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Productos Notables
Ejercicios de productos y cocientes notables
www.math.com.mxJosé de Jesús Angel Angel
MathCon c© 2007-2008
Contenido
1. Introducción 2
2. El cuadrado de una suma (a + b)2 3
3. El cuadrado de una diferencia (a− b)2 6
4. Producto de la forma (a + b)(a− b) 8
5. Cubo de un binomio (a± b)3 12
6. Producto de la forma (mx + a)(nx + b) 13
7. Cocientes de la formaa2 − b2
a± b14
7.1. Cocientes de la formaa3 ± b3
a± b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.1.1. Cocientes de la formaa3 + b3
a + b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.1.2. Cocientes de la formaa3 − b3
a− b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1Introducción
Al efectuar algunos productos de polinomios, existen varios que son comúnmente usados, a estosproductos se les conoce como productos notables.
Algunos productos y cocientes notables .
1. El cuadrado de una suma (a + b)2.
2. El cuadrado de una diferencia (a− b)2.
3. El producto de una suma por una diferencia (a + b)(a− b).
4. El cubo de un binomio (a± b)3.
5. El producto de la forma (mx + a)(nx + b).
6. El cociente de la formaa2 − b2
a± b.
7. El cociente de la formaa3 ± b3
a± b.
2El cuadrado de una suma (a + b)2
Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cuadrado de la suma de dos términos, es elcuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
1. (m + 5)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(m + 5)2 = (m)2 + 2(m)(5) + (5)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(m + 5)2 = m2 + 10m + 25
2. (9 + 4m)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(9 + 4m)2 = 92 + 2(9)(4m) + (4m)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(9 + 4m)2 = 81 + 72m + 16m2
3. (2x + 3y)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x)(3y) + (3y)2
2. El cuadrado de una suma (a + b)2 4
Paso 2 Efectuando operaciones.
(2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
4. (3a3 + 8b4)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(3a3 + 8b4)2 = (3a3)2 + 2(3a3)(8b4) + (8b4)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(2x + 3y)2 = 9a6 + (2)(3)(8)a3b4 + 64b8
= 9a6 + 48a3b4 + 64b8
5. (4m5 + 5n6)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(4m5 + 5n6)2 = (4m5)2 + 2(4m5)(5n6) + (5n6)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(4m5 + 5n6)2 = 16m10 + (2)(4)(5)m5n6 + 25n12
= 16m10 + 40m5n6 + 25n12
6. (8x2y + 9m3)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(8x2y + 9m3)2 = (8x2y)2 + 2(8x2y)(9m3) + (9m3)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(8x2y + 9m3)2 = 64x4y2 + (2)(8)(9)xym3 + 81m6
= 64x4y2 + 144xym3 + 81m6
7. (am + an)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(am + an)2 = (am)2 + 2(am)(an) + (an)2
2. El cuadrado de una suma (a + b)2 5
Paso 2 Efectuando operaciones.
(am + an)2 = a2m + 2am+n + a2n
8. (am + an)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(am + an)2 = (am)2 + 2(am)(an) + (an)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(am + an)2 = a2m + 2am+n + a2n
3El cuadrado de una diferencia (a− b)2
Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cuadrado de la suma de dos términos, es elcuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.
(a + b)2 = a2 − 2ab + b2
1. (2a− 3b)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(2a− 3b)2 = (2a)2 − 2(2a)(3b) + (3b)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(2a− 3b)2 = 4a2 − 12ab + 9b2
2. (3a4 − 5b2)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(3a4 − 5b2)2 = (3a4)2 − 2(3a4)(5b2) + (5b2)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(3a4 − 5b2)2 = 9a8 − (2)(3)(5)a4b2 + 25b4
= 9a8 − 30a4b2 + 25b4
3. (10x3 − 9xy5)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(10x3 − 9xy5)2 = (10x3)2 − 2(10x3)(9xy5) + (9xy5)2
3. El cuadrado de una diferencia (a− b)2 7
Paso 2 Efectuando operaciones.
(10x3 − 9xy5)2 = 100x6 − (2)(10)(9)x4y5 + 81x2y10
= 100x6 − 180x4y5 + 81x2y10
4. (xa+1 − 3xa−2)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(xa+1 − 3xa−2)2 = (xa+1)2 − 2(xa+1)(3xa−2) + (3xa−2)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(xa+1 − 3xa−2)2 = x2a+2 − 6xa+1+a−2 + 9x2a−4
= x2a+2 − 6x2a−1 + 9x2a−4
5. (3ma+b − 2na−b)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(3ma+b − 2na−b)2 = (3ma+b)2 + 2(3ma+b)(2na−b) + (2na−b)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(3ma+b − 2na−b)2 = 9m2a+2b − 12ma+bna−b + 4n2a−2b
4Producto de la forma (a + b)(a− b)
Puede aprenderse la regla de esta operación como: el producto de la suma por la diferencia es ladiferencia de cuadrados.
