preguntas de trigonometria unfv (2006-2013)
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Preguntas dePreguntas dePreguntas dePreguntas de
exámenesexámenesexámenesexámenes dedededeadmisión admisión admisión admisión dededede lalalala
un un un universidadiversidadiversidadiversidadFedericoFedericoFedericoFederico VillarealVillarealVillarealVillareal
Trigonometría-UNFV
01 nov. 14 Página 2
UNFV. 2013-I
1. Halle el valor de K en la expresión
6 6
2 2
sen x cos x K
sen x cos x = −
)1 )2 )3 )4 )5 A B C D E
2. El equivalente en grados, minutos y segundos
sexagesimales de un arco de5
8rad
π es:
)121 4530 )112 3030 )112 30 00
)112 5 30 )112 0030
A B C
D E
° ° °
° °
′ ′′ ′ ′′ ′ ′′
′ ′′ ′ ′′
3. Dos personas están colocadas a ambos ladosde un poste de tal forma que una de ellas observa
la parte más alta con ángulo de elevación de 45°
y la otra persona observa con un ángulo de
elevación de 37° . Halle la altura del poste, si ladistancia entre ambas partes es de 25m
)15.30 )8.27 )9.33
)13.51 )10.71
A m B m C m
D m E m
4. De la expresión
3 43 8 30 0sec( x ) csc( x )° °+ − − =
Calcule el menor valor positivo de x
)26 )7 )152 )23 )31 A B C D E
5. Determine el menor valor positivo de x en
radianes de la siguiente igualdad3 6 1 0sen x sec x − =
2) ) ) ) )
9 9 18 36 12 A B C D E
π π π π π
UNFV. 2012-I
1. Si 2sec x tan x + =
Calcule 2M tan x sec x = +
9 11 16 16 9) ) ) ) )16 16 11 5 16
A B C D E − −
2. Simplifique
45 45y sen(a ) cos(a )= − + +
)0 )1 ) 1 )2 ) 2 A B C D E − −
3. Del grafico determine el valor de x
Si se cumple AB PC =
A
B
C P
80
x
20
)30 )20 )10 )15 )40 A B C D E
UNFV. 2011- II
1. Simplifique
8 20 20 40 80
20
sen cos cos cosM
sen=
)1 )2 )3 )4 )5 A B C D E
2. Determine el menor ángulo agudo que verifica
3 2 5 3 2 3 0tan x tan x tan x tan x tan x + + − =
)6 )9 )12 )15 )18 A B C D E
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Trigonometría-UNFV
01 nov. 14 Página 5
UNFV. 2008-II
1. Si5
35
sen x senx
cos x cos x
+=
+ entonces el valor de x
es:
)30 )20 )60 )45 )50 A B C D E ° ° ° ° °
2. Si tan b°=20 , entonces el valor de
55 35E tan tan° °= − es:
2 1) ) ) ) )2
2
b A B C D b E b
b b
3. De la información de gráfico determine
sec( A B )+
A
B
C
12
172
14
) 1 ) 3 ) 3 ) 2 )2 A B C D E − − −
4. De la figura calcule el valor de x si se cumple lasiguiente condición
30 30 3 0tan( ) cot( )θ θ ° °− − + =
A
B
C M
θ
θ
20m
x
)10 2 )10 )5 3 )5 )7 A B C D E
5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,
donde BC = 65 . Si además84
85cos A =
Determine el perímetro de dicho triángulo.
)195 )810 )910 )728 )546 A B C D E
UNFV. 2008-I
1. Para qué valor de x se cumple
60 70 3cos( x ) sen( x )° °− = −
)5 )15 )25 )10 )50 A B C D E ° ° ° ° °
2. El valor de
3
12 12 6 6
E sen( )cos( ) sen( )cos( )π π π π
= +
1 1 1 3) ) )1 ) )4 2 2 2
A B C D E −
3. Los lados de un triángulo miden x ax ax , ,2 . Calcule el valor de “a” sabiendo que el ángulo
opuesto al lado x mide 120°
1 7 2) ) ) ) 7 )2 77 7 7
A B C D E
4. Hallar el valor de1 3
15 15E
sen cos° °= −
+ −
+ −
)2( 6 2) )2( 6 2) )( 6 )( 2)
)( 6 2 ) )( 6 2 )
A B C
D E
5. Hallar el valor “x” donde
30 30 60 x.sen csc x.tan° ° °− =
4(1 2 3 ) 3(1 2) 4(1 2)) ) )
11 10 7
3(1 3) 4(1 5)) )
10 10
A B C
D E
− + − − − +
− − − +
Trigonometría-UNFV
01 nov. 14 Página 6
UNFV. 2007
1. Simplifique la expresión2 2 2 2(sec x tan x) (csc x cot x )− −
2 2 1 1 A)sen x B ) C )cos x D ) E )tan x −
2. Una solución de la ecuación
4 12 8 3tan x cot x + = es:
3 3) ) ) ) )
3 6 4 2 4 A B C D E
π π π π π
3. De la figura adjunta se sabe que 12 AB = , 30 45m CAD y m CBD° °
∠ = ∠ = Calcule la
longitud CD en metros.
