pregunta n.o 1 pregunta n.o 2 -...

1

Solucionario Examen de admisión UNI

Matemática

2016 -I

PREGUNTA N.o 1Indique la secuencia correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. En un conjunto de 4 números cuyo máximo

común divisor es igual a 1, entonces dichos números son primos dos a dos.

II. Si a y b son números primos, entonces a+b también es primo.

III. Si a > 3, siendo a primo, entonces a es de la forma a=6k+1 o a=6k – 1, con k ∈ N.

A) VFF B) VFV C) FFF D) FFV E) FVV

ResoluciónTema: Clasificación de los números enteros positivos, MCD y MCM

Análisis y procedimientoI. Falsa Consideramos el siguiente contraejemplo: MCD(4; 5; 6; 7)=1 Entonces 4; 5; 6 y 7 son PESI, pero no son

PESI 2 a 2. Para el contraejemplo, 4; 5; 6 y 7 no son PESI 2 a 2.

II. Falsa Consideramos el siguiente contraejemplo: 7 y

11 son números primos, pero la suma de ellos (7+11=18) no es un número primo.

III. Verdadera Por propiedad tenemos que si a es un número

primo y a > 3, entonces

a=6º+1 ∨ a=6º – 1 (a=6k+1 ∨ a=6k – 1; k ∈ N)

Respuesta: FFV

PREGUNTA N.o 2

Sean N y M números naturales. Al extraer la raíz cúbica al número 2N+M y al extraer la raíz cuadrada al número N – M, tienen como residuo cero y ambas raíces son iguales. Determine la suma de las cifras del mayor N menor que cien que satisface tal propiedad.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 9 E) 12

Resolución

Tema: Potenciación - Radicación

Análisis y procedimiento

Del enunciado

2N+M

2N+M=K3

0K N – M

N – M=K2

0K3

Luego

2N+M = K3

3N = K2(K+1)

N – M = K2+

Se observa que

K=3º ∨ K+1=3º

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CREEMOS EN LA EXIGENCIA

unI 2016 -I Academia CÉSAR VALLEJO

2

De ahí 3N=K2(K+1) K=2 → N=4 K=3 → N=12 K=5 → N=50 K=6 → N=84 (máx. y menor de 100)

\ Suma de cifras de 84 es 8+4=12

Respuesta: 12

PREGUNTA N.o 3Sea Q el conjunto de los números racionales, luego todos los valores racionales posibles de x de manera que

x x2 3+ +sea racional, son de la forma:

A) 3

2 1

2

2−+

∈q

qq, Q

B) 32 1

12

2−+

∈ −{ }qq

q, Q \

C) 32 1

12

2++

∈ −{ }qq

q, Q \

D) 32 1

12

2−−

∈ { }qq

q, Q \

E) 32 1

12

2+−

∈ { }qq

q, Q \

ResoluciónTema: Números racionales

Análisis y procedimientoPor dato

x x2 3+ + debe ser racional; además, consi-

deremos que q es un racional que también cumple

la condición “para que sea racional”.

Luego

x x x q2 3+ + = +

x x x q2 23+ + = +( ) x x x xq q2 2 23 2+ + = + +

3 22− = −q xq x

32 1

2−−

=q

qx, siendo 2q – 1 ≠ 0

q ≠12

\ xq

qq= −

−∈ { }3

2 112

2, \ Q

Respuesta: 32 1

12

2−−

∈ { }qq

q, \ Q

PREGUNTA N.o 4Señale la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado.I. Existen números positivos a, b, c, d que forman

una proporción geométrica discreta y armónica discreta a la vez.

II. Es posible encontrar dos números que están en relación de 3 a 5 cuya diferencia es 200.

III. Existen números positivos a, b, c, d que forman una proporción geométrica discreta y aritmética discreta a la vez.

A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF

ResoluciónTema: Razones y proporciones

Análisis y procedimientoI. Verdadera Consideremos el siguiente ejemplo:

33

88

13

13

18

18

= − = −

proporcióngeométrica

discreta

proporció

��

;

nn armónica� ��

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unI 2016 -ISolucionario de Matemática

3

II. Verdadera Sean a y b los números; del enunciado, tenemos

ab

=35

3×(– 100) – 5×(– 100)=– 2×(– 100)

a b– 200=

\ a=– 300 ∧ b=– 500

III. Verdadera Consideremos el siguiente ejemplo:

55

66

5 5 6 6= − = −

proporcióngeométrica

discreta

proporción a

��

;rritmética

discreta

� ��

Respuesta: VVV

PREGUNTA N.o 5

La probabilidad de que haya un temblor en Chile es 0,8 y la probabilidad de que haya un temblor en Perú, dado que hubo uno en Chile es 0,4. Determine la probabilidad de que sucedan ambos eventos.

A) 0,12 B) 0,32 C) 0,36 D) 0,40 E) 0,68

Resolución

Tema: ProbabilidadAnálisis y procedimientoConsidere lo siguiente:• P[Ch]: probabilidad de que haya un temblor en

Chile.• P[P/Ch]: probabilidad de que haya un temblor

en Perú, dado que hubo en Chile.• P[Ch ∩ P]: probabilidad de que haya temblor

en Perú y Chile.

Del enunciado, P[Ch]=0,8 y P[P/Ch]=0,4.

Sabemos que la probabilidad condicional se define así

P A BP A BP B

/[ ] = ∩[ ][ ]

(*)

En (*)

P P Ch

P Ch PP Ch

/[ ] = ∩[ ][ ]

0 4

0 8,

,=

∩[ ]P Ch P

\ P[Ch ∩ P]=0,32

Respuesta: 0,32

PREGUNTA N.o 6

Sea el número N=4a(a+b)b(12). Se afirma

I. Existen valores para a y b tal que la división N ÷ 12 es exacta.

II. Existen valores para a y b tal que la división N ÷ 9 es exacta.

III. Existen valores para a y b tal que la división N ÷ 1000 es exacta.

¿Cuáles de las afirmaciones son las correctas?

A) I y II

B) I y III

C) II y III

D) I, II y III

E) solo I

Resolución

Tema: Divisibilidad


Recordemos que

abcde

n e

n de

n cde

n n

n

=

+

( ) +( ) +

º

º

º

2

3

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4

I. Correcta

Demostramos que 4 1212a a b b+( ) =o

para algún a y b.

Por lo anterior

4 1212a a b b b+( ) = +º

12 12º º+ =b

b = 12º

→ b=0 ∧ a: 0; 1; 2; ...; 11

II. Correcta

Demostramos que 4 912a a b b+( ) =º para algún

a y b.

Por lo anterior

4 912a a b b+( ) =º

144 912º º+ +( ) =a b b

9 12 13 9º º+ +( ) =a b

3 4 925

33

a b

� �

� �+ =º

III. Incorrecta Demostramos que

4 100012a a b b+( ) ≠º

Recordemos que

400012 ≤ 4a(a+b)b12 < 500012

6912 ≤ 4a(a+b)b12 < 8640 1000

º

7000=407012 (no cumple)

8000=476812 (no cumple)

Respuesta: I y II

PREGUNTA N.o 7

Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado.

I. El producto de dos números enteros es un número natural.

II. La suma de todos los elementos del conjunto de los números enteros siempre es cero.

III. El cociente de dos números naturales es un número entero.

A) VVV B) VFV C) FVV

D) FVF E) FFF

Resolución

Tema: Operaciones fundamentales


I. Falsa

Consideramos el siguiente contraejemplo:

Sean los dos números enteros – 5 y 2, entonces, el producto de ellos (– 5×2=– 10) no es un número natural.

II. Falsa

El conjunto de los números enteros es

Z={...; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; ...}

Como el conjunto de los números enteros tiene una ilimitada cantidad de elementos, la suma de ellos no estaría determinada.

III. Falsa

Consideramos el contraejemplo: Sean los dos números naturales 2 y 5, entonces,

el cociente de ellos 25

0 4=

, no es un número

natural.

Respuesta: FFF

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5

PREGUNTA N.o 8

Determine el menor número natural divisible por los números primos p, q y r, sabiendo que r – q=2p

y rq+p2=676.

A) 2001 B) 2031 C) 2061 D) 2301 E) 2331

Resolución

Tema: Clasificación de los Z+

Análisis y procedimientoDatos:

• r – q=2p → r=2p+q (I)

• rq+p2=676 (II)

Reemplazamos (I) en (II).

(2p+q)q+p2=676

→ p2+2pq+q2=676

(p+q)2=676

p+q=26 ; r=2p+q

3 23 29 (3×23×29=2001) 7 19 33 (7×19×33=4389)

Luego

N N= → = ( )

3

23

29

3 23 29

o

o

o

o

MCM ; ;

N = × ×3 23 29o

N = 2001o

\ Nmín=2001

Respuesta: 2001

PREGUNTA N.o 9Calcule el valor mínimo de la función objetivo f(x; y)=3x+6y sujeto a las siguientes restricciones:

2x+3y ≥ 12,

2x+5y ≥ 16,

x ≥ 0,

y ≥ 0.

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

ResoluciónTema: Programación linealAnálisis y procedimientoDel sistema

2 3 122 5 16x yx y+ =+ =

Obtenemos x=3 ∧ y=2

Graficamos la región factible.