(a + b)(a− b) = a2 − b2
1. (x + y + z)(x + y − z)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(x + y + z)(x + y − z) = (x + y)2 − (z)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(x + y + z)(x + y − z) = x2 + 2xy + y2 − z2
2. (x− y + z)(x + y − z)
Paso 1 Reordenando términos.
(x− y + z)(x + y − z) = (x− (y − z))(x + (y − z))
Paso 2 Usando la fórmula para este caso.
(x− y + z)(x + y − z) = (x− (y − z))(x + (y − z))= (x)2 − (y − z)2
Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando.
(x− y + z)(x + y − z) = (x)2 − (y − z)2
= x2 − [y2 − 2yz + z2]= x2 − y2 + 2yz − z2]
4. Producto de la forma (a + b)(a− b) 9
3. (x + y + z)(x− y − z)
Paso 1 Reordenando términos.
(x + y + z)(x− y − z) = (x + (y + z))(x− (y + z))
Paso 2 Usando la fórmula para este caso.
(x + y + z)(x− y − z) = (x + (y + z))(x− (y + z))= (x)2 − (y + z)2
Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando.
(x− y + z)(x + y − z) = (x)2 − (y + z)2
= x2 − [y2 + 2yz + z2]= x2 − y2 − 2yz − z2]
4. (m + n + 1)(m + n− 1)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(m + n + 1)(m + n− 1) = (m + n + (1))(m + n− (1))= (m + n)2 − (1)2
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(m + n + 1)(m + n− 1) = (m + n)2 − (1)2
= m2 + 2mn + n2 − 1
5. (n2 + 2n + 1)(n2 − 2n− 1)
Paso 1 Reordenando términos.
(n2 + 2n + 1)(n2 − 2n− 1) = (n2 + (2n + 1))(n2 − (2n + 1))
Paso 2 Usando la fórmula para este caso.
(n2 + 2n + 1)(n2 − 2n− 1) = (n2 + (2n + 1))(n2 − (2n + 1))= (n2)2 − (2n + 1)2
Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando.
(n2 + 2n + 1)(n2 − 2n− 1) = (n2)2 − (2n + 1)2
= n4 − [4n2 + 4n + 1]= n4 − 4n2 − 4n− 1
4. Producto de la forma (a + b)(a− b) 10
6. (2a− b− c)(2a− b + c)
Paso 1 Reordenando términos.
(2a− b− c)(2a− b + c) = ((2a− b)− (c))((2a− b) + (c))
Paso 2 Usando la fórmula para este caso.
(2a− b− c)(2a− b + c) = ((2a− b)− (c))((2a− b) + (c))= (2a− b)2 − (c)2
Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando.
(2a− b− c)(2a− b + c) = 4a2 − 4ab + b2 − c2
7. (am + bn)(am − bn)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(am + bn)(am − bn) = (am)2 − (bn)2
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(am + bn)(am − bn) = a2m − b2n
8. (ax+1 − 2bx−1)(2bx−1 + ax+1)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(ax+1 − 2bx−1)(2bx−1 + ax+1) = (ax+1)2 − (2bx−1)2
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(ax+1 − 2bx−1)(2bx−1 + ax+1) = a2x+2 − 4b2x−2
9. (a2 − ab + b2)(a2 + b2 + ab)
Paso 1 Reordenando términos.
(a2 − ab + b2)(a2 + b2 + ab) = ((a2 + b2)− (ab))((a2 + b2) + (ab))
Paso 2 Usando la fórmula para este caso.
(a2 − ab + b2)(a2 + b2 + ab) = (a2 + b2)2 − (ab)2
4. Producto de la forma (a + b)(a− b) 11
Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando.
(a2 − ab + b2)(a2 + b2 + ab) = (a2 + b2)2 − (ab)2
= a4 + 2a2b2 + b4 − a2b2
10. (x3 − x2 − x)(x3 + x2 + x)
Paso 1 Reordenando términos.
(x3 − x2 − x)(x3 + x2 + x) = ((x3)− (x2 + x))((x3) + (x2 + x))
Paso 2 Usando la fórmula para este caