) Sumar y luego dividir entre 2 los cocientes resultantes de la divisin entre el precio de cada baldosa y el rea que cubre.

b) Sumar y luego dividir entre 31 los precios de una baldosa triado y una cuadu.

c) Sumar y luego dividir entre dos los precios de una baldosa triado y una cuadu.

d) Sumar los cocientes resultantes de la divisin entre el precio de cada baldosa y el doble del rea cubierta por ella.

9. Un cliente sea dirigido a la seccin de quejas y reclamos del almacn asegurando que, de los 24 m que compr en baldosa cuadu, el 25% sali defectuosa y por tanto exige al almacn la devolucin de $110.000 correspondientes al precio de las baldosas defectuosas. Usted no est de acuerdo con el cliente, pues:

a) No es posible que haya comprado 24 m en este tipo de baldosa porque ello implicara que le vendieron partes de baldosas.

b) La cantidad de dinero que exige como devolucin sobrepasa el valor correspondiente al 25% de las baldosas compradas.

c) La cantidad de dinero exigido como devolucin es inferior al costo de 6 m de baldosa cuadu.

d) El precio de seis baldosas cuadu no corresponde al exigido en devolucin.


Algunos estudiantes de una universidad recogieron informacin acerca del nmero de hombres y mujeres que nacieron en un hospital durante dos semanas. La informacin la registraron en las siguientes tablas:

Tabla 1. Nacimientos en la primera semana

DA HOMBRES MUJERES Lunes 10 8 Martes 9 13 Mircoles 7 9 Jueves 12 11 Viernes 11 8 Sbado 6 8 Domingo 9 8

Tabla 2. Nacimientos en la segunda semana DA # TOTAL DE

NACIMIENTOS HOMBRES

Lunes 20 17 Martes 22 10 Mircoles 20 9 Jueves 18 9 Viernes 22 11 Sbado 16 4 Domingo 17 8

10. Con los datos que registraron los estudiantes desean hacer una comparacin entre la cantidad de hombres nacidos durante las dos semanas. Cul de las siguientes grficas representa mejor esta comparacin?

a)

b)

c)

d)

11. Partiendo de los datos presentados en las tablas es falso afirmar:

a) En la primera semana hubo ms nacimientos que en la segunda semana.

b) El nacimiento de hombres en la primera semana fue menor que el nacimiento de mujeres.

c) El nmero de nacimientos de mujeres fue menor que el nacimiento de hombres durante las dos semanas.

d) El nmero de nacimientos de mujeres fue mayor en la segunda semana que en la primera semana.

12. Segn los datos recogidos por los estudiantes durante las dos semanas en el hospital es posible afirmar que la probabilidad de que nazca un varn en cualquier da de la semana es de 1/2.?:

a) S, porque el porcentaje de nacimientos de hombres y mujeres en las dos semanas es del 50%.

b) No, porque el nmero de nacimientos de hombres en la primera semana fue distinto al nmero de nacimientos en la segunda semana.

c) S, porque al mirar el nmero de nacimientos al finalizar las dos semanas la cantidad de

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11. Partiendo de los datos presentados en las

semana hubo ms nacimientos que en la segunda semana. El nacimiento de hombres en la primera semana fue menor que el nacimiento de

El nmero de nacimientos de mujeres fue menor que el nacimiento de hombres

cimientos de mujeres fue mayor en la segunda semana que en la

12. Segn los datos recogidos por los estudiantes durante las dos semanas en el hospital es posible afirmar que la probabilidad de que nazca un varn en cualquier da de la

S, porque el porcentaje de nacimientos de hombres y mujeres en las dos semanas es No, porque el nmero de nacimientos de hombres en la primera semana fue distinto al nmero de nacimientos en la segunda

r el nmero de nacimientos al finalizar las dos semanas la cantidad de

hombres nacidos es igual a la cantidad de mujeres.

d) No, porque los datos registrados en la tabla no permiten establecer el porcentaje entre el nacimiento de hombres y de mujeres durante las dos semanas.


Un profesor de matemticas le propone a sus estudiantes realizar el conteo de dgitos de los nmeros que hay desde 1 hasta 999, como lo indica el siguiente ejemplo:

Cuntos dgitos hay desde 8 hasta 13?

La cantidad de dgitos de los nmeros que hay desde 8 hasta 13 es 10 dgitos.

El profesor les da como informacin que la cantidad de dgitos que hay desde 1 hasta 99 es 189.

13. Para responder a la situacin plprofesor, cuatro estudiantes presentaron algunos procedimientos. Si el procedimiento debe ser el ms rpido y confiable, cul de los presentados por los estudiantes escogera?

a) Contar de 1 en 1 hasta llegar a 999.b) Contar de 1 a 9, luego de

de 100 a 999 y sumar la cantidad obtenida en cada grupo contado.

c) Contar cuntos nmeros hay con 1 dgito, con 2 dgitos y con 3 dgitos, multiplicar por 1, por 2 y por 3 respectivamente y luego sumar.

d) Contar cuntos nmeros hay desde 1hasta 999; multiplicar por 3, y finalmente sumarle la cantidad de dgitos que ah desde uno hasta 99.

14. Daniel, luego de hacer el conteo afirma que cada dgito se repite la misma cantidad de veces en los nmeros desde 1 hasta 999, pero uno de

hombres nacidos es igual a la cantidad de

No, porque los datos registrados en la tabla no permiten establecer el porcentaje entre el nacimiento de hombres y de mujeres durante las dos semanas.

CONTESTA LAS PREGUNTAS 13 A 15 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIN Un profesor de matemticas le propone a sus estudiantes realizar el conteo de dgitos de los nmeros que hay desde 1 hasta 999, como lo indica

Cuntos dgitos hay desde 8 hasta 13?

La cantidad de dgitos de los nmeros que hay desde 8 hasta 13 es 10 dgitos.

El profesor les da como informacin que la cantidad de dgitos que hay desde 1 hasta 99 es 189.

13. Para responder a la situacin planteada por el profesor, cuatro estudiantes presentaron algunos procedimientos. Si el procedimiento debe ser el ms rpido y confiable, cul de los presentados por los estudiantes escogera?

Contar de 1 en 1 hasta llegar a 999. Contar de 1 a 9, luego de 10 a 99, por ltimo de 100 a 999 y sumar la cantidad obtenida en cada grupo contado. Contar cuntos nmeros hay con 1 dgito, con 2 dgitos y con 3 dgitos, multiplicar por 1, por 2 y por 3 respectivamente y luego

Contar cuntos nmeros hay desde 100 hasta 999; multiplicar por 3, y finalmente sumarle la cantidad de dgitos que ah desde

14. Daniel, luego de hacer el conteo afirma que cada dgito se repite la misma cantidad de veces en los nmeros desde 1 hasta 999, pero uno de

sus compaeros comenta que esa afirmacin es falsa, porque:

a) Los nmeros de 1 a 999 tienen un orden pero sus dgitos no pueden repetirse la misma cantidad de veces.

b) El conteo se hace desde 1 y no desde cero, teniendo al cero mnimo una vez menos.

c) La cantidad de nmeros que tienen 2 dgitos es distinta a la cantidad de nmeros que tienen slo 1 dgito.

d) La cantidad de veces que se repite el cero no es la misma con la que se repiten los dems dgitos.

15. Un estudiante le pregunta al profesor si es posible saber cuntos dgitos hay desde hasta 1, conociendo la cantidad que hay desde 1 a 999, sin contar de 1 en 1. Si usted fuera el profesor, le respondera a este estudiante que:

a) No, porque el conteo slo es posible hacerlo de manera ascendente, es decir, deshasta 999.

b) S, porque aunque est antecedido por el signo menos no afecta el conteo de dgitos.

c) S, porque el orden y el signo no son involucrados en el conteo, siendo as el mismo nmero de dgitos el conjunto anterior.

d) No, porque los dgitos son sieentonces -1 no es un dgito.


Una biblioteca mand a construir el siguiente tipo de repisa para colocar los libros y textos escolares:

16. Las tres tablas que tiene la repisa son rectngulos de madera completos. Germn Camilo es el encargado de cortar estas tablas, pero lo debe hacer de una misma lmina para cada repisa. De

31

mpaeros comenta que esa afirmacin es

Los nmeros de 1 a 999 tienen un orden pero sus dgitos no pueden repetirse la

El conteo se hace desde 1 y no desde cero, teniendo al cero mnimo una vez menos.

nmeros que tienen 2 dgitos es distinta a la cantidad de nmeros que

La cantidad de veces que se repite el cero no es la misma con la que se repiten los

15. Un estudiante le pregunta al profesor si es untos dgitos hay desde 999

1, conociendo la cantidad que hay desde 1 a 999, sin contar de 1 en 1. Si usted fuera el profesor, le respondera a este estudiante que:

No, porque el conteo slo es posible hacerlo de manera ascendente, es decir, desde 1

S, porque aunque est antecedido por el signo menos no afecta el conteo de dgitos. S, porque el orden y el signo no son involucrados en el conteo, siendo as el mismo nmero de dgitos el conjunto No, porque los dgitos son siempre positivos,

1 no es un dgito.

CONTESTA LAS PREGUNTAS 16 A 18 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIN Una biblioteca mand a construir el siguiente tipo de repisa para colocar los libros y textos escolares:

las siguientes lminas, cul considera que Germn Camilo debe elegir para cortar las tablapara la repisa?:

17. Germn Camilo requiere enviar 25 repisas a Bogot, pero como fueron selladas con un pegante especial y para que no se daen, hay que transportarlas de pie y como mximo colocar una repisa sobre la otra. El furgn que contrataron para el transporte tiene un contenedor con capacidad de 2,4 m de largo, 1.2 m de ancho y 1.8 m de alto. Este furgn servir para llevar todas las repisas en un solo viaje?:

a) S, porque cada repisa solamente ocupa un rea de menos de de metro cuadrado y adems se pueden colocar dos hileras.

b) No, porque se requieren tres viajes del furgn.

c) S, porque como el volumen del furgn es de 5,184 metros cbicos y el de cada repisa 0,192 metros cbicos, necesariamente caben 27 repisas.

d) No, porque solamente se puede este furgn 24 repisas.

