pre matematica

Centro Pre-Universitario

NUMEROS REALES

La unión de los números racionales (Q) y los números irracionales (I) forma un nuevo conjunto llamado Conjunto de números Reales y se designa con R.

1. Adicion De Números Reales.- Es una operación que hace corresponder a cada par ordenado (a, b) de R x R un tercer número real (a+b) llamado suma.

Propiedades:a) Clausura o cerradura: Dados dos números

reales. Entonces la suma de dichos números también es real. Si:b € R

b) Conmutativa: El orden de los sumados no altera la suma

c) Asociativa: Los sumandos se pueden agrupar de diferente manera, la suma no se altera.

d) Neutro de la adición: Existe un número real y solo uno, al que se denota por “0”, tal que para todo número real “a” se cumple

e) Inverso aditivo.- Para todo número real “a” , existe uno y sólo un elemento al que denotamos por “a”, tal que se cumple:

2. Multiplicación de de números reales.- Es una operación que hace corresponder a cada par ordenado (a, b) de R x R un tercer número real (a. b) llamado diferencia.

Propiedades de multiplicación

a) Clausura o cerradura.- Dados dos números reales, entonces el producto de dichos números. También es un número real Si a. b € R

b) Conmutativa.- El orden de los factores no alteran el producto:

c) Asociativa.- Los factores se pueden agrupar de diferente manera, el producto final no se altera

d) Neutro de la multiplicación.- Para cada número real y sólo uno, al que se denota pro

“1”, tal que para todo número real “a” se cumple:

e) Inverso multiplicativo: Para cada número real “a”, diferente de cero, existe uno y solo un elemento que denota “1/a”, tal que se cumple:

f) Distributiva de la multiplicación respecto a la adición:

3. Potenciación De Números Reales: Es una operación que hace corresponder a cada par ordenado (b, n) donde b€ R, n € N y n > 1 un tercer número real b” llamado potencia.

4. Radicación De Números Reales: Es una operación que hace corresponder a ciertos pares ordenados (n, a)

5. División De Números Reales.- Es una operación que hace corresponder a cada par ordenado (a, b) de RxR un tercer número real (a/b) llamado cociente.

6. Operaciones con Números Reales.- las operaciones con números reales se desarrollan de la misma manera que con los números racionales.

a) −5 ,78+3 ,4+√5+2,7−4 ,22−√5+1,2

b)

4−5 .683

≤2+4 . 65

c)

325+ 1

3+2

3−13

+14

5+√ 14

d) (3√2 )

34

e) (( 1

625 )1

2)0,5

f) √4√√3√( 14 )

48

−(360,5−0 ,361/2)

1

a + b € c

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a

a + (-a) = (-a) + a = 0

a. b € R

a. b = b. a

(a. b) .c = a. (b.c)

a. 1 =1. a = a

a.1/a = 1/a .a = 1

(a + b). c = a.c + b.c

a (b +c) = a. b + a. c

bn = P

a/b = c

C = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n aC = n a

Matemática


POLINOMIOS REALES

1. Grado Absoluto.- Se calcula sumando los exponentes de las variables.

2. Grado Relativo.- Esta representado por el mayor exponente de la variable en referencia.

3. Adición de polinomios.- para calcular la suma de dos o más polinomios, estos se ordenan y completan. Luego, se escriben uno debajo del otro y se reducen términos semejantes.

4. Sustracción de polinomios.- para calcular la diferencia de dos o más polinomios, estos se ordenan y completan. Luego, se escriben uno debajo del otro y se reducen términos semejantes.

5. Multiplicación de polinomios.- El producto de dos monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de sus coeficientes, y por grado la suma de sus grados, en caso de ser monomio por polinomio se multiplican todos los términos.

a) (5a2b−6ab3)2

b) ( 18m3−n)( 1

8m3+n)+5n2

c) (3 x+5 )2+(5 x−3 )2

d) (1−2 x ) (1+2 x )+4 ( x−1 ) ( x+2 )

Considerando los polinomios:

P(x)= 4x5-2x4-3x+7x3-9+7x2

Q(x)= 2x2-9x3+5x5-8x4+7-x

R(x)= 17-8x-9x4-2x3+5x5+x2

T(x)= 9x4-2x5-3x2+7x3-6+6x

Calcula:

a) P(x) + Q(x)

b) T(x) + Q(x)

c) R(x) – T(x)

d) R(x) – (P(x) + P(x))

e) (a5 + 1)(a5 – 1)(a10+1)(a20 + 1) (a20 - 1) (a20 + 1)

f) (2x3y + 3)(4x6y2 – 6x3y + 9)

g) (√5 x6+ 3√2 x )3

6. Cociente de Polinomios.- Se procede como en la multiplicación se divide cada termino del polinomio entre el monomio.

a) (13y3 +15y + 6y4+2): (2 – y + 2y2)

b) (-16+2x5): (-2+ x)

c) (-8 + 30x2 +9x3 + 27x) : (4 + 3x)

d)

8 x3−64 y6

2x−4 y2 ¿¿

e)

4 x4−162 x2−4

+ x3−8x−2

d) 3x4 – 11x3 + 14x2 – Ax + 21) : (x – 3)

FUNCIONES

Dados los conjuntos no vacíos A y B y una relación ƒ C A x B, se define ƒ como una función de A en B si y solo si los pares ordenados no tienen la primera componente igual, toda función se representa con una letra minúscula.