4

165 (3; 2)(3; 2)(3; 2)

6 8 X

Y

Como la función objetivo f(x; y)=3x+6y tienecoeficientes positivos, entonces el valor mínimo se obtiene en uno de los vértices: (0; 4), (3; 2) o (8; 0).

Evaluamos en los vértices.

f (0; 4)=3(0)+6(4)=24

f (3; 2)=3(3)+6(2)=21

f (8; 0)=3(8)+6(0)=24

\ mín f(x; y)=21

Respuesta: 21

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6

PREGUNTA N.o 10Sea f : A → R una función definida por:

f xx( ) = −( ) ln log /1 225

donde A=Dom(f) ⊂ R. Entonces la cantidad de números enteros que posee el conjunto A es:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

ResoluciónTema: Función logarítmicaAnálisis y procedimientoNos piden la cantidad de números enteros de A=Dom(f).

Para hallar el dominio de f, resolvemos la inecuación.

log log log12

212

212

5 0 5 1−( ) > ↔ −( ) > ( )x x

↔ 0 < 5 – x2 < 1

↔ – 5 < – x2 < – 4

↔ 5 > x2 > 4

↔ − < < − ∨ < <5 2 2 5x x

Luego

A = − − ∪5 2 2 5; ;

Por lo tanto, la cantidad de números enteros de A es 0.

Respuesta: 0

PREGUNTA N.o 11Se vende 300 unidades de un cierto libro con un precio unitario de S/60. Luego por cada descuento de S/5 en el precio unitario se venden 45 unidades más. Determine el precio máximo a fijar para obtener un ingreso de al menos S/19 500.

A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55

ResoluciónTema: Aplicaciones comercialesAnálisis y procedimientoSe vende 300 unidades a un precio unitario de S/60. (recaudación total)= ( )( ) =300 S/60 S/18 000

Del enunciado, tenemos que por cada descuento de S/5 en el precio unitario, se vende 45 unidades más.→ (recaudación total)= +( ) −( )300 45 60 5n n

Del enunciado, tenemos que

(300+45n)(60 – 5n) ≥ 19 500

(20+3n)(12 – n) ≥ 260

3n2 – 16n +20 ≤ 0

3n –10

n – 2

→ (3n – 10)(n – 2) ≤ 0

Gráficamente

– ∞ + ∞2+ +–

10/3→ 2 ≤ n ≤ 10/3

En consecuencia, nmín es 2.

Por lo tanto, el precio máximo es S/60 – S/5×2=S/50.

Respuesta: 50

PREGUNTA N.o 12Sea A y B dos conjuntos, definidos por:

A={n ∈ R: n < 2 ↔ 2n > 1} y

B={n ∈ R: n ∈ A → n < 1}

Determine A ∪ B.

A) f B) 12

2; C) 12

2;

D) −∞ ∪ + ∞; ;

12

2 E) R

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7

ResoluciónTema: DesigualdadesAnálisis y procedimientoTenemos que

B={n ∈ R: n ∈ A → n < 1}

={n ∈ R: n ∉ A ∨ n < 1}

={n ∈ R: n ∈ AC ∨ n < 1}

Nos piden A ∪ B.

→ A B n n A n B∪ = ∈ ∈ ∨ ∈{ R : }��

A B n n A n A nC

n

∪ = ∈ ∈ ∨ ∈ ∨ <( ){ }∈

R

R

: 1� ��

A ∪ B={n ∈ R: n ∈ R}

\ A ∪ B=R

Respuesta: R

PREGUNTA N.o 13Considere las siguientes ecuaciones cuadráticas, donde a ≠ 1:

x2+ax+1=0, x2+x+a=0, x2+(b – 1)x – b=0.

Sabiendo que las tres ecuaciones poseen una raíz real en común y una de las ecuaciones posee dos raíces enteras positivas, siendo una el triple de la otra, determine a+b.

A) – 1 B) – 2 C) – 3 D) – 4 E) – 5

ResoluciónTema: Ecuación cuadrática

Análisis y procedimientoSea a la raíz real en común.

Reemplazamos en las dos primeras ecuaciones.

a2+aa+1=0 – a2+ a+a=0

(a – 1)a+(1 – a)=0

→ a=1

Ahora reemplazamos a=1 en

a2+aa+1=0

1+a+1=0

→ a= – 2

Del enunciado, las raíces de la ecuación

x2+(b – 1)x – b=0

son 1 y 3.

Aplicamos el teorema de Cardano.