A C B
D
+ + +
+ +
)3( 3 1) ) 3 1 ) 3 3
)6( 3 1) )6 3 3
A B C
D E
4. Tres lados de un triángulo están expresados portres números enteros consecutivos:
1; ; 1. x x x − + El ángulo más grande es el doble
del más pequeño. ¿Cuál es el coseno del ángulopequeño?
− + +
+ − −
+ +
− −2
1 1 3) ) )2( 1) 5( 1) 2( 1)
1 1) )2( 1) 2( 1)
x x x A B C
x x x
x x D E
x x
UNFV. 2006
1. Si20 12
29 5
sen y tanθ β = = − y
90 180 270 360y θ β ° ° ° °< < < < halle el valor de
csc( )θ β +
352 320 370 350 377) ) ) ) )377 377 352 377 352
A B C D E
2. Sabiendo que: 1
2cosx senx − = Halle el valor
de 4c os x 1 1
) ) 2 C) )1 )022
A B D E
3. Simplifique la siguiente expresión2 2 22E sen x (sec x csc x )= +
2 2 2 24 4 4 4 4 A ) tan x B ) cot x C ) D ) se n x E ) cos x
4. Simplifique la siguiente expresión1 5 2
5 2 2 5
tan x.tan x E
tan x tan x tan x tan x
= −− −
7 3 7 3 4 A) tan x B )tan x C )cot x D )cot x E )tan x
5. Reduzca la expresión2
11
tan x K cos x( )
sec x = +
+
)1 )2 ) 2 ) 1 )3 A B C D E − −
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Trigonometría-UNFV
01 nov. 14 Página 7
UNFV. 2005
1. Calcules “k” en: 10 10 35sen cos k cos° ° °+ =
1 1) ) 2 ) )1 ) 322 A B C D E
2. Si 4
5se nα = Calcule el valor de
2 2 2sen ;cos ; tanα α α
− −10 5 13 24 7 24 7 19 5) ; ; ) ; ; ) ; ;
3 3 7 25 25 7 12 7 4
3 1 11 28 12 18) ; ; ) ; ;4 3 7 3 5 5
A B C
D E
3. Desde la parte más alta de una torre de 60m delongitud se observa a una hormiga con ángulo de
depresión de 37° ¿A qué distancia de la base dela torre se encuentra la hormiga?
)80 )45 )60 )20 )75 A B C D E
4. Tres lados de un triángulo están expresados portres números enteros consecutivos:
1; ; 1. x x x − + El ángulo más grande es el doble
del más pequeño. ¿Cuál es el coseno del ángulopequeño?
2
1 1
2 1 5 1
3 1
2 1 2 1
12 1
x x A) cos m B )cos m
( x ) ( x )
x x C )cos m D )cos m
( x ) ( x )
x E)cosm( x )
− += =
+ −
+ += =
− −
+=−
5. Si 4 4.cos . pq
p x q sen x p q
+ =+
Calcule tan x
p q q A ) B ) C )
q p p
pD ) E ) pqq
±
± ±
Trigonometría-UNFV
01 nov. 14 Página 8
Solucionario UNFV. 2013-I
1.Agrupamos y reducimos mediante identidades deángulo compuesto.
6 6
2 2
6 2 6 2
2 2
6 2 4
2 2 2 2
2 2 22
2 2
sen x cos x K
sen x cos x
sen x cos x cos xsen x K
sen x cos x
sen( x x ) sen( x )K
sen xcos x sen xcos x
sen x cos x K
sen x cos x
= −
−=
−= =
= =
2.Convertimos el ángulo de radianes a sexagesimal
5
8
5 180
8
225 1112
2 2
112 30
112 3000
E rad
E rad( )rad
E
E
E
π
π
π
°
° °
°
°
°
=
=
= = +
′= +
′ ′′∴ =
3.
AB
45°
37°
3h k =
4k 3k
25 Del gráfico:
253 4 25
7
253 3
7
10 71
k k k
Nos preguntan
h k ( )
h . m
+ = → =
= =
=
4.
3 43 8 30 0
3 43 8 30
3 43 8 30 90
7
sec( x ) csc( x )
sec( x ) csc( x )
x x
x
° °
° °
° ° °
°
+ − − =
+ = −
+ + − =
∴ =
5.
3 6 1 0
31 0
6
3 6
3 6 90
1018
sen x sec x
sen x
cos x
sen x cos x
x x
x π
°
°
− =
− =
=
+ =
∴ = =
Solucionario UNFV. 2012- I
1.Del dato:
2
1
2
sec x tanx
sec x tanx
− = −
+ = −
Entonces resolviendo las ecuaciones:
5 3
4 4sec x ; tan x = − =
Nos preguntan
2
23 5 11
4 4 16
M tan x sec x
M ( ) ( )
= +
∴ = + − = −
2.Aplicamos identidades de ángulos compuestos
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Trigonometría-UNFV
01 nov. 14 Página 9
45 45
45 45
45 45
1 1
2 21 1
2 2
0
y sen(a ) cos(a )
y sen( a ) cos( ) c os( a )sen( )
cos(a)cos( ) sen(a)sen( )
y sen( a) cos( a)
cos( a ) sen( a )
y
° °
° °
= − + +
= −
+ −
= −
+ −
∴ =
3.
A
B
C P 60
x
20
a
b
a bb
b
Q
20
40
60
10
Construimos el triángulo equilátero
10
10
AQC
Entonces
BCQ : Isosceles
m BQA
BAQ BCP ( L A L )
x
°
°
∆
∆
→ ∠ =
∆ = ∆ − −
→ =
Solucionario UNFV. 2011- II
1.Agrupamos convenientemente y utilizamos lasidentidades de ángulo doble
8 20 20 40 80
20
2 2 2 20 20 40 80
20
2 2 40 40 80
20
2 80 80
20
160 180 2020 20
201
20
sen cos cos cosM
sen
. .( sen cos ) cos cosM
sen
. sen cos cosM
sen
.sen cosM
sen
sen sen( )M sen sen
senM
sen
=
=
=
= =
−= =
= =
2.
Recuerde en el tema de ángulos compuestos.
tanA tanB tan(A B) tanAtanB tan(A B)+ + + = +
Entonces
3 2 5 3 2 3 0
3 2 3 0
5 3
5 60
12
tan x tan x tan x tan x tan x
tan( x x )
tan( x )
x
x
+ + − =
+ − =
=
=
∴ =
3.Mediante identidades de ángulo doble
2 2
2 2
2 2
1 2 1 2
1 1
2 2
2 2 4
cos x cos x P
sen x cos x
cos x sen x P
cos x sen x
P
+ −= +
− −
= +
= + =
Trigonometría-UNFV
01 nov. 14 Página 10
4.Del dato mediante identidades fundamentales
2
2
2
2
2
1 0
1
0
sec x sec x
sec x sec x
tan x sec x
co t x cos x
cos x cot x
− − =
− =
=
=
∴ − =
5.Mediante identidades de ángulo doble
3 3
2 2
4 4
4
2 2 22 2 2
4
M senx cos x sen x cos x
M se nx c os x (cos x sen x )
M . .s enx c os x c os x M .sen x c os x
M sen x
= −
= −
=
=
∴ =
6.
Del gráfico
AB
C D2
8
x
α
α
82
24
8
x ABC : tan
BCD : tan x
x x
x
α
α
∆ =
∆ =
= → =
Solucionario UNFV. 2011- I
1.2i . tanx cot x + =
Si es una ecuación trigonométrica pues es una
igualdad que se verifica para ciertos valores de lavariable angular x
2 0ii . senx x − =
No es una ecuación trigonométrica pues es unaigualdad donde intervienen expresionestrigonométricas ( senx ) y también expresiónalgebraica ( 2 x ), para este tipo de ecuaciones seles llama ecuación trascendental
4 4 2 21 2iii . sen x cos x sen x cos x + = −
Si es una ecuación trigonométrica, pero másexactamente es una identidad trigonométrica, esdecir se verifica para todo valor de la variableangular
2.Convertimos el ángulo inicial
272
5
rad π
=
2
5
π 2
5
π α −
r 2r
2 2
3
23
1 2 2 1 22
2 5 3 2 5
3
oF o
F o
A A A
A A
( )( r ) ( )( r )π π
α
π α
= −
=
− =
∴ =
3.
De 2f ( x ) senx ; g ( x ) cos x = =
Reemplazamos en la expresión solicitada.
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Trigonometría-UNFV
01 nov. 14 Página 11
22
2 2
2
2
nx E f ( nx ).g ( mx ) f ( m x ).g ( )
E sen(nx )cos( mx ) sen( mx )cos(nx )
E sen( nx mx )
E sen( n m )x
= +
= +
= +
= +
4.
Del dato, mediante identidades de ángulo doble
22 2
1 2 22 2
senx cosx
b a
asenx bcosx
a sen x b senxcosx
a( cos x ) b( sen x )a a cos x bsen x
=
=
=
− =
∴ = +
5.
Del dato
1
1
1
1
1 1
2
1 1
2
ksenx cos x
ksenx cos x
cosx k
senx csc x cot x k
cscx cot x k
csc x ( k )k
cot x ( k )k
+ =
= −
−=
→ − =
→ + =
= +
= −
Reemplazamos en1
2 2 2
1
2 2 22 2
1
2
1 1
2 21 1
1 1
2 2
2
E (( k )tan x ( k )senx )
k k E (( k )( ) ( k )( ))
k k
E ( k k )
E k
= − + +
= − + +− +
= +
∴ =
Solucionario UNFV. 2010
1.
25
35
Ruedas unidas por faja
1 1 2 2
2
2
2
9 35 25
63
512 6
r r
( )( ) ( )( )
, r a d
θ θ
θ
θ
θ
=
=
=
∴ =
2.
De la condición
3
3
2
1
2
1
2
c os ( x y ) s en xs en y
cos x cos y senxseny senxseny
cos x cos y senxseny
senxseny
cos x cos y
tan x tan y
− =
+ =
=
=
∴ =
3.
Mediante transformación trigonométrica
5 2 3
2 2 3 2 3
2 2 3 2 3 02 3 2 1 0
sen x senx cos x ; k Z
sen x cos x cos x
sen x cos x cos x cos x (sen x )
− = ∈
=
− =
− =
3 0
3 2 12
2 16
i )cos x
x ( n )
x ( n )
π
π
=
= +
∴ = +
Trigonometría-UNFV
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2 1
2 22
4
ii)sen x
x k
x k
π π
π π
=
= +
∴ = +
4.
Mediante propiedad de razones trigonométricas de
ángulos complementarios
90
45
tan( a b c ) cot( a b c )
a b c a b c
a c
+ + = − +
→ + + + − + =
+ =
Nos preguntan
15
45 15
60 3
M t an( a c )
M tan( )
M tan( )
= + +
= +
= =
5.
Convertimos las velocidades de los móviles
60 1
90 1 5
Km Km
h min
Km Km,
h min
=
=
Después de 10min de viaje
15
10
60
x
1,5min
K
1min
K
Mediante el teorema de cosenos
2 2 2
2
10 15 2 10 15 60
175
13 22
x ( )( )cos
x
x , Km
= + −
=
∴ =
Solucionario UNFV. 2009
1.Reducimos la ecuación
2 2
2 2
2 2
2
4 3 2 2012 8 20 20
12 8 1 20 20
5 3
( senx cos x ) ( senx cos x )sen x cos x senx cos x
sen x ( sen x ) senx cos x
sen x senxcosx
+ − + =
+ + =
+ − + =
+ =
2
2 2
2 2
2
5 3
5 3 1
2 5 3 0
1
3 3
2 2
sen x senxcosx
cos x cos x
tan x tan x (tan x )
tan x tan x
tanx
tan x x arctan( )
+=
+ = +
− + =
→ =
→ = → =
2.De los datos del problema
A
C
B
a
2a
5a
El mayor ángulo agudo es el opuesto al mayor
cateto.
5
5
asecC
a
secC
=
∴ =
3.Mediante Identidades fundamentales
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Trigonometría-UNFV
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2
3 3 2
2
3
33 2 3
1 1
1 1
sec x cosx W
csc x senx
cos x cosx
cos x cos x W sen x
senx senx senx
sen x sen x cosx W
cos x cos x
senx
W tan x
−=
−
−−
= =−
−
= =
∴ =
:
4.
B
C A
D
E
b
b
a 3a
X
18α
118 3
2
118 4 2
2
14 2
18 2
118 32
30
ABC : A ( a )( b )sen ...( I )
ECD : A x ( a )( b )sen ...( II )
( II ) ( I ) :
( a ) ( b ) s e n x
( a ) ( b ) se n
x
α
α
α
α
∆ = =
∆ = + =
÷
+=
∴ =
5.
Del dato7sec x tan y = =
Piden calcular2 2
2 2
2 2
1 1
7 1 7 1
2
P sec y tan x
P tan y (sec x )
P ( ) (( ) )
P
= −
= + − −
= + − −
∴ =