1. Función Lineal: La función lineal tiene todos los puntos de su grafica alineados y su ecuación es de la forma: y = mx + b, con m y b números cualquiera; m indica la pendiente de la recta, y b es el punto donde la recta corta al eje Y.

Ejercicios de Funciones.

1) Representar en un mismo sistema de coordenadas cartesianas las siguientes rectas:

a) y = xb) y = x + 1c) y = x + 3d) y = x – 1

¿Cómo resultan las rectas obtenidas?

2) Representar en un mismo sistema de ejes:y = -3xy = 2x + 2y = 3x - 4y = 4/5 - x/2

Indicar en cada caso la pendiente y la ordenada al origen.

3) Representar las siguientes funciones mediante la ordenada al origen y la pendiente:

a) 3x/5+y-1=0b) 2x+6y-12=0c) 2x-y=0d) -2x-y+6=0e) x-2y+8=0f) y-2x/3+2=0g) 2y=-6x

4) Conociendo un punto y la pendiente hallar la ecuación de la recta en forma explícita, implícita, segmentaría y normal, hallar la distancia al origen y graficar:

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Matemática


a) Q(2; 3) y m = 2b) P(0; 4) y m = -5/3c) R(-5; 1) y m = 2/5d) S(-2; 4) y m = -1

5) Conociendo dos punto hallar la ecuación de la recta en forma explícita, implícita, segmentaría y normal, hallar la distancia al origen y graficar:

a) P (0; 2) y P´(3; -2)b) Q (2; -2) y Q´(-2; -3)c) R (5; 3) y R´(-1; -1)

6) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto:

a. O (4; 5) y es // a la recta 3.x + 4.y = 2b. P (-1; 1) y es // a la recta y + 2.x = 0c. Q (2; 1) y es // a la recta 3.y + 3 = 0d. R (4; 3) y es // a la recta 5.x + y = 4e. S (-2; -1) y es // a la recta y = 2.xf. T(1; -3) y es // a la recta x + y + 1 = 0

2. Función Cuadrática.- La función cuadrática presenta una ecuación de la forma y = ax2 + bx + c y su grafica está formada por puntos que pertenecen a una curva llamada parábola.Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:

a) (x + 2)/(x - 3) = (3x - 4)/(x + 2)b) (2x - 2)/(x - 3) = (x + 2)/(x - 4)c) (x + 1)/(x + 3) + (x - 3)/(x - 1) = 5/4d) (x + 1)/(x + 2) ² + 3x/(x + 2) = 1/4e) [(x + 1)/(x - 1)] ² + (x + 1)/(x - 1) - 6 = 0f) 5/(x + 1) ² + 4/(x - 1) = 1g) (x ² - 1)/(x - 2) + 5 = 3/(x - 2)h) 3/(x - 2) + 2/(x - 3) = 2/(x - 4)i) x/6 + 6/x = 6j) 6/(x - 1) + 2/(x - 2) = 3/(x - 3)k) 4/(x + 4) + 1/(x + 3) + 3/(x + 1) = 0l) 6/(x + 2) - 3/(x ² - x - 6) = 20/(9 - x ²)m) 4/(x ² - x - 2) + 2/(x + 1) = 7,5/(x ² - 4)n) (x ² + x + 3)/(x ² - x + 3) = (2x + 5)/(2x + 7)o) 3x/(2x + 1) = (x + 5)/(x + 1) +(x - 19)/(2x ² + 3x + 1)p) (5x-2)/(2x + 2) +(3x + 2)/(4x - 4) = 5x/(x ² - 1) + 15/7

Resolver:

Determinar k de modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales:a) x ² - 5x + k = 0b) 3x ² + 8x + k = 0c)2x ² - 6x + k = 0d) 25x ² + kx + 1 = 0e) kx ² + kx + 1 = 0f) kx ² - 3x + k = 0

3. Función de proporcionalidad directa: La función de proporcionalidad directa presenta una ecuación de la forma: y = Kx y su grafica es una recta que pasa por el origen de coordenadas (0; 0).

4. Función de proporcionalidad: La función asociada a una proporcionalidad inversa presenta una ecuación de la forma y = k/x. Su grafica está formada por puntos que pertenecen a una curva de dos ramas llamada hipérbola. La curva se aproxima cada vez más a los ejes de coordenadas, pero nunca llega a tocarlos.

SISTEMAS DE ECUACIONES

Las ecuaciones son igualdades condicionales, las cuales se cumplen para algunos valores particulares de sus letras llamadas variables o incógnitas.

1. Solución de una ecuación.- Llamada también raiz de una ecuación. Es el conjunto de valores que al ser sustituidos en lugar de las incógnitas satisfacen o verifican la educación.

2. Clasificación de las ecuaciones

a)Según su coeficiente: Pueden ser numéricas o literales.

b)Según el número de incógnitas: Pueden ser de una, dos, tres o más incógnitas o variables.

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Matemática


c)Según sus soluciones: Pueden ser:

Ecuaciones compatibles.- Son aquellas ecuaciones que admiten solución, estas a su vez pueden ser:

Determinada, si tienen un número limitado de soluciones.