(suma de raíces)= – (b – 1)=4

→ b= – 3

\ a+b= – 5

Respuesta: – 5

PREGUNTA N.o 14

Sea f xx( ) = ( )log sen entonces el rango de f es el

conjunto:

A) [0; +∞⟩ B) ⟨ – ∞; 0] C) R D) [0; 1] E) ⟨ – 1; 1⟩

Resolución

Tema: Función logarítmica

Análisis y procedimientoComo –1 ≤ senx ≤ 1 → 0 ≤ |senx| ≤ 1

Aplicamos logaritmo a cantidades positivas, es decir,

0 < |senx| ≤ 1

log sen ;x ff

x

x( )

≤ → ∈ −∞ ]( )� �� 0 0

\ Ran f=⟨ – ∞; 0]

Respuesta: ⟨ – ∞; 0]

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8

PREGUNTA N.o 15

Sea f una función afín y biyectiva tal quef(1)=3 y f*(0)=2. Calcule f*(6) [f*: función inversa de f]

A) – 2 B) – 1 C) − 12

D) 0 E) 2

ResoluciónTema: Función inversa

Análisis y procedimientoComo f es una función afín

→ f(x)=ax+b

Por dato

f(1)=a+b=3 (I)

Ahora

fx bax( )

* = −

Como

f*(0)=2

→ − =ba

2

Luego

b=– 2a (II)

De (I) y (II) tenemos

a=– 3 ∧ b=6

Luego

fx ba

xx( )* = − = −

−6

3 → f( )

*6

6 63

0= −−

=

\ f*(6)=0

Respuesta: 0

PREGUNTA N.o 16

Del polinomio p(x)=2x3 – 6x2 + 11x – 3, se puede decir que:

A) Tiene dos raíces enteras y una racional. B) Tiene una raíz entera y dos racionales. C) Tiene tres raíces enteras. D) Tiene tres raíces racionales. E) Ninguna raíz es racional.

ResoluciónTema: Factorización


Sus posibles raíces racionales se hallan así:

±{ } = ±

= ± ± ± ±divisores de 3

divisores de 21 31 2

1 312

1;;

; ; ;33{ }

• Se observa que si x<0, entonces p(x)<0.

Luego, no tiene raíces negativas.

• Evaluamoslasposiblesraícesracionalesposi-tivas, y notamos que p(x) no se anula.

Por lo tanto, p(x) no tiene raíces racionales.

Respuesta: Ninguna raíz es racional.

PREGUNTA N.o 17

Considere las matrices B =−

0 11 1

y

f ff f

B B B B I11 12

21 22

25 24 23 2

= + + + + +...

Calcule f11 + f12 + f21 + f22

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

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9

ResoluciónTema: Matrices

Análisis y procedimientoDeterminamos las potencias de B.

B1 0 1

1 1=

−

B2 1 11 0

=− −

B I3 1 00 1

=−

−

= − B4=B3⋅ B=– I ⋅ B=– B

B5=B3⋅B2 = – I⋅B2=–B2 B6=(B3)2=(– I)2=I

Se observa que sus potencias son periódicas, con periodo 6; además, B+B2+B3+B4+B5+B6= .De ello se concluye que 6 potencias consecutivas se anulan.

Tenemos

f ff f

B B B B11 12

21 22

25 24 23 2

24

= + + + +...

sumandos� �� + +B I2

= + B + 2I

f ff f11 12

21 22

2 11 3

=

−

\ f11 + f12 + f21 + f22=5

Respuesta: 5

PREGUNTA N.o 18

Dado el sistema de inecuaciones

x2 + y2 – 10x – 6y < – 30,

y – x2 + 10x < 27,

10x – x2 – y < 21.

Señale el gráfico más próximo al conjunto solución del sistema anterior.

A)

X

Y

3

6

B)

X

Y

3

5

C)

X

Y

3

6

D)

X

Y

3

5

E)

X

Y

3

6

ResoluciónTema: Relaciones

Análisis y procedimientoCompletando cuadrados, el sistema es

( ) ( )

( )

( )

x y

y x

x y

− + − <

< − +

− − + <

5 3 2

5 2

5 4

2 2 2

2

2

Graficamos

3

5

y=(x – 5)2+2

y= – (x – 5)2+4

(x – 5)2+(y – 3)2=22

Respuesta:

X

Y

3

5

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10

PREGUNTA N.o 19

Sean ( , ) ,x y x y1= +

( , ) ,x y máx x y2= { } para (x, y) ∈ R2.

Calcule el área de la región C, donde

C x y x y x y= ≤ ≥{ }( , ) : ( , ) ( , )2 1

1 1y

A) 0 B) 1 C) 2

D) 2 E) 2 2

Resolución

Tema: Gráfica de relaciones


Nos piden calcular el área de la región C, donde

C x y x y x y= ≤ ≥{ }( , ) : ( , ) ( , )2 1

1 1 y

En forma equivalente de las definiciones, nos piden graficar

máx x y,{ } ≤ 1 ∧ |x|+|y| ≥ 1

|x|≤1 ∧ |y|≤1 ∧ |x|+|y| ≥ 1

Graficando e intersecando se obtiene que

1

1

–1

–1

Y

X

Por lo tanto, el área de la región C es 2.

Respuesta: 2

PREGUNTA N.o 20

De la sucesión (an) donde

ann n n= +( )3 4

1

donde n ∈ N.

Podemos afirmar que:

A) 5 < an ≤ 7 B) 4 < an < 6 C) 4 < an < 7 D) 3 < an ≤ 6 E) 3 < an ≤ 8

Resolución

Tema: Sucesiones


Tenemos (an) tal que

ann n n= +( )3 4

1

→ a an

n1 7 4= ∧ =→+∞l mí

Ahora

• 3n < 4n

2⋅3n < 3n+4n

3 3 2 3 41 1

< ⋅ < +( )n n n n

3 < an

• 3n < 4n

3n + 4n < 2⋅4n

3 4 4 2 81 1

n n n n+( ) < ⋅ <

3 < an < 8

Por lo tanto, podemos afirmar que 3 < an ≤ 8.

Respuesta: 3 < an ≤ 8

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11

PREGUNTA N.o 21Si los radios de dos circunferencias miden 2 u y 6 u y la distancia entre los centros es de 20 u, calcule (en u) la distancia entre el punto de intersección de las tangentes interiores y el punto de intersección de las tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias.

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15

ResoluciónTema: Semejanza de triángulos

Análisis y procedimientoDatos: r=2, R=6 y AB=20

Piden NM=3k

BR

3k

6 6

E

I

D

MH

JF

N 2k

CG

kA2

2r

Note que

NANB

AMMB

= =13

13

y

Luego, si AM=k → MB=3k y NA=2k.

Por dato, AB=20 → 4k=20 → k=5.

\ NM=15

Respuesta: 15

PREGUNTA N.o 22ABCD - EFGH es un hexaedro regular, con M ∈ AE, N ∈ BF, P ∈ CG y Q ∈ DH. Si AM=2 u, PC=4 u, AE=6 u y el volumen del sólido ADC - MQP es 42 u2, calcule la diferencia NB - QD (en u).

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

ResoluciónTema: Poliedros regulares

Análisis y procedimientoObservación: Según los datos, N no está definido, por lo que puede salir cualquier clave. En este caso, asumiremos lo más común, es decir, que M, Q, P y N son coplanares.

Datos:

AM=2; PC=4 y AE=6 vADC - MQP=42

Nos piden NB - QD.

DD

M

A

B C

Q

SP

G

HE

4

41

1NF

2 5

2

Del dato

VADC - MQP=42 → A ADCDQ

×+ +

=4 2

342

Como AADC=18, entonces, DQ=1.

En el ACGE, M y P son simétricos respecto de S.

Además, en el BDHF, Q y N son simétricos respecto de S.

Luego

NF=1 y BN=5.

\ NB – QD=4

Respuesta: 4

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12

PREGUNTA N.o 23En un triángulo ABC, AB=1 u, AC= u.3 Se toma un punto P exterior al lado BC, de modo que m BPC=2m BCA. Si BC=PC y AB // CP, calcule (en u) el valor de la mediana relativa al lado AC.

A) 52

B) 3

4 C)

72

D) 32

E) 2

3

ResoluciónTema: Relaciones métricas

Análisis y procedimientoNos piden BM=x (mediana relativa a AC).

Graficamos.

A

B

C

x

M

S

P

32

32

2θ

2θ

2θ

2θ

θ θ3θ180º– 4θ

180º– 4θ 1

1

De las condiciones, BC=PC y AB//PC→ m BAC=3q

Luego, se traza AS tal que AS=SC=.

En el ABC: teorema de Stewart

2 2 21 1 3 1 1 1+( ) = ( ) + ( ) − ( ) +( )

2(+1)=3 =1 → 2q=60º → q=30º

Finalmente, en el BAM: teorema de Pitágoras

x 2 2

2

13

2= +

→ x x2 74

72

= → =

Respuesta: 72

PREGUNTA N.o 24En una circunferencia se trazan dos cuerdas para-lelas a un mismo lado del centro, una de 15 cm y la otra de 25 cm. Si distan entre sí 8 cm, ¿cuál es la longitud (en cm) del diámetro de la circunferencia?

A) 25,1 B) 25,2 C) 25,3 D) 25,4 E) 25,5

ResoluciónTema: Relaciones métricas

Análisis y procedimientoNos piden AQ (AQ: longitud del diámetro).

Datos: AB // CD; AB=15; CD=25 y BM=8

Graficamos.

C DM5

85

151515B

Q

A

20252525

252

=

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13

Por teorema de cuerdas tenemos que 8×=5×20

→ =252

Luego

BQ = + =

252

8412

En el ABQ, aplicamos el teorema de Pitágoras

AQ( ) = ( ) +

2 22

15412

\ AQ=25,4

Respuesta: 25,4

PREGUNTA N.o 25La figura representa un cubo de arista a cm. Calcule el área (en cm2) del polígono PQRSTU si P, Q, R, S, T, U son puntos medios de las aristas.

S

T

U

PQ

R

A) 2 3 a2 B) 3 2 a2 C) 3 3 a2

D) 3 3

2a2 E)

3 34

a2

ResoluciónTema: Poliedros regulares

Análisis y procedimientoNos piden APQRSTU.

a2

2

a2

2

a2

2

a2

2

a

S

T

U

P

Q

R

a /2

a /2

a /2 a /2

a /2

a /2

a /2

a /2a /2a /2

a /2

a /2

a2

2

a2

2

Se observa que PQRSTU es un hexágono regular.

A PQRSTU

a=

6

22

34

2

\ A PQRSTU a=34

3 2

Respuesta: 34

3 2a

PREGUNTA N.o 26Por los vértices de un triángulo equilátero ABC se trazan rectas paralelas. Si las distancias de las rectas paralelas extremas a la central son 3 u y 5 u respectivamente, calcule el área del triángulo ABC (en u2).

A) 15 3 B) 463

3 C) 473

3

D) 16 3 E) 493

3

ResoluciónTema: Áreas de regiones triangulares

Análisis y procedimientoNos piden A ABC.

Dato: ABC es equilátero.

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14

L 1

L 2

132

RB

P

T

5

5

3

CQ

H

A60º 60º60º60º

60º+θ60º+θ60º+θ

131313

333θθθ

/2/2

333222

A ABC=2 34

(I)

En el trapecio ARTC aplicamos el teorema de la base media.

PQ = + =8 52

132

Como ARBQ es inscriptible

→ m QBP=m RAQ=60º+q

BPQ ∼ HAC

HCHC

= → =

132

32

13

3

En el AHC, aplicamos teorema de Pitágoras.

2 23169

3196

3= + = (II)

Reemplazamos (II) en (I).

A ABC =493

3

Respuesta: 493

3

PREGUNTA N.o 27En la figura, AB=8 cm, AC=12 cm, AE=10 cm y

D es punto medio de BE. Calcule BBBB

'''.

A B C

D

E

B'B''

A) 25

B) 37

C) 12

D) 35

E) 45

ResoluciónTema: Semejanza de triángulosAnálisis y procedimiento

8A

D

E

B'

B''

x

y

B C4

3

3

37º

53º

53º

37º37º37º

10

Nos piden BBBB

xy

'''

.=

BB'D ∼ EB''B

xy

=36

\ xy

=12

Respuesta: 12

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15

PREGUNTA N.o 28

Determine el número de triángulos escalenos, de perímetro menor que 10 u y cuyos lados tengan medidas enteras.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolución

Tema: Triángulos


A Cb

ac

B

Datos: a, b, c son valores enteros, además a ≠ b; b ≠ c; a ≠ c. También a+b+c < 10

Se sabe que b < a+c

Ahora sumamos b a cada miembro 2b < a+c+b 2b < 10 b < 5

Análogamente a < 5 c < 5

De lo anterior, el único triángulo que cumple es cuando a=4; b=3 y c=2.

Respuesta: 1

PREGUNTA N.o 29

Se inscribe un cuadrilátero ABCD en una circunfe-rencia como se aprecia en la figura. El perímetro del cuadrilátero es de 50 cm y el diámetro de la circun-ferencia AC es igual a 20 cm. Calcule r1+r2 en cm.

r2

r1O

B

CA

D

A) 3 B) 5 C) 6 D) 6,5 E) 7,2

Resolución

Tema: Puntos notables


Datos: 2pABCD=50 ∧ AC=20

Nos piden r1+r2.

Luego

ABC AB BC AC rADC AD DC AC r

::

+ = ++ = +

+22

2

1

50 2 20 2 2 1= ( ) + +( )r r

\ r1+r2=5

Respuesta: 5

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16

PREGUNTA N.o 30

En la siguiente figura, del punto P se traza una

tangente PT y una secante PC. Si AC=12,5 cm,

CE=13,5 cm y AL=6 cm, determine el valor

de BCAB

.

P A C

E

T

L

B

A) 1,25

B) 1,50

C) 1,75

D) 2,00

E) 2,25

Resolución

Tema: Relaciones métricas


Se observa que

CEP ∼ ALP

Luego

PA

PA +=

252

6272

→ PA=10

P A

6C

E

L

B272

252

Se cumple que

PB2=(AC)(PA) → PB=15

PBC ∼ PAB

\ BCAB

PCPB

= = 1 50,

Respuesta: 1,50

PREGUNTA N.o 31

En un tetraedro regular A - BCD de arista igual a 4 u, exterior a un plano P, las distancias de B, C y D al plano P son 2 u, 6 u y 4 u respectivamente. Calcule (en u) la distancia del incentro del triángulo BCD a plano P.

A) 2,5 B) 3,0 C) 3,5 D) 4,0 E) 4,5

Resolución

Tema: Poliedros regulares


Datos: A - BCD es un tetraedro regular. BM=2 CQ=6 DN=4 I es incentro del BCD.

Piden x.

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17

Graficamos

A

B

C

DI

M N

Q

PP4

2 x6

Note que BCD - MNQ es un tronco de prisma triangular.

→ x =+ +2 6 4

3

\ x=4,0

Respuesta: 4,0

PREGUNTA N.o 32

En la figura siguiente, AB=RC.

A R C

B

6x 7x

x

Determine el valor de x.

A) 8º B) 10º C) 12º D) 14º E) 15º

Resolución

Tema: Congruencia de triángulosAnálisis y procedimientoTrazamos RL, tal que m LRC=6x.

Luego

A R C

BL6x

6x

7x

x

ABR ≅ CRL

Se deduce que m BAR=m LCR=x

Finalmente, en el ABC x+13x+x=180º 15x=180º

\ x=12º

Respuesta: 12º

PREGUNTA N.o 33

En la figura mostrada, M, N y P son puntos de tangencia de la circunferencia inscrita en el sector circular AOB. Si m OPN=q rad, entonces el valor de cot(q) es:

O N B

P

M

A

A) 2 1− B) 2 2 1− C) 2 2 D) 2 1+ E) 2 2+

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18

Resolución

Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudoAnálisis y procedimiento

θ

θ

45º

O N B

P

M

A

r r

r

r

r

Del gráfico, se observa que

q+q=45º

θ = 452

º

→ cot cotºθ = 45

2

cot q=csc 45º+cot 45º

\ cotθ = +2 1

Respuesta: 2 1+

PREGUNTA N.o 34

Determine el rango de la función

f:[–1; 1] → R definida por

fx

xx( ) =( ) +

( ) −

arcsen

arccos

π

π2

2

A) [–1; 0] B) −

12

0; C) − 12

12

;

D) −

12

12

; E) [0; 1]

Resolución

Tema: Funciones trigonométricas inversas


fx

xx( ) =+

−

arcsen

arccos

π

π2

2

fx

xx( ) =+

−+

−

arcsen

arccos

π

π2

21 1

fx x

xx( ) =+ + −

−−

arcsen arccos

arccos

π π

π2

2

21

fxx( ) =

+ −

−−

π π π

π2 2

2

21

arccos

fxx( ) =

−−

−ππarccos 2

1

Como –1 ≤ x ≤ 1→ 0 ≤ arccosx ≤ π

Luego

– 2π ≤ arccosx – 2π ≤ – π

− ≥−

≥ −12

12

1π π πarccos x

12 2

1≤ −−

≤ππarccos x

12

12

1 1 1− ≤ −−

− ≤ −ππarccos x

→ − ≤ ≤( )12

0f x

\ f x( ) ∈ −

12

0;

Respuesta: −

12

0;

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19

PREGUNTA N.o 35La ecuación de la cónica que sigue:

x xy y x y2 22 3 3 8 3 8 32 0+ + + − + =corresponde a:

A) Hipérbola B) Elipse C) Circunferencia D) Parábola E) Punto

ResoluciónTema: Secciones cónicas

Análisis y procedimientoDato:

x xy y x y2 22 3 3 8 3 8 32 0+ + + − + =Hallamos el ángulo de rotación.

cot 2

1 3

2 3

1

3θ =

−=

−

2q=120º → q=60º

Usamos las fórmulas de rotación. x=x'cosq – y'senq y=x'senq+y'cosq

Reemplazamos q=60º.

x

x y=

−' '32

y

x y=

+32' '

Reemplazamos en el dato.

x y x y x y x y' ' ' ' ' ' ' '−

+

−

+

+

+

32

2 33

23

23

32

2 22

+

+

−

−

+

+ =8 3

32

83

232 0

x y x y' ' ' '

Finalmente, simplificamos y tenemos que x' 2=4(y' – 2)

Respuesta: Parábola

PREGUNTA N.o 36

Sean x, y, z las medidas de los ángulos interiores de un triángulo tales que

cot(x)+cot(y)=3tan(z)cot(x)cot(y).

