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7/23/2019 Preguntas de Trigonometria UNFV (2006-2013)

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un un un universidadiversidadiversidadiversidadFedericoFedericoFedericoFederico VillarealVillarealVillarealVillareal

Trigonometría-UNFV

01 nov. 14 Página 2

UNFV. 2013-I

1. Halle el valor de K en la expresión

6 6

2 2

sen x cos x K

sen x cos x = −

)1 )2 )3 )4 )5 A B C D E

2. El equivalente en grados, minutos y segundos

sexagesimales de un arco de5

8rad

π es:

)121 4530 )112 3030 )112 30 00

)112 5 30 )112 0030

A B C

D E

° ° °

° °

′ ′′ ′ ′′ ′ ′′

′ ′′ ′ ′′

3. Dos personas están colocadas a ambos ladosde un poste de tal forma que una de ellas observa

la parte más alta con ángulo de elevación de 45°

y la otra persona observa con un ángulo de

elevación de 37° . Halle la altura del poste, si ladistancia entre ambas partes es de 25m

)15.30 )8.27 )9.33

)13.51 )10.71

A m B m C m

D m E m

4. De la expresión

3 43 8 30 0sec( x ) csc( x )° °+ − − =

Calcule el menor valor positivo de x

)26 )7 )152 )23 )31 A B C D E

5. Determine el menor valor positivo de x en

radianes de la siguiente igualdad3 6 1 0sen x sec x − =

2) ) ) ) )

9 9 18 36 12 A B C D E

π π π π π

UNFV. 2012-I

1. Si 2sec x tan x + =

Calcule 2M tan x sec x = +

9 11 16 16 9) ) ) ) )16 16 11 5 16

A B C D E − −

2. Simplifique

45 45y sen(a ) cos(a )= − + +

)0 )1 ) 1 )2 ) 2 A B C D E − −

3. Del grafico determine el valor de x

Si se cumple AB PC =

A

B

C P

80

x

20

)30 )20 )10 )15 )40 A B C D E

UNFV. 2011- II

1. Simplifique

8 20 20 40 80

20

sen cos cos cosM

sen=

)1 )2 )3 )4 )5 A B C D E

2. Determine el menor ángulo agudo que verifica

3 2 5 3 2 3 0tan x tan x tan x tan x tan x + + − =

)6 )9 )12 )15 )18 A B C D E



Trigonometría-UNFV


UNFV. 2008-II

1. Si5

35

sen x senx

cos x cos x

+=

+ entonces el valor de x

es:

)30 )20 )60 )45 )50 A B C D E ° ° ° ° °

2. Si tan b°=20 , entonces el valor de

55 35E tan tan° °= − es:

2 1) ) ) ) )2

2

b A B C D b E b

b b

3. De la información de gráfico determine

sec( A B )+

A

B

C

12

172

14

) 1 ) 3 ) 3 ) 2 )2 A B C D E − − −

4. De la figura calcule el valor de x si se cumple lasiguiente condición

30 30 3 0tan( ) cot( )θ θ ° °− − + =

A

B

C M

θ

θ

20m

x

)10 2 )10 )5 3 )5 )7 A B C D E

5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,

donde BC = 65 . Si además84

85cos A =

Determine el perímetro de dicho triángulo.

)195 )810 )910 )728 )546 A B C D E

UNFV. 2008-I

1. Para qué valor de x se cumple

60 70 3cos( x ) sen( x )° °− = −

)5 )15 )25 )10 )50 A B C D E ° ° ° ° °

2. El valor de

3

12 12 6 6

E sen( )cos( ) sen( )cos( )π π π π

= +

1 1 1 3) ) )1 ) )4 2 2 2

A B C D E −

3. Los lados de un triángulo miden x ax ax , ,2 . Calcule el valor de “a” sabiendo que el ángulo

opuesto al lado x mide 120°

1 7 2) ) ) ) 7 )2 77 7 7

A B C D E

4. Hallar el valor de1 3

15 15E

sen cos° °= −

+ −

+ −

)2( 6 2) )2( 6 2) )( 6 )( 2)

)( 6 2 ) )( 6 2 )

A B C

D E

5. Hallar el valor “x” donde

30 30 60 x.sen csc x.tan° ° °− =

4(1 2 3 ) 3(1 2) 4(1 2)) ) )

11 10 7

3(1 3) 4(1 5)) )

10 10

A B C

D E

− + − − − +

− − − +

Trigonometría-UNFV


UNFV. 2007

1. Simplifique la expresión2 2 2 2(sec x tan x) (csc x cot x )− −

2 2 1 1 A)sen x B ) C )cos x D ) E )tan x −

2. Una solución de la ecuación

4 12 8 3tan x cot x + = es:

3 3) ) ) ) )

3 6 4 2 4 A B C D E

π π π π π

3. De la figura adjunta se sabe que 12 AB = , 30 45m CAD y m CBD° °

∠ = ∠ = Calcule la

longitud CD en metros.

A C B

D

+ + +

+ +

)3( 3 1) ) 3 1 ) 3 3

)6( 3 1) )6 3 3

A B C

D E

4. Tres lados de un triángulo están expresados portres números enteros consecutivos:

1; ; 1. x x x − + El ángulo más grande es el doble

del más pequeño. ¿Cuál es el coseno del ángulopequeño?

− + +

+ − −

+ +

− −2

1 1 3) ) )2( 1) 5( 1) 2( 1)

1 1) )2( 1) 2( 1)

x x x A B C

x x x

x x D E

x x

UNFV. 2006

1. Si20 12

29 5

sen y tanθ β = = − y

90 180 270 360y θ β ° ° ° °< < < < halle el valor de

csc( )θ β +

352 320 370 350 377) ) ) ) )377 377 352 377 352

A B C D E

2. Sabiendo que: 1

2cosx senx − = Halle el valor

de 4c os x 1 1

) ) 2 C) )1 )022

A B D E

3. Simplifique la siguiente expresión2 2 22E sen x (sec x csc x )= +

2 2 2 24 4 4 4 4 A ) tan x B ) cot x C ) D ) se n x E ) cos x

4. Simplifique la siguiente expresión1 5 2

5 2 2 5

tan x.tan x E

tan x tan x tan x tan x

= −− −

7 3 7 3 4 A) tan x B )tan x C )cot x D )cot x E )tan x

5. Reduzca la expresión2

11

tan x K cos x( )

sec x = +

+

)1 )2 ) 2 ) 1 )3 A B C D E − −



Trigonometría-UNFV


UNFV. 2005

1. Calcules “k” en: 10 10 35sen cos k cos° ° °+ =

1 1) ) 2 ) )1 ) 322 A B C D E

2. Si 4

5se nα = Calcule el valor de

2 2 2sen ;cos ; tanα α α

− −10 5 13 24 7 24 7 19 5) ; ; ) ; ; ) ; ;

3 3 7 25 25 7 12 7 4

3 1 11 28 12 18) ; ; ) ; ;4 3 7 3 5 5

A B C

D E

3. Desde la parte más alta de una torre de 60m delongitud se observa a una hormiga con ángulo de

depresión de 37° ¿A qué distancia de la base dela torre se encuentra la hormiga?

)80 )45 )60 )20 )75 A B C D E

4. Tres lados de un triángulo están expresados portres números enteros consecutivos:

1; ; 1. x x x − + El ángulo más grande es el doble

del más pequeño. ¿Cuál es el coseno del ángulopequeño?

2

1 1

2 1 5 1

3 1

2 1 2 1

12 1

x x A) cos m B )cos m

( x ) ( x )

x x C )cos m D )cos m

( x ) ( x )

x E)cosm( x )

− += =

+ −

+ += =

− −

+=−

5. Si 4 4.cos . pq

p x q sen x p q

+ =+

Calcule tan x

p q q A ) B ) C )

q p p

pD ) E ) pqq

±

± ±

Trigonometría-UNFV


Solucionario UNFV. 2013-I

1.Agrupamos y reducimos mediante identidades deángulo compuesto.

6 6

2 2

6 2 6 2

2 2

6 2 4

2 2 2 2

2 2 22

2 2

sen x cos x K

sen x cos x

sen x cos x cos xsen x K

sen x cos x

sen( x x ) sen( x )K

sen xcos x sen xcos x

sen x cos x K

sen x cos x

= −

−=

−= =

= =

2.Convertimos el ángulo de radianes a sexagesimal

5

8

5 180

8

225 1112

2 2

112 30

112 3000

E rad

E rad( )rad

E

E

E

π

π

π

°

° °

°

°

°

=

=

= = +

′= +

′ ′′∴ =

3.

AB

45°

37°

3h k =

4k 3k

25 Del gráfico:

253 4 25

7

253 3

7

10 71

k k k

Nos preguntan

h k ( )

h . m

+ = → =

= =

=

4.

3 43 8 30 0

3 43 8 30

3 43 8 30 90

7

sec( x ) csc( x )

sec( x ) csc( x )

x x

x

° °

° °

° ° °

°

+ − − =

+ = −

+ + − =

∴ =

5.

3 6 1 0

31 0

6

3 6

3 6 90

1018

sen x sec x

sen x

cos x

sen x cos x

x x

x π

°

°

− =

− =

=

+ =

∴ = =

Solucionario UNFV. 2012- I

1.Del dato:

2

1

2

sec x tanx

sec x tanx

− = −

+ = −

Entonces resolviendo las ecuaciones:

5 3

4 4sec x ; tan x = − =

Nos preguntan

2

23 5 11

4 4 16

M tan x sec x

M ( ) ( )

= +

∴ = + − = −

2.Aplicamos identidades de ángulos compuestos



Trigonometría-UNFV


45 45

45 45

45 45

1 1

2 21 1

2 2

0

y sen(a ) cos(a )

y sen( a ) cos( ) c os( a )sen( )

cos(a)cos( ) sen(a)sen( )

y sen( a) cos( a)

cos( a ) sen( a )

y

° °

° °

= − + +

= −

+ −

= −

+ −

∴ =

3.

A

B

C P 60

x

20

a

b

a bb

b

Q

20

40

60

10

Construimos el triángulo equilátero

10

10

AQC

Entonces

BCQ : Isosceles

m BQA

BAQ BCP ( L A L )

x

°

°

∆

∆

→ ∠ =

∆ = ∆ − −

→ =

Solucionario UNFV. 2011- II

1.Agrupamos convenientemente y utilizamos lasidentidades de ángulo doble

8 20 20 40 80

20

2 2 2 20 20 40 80

20

2 2 40 40 80

20

2 80 80

20

160 180 2020 20

201

20

sen cos cos cosM

sen

. .( sen cos ) cos cosM

sen

. sen cos cosM

sen

.sen cosM

sen

sen sen( )M sen sen

senM

sen

=

=

=

= =

−= =

= =

2.

Recuerde en el tema de ángulos compuestos.

tanA tanB tan(A B) tanAtanB tan(A B)+ + + = +

Entonces

3 2 5 3 2 3 0

3 2 3 0

5 3

5 60

12

tan x tan x tan x tan x tan x

tan( x x )

tan( x )

x

x

+ + − =

+ − =

=

=

∴ =

3.Mediante identidades de ángulo doble

2 2

2 2

2 2

1 2 1 2

1 1

2 2

2 2 4

cos x cos x P

sen x cos x

cos x sen x P

cos x sen x

P

+ −= +

− −

= +

= + =

Trigonometría-UNFV


4.Del dato mediante identidades fundamentales

2

2

2

2

2

1 0

1

0

sec x sec x

sec x sec x

tan x sec x

co t x cos x

cos x cot x

− − =

− =

=

=

∴ − =

5.Mediante identidades de ángulo doble

3 3

2 2

4 4

4

2 2 22 2 2

4

M senx cos x sen x cos x

M se nx c os x (cos x sen x )

M . .s enx c os x c os x M .sen x c os x

M sen x

= −

= −

=

=

∴ =

6.

Del gráfico

AB

C D2

8

x

α

α

82

24

8

x ABC : tan

BCD : tan x

x x

x

α

α

∆ =

∆ =

= → =

Solucionario UNFV. 2011- I

1.2i . tanx cot x + =

Si es una ecuación trigonométrica pues es una

igualdad que se verifica para ciertos valores de lavariable angular x

2 0ii . senx x − =

No es una ecuación trigonométrica pues es unaigualdad donde intervienen expresionestrigonométricas ( senx ) y también expresiónalgebraica ( 2 x ), para este tipo de ecuaciones seles llama ecuación trascendental

4 4 2 21 2iii . sen x cos x sen x cos x + = −

Si es una ecuación trigonométrica, pero másexactamente es una identidad trigonométrica, esdecir se verifica para todo valor de la variableangular

2.Convertimos el ángulo inicial

272

5

rad π

=

2

5

π 2

5

π α −

r 2r

2 2

3

23

1 2 2 1 22

2 5 3 2 5

3

oF o

F o

A A A

A A

( )( r ) ( )( r )π π

α

π α

= −

=

− =

∴ =

3.

De 2f ( x ) senx ; g ( x ) cos x = =

Reemplazamos en la expresión solicitada.



Trigonometría-UNFV


22

2 2

2

2

nx E f ( nx ).g ( mx ) f ( m x ).g ( )

E sen(nx )cos( mx ) sen( mx )cos(nx )

E sen( nx mx )

E sen( n m )x

= +

= +

= +

= +

4.

Del dato, mediante identidades de ángulo doble

22 2

1 2 22 2

senx cosx

b a

asenx bcosx

a sen x b senxcosx

a( cos x ) b( sen x )a a cos x bsen x

=

=

=

− =

∴ = +

5.

Del dato

1

1

1

1

1 1

2

1 1

2

ksenx cos x

ksenx cos x

cosx k

senx csc x cot x k

cscx cot x k

csc x ( k )k

cot x ( k )k

+ =

= −

−=

→ − =

→ + =

= +

= −

Reemplazamos en1

2 2 2

1

2 2 22 2

1

2

1 1

2 21 1

1 1

2 2

2

E (( k )tan x ( k )senx )

k k E (( k )( ) ( k )( ))

k k

E ( k k )

E k

= − + +

= − + +− +

= +

∴ =

Solucionario UNFV. 2010

1.

25

35

Ruedas unidas por faja

1 1 2 2

2

2

2

9 35 25

63

512 6

r r

( )( ) ( )( )

, r a d

θ θ

θ

θ

θ

=

=

=

∴ =

2.

De la condición

3

3

2

1

2

1

2

c os ( x y ) s en xs en y

cos x cos y senxseny senxseny

cos x cos y senxseny

senxseny

cos x cos y

tan x tan y

− =

+ =

=

=

∴ =

3.

Mediante transformación trigonométrica

5 2 3

2 2 3 2 3

2 2 3 2 3 02 3 2 1 0

sen x senx cos x ; k Z

sen x cos x cos x

sen x cos x cos x cos x (sen x )

− = ∈

=

− =

− =

3 0

3 2 12

2 16

i )cos x

x ( n )

x ( n )

π

π

=

= +

∴ = +

Trigonometría-UNFV


2 1

2 22

4

ii)sen x

x k

x k

π π

π π

=

= +

∴ = +

4.

Mediante propiedad de razones trigonométricas de

ángulos complementarios

90

45

tan( a b c ) cot( a b c )

a b c a b c

a c

+ + = − +

→ + + + − + =

+ =

Nos preguntan

15

45 15

60 3

M t an( a c )

M tan( )

M tan( )

= + +

= +

= =

5.

Convertimos las velocidades de los móviles

60 1

90 1 5

Km Km

h min

Km Km,

h min

=

=

Después de 10min de viaje

15

10

60

x

1,5min

K

1min

K

Mediante el teorema de cosenos

2 2 2

2

10 15 2 10 15 60

175

13 22

x ( )( )cos

x

x , Km

= + −

=

∴ =

Solucionario UNFV. 2009

1.Reducimos la ecuación

2 2

2 2

2 2

2

4 3 2 2012 8 20 20

12 8 1 20 20

5 3

( senx cos x ) ( senx cos x )sen x cos x senx cos x

sen x ( sen x ) senx cos x

sen x senxcosx

+ − + =

+ + =

+ − + =

+ =

2

2 2

2 2

2

5 3

5 3 1

2 5 3 0

1

3 3

2 2

sen x senxcosx

cos x cos x

tan x tan x (tan x )

tan x tan x

tanx

tan x x arctan( )

+=

+ = +

− + =

→ =

→ = → =

2.De los datos del problema

A

C

B

a

2a

5a

El mayor ángulo agudo es el opuesto al mayor

cateto.

5

5

asecC

a

secC

=

∴ =

3.Mediante Identidades fundamentales



Trigonometría-UNFV


3

2

3 3 2

2

3

33 2 3

1 1

1 1

sec x cosx W

csc x senx

cos x cosx

cos x cos x W sen x

senx senx senx

sen x sen x cosx W

cos x cos x

senx

W tan x

−=

−

−−

= =−

−

= =

∴ =

:

4.

B

C A

D

E

b

b

a 3a

X

18α

118 3

2

118 4 2

2

14 2

18 2

118 32

30

ABC : A ( a )( b )sen ...( I )

ECD : A x ( a )( b )sen ...( II )

( II ) ( I ) :

( a ) ( b ) s e n x

( a ) ( b ) se n

x

α

α

α

α

∆ = =

∆ = + =

÷

+=

∴ =

5.

Del dato7sec x tan y = =

Piden calcular2 2

2 2

2 2

1 1

7 1 7 1

2

P sec y tan x

P tan y (sec x )

P ( ) (( ) )

P

= −

= + − −

= + − −

∴ =

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