Indeterminado, si tienen un número ilimitado de soluciones.

Ecuaciones incompatibles: Llamadas inconsistentes o absurdas. Son aquellas ecuaciones que no poseen solución. En tal sentido, el conjunto solución es Ø

d) Según su grado, pueden ser: De primer grado: ax+b = 0 De segundo grado: ax2 + bx + c = 0 De tercer grado: ax3 + bx2 + cx + d = 0

3. Ecuación equivalente

Dos ó más ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas variables y el mismo conjunto solución

4. Ecuaciones lineales

Llamadas también ecuaciones de primer grado cuya forma general es

; a Ʌ b e R, a ≠ 0

Resolviendo: X = b/a .: C.S=(b/a)Donde: a y b son coeficiente y X es la variablePara resolver estos sistemas de ecuaciones podemos utilizar los métodos de sustitución, igualación ó reducción.

a) Método De Sustitución.- Este método consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

Ejemplo 3x – 2y = 1 y x + 4y = 19

Despejamos en una de las ecuaciones: x = 19 – 4y

Luego reemplazamos en la primera3(19 – 4y) – 2y = 1

Desarrollamos 57 – 12y - 2y = 1 57 – 1 = 14y 56/14 = y 4 = y

b) Método de Igualación.- Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones que se obtienen.

4x – y = 15 y x + 2y = 6

Despejamos x en las dos ecuaciones x = (15 + y)/4 i x = 6 – 2y

Igualamos las ecuaciones15+ y

4=6−2 y

Desarrollamos 15 + y = 4 (6 – 2y)

15 + y = 24 – 8yy + 8y = 24 – 15 9y = 9 y= 1

c) Método De Reducción.- Este método

consiste en eliminar una incógnita buscando sistemas equivalentes, donde los coeficientes de una misma incógnita sean opuestos.

5x + 2y = 8 y 3x + 7y = -1

Reduzcamos x para lo cual multiplicamos ambas ecuaciones por 3 y -5 respectivamente

3(5x + 2y) = 8 y -5(3x + 7y) = -115x + 6y = 24 y -15x – 35y = 5

Colocamos uno debajo del otro y reducimos:

15x + 6y = 24-15x – 35y = 5 -29y = 29 y= -1

EJERCICIOS

1. Resolvamos los siguientes ejercicios utiliza los 3 métodos aprendidos:

a) 3x-2y=-16; 5x+4y=10b) 4x-y=12; 2x+3y=-5c) 3x+y=-8; 2x-5y=-11d) 4x-3y=6; 5x+y=17e) 5x-4y=2; 2x+3y=17/4f) x/5-y=-2; 4x+y/4=41g) 2x-y/2=9/2; x-y/5=9/5h) 4x-8y=44; 2x+4y=22i) 22x-3y=0; 4x-y//3=14j) 3x-4y=1; 2x-3y=0k) 4x+3y=27; 6x+3y-3=0l) x+y=50; x/y=4m) x+y=5; -x+y=-2n) -7x+4y=3; y=xo) Y=2; 2x+2y-1=0p) x-2y-1=0; y-2x+2=0q) x-1=0; 1-y=0r) x+2y=0; 5x+10y=14s) 2x-3y=0; 4x+y=14t) 3y+8x-1=0; y=5-2x

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

1. Función real de variable real

Una función real de variable real es una aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en R es decirF: D c R-----Rx-----f(x)=y"

Nota: Para tener una función hay que tener dominio recorrido y ley

Nota: Se llaman funciones reales porque su recorrido es R y de variable real porque el dominio pertenece a R

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ax + b = 0

Matemática


Nota: x es la antiimagen de y por f; x es la invariable

y es la imagen de x por f; y es la variable Nota: f(x)=y es la ley de la función dada a

través de una fórmula matemática y como viene despejada la variable se dice que está escrita de forma explícita y que esta expresión depende de x ya que los valores de y se obtienen dando valores a x

Nota: D es el dominio de la función f y se denota Dom (f)=Df=D

2. Funciones elementales

a) Función constante:F: R-----R

x-----f(x)=c; donde c perteneciente a R se llama constante para todo x perteneciente a R; Df=R Im f: cObservación: Las gráficas de una función constante son

rectas paralelas al eje de las x o abscisas Por lo tanto solo se necesita un punto para

visualizarlo

b) Función identidad en R:(): R-----R

x----- (x)=x; para todo x perteneciente a R; D =R Im =R Nota: La gráfica de una función identidad es la

bisectriz del primer y tercer cuadrante

c) Función linealF: R-----R

x-----f(x)= a.x; para todo a perteneciente a R* y para todo x Perteneciente a R Df=R Im f=R

Casos particulares:o Si a = 1 entonces se obtiene la función

identidad en R y su gráfica es la bisectriz de el primer y tercer cuadrante

o Si a = -1 entonces la gráfica será la bisectriz del segundo y cuarto

d) Función valor absoluto en Rf:R-----R

x-----f(x)=/x/ si x es positivo = x si x es 0 = 0 si x es negativo = x

La gráfica en valor absoluto nunca puede ir por debajo del eje de las x o abscisas

Nota: relación entre la gráfica de la función identidad y la función valor absoluto en RLa gráfica de la función valor absoluto se obtiene a partir de la función identidad subiendo la parte que se encuentra por debajo del eje de las x haciéndolo simétrico a la parte que se encuentra por encima del eje X

e) Función a fín: f:R----R

x------f(x)= ax + b; a y b pertenecientes a R* Para todo x perteneciente a R

Dm f: R Im f: R

Observación: La gráfica de las funciones afines son gráficas que no pasan por el origen de coordenadas, la constante b indica porque el

punto corta al eje de las y, por encima o por debajo del eje x

Nota: Relación entre las gráficas de la función

afín y la función lineal: Una función afin

siempre tiene asociada una función lineal

haciendo b igual a 0

f) Función polinómica

f: R-----R

x-----f(x)=

Dm f: R Im f: R

g) Función racional

f: R - { }------R

x ----------------------f(x)=

Dm f: R - { }

Im f: R

h) Función "Signo de x"

Signo: R-----R

x-----f(x)=

Dm(Signo): R

Im f: {-1, 0, 1}

i) Función "Parte entera de x"

Ent(x)=[]:R-----R

X----- [x] Se toma la parte entera de x

Dm []: R Im f: Z

Observación: es un tipo de función escalonada

OPERACIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES

REALES DE VARIABLE REAL

1. Suma de funciones reales de variable real

Sean f: D1cR--------R g: D2cR--------Rx--------f(x) x--------g(x)

Funciones reales de variable real:

Si D1 intersecado con D2 es distinto al conjunto vacío entonces se puede definir la suma como:f + g : D1 intersecado D2cR-------Rx------- (f+g)(x)= f(x)+g(x) para todo X perteneciente a D1 D2

Propiedades:

a. Conmutativa: (f+g) (x)= (g+f) (x)b. Asociativa: [f(x)+g(x)]+h(x) = f(x)+ [g(x)+h(x)]

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Matemática


c. Elemento neutro: Para la suma de funciones es la constante 0

0: R----Rx----0(x)=0 para todo x perteneciente a Rf(x)+0(x)= 0(x)+f(x)= f(x) para todo f(x) perteneciente a F(R,R)Todo elemento de F(R,R) tiene simétrico que se llama opuesto:

Opuesto de f(x)= -f(x) ya que f(x)+(-f(x))= 0(x) Por verificar estas 4 propiedades el par

constituido por [F(R,R),+] es grupo conmutativo o abeliano.

2. Diferencia o resta de funciones

Debido a que (F(R,R),+) tiene estructura de grupo abeliano entonces se puede definir la resta de funciones como sumar al minuendo el opuesto del sustraendo

Sean f: D1cR-------R g: D2cR-------Rx-------f(x) x-------g(x)

Funciones reales de variable realSi el Dm f intersecado con el Dm de (-g) es distinto del conjunto vacío entonces se puede definir la resta de funciones de la siguiente forma:f-g: D1 intersecado D2 --------------- Rx --------------- (f-g)(x)= f(x)+ (-g(x))Para todo x perteneciente a D1 D2

3. Multiplicación o producto de funciones reales de variable real

Sea f: D1cR--------R g: D2cR--------Rx--------f(x) x--------g(x)

Funciones reales de variable realEntonces si D1 intersecado con D2 es distinto del conjunto vacío se puede definir el producto de la siguiente forma:f.g: D1 intersecado D2cR-------Rx-------f.g(x)= f(x).g(x) para todo x Perteneciente a D1 D2

Propiedades:

a) Conmutativa: f(x).g(x)= g(x).f(x) para todo f,g pertenecientes a F(R,R)

b) Asociativa: [f(x).g(x)].h(x)= f(x).[g(x).h(x)] para todo f,g,h perteneciente a F(R,R)

c) Elemento neutro: Se llama elemento unidad y es la función constante 1 y se define: u: R-----Rx-----u(x)=1 para todo x perteneciente a Rf(x).u(x)= u(x).f(x)= f(x) para todo f perteneciente a F(R,R)Por tanto por verificar el par [F(R,R),.] estas 3 propiedades es un semi grupo conmutativo con elemento unidad. Podemos afirmar que la terna (F(R,R),+,) por verificar:

El par (F(R,R),+) tiene estructura de grupo abeliano

El par (F(R,R),.) tiene estructura de semigrupo conmutativo con elemento unidad

Por tener la propiedad distributiva del producto respecto de la suma:f(x).(g(x)+h(x))= (f(x).g(x)) + (f(x).h(x))

Es un anillo conmutativo con elemento unidad

4. Producto de una función por un número real Sea f:D c R---------R una función real de

variable realx---------f(x)

Sea un número real cualquiera Se define el producto de landa por f y se

denota como la función: D c R---------Rx--------- ()(x)= .f(x) para todo xPerteneciente a DDm =Dm(f)=D

Propiedades:

Distributiva del producto respecto de los escalares.

Distributiva del producto respecto de las funciones.

Asociatividad de los escalares. Elemento neutro: Se dice que la terna (F(D,R),+,.) tiene

estructura de espacio vectorial.

5. Función recíproca de una dada:

Sea f: D c R-------R una función real de variable realx-------f(x)

Sea Do = {Todos los puntos del dominio de f donde la función no se anula}cD

Si Do es distinto del conjunto vacío se puede definir la función recíproca de la siguiente forma:1/f: D oc R--------R

x-------- (1/f)(x)=1/f(x) para todo x perteneciente a Do

Se verifica que:(F.1/f)(x)= (1/f.f)(x)= u(x)= función constante igual a 1

6. Cociente de dos funciones reales de variable real:

No estará definida en los puntos donde se anule el denominador

Sea f: D1cR---------R g: D2cR---------Rx---------f(x) x---------g(x)Dos funciones reales de variable real tales que g(x) es distinto de 0 para todo x perteneciente a Dom (g)= D2

7. Simetría, monotonía y acotación de funciones reales de variable real:

a) Simetria de funciones: Hay dos tipos de simetría diferente: Simetría con respecto al eje oy: función par

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Simetría con respecto al origen de coordenadas: función imparo Función par: Una función real de variable

reales par y su gráfica es simétrica al eje oy si para todo x perteneciente al Dm(f) se verifica:-x pertenece al dominio de f (se verifica si

el Dm(f) es R)f(-x) sea igual f(x)

Gráfica: Su gráfica es simétrica respecto al eje oy

o Función impar: Una función real de variable real es impar y su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas si para todo x perteneciente al Dm(f) verifica:-x pertenece a Dm(f)f(-x) = -f(x)Gráfica: Su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas.

b) Acotación de funciones: Para este apartado se empleara la teoría de intervalos, acotación de un subconjunto de R y la teoría de funciones ya vista.

Función acotada superiormente: Se dice que f está acotada superiormente en D si el subconjunto f(D) es una parte acotada superiormente de R es decir si existe K1 perteneciente a R tal que f(x) sea menor o igual que K1 para todo x perteneciente a DNota: K1 y todos los números mayores que este se llaman cotas superiores

Función acotada inferiormente: Se dice que f está acotada superiormente en D si el subconjunto f (D) es una parte acotada inferiormente de R es decir si existe K2 perteneciente a R tal que f(x) es mayor o igual que K2 para todo x perteneciente a D.Nota: K2 y todos los números menores que este se llaman cotas inferiores

Funciones acotadas: Una función está acotada en D si su imagen es un conjunto acotado en R es decir si existen K1 y K2 pertenecientes a R tales que K2 sea menor o igual que f(x) menor o igual que K1 para todo x perteneciente a D.

Función acotada en valor absoluto: Se dice que f está acotada en valor absoluto en D si existe K perteneciente a R tal que /f(x)/ sea menor que K para todo x perteneciente a D.Nota: Si f está acotada en D f estará acotada en valor absoluto en D

Supremo de una función: Si f está acotada superiormente en D, llamamos supremo a la menor de las cotas superiores. El supremo de f(D) se llama supremo de f en D.Se denota: M= Sup f(x) o M= extremo superior f(x) o M= Sup{f(x)/x D}

Infimo de una función: Si f está acotada inferiormente llamamos ínfimo a la mayor de las cotas inferiores. El ínfimo de f(D) se llama infimo de la función f en D.Se denota: m = Inf f(x) o m = extremo inf f(x) o m= Inf{f(x)/x D}

Máximo de una función: Si el supremo pertenece a dicha función se denomina máximo de la función. Se dice que f alcanza un máximo absoluto en un punto Xo si el número f(Xo) es igual al supremo de f es decir si verifica: f(x)es menor o igual que f(Xo) para todo x perteneciente a DSe denota: M= Max f(x) o M= Max{f(x)/x D}Nota: Se dice que Xo es un punto máximo absoluto de f en D y el valor de dicho máximo es f(Xo)

Nota: Este máximo es estricto si se cumple que f(x) es menor que f(Xo)Nota: si una función tiene máximo lo puede tomar en varios puntos de su dominio

Mínimo de una función: Si el mínimo de un función pertenece a dicha función entonces se llama mínimo. Se dice que f alcanza un mínimo absoluto en un punto X1 de D si el número f(X1) es igual al ínfimo de f en D es decir si f(X1) es menor o igual que f(x) para todo x perteneciente a D.

Se denota: m = min f(x) o m = min{f(x)/x D}Nota: Se dice que X1 es un punto mínimo absoluto de f en D y el valor de dicho mínimo es f(X1)Nota: Este mínimo es estricto si f(x) es menor que f(X1)Nota: Si una función tiene mínimo lo puede tomar en varios puntos de su dominio

Propiedades de las funciones acotadas:o La suma de dos funciones acotadas es

otra función acotadao El producto de dos funciones acotadas

es otra función acotadao Si una función está acotada su opuesta

también lo estaráo Si f está acotada para todo

perteneciente a R f estará también acotada

c) Monotonía de funciones: Para este apartado se empleará la teoria de monotonía de sucesiones y el tema de entornosPuede ser de dos clases:

a) Global: Si se refiere al dominio de la función o a un subconjunto de este

b) Local: Es la monotonía en un punto del dominio. Compara el valor de la función en este punto con los que toma la función en los puntos anteriores y posteriores de un entorno de dicho punto.

7

Matemática


Monotonía global: Función creciente: Se dice que f es

monótona creciente en A si solo si para todo X1 X2 perteneciente a A donde X1 sea menor que X2 entonces f(X1) será menor o igual que f(X2).“Una función se dice creciente si es monótona creciente en su dominio"

Función estrictamente creciente: Se dice que f es monótona estrictamente creciente en A si solo si para todo X1 X2 pertenecientes a A donde X1 menor que X2 entonces f(X1) será menor que f(X2)"Una función se dice es estrictamente creciente si es estrictamente creciente en su dominioPropiedad que relaciona la función estrictamente creciente con la función creciente:"Si una función es estrictamente creciente en un subconjunto de su dominio entonces la función también será creciente en dicho subconjunto pero no el recíproco"

Función decreciente: Se dice que f es monótona decreciente en A si solo si para todo X1 X2 pertenecientes a A donde X1 es menor que X2 entonces f(X1) será mayor o igual que f(X2)."Una función es monótona decreciente si es monótona decreciente en su dominio"

Función estrictamente decreciente: Se dice que f es estrictamente decreciente en A si solo si para todo X1 X2 pertenecientes a A donde X1 es menor que X2 entonces X1 será mayor que X2."Una función es estrictamente decreciente si es estrictamente decreciente en D"Propiedad que relaciona las funciones estrictamente decrecientes con las funciones decrecientes:"Si una función es monótona estrictamente decreciente en un subconjunto de su dominio entonces la función será también decreciente en dicho subconjunto pero no el recíproco"

Propiedades de las funciones monótonas:o Si una función es creciente en A y

también es decreciente en A entonces la función será la función constante en A.

o La función toma el mismo valor en todo punto de A y su gráfica es una recta paralela al eje x.

o La composición de dos funciones crecientes es una función creciente.

o La composición de dos funciones decrecientes es una función decreciente.

o Relaciona la monotonía con las funciones inyectivas.

o Si una función es estrictamente creciente entonces, ésta será inyectiva.

Monotonía local:Para este apartado se empleara el tema de entornos e intervalos. Para hablar de monotonía local en un punto tengo que definir un concepto muy importante llamado punto de acumulación de un subconjunto de R"Sea D un subconjunto de R y un punto Xo perteneciente a R no necesariamente perteneciente a D se dice que Xo es un punto de acumulación en D si para todo entorno del punto Xo hay por lo menos un punto de D distinto de Xo"

Proposición: "Un punto Xo perteneciente a R es de acumulación de D si solo si en todo entorno de Xo existen infinitos puntos de D"

Monotonía local de una función real de variable real en un punto de su dominio:

Sea f: D-----R función real de variable real Sea Xo perteneciente a R y punto de acumulación de D

Función monótona creciente en un punto de su dominio: Se dice que f es monótona creciente en el punto Xo perteneciente a D si solo si existe E(Xo,d) tal que verifique:Para todo x perteneciente a (Xo-d,Xo) f(x) sea menor o igual que XoPara todo x perteneciente a (Xo,Xo+d) f(x) sea mayor o igual que Xo"

Función monótona estrictamente creciente en un punto de su dominio: Se dice que f es monótona estrictamente creciente en el punto Xo perteneciente a D si solo si existe E(Xo,d) tal que verifique:Para todo x perteneciente a (Xo-d,Xo) f(x) sea menor que XoPara todo x perteneciente a (Xo,Xo+d) f(x) sea mayor que Xo"

Propiedad que relaciona la función estrictamente creciente con la función creciente: Si una función es estrictamente creciente en un punto de su dominio entonces la función también será creciente en dicho subconjunto pero no el recíproco"

Función monótona decreciente en un punto de su dominio: "Se dice que f es monótona decreciente en el punto Xo perteneciente a D si solo si existe E(Xo,d) tal que verifique:Para todo x perteneciente a (Xo-d,Xo) f(x) sea mayor o igual que XoPara todo x perteneciente a (Xo,Xo+d) f(x) sea menor o igual que Xo"

Función monótona estrictamente decreciente en un punto de su dominio: Se dice que f es monótona estrictamente decreciente en el punto Xo perteneciente a D si solo si existe E(Xo,d) tal que verifique:Para todo x perteneciente a (Xo-d,Xo) f(x) sea mayor que Xo

Para todo x perteneciente a (Xo,Xo+d) f(x) sea menor que Xo"

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Matemática


Propiedad que relaciona las funciones estrictamente decrecientes con las funciones decrecientes: Si una función es monótona estrictamente decreciente en un punto de su dominio entonces la función será también decreciente en dicho subconjunto pero no el recíproco.

EJEMPLOS Dadas las funciones

f: R ® R / f(x) = x + 3 Ù g: R ® R / g(x) = x ², se pide:Calcular g[f(0)]; g[f(-2)]Determinar [g o f](x) = g[f(x)]

Dadas las funciones:f:R ® R/f(x) = (x + 1)/x Ù g:R ® R/g(x) = 2.x + 1Calcular: [g o f](x) = f[g(x)] y [g o f](x) = g[f(x)]

Dadas las funciones:f: R ® R / f(x) = x ² - 2.x Ù g: R ® R / g(x) = x ²

+ 1Calcular [g o f](-2) + [f o g](0)

GEOMETRÍA PLANA

EJERCIC IOS 1. Determinar el lado de un triángulo equilátero

cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?

2. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6cm.

3. Dado un triángulo equilátero de 6m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

4. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84m.

5. En un cuadrado de 2m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

6. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.

7. En una circunferencia de radio igual a 4m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

8. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110m, las bases miden 40 y 30m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

9. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.

10. El área de un cuadrado es 2304cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

11. La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

12. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2cm el radio de la circunferencia.

13. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4cm el radio de la circunferencia.

14. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.

15. Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 8cm y el radio del círculo menor mide 2cm.

16. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6cm y el radio de los círculos pequeños mide 2cm.

17. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

9Matemática


18. A un hexágono regular 4cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

19. En una circunferencia una cuerda de 48cm y dista 7cm del centro. Calcular el área del círculo.

20. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2cm y 29.6cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

EJERCICIOS 1. Calcula el volumen de un depósito en forma

de prisma pentagonal regular cuya altura mide 2’5cm y el área de la base 80 cm2.

2. El volumen de un cubo mide 2197 cm3. Calcula el lado del cubo y la diagonal principal.

3. La carpa de un circo tiene forma de prisma octogonal regular. Su techo es una pirámide de altura igual a la tercera parte de la altura del prisma. Si la arista básica del prisma es 5m y la altura total (prisma y pirámide incluidos) es de 24m, calcula la cantidad de lona necesaria para construir la carpa.

4. Calcula el volumen de un edificio formado por un ortoedro de dimensiones 10x10x6 m y una pirámide cuadrangular de altura 9m.

5. Calcular el área total y volumen de un cilindro de diámetro 10cm y altura 12cm.

6. Si pegamos los bordes menores de una hoja de papel (mídelos), se obtiene un cilindro ¿cuánto mide su radio?.

7. Hemos pintado un recipiente cilíndrico de 20m de diámetro y 15m de altura, y se ha pagado a 75 soles el metro cuadrado, ¿cuánto pagamos?

8. Calcula la altura, volumen y superficie de un cono de radio 3m y generatriz 5m.

9. Calcula el área lateral de un paquete cónico de palomitas de generatriz 12cm y radio 10 cm.

10. La cúpula de San Pedro del Vaticano mide 42m de diámetro, ¿cuál es su superficie si suponemos que es semiesférica?.

11. Las pelotas de tenis se venden en latas de forma cilíndrica que contienen 3 pelotas cada una. Si el diámetro de la lata es de 6’5cm, calcular el volumen que queda libre en el interior de una lata.

12. El área lateral de un cilindro de altura 5cm es 188’4 cm2, calcula su radio y volumen.

13. Un reloj de arena está formado por dos conos rectos unidos por su cúspide, la altura del reloj es de 10cm y su diámetro 5cm. Calcular el volumen de arena que hay en el interior de uno de los conos. Sabiendo que cae 0’1 cm3 de arena por segundo, ¿cuánto tiempo tarda en pasar la arena de un cono al otro?

14. Calcula el área total de un tetraedro regular de arista 5cm.

15. Calcula el volumen de una pirámide cuadrada de 6cm de lado y altura de una cara 73cm.

16. Halla el área y el volumen de una superficie esférica de radio 12cm.

17. Calcula el área visible y el volumen de un depósito cilíndrico de radio 8m y altura 12m terminado en una semiesfera.

18. Con una plancha rectangular de 6cm por 8cm se pueden construir dos cilindros según se unan los bordes mayores o menores. ¿Cuál tiene mayor área?¿Y mayor volumen?

19. Una caja tiene forma de ortoedro de dimensiones 8x6x5 cm. ¿Cabe en dicha caja un lápiz de 13cm?

20. Las bases de un prisma recto son triángulos rectángulos isósceles de área 8cm2, y la arista lateral mide 7cm. Encontrar el área lateral del prisma.

21. ¿Qué volumen tiene un cubo de superficie total 1m2?

22. La pirámide de Keops tiene base cuadrada de arista 230m y altura 146m, calcula su volumen y la altura de una cara.

23. Calcula el volumen de una esfera de superficie 1256 cm2.

24. Calcula el volumen engendrado por un triángulo equilátero de 2dm de altura al girar alrededor de ésta.

25. En el interior de un vaso cilíndrico hay una gota de miel a 3cm del borde superior, y en el exterior del vaso hay una mosca, en el punto diametralmente opuesto al de la gota de miel. Indica, razonadamente, cuál es el camino más corto de la mosca para llegar a la gota de miel.

26. Representa los siguientes puntos en el espacio (en diferentes ejes:A= (2, 1,0) B= (-2, 1,-2) C= (0,-2,2) D= (-4,-1,-1) E= (1, 0,5) F= (0, 2,0)G= (-2,-3,-1)H= (-3, 0,6) I= (3,-1,1)

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Matemática


27. Calcula las áreas de los poliedros regulares (excepto del dodecaedro) si su arista es 10m. (Voluntario: Intenta calcular el área del dodecaedro)

28. La diagonal de una de las caras de un cubo es 6m. Calcula el área y el volumen del cubo, de forma exacta y luego aproxima a las centésimas.