Determine tan(x) en función del ángulo y.

A) 2tan(y)

B) 3cos(y)

C) 4cot(y)

D) 3tan(y)

E) 4sen(y)

Resolución

Tema: Identidades trigonométricas de arcos compuestos


cotx+coty=3tanz cotx coty

cot

cot cotcot

cot cottan

xx y

yx y

z+ = 3

tany+tanx=3tanz (I)

Como x+y+z=180º

→ tanx+tany+tanz=tanx tany tanz (II)

Reemplazamos (I) en (II).

3tanz+tanz=tanx tany tanz

4tanz=tanx tany tanz

4=tanx tany

tantan

xy

= 4

\ tanx=4coty

Respuesta: 4cot(y)

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20

PREGUNTA N.o 37

Una población de aves amazónicas tiene mo-delo de crecimiento dado por la fórmula: N(t)=103(2cos(bt)+5) aves, t en años, con fluc-tuaciones periódicas de 7 años. Determine el menor tiempo en que la población será de 6000 aves.

A) 3 años y 6 meses B) 2 años y 6 meses C) 2 años y 5 meses D) 1 año y 2 meses E) 1 año

ResoluciónTema: Funciones trigonométricas directas

Análisis y procedimientoPiden el menor tiempo en el que la población será de 6000 aves.

Datos:• N(t)=103(2cos(bt)+5) aves; t en años

• Periodo=7

→ 2

7πβ

=

β

π=

27

Luego

N tt( ) +

=1000 2

27

5cosπ

Si N(t)=6000, tenemos que

6000 1000 2

27

5= cosπt

+

cos27

12

πt=

27 3

76

π πtt= años→ =

t= año+ año116

Considere que el año tiene doce meses.

\ t=1 año+2 meses

Respuesta: 1 año y 2 meses

PREGUNTA N.o 38

Determine para qué valores de x ∈ ⟨0; 2π⟩ se cumple:

cot

sen sen

2

24

2 5 30

x

x x

( ) +( ) + ( ) −

>

A) π π6 2

;

B) π π6

34

;

C) π π6

56

;

D) π π π6

56

; { } E) 0

656

; ;π π π{ }ResoluciónTema: Inecuación trigonométrica


Factorizamos

cotsen sen

; ;2 4

3 2 10 0 2

xx x

x+

+( ) −( ) > ∈ π

Como cot2x+4 ≥ 4 y 2 ≤ senx+3 ≤ 4

→ 2senx –1 > 0

sen x >

12

→ < ≤12

1sen x

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21

Analizamos en la C.T.

5π6

π6

12

xsenx1

∴ ∈xπ π6

56

;

Respuesta: π π6

56

;

PREGUNTA N.o 39En el paralelepípedo rectangular de la figura, de-termine aproximadamente la medida del ángulo q.

A) 30º

8

6

4

θθθ

B) 45º C) 60º D) 75º E) 90º

ResoluciónTema: Resolución de triángulos oblicuángulos

Análisis y procedimientoNos piden la medida aproximada de q.Dato:

8

8

106

6

4

4

θθθ

80

52

Por el teorema de cosenos tenemos que

cosθ =+ −( )( )

10 52 80

2 10 52

2 2 2

cos cos ,θ θ= → =

9 1365

0 5

\ q=60º

Respuesta: 60º

PREGUNTA N.o 40

Las letras S, C y R denotan la medida de un mismo ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial, respectivamente.Dadas las siguientes proposiciones:I. Existe un ángulo no nulo tal que S+R=C.II. Existe un ángulo no nulo tal que S=CR.III. Existe un ángulo tal que S > C.Son correctas:

A) solo II B) solo II y III C) solo I y III D) solo III E) I, II y III

ResoluciónTema: Relación numérica entre los sistemas

Análisis y procedimientoDatoS, C y R son lo convencional para un mismo ángulo.

I. Incorrecta Existe un ángulo no nulo tal que S+R=C.

Reemplazando S=9k, C=10k y R=π20

k

en la igualdad S+R=C, tenemos

920

10k k k+ =π → k=0

Como k=0, entonces no existe dicho ángulo.

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22

II. Correcta

Existe un ángulo no nulo tal que S=CR.

Reemplazando

S=9k, C=10k y R k= π20

,

tenemos 9 1020

k k k= ⋅ π, k ≠ 0

→ k = 18π

Luego, para k = 18π

existe dicho ángulo.

III. Correcta

Existe un ángulo tal que S > C.

Reemplazando S=9k y C=10k, tenemos

9k > 10k → 0 > k

Luego, para k < 0 existe dicho ángulo.

Respuesta: solo II y III

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pregunta n.o 1 pregunta n.o 2 -...

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