18. El dueo de la biblioteca requiere de otro tipo de repisa cuyas tablas tengan el doble del rea de las tablas de la repisa inicial. Para ello Germn Camilo analiza posibles cambios en las dimensiones de las tablas de la repisa inicial. Cul de los siguientes cambios le conviene ms a Germn Camilo?

a) Cuadruplicar el largo y dejar el ancho de las tablas.

b) Cuadruplicar el ancho y dejar la mitad del largo de las tablas.

c) Triplicar el largo de las tablas.d) Triplicar el largo

del ancho de las tablas.

las siguientes lminas, cul considera que Germn Camilo debe elegir para cortar las tablas

17. Germn Camilo requiere enviar 25 repisas a Bogot, pero como fueron selladas con un pegante especial y para que no se daen, hay que transportarlas de pie y como mximo colocar una repisa sobre la otra. El furgn que

para el transporte tiene un contenedor con capacidad de 2,4 m de largo, 1.2 m de ancho y 1.8 m de alto. Este furgn servir para llevar todas las repisas en un solo viaje?:

S, porque cada repisa solamente ocupa un rea de menos de de metro cuadrado y adems se pueden colocar dos hileras. No, porque se requieren tres viajes del S, porque como el volumen del furgn es de 5,184 metros cbicos y el de cada repisa 0,192 metros cbicos, necesariamente caben 27 repisas. No, porque solamente se puede llevar en este furgn 24 repisas.

18. El dueo de la biblioteca requiere de otro tipo de repisa cuyas tablas tengan el doble del rea de las tablas de la repisa inicial. Para ello Germn Camilo analiza posibles cambios en las dimensiones de las

la repisa inicial. Cul de los siguientes cambios le conviene ms a Germn Camilo?

Cuadruplicar el largo y dejar el ancho de las Cuadruplicar el ancho y dejar la mitad del largo de las tablas. Triplicar el largo de las tablas. Triplicar el largo de las tablas y dejar la mitad del ancho de las tablas.

32

UNIDAD 2

1. INTERVALOS Y OPERACIONES CON INTERVALOS

Supongamos que se tienen los conjuntos:

Observemos que difieren entre s, dado que por ejemplo en el primero se incluyen los extremos que son el 0 y el 3, y en segundo conjunto ya no se incluyen los extremos, es decir, en unos conjuntos se consideran los extremos y en otros no.

Grfica, nombre y notacin para cada uno de los conjuntos indicados

Al conjunto A1 se le llama intervalo cerrado, es decir, contiene todos los nmeros que estn entre 0 y 3. Tambin contiene los extremos, siendo estos el 0 y el 3. Su notacin es:

Al conjunto A2 se le llama intervalo abierto, contiene todos los nmeros que estn entre 0 y 3, no contiene los extremos. Su notacin es:

Al conjunto A3 se le llama intervalo cerrado-abierto, contiene todos los valores que estn entre 0 y 3, contiene el 0 y no contiene el 3. Su notacin es:

Al conjunto A4 se le llama intervalo abierto-cerrado, contiene todos los valores que estn entre 0 y 3, no contiene el 0 y contiene el 3. Su notacin es:

Observemos que cuando el extremo se considera geomtricamente se representa por y cuando no se considera se grfica representa por o.

Intervalos infinitos. Analicemos los conjuntos:

La grfica para cada intervalo es:

33

Observemos que la flecha hacia la derecha indica que el intervalo tiende a infinito y la flecha hacia la izquierda indica que el intervalo tiende hacia menos infinito.

1.1. OPERACIONES CON INTERVALOS

Las operaciones con las que trabajaremos son: unin, interseccin y resta o diferencia. A continuacin se recuerdan las definiciones de estas operaciones y para tal efecto, se utiliza la notacin constructiva de conjuntos.

35

EJERCICIOS

Realizar la unin, la interseccin y la resta en ambos sentidos y construir las grficas para cada pareja de intervalos que se dan:

2. INECUACIONES CON UNA Y DOS VARIABLES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO

2.1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

Una desigualdad es cualquier expresin en la que se utilice alguno de los siguientes smbolos: < (menor que), > (mayor que) (menor o igual que), (mayor o igual que)

Por ejemplo: 2 (siete es mayor que pi) x5 (x es menor o igual que 5)

Una inecuacin es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Aqu estudiamos slo las de primer grado.

2.1.1. Inecuaciones equivalentes. El proceso de resolucin de inecuaciones se basa (igual que en el caso de las ecuaciones) en la transformacin de la inecuacin inicial en otra equivalente ms sencilla.

37

EJERCICIOS..