29. Una pirámide regular hexagonal mide 60cm de perímetro básico y 26cm de arista lateral. Calcula la altura de la pirámide, su área total y su volumen.

30. Calcula el volumen de una pirámide cuadrada de altura 20cm y perímetro básico 32cm.

31. ¿Cuántos litros de agua hay que sacar de un depósito cilíndrico de 8m de altura y 3’5 de radio básico para que el nivel de agua descienda 3m?

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Las funciones lineales, cuadráticas, poli nómicas y racionales se conocen como funciones algebraicas. Las funciones algebraicas son funciones que se pueden expresar en términos de operaciones algebraicas. Si una función no es algebraica se llama una función transcendental. Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son funciones transcendentales.Definición: Una función exponencial es una función de la forma y = ax, donde a>0 y a es diferente de uno.Ejemplos:

F(x) = 2x F(x) = (½)x = (2 -1)x = 2 -x

Nota: Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente, como lo es f(x) = 2x. Mientras que cuando a < 1, la función exponencial es una función decreciente, como lo es f(x) = 2-x.

1. Algunas características de las funciones exponenciales crecientes:

a) El dominio es el conjunto de los números reales.

b) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

c) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos.

d) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

e) Son funciones continuas.

2. Algunas características de las funciones exponenciales decrecientes:

a) El dominio es el conjunto de los números reales.

b) El recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

c) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos.

d) Todas las funciones intersecan al eje y en el punto (0,1).

e) Son funciones continuas.

Ya sabes calcular y = ax (función exponencial) para todo número real x. Ahora queremos proceder en forma inversa. Partiendo de y, ¿cómo podemos determinar a x? Por ejemplo: si 8 = 2x, ¿cuál es el valor de x? _________; si 100 = 10x. ¿cuál es el valor de x? __________

Pero la mayoría de las ecuaciones exponenciales no tienen soluciones tan evidentes.

Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base a para obtener y. Esto es, si a > 0 y a es diferente de uno, entonces logay = x si y sólo si y = ax.

Nota: La ecuación logay = x se lee "el logaritmo de y en la base a es x".

Ejemplos:

¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que "el logaritmo de 25 en la base 5 es 2". Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que. log5 25 = 2 es equivalente a 52 =25.También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

3. Resolución de ecuaciones logarítmicas simples. Ejemplos para discusión:

a) Halla el valor de x si log3 9 = xb) Halla el valor de a si loga 8 = 3c) Halla el valor de y si log2 y = 7

4. Propiedades de los logaritmo comunes: Para a > 1

a) loga 1 = 0b) loga a = 1c) loga (u v) = loga u + loga vd) loga (un) = n loga ue) loga M = loga N, entonces M = Nf) loga u/v = logau - logav

Ejemplos para discusión: Halla el valor de:

x si log2 x - log2 (x - 8) = 3.Resuelve para x la ecuación:log8 3 + ½ log8 25 = log8 x

Ejercicio de práctica: Resuelve

log4 (x + 1) - log4 (3x - 2) = 2

11

0

2

4

6

8

10

-5 0 5

0

2

4

6

8

10

-5 0 5

Matemática


FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

La letra a que aparece en la función exponencial se llama la base. La base puede ser cualquier número real positivo (ver definición de función exponencial). Sin embargo, hay casos donde se usa como base un número irracional denotado por e = 2.71828...La función exponencial f(x) = ex se conoce como la función exponencial natural. La gráfica de esta función es:

f(x) = ex

Logaritmo natural: También podemos formar logaritmos con base e. Estos se llaman logaritmos naturales. Se representan por el símbolo ln. De manera, que si y = ex, entonces x = loge y = ln.El logaritmo natural tiene todas las propiedades para logaritmos con base general a. En particular:

1) ln (u v) = ln (u) + ln (v)

3) ln un = n ln u4) ln e = 15) ln 1 = 0

Ejemplos para discusión:

Usa las propiedades de los logaritmos para escribir las siguientes expresiones como una suma, diferencia o múltiplo de logaritmos:

Usa las propiedades de los logaritmos para escribir las siguientes expresiones como el logaritmo de una sola cantidad:

Ejercicios:

Escribe cada ecuación exponencial a la forma logarítmica y viceversa:

a) 23 = 8b) log10 0.01 = -2c) ln 2 = 0.6931...d) ln 0.5 = -0.6931...e) 27 2/3 =9f) 3-1=⅓

Halla el valor de x:

a) log10 1000 = xb) log4 1/64 = xc) log3 x = -1d) logx 27 = 3

e) log3 x + log3 (x - 2) = 1f) x - 3 = log2 32

g) x2 - x = log5 25h) log27x = -2/3

Dibuja la gráfica de:

f (x) = 3x

y = 3-x

Si las propiedades de los logaritmos para escribir cada expresión dada como una suma, diferencia o múltiplo de logaritmos.

1) log2 xyz

6) ln 3e2

Escribe cada expresión con un único logaritmo:

a) log3 (x - 2) - log3 (x + 2)b) 3 ln x + 2 ln y - 4 ln zc) 2[ln x - ln (x + 1) - ln (x - 1)]

12

2)

3)

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0

5

10

15

20

25

-5 0 5

Matemática

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