En cada caso indica cul de las inecuaciones, I, II, III, IV es equivalente a la dada:

1. Dada la inecuacin 4 3 5x x , indica cul de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella: I) 5x II) 5x III) 5x IV) 5x

2. Dada la inecuacin 9 6x , indica cul de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella:

I) 69

x II) 69

x

3. Dada la inecuacin 6 5 59x , indica cul de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella:

I) 506

x II) 506

x

38

2.2. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA

40

2.3. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCGNITAS

En este caso, las soluciones no son conjuntos de nmeros, sino conjuntos de parejas de nmeros, por lo que no pueden representarse sobre una lnea recta: deben representarse como subconjuntos del plano.

Resolucin grfica

Una solucin de una inecuacin de dos variables es una pareja de nmeros (x0,y0), tales que al sustituir sus valores en las incgnitas de la inecuacin, hacen que la desigualdad sea cierta. Cada pareja de nmeros reales se puede representar como un punto del plano.

Por tanto, resolver la inecuacin equivale a obtener todos los puntos del plano cuyas coordenadas hacen que se verifique la desigualdad.

Para ello se procede de la siguiente forma: se dibuja la recta, se elige un punto que no pertenezca a la misma y se comprueba si las coordenadas del punto cumplen la desigualdad o no, si la cumplen la zona en la que est el punto elegido es la solucin de la inecuacin, si no la cumplen la solucin es la otra zona.

41

2.3.1. Sistemas de inecuaciones

42

EJERCICIOS

INECUACIN DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCGNITA Resuelve la inecuacin siguiente en forma grfica: x25x>0

INECUACIN DE PRIMER GRADO CON DOS INCGNITAS Averigua si el punto P(-1,-2) es una solucin de la inecuacin -2x + 3y 1 y dibuja el semiplano solucin, indicando si incluye o no a la recta -2x + 3y = 1

2.4. PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES

EJERCICIOS

1.

2.

2.5. DEFINICIN Y GRFICA DEL VALOR ABSOLUTODado un nmero real cualquiera, a, se define su valor absoluto como:

Este valor se conoce tambin como mdulo de representa al nmero a.

Si a, b y k 0 se verifican las siguientes propiedades:

43

. DEFINICIN Y GRFICA DEL VALOR ABSOLUTO , se define su valor absoluto como:

como mdulo de a y representa la distancia del origen de la recta real al punto que

0 se verifican las siguientes propiedades:

y representa la distancia del origen de la recta real al punto que

44

2.5.1. Tratamiento del valor absoluto utilizando la grfica de f(x)=|x|. El registro grfico es muy til para resolver ecuaciones del tipo , |x3| = 3 si tenemos en cuenta el efecto grfico de la aplicacin del valor absoluto a funciones lineales.

Para resolver |x3| = 3, bastar graficar y=x-3, aplicar la reflexin con respecto del eje x de la parte negativa de la grfica, obteniendo la grfica de y=|x-3|, procediendo posteriormente a hallar la interseccin con la recta y=3.

En ejemplos como el dado quiz no queda clara la eficacia de este mtodo. Sin embargo, debemos poner nfasis en su aplicacin, an en ecuaciones e inecuaciones sencillas, por constituir la base conceptual y procedimental para avanzar en el estudio de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto ms complejas.

Es aqu donde la potencia del uso del registro grfico se pone de manifiesto al resolver ecuaciones e inecuaciones como: |||x|-1|-1|=5 ; |x+2| < 3x+4 ; |x2-3x+2| > 4x+7.

ACTIVIDADES

Actividad 1: Cmo opera el valor absoluto sobre la funcin y=x?. Observa con detenimiento las siguientes grficas:

45

Puedes obtener alguna conclusin? El objetivo de esta actividad - claramente del tipo mirar y ver- indaga la capacidad de inferencia de los alumnos, a travs de una secuencia en registro grfico, sobre el efecto del valor absoluto sobre la grfica de f(x)=x.

Actividad 2: Utilizando lo anterior, graficar y= |x+1|

Actividad 3: A partir del grfico de la Actividad (2) determinar la solucin de: a) |x-1|=0 b) |x-1|=3 c) |x-1|= -5

2.6. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

2.6.1. Ecuaciones con valor absoluto de la forma ax + b= c

El valor absoluto de un nmero real es la distancia entre ese nmero y el cero en la recta numrica, esto es, a=-a.Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto. Por ejemplo, si x= 3, entonces x = 3 x = -3. Por lo tanto, la solucin de la ecuacin x= 3 es -3 y 3.

Las soluciones de una ecuacin de la forma ax + b= c, donde a 0 y c es un nmero positivo, son aquellos valores que satisfacen: ax + b = c ax + b = -c.

Ejemplos para discusin:

1) 3x - 4 = 5

EJERCICIOS

1) 3x - 4= 23

2) 2x + 1 + 3 = 8

4) x - 6 = 5x + 8

2.6.2. Inecuaciones con valor absoluto de la forma ax + b< c

Qu significa x< 2 ? Significa que x es un nmero menor que 2 unidades desde cero a la recta numrica. La recta numrica nos ayuda a visualizar la situacin. Dibuja en el espacio provisto la recta numrica.

46

Observa que los valores que satisfacen la expresin x c

Qu significa x> 2 ? Significa que x es un nmero mayor que 2 unidades desde cero en la recta numrica. Esto ocurre cuando x est a la izquierda de -2 en la recta numrica, esto es, cuando x < -2. Tambin ocurre cuando x est a la derecha de 2 en la recta numrica, esto es, cuando x > 2. Dibuja la recta numrica en el espacio provisto para que puedas visualizarlo.

47

De manera que la solucin de x> 2 es x < -2 x > 2.

Propiedad: Si a es un nmero real positivo y x> a, entonces x < -a x > a.

Ejemplos para discusin:

1) x 3

2) x - 4> 5

3) 2x - 3> 5

EJERCICIOS

Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones.

1) x> 5

2) x + 6> 2

3) -5x - 2>13

MEDICIN

Responda las preguntas 1 y 4 con la siguiente informacin:

En una fbrica de congeladores construyen neveras como la representada en el dibujo. En el manual de instrucciones de esta nevera se menciona, entre otras cosas, sus medidas y el volumen en litros por compartimiento, el cual es de 44 litros para el congelador y 176 litros para el conservador.

1. Para informacin a los consumidores se grafica la distribucin del volumen total de la nevera. La grfica ms adecuada sera:

a)

b)

48

PRUEBA TIPO ICFES

Responda las preguntas 1 y 4 con la siguiente

En una fbrica de congeladores construyen neveras presentada en el dibujo. En el manual de

instrucciones de esta nevera se menciona, entre otras cosas, sus medidas y el volumen en litros por compartimiento, el cual es de 44 litros para el congelador y 176 litros para el conservador.

n a los consumidores se grafica la distribucin del volumen total de la nevera. La grfica ms adecuada sera:

c)

d)

2. En el manual de instrucciones de la nevera se menciona que la proporcin entre elcongelador y del conservador es de 1 a 4, respectivamente. Esto significa que:

a) Por cada litro de volumen del congelador hay 4 litros de volumen en el conservador.

b) La diferencia entre volmenes en litros apenas es tres veces el volumen del congelador.

c) El volumen del congelador es en comparacin al volumen del conservador.

d) Por 4 litros de volumen en el congelador hay 1 litro de volumen en el conservador.

3. La empresa decidi construir un nuevo modelo de nevera, manteniendo el volumen total danterior y en el que la proporcin entre el volumen del congelador y el conservador sea de 1 a 3 respectivamente. Analizando esta proporcin se puede afirmar que en el nuevo modelo.

a) El volumen del conservador y el del congelador aumentan respecto a lainicial.

2. En el manual de instrucciones de la nevera se menciona que la proporcin entre el volumen del congelador y del conservador es de 1 a 4, respectivamente. Esto significa que:

Por cada litro de volumen del congelador hay 4 litros de volumen en el conservador. La diferencia entre volmenes en litros apenas es tres veces el volumen del

El volumen del congelador es en comparacin al volumen del conservador. Por 4 litros de volumen en el congelador hay 1 litro de volumen en el conservador.

3. La empresa decidi construir un nuevo modelo de nevera, manteniendo el volumen total de la anterior y en el que la proporcin entre el volumen del congelador y el conservador sea de 1 a 3 respectivamente. Analizando esta proporcin se puede afirmar que en el nuevo

El volumen del conservador y el del congelador aumentan respecto a la nevera

b) El volumen del congelador aumenta y el volumen del conservador disminuye, en comparacin con la nevera inicial.

c) El volumen del congelador representa un tercio y el del conservador representa dos tercios del volumen total.

d) El volumen del congelador representa la cuarta parte y el del conservador representa las tres cuartas partes del volumen total.

4. El espacio para colocar la nevera en el apartamento de don Felipe tiene un rea rectangular de 3.900 cm2. l podra colocar all una nevera como la representada en el dibujo inicial, si:

a) La medida de las dos dimensiones del rea rectangular es la misma (Aprox. 62

b) La medida de una de las dimensiones del rectngulo es 80 cm.

c) La medida de un lado del rectngulo es 52 cm.

d) Al multiplicar las medidas de cada una de las dimensiones del rectngulo no excede a 3.900 cm2.

5. Las siguientes piezas son utilizadas en la industria de la ornamentacin como piezas de seguridad.

49

El volumen del congelador aumenta y el volumen del conservador disminuye, en comparacin con la nevera inicial. El volumen del congelador representa un tercio y el del conservador representa dos

ngelador representa la cuarta parte y el del conservador representa las tres cuartas partes del volumen total.

4. El espacio para colocar la nevera en el apartamento de don Felipe tiene un rea rectangular de 3.900 cm2. l podra colocar all

omo la representada en el dibujo La medida de las dos dimensiones del rea rectangular es la misma (Aprox. 62-45). La medida de una de las dimensiones del

La medida de un lado del rectngulo es 52

didas de cada una de las dimensiones del rectngulo no excede a

5. Las siguientes piezas son utilizadas en la industria de la ornamentacin como piezas de

Se ha colocado x en las dimensiones de cada pieza, ya que pueden variar de acuerdo con las necesidades de los compradores. Para que el fabricante de estas piezas logre construir la pieza 2, debe:

a) A una pieza de dimensiones (2x+5).2x.3x quitarle un pedazo de dimensiones x.x(2x+5).

b) Ensamblar 5 piezas iguales de dimenx.x(2x+5)

c) Ensamblar tres piezas, dos de dimensiones iguales de 2x.(2x+5) y otra de dimensiones x.x. (2x+5).

d) Ensamblar tres piezas, dos de stas iguales cuyas dimensiones corresponden a 2x.x y la otra de 3x.2x(2x+5)

RESPONDA LAS PREGUNTAS 6 Y 7 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIN

En un club deportivo tienen 3 cubos numerados del 1 al 3, como se muestra en la figura, que se utilizan en el momento de entregar las medallas de oro, plata y bronce, a los ganadores de cada competencia.

6. Si se gasta un galn de pintura para pintar el cubo 3. De qu manera se puede determinar el nmero de galones de pintura que se necesita para pintar los cubos 1 y 2?.

a) Contando el nmero de cuadrados de rea 2

4x

que se necesita para formar un

del cubo 1 y una cada del cubo 2.b) Contando el nmero de cubos de volumen

3

4x

que se necesita para formar los cubos

1 y 2.

Se ha colocado x en las dimensiones de cada eden variar de acuerdo con las

necesidades de los compradores. Para que el fabricante de estas piezas logre construir la pieza

A una pieza de dimensiones (2x+5).2x.3x quitarle un pedazo de dimensiones

Ensamblar 5 piezas iguales de dimensiones

Ensamblar tres piezas, dos de dimensiones iguales de 2x.(2x+5) y otra de dimensiones Ensamblar tres piezas, dos de stas iguales cuyas dimensiones corresponden a 2x.x y la otra de 3x.2x(2x+5)

RESPONDA LAS PREGUNTAS 6 Y 7 DE CUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIN

En un club deportivo tienen 3 cubos numerados del 1 al 3, como se muestra en la figura, que se utilizan en el momento de entregar las medallas de oro, plata y bronce, a los ganadores de cada competencia.

sta un galn de pintura para pintar el cubo 3. De qu manera se puede determinar el nmero de galones de pintura que se necesita para pintar los cubos 1 y 2?.

Contando el nmero de cuadrados de rea

que se necesita para formar una cara

del cubo 1 y una cada del cubo 2. Contando el nmero de cubos de volumen

que se necesita para formar los cubos

50

c) Sumando los valores de t que solucionan las ecuaciones

2 2 2 21 1

66 6 6

4 4 4

t tyxx x x

= =

d) Sumando los valores de t que solucionan las ecuaciones

3 3 3 21 1

4 4 4

t tyxx x x

= =

7. Si se cambian los cubos 2 y 3 por cajas de base rectangular que tienen el mismo ancho y alto que los cubos 2 y 3 respectivamente, pero cada una con largo igual a la arista del cubo 1, y las numeramos 4 y 5 respectivamente, podemos decir que:

a) Las cajas 4 y 5 tienen el mismo volumen, y ste es el doble del volumen del cubo 2.

b) El rea total de la caja 5 es tres veces el rea total del cubo 3, y el rea total de la caja 4 es menor que el doble del rea total del cubo 2.

c) El volumen de la caja 4 es el doble del volumen del cubo 2, y el volumen de la caja 5 es cuatro veces el volumen del cubo 3.

d) El rea total de las cajas 4 y 5 es la misma y sta es cuatro veces el rea total del cubo 3.

RESPONDA LAS PREGUNTAS 8 A 10 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIN

A un tringulo equiltero de 75 cm de permetro se le quitan tres tringulos tambin equilteros de 5 cm de lado, como se muestra en la figura.

8. El permetro de la zona sombreada puede ser calculado as:

a) A 75 cm le restamos el permetro de cada uno de los tringulos de 5 cm de lado.

b) A 75 cm le restamos el permetro de uno de los tringulos de 5 cm de lado.

c) Calculamos la medida de cada uno de los lados de la figura sombreada y luego sumamos estos valores.

d) A cada lado del tringulo ABC le restamos 10 cm y luego multiplicamos ese valor por 3.

9. Es posible quitar tringulos equilteros de las esquinas del tringulo ABC, buscando que el polgono que se forma en el interior sea siempre de 6 lados, slo si el lado de cada uno de estos tringulos:

a) Es mayor o igual a 0 pero menor que la mitad de la longitud del lado del tringulo ABC.

b) Es mayor que 0 pero menor o igual que la mitad de la longitud del lado del tringulo.

c) Es mayor que 0 pero menor que la mitad de la longitud del lado del tringulo ABC.

d) Est entre o y la mitad de la longitud del lado del tringulo ABC.

10. Suponga que la longitud de los lados de los tringulos, en las esquinas del tringulo ABC, es exactamente la mitad de la longitud del lado de dicho tringulo, entonces, es cierto afirmar que:

a) El polgono interior es congruente con cualquiera de los tringulos de las esquinas.

b) El permetro del polgono interior es la tercera parte del permetro del tringulo ABC.

c) El polgono que se forma en el interior no altera el permetro del tringulo ABC.

d) El rea del polgono interior es la tercera parte del rea del tringulo ABC.

RESPONDA LAS PREGUNTAS 11 A 13 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIN

En los frascos de pintura de cierta marca, se especifica que para disminuir la tonalidad de la pintura en un 5%, se debe agregar x/2 cm3 de pintura blanca por cada x cm3 de pintura de color.

11. Un estudiante de publicidad, cuenta con 40 cm3 de pintura roja, pero para su trabajo requiere mnimo 50 cm3 de la misma. El asegura que puede mezclarla con 10 cm3 de pintura blanca siempre y cuando la tonalidad no disminuya ms de un 25%. Respecto a agregar los 10 cm3 de pintura blanca, el estudiante debe tomar la decisin de:

a) Agregarlos ya que la tonalidad disminuira tan solo en 2,5%.

b) Agregarlos ya que la tonalidad disminuira tan slo un 10%

c) No agregarlos ya que la tonalidad disminuira en 50%.

d) No agregarlos ya que la tonalidad disminuira un 60%.

12. Un artista ha tomado cierta cantidad de pintura verde y por equivocacin la ha mezclado con pintura

blanca, que equivale en cantidad a la tercera parte de la inicial. Ante la equivocacin, el artista decide agregar la misma cantidad de pintura verde inicial para recobrar la tonalidad. El resultado que el artista obtiene luego de las mezclas indicadas no es el que l espera, porque:

a) Para recobrar la tonalidad debi agregar tanta pintura verde, como la que agreg por equivocacin.

b) La tonalidad de la cintura disminuy aproximadamente en 1,66%.

c) Para recobrar la tonalidad debi agregar, en pintura verde, cinco veces la cantidad de pintura que agreg por equivocacin.

d) La tonalidad de la pintura disminuy aproximadamente en 3,33%.

13. Un estudiante necesita mezclar cierta cantidad de pintura verde con otra blanca. Luego recipiente era el ms adecuado para guardar la mezcla, ha escogido uno que tiene capacidad para seis veces la cantidad de pintura verde inicial, asegurando que los llenar completamente. De acuerdo con esto, el objetivo del estudiante, al realizar la mezcla era:

a) Obtener pintura verde con una tonalidad 6% menor a la inicial.

b) Disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 60%.

c) Obtener pintura verde con una tonalidad 10% menor a la inicial.

d) Disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 50%.

RESPONDA LAS PREGUNTAS 14 Y 15 DE ACUERDO CON LA SIGUEINTE INFORMACIN

Para la sealizacin de las diferentes vas de transporte, se recorta de lminas de aluminio de variados tamaos y formas, dos tipos de moldes, con las siguientes caractersticas:

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blanca, que equivale en cantidad a la tercera parte de la inicial. Ante la equivocacin, el artista decide agregar la misma cantidad de pintura verde inicial para recobrar la tonalidad. El resultado que el artista obtiene luego de las mezclas indicadas no es el que l

Para recobrar la tonalidad debi agregar tanta pintura verde, como la que agreg por

La tonalidad de la cintura disminuy

dad debi agregar, en pintura verde, cinco veces la cantidad de pintura

La tonalidad de la pintura disminuy

13. Un estudiante necesita mezclar cierta cantidad de pintura verde con otra blanca. Luego de analizar cul recipiente era el ms adecuado para guardar la mezcla, ha escogido uno que tiene capacidad para seis veces la cantidad de pintura verde inicial, asegurando que los llenar completamente. De acuerdo con esto, el

realizar la mezcla era: Obtener pintura verde con una tonalidad 6%

Disminuir la tonalidad de la pintura verde en un

Obtener pintura verde con una tonalidad 10%

Disminuir la tonalidad de la pintura verde en un

RESPONDA LAS PREGUNTAS 14 Y 15 DE ACUERDO

Para la sealizacin de las diferentes vas de transporte, se recorta de lminas de aluminio de variados tamaos y formas, dos tipos de moldes, con las siguientes

14. Por disposiciones generales, debe pintarse un molde tipo I de tal forma que la mitad de l sea en color blanco. Para construir un diseo ajustado lo pedido, puede recurrirse a:

a) Indicar, dentro del molde, una circunferencia de radio X/4 y pintar s

b) Trazar dos dimetros perpendiculares y unir sus extremos formando un cuadriltero. El interior del cuadriltero ser la regin en blanco.

c) Trazar dos pares de dimetros perpendiculares y unir sus extremos formando un octgono. El interior del octgono ser la regin en blanco.

d) Indicar, dentro del molde una circunferencia de dimetro igual a la distancia entre los puntos sobre la circunferencia del modelo, determinados por dos radios perpendiculares.

15. La persona encargada de recortarcumplir con un pedido de dos moldes tipo I y tres de tipo II, pero al no saber cul de las dos lminas disponibles debe escoger pide la opinin del ingeniero a quien le present las dos lminas:

Una respuesta acertada por parte del inges:

a) Dado que el rea total de los moldes del pedido es menor al rea de cualquiera de las dos lminas disponibles, puede escoger cualquiera de las dos.

b) Aunque los dos lminas tienen la misma rea, es ms apropiada la 1 pues, por su forma, se desprec

c) Aunque las dos lminas tienen la misma rea, es ms apropiada la 2 pues, es posible superponer todos los moldes del pedido sobre ella.

d) El rea de los moldes del pedido es menor al rea de cualquiera de las dos lminas disponibles sin dos para cumplir con el pedido.

14. Por disposiciones generales, debe pintarse un molde tipo I de tal forma que la mitad de l sea en color blanco. Para construir un diseo ajustado lo pedido, puede recurrirse a:

Indicar, dentro del molde, una circunferencia de radio X/4 y pintar su interior de blanco. Trazar dos dimetros perpendiculares y unir sus extremos formando un cuadriltero. El interior del cuadriltero ser la regin en blanco. Trazar dos pares de dimetros perpendiculares y unir sus extremos formando un octgono. El

ior del octgono ser la regin en blanco. Indicar, dentro del molde una circunferencia de dimetro igual a la distancia entre los puntos sobre la circunferencia del modelo, determinados por dos radios perpendiculares.

15. La persona encargada de recortar los moldes, debe cumplir con un pedido de dos moldes tipo I y tres de tipo II, pero al no saber cul de las dos lminas disponibles debe escoger pide la opinin del ingeniero a quien le present las dos lminas:

Una respuesta acertada por parte del ingeniero

Dado que el rea total de los moldes del pedido es menor al rea de cualquiera de las dos lminas disponibles, puede escoger cualquiera de las dos. Aunque los dos lminas tienen la misma rea, es ms apropiada la 1 pues, por su forma, se despreciara menos material. Aunque las dos lminas tienen la misma rea, es ms apropiada la 2 pues, es posible superponer todos los moldes del pedido

El rea de los moldes del pedido es menor al rea de cualquiera de las dos lminas disponibles sin embargo tendra que usar las dos para cumplir con el pedido.

52

UNIDAD 3

1. DEFINICIN Y PROPIEDADES DE RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. DEFINICIN Y PROPIEDADES DE RELACIONES Relacin de A en B: Dados dos conjuntos A y B, llamaremos relacin de A en B a cualquier subconjunto de AxB. Llamaremos relacin binaria en A, a cualquier subconjunto de AxA.

Propiedades de Relaciones de A en A

Para ejemplificar las propiedades de las relaciones utilizaremos el conjunto A={1,2,3,4}.

54

1.2. DEFINICIN Y PROPIEDADES DE FUNCIONES

55

1.3. ALGEBRA DE FUNCIONES

Si dos funciones f y g estn definidas para todos los nmeros reales, entonces es posible hacer operaciones numricas reales como la suma, resta,multiplicacin y divisin (cociente) con f(x) y g(x). Definicin: La suma, resta, multiplicacin y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por:

Cada funcin est en la interseccin de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la funcin cociente.

56

EJERCICIOS

1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x 1. Halla la suma, resta, multiplicacin y cociente de las funciones f y g. Seala el dominio para cada una de ellas.

2) Sea: Halla la suma, resta, multiplicacin y cociente de las funciones. Indica cul es el dominio para cada una de ellas.

3) Sea f(x) = 3x y g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicacin y cociente de las funciones. Cul es el dominio en cada una de ellas?

1.3.1. Composicin de funciones

Definicin: Dadas las funciones f y g, la composicin de f y g, se define por:

donde g(x) es el dominio de f. La composicin de g y f se define por:

EJERCICIOS

Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio.

Notas:

1) El dominio f(g(x)) es subconjunto del dominio de g y el recorrido de f(g(x)) es subconjunto de recorrido de f. 2) Si las funciones f y g estn definidas para todos los nmeros reales, entonces tambin su composicin f(g(x) est definida.

1.4. CLASES DE FUNCIONES: POLINMICAS, TRASCENDENTES Y ESPECIALES

1.4.1. Funciones polinmicas. Una funcin se dice algebraica si en su formulacin solo intervienen las operaciones algebraicas de suma, diferencia, multiplicacin, divisin y potenciacin, si una funcin no es algebraica es trascendente.

Las funciones algebraicas incluyen a las:

Funciones polinmicas que son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinacin finita de sumas y productos entre escalares (nmeros) y la variable xescalares son nmeros reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o nmeros complejos)

Como casos particulares de funciones polinmicas se tienen: Funcin constante: f(x)= a Funcin lineal: f(x)= ax + b es un binomio del primer grado. Funcin cuadrtica: F(x)= ax + bx + c es un trinomio

preparaciòn grado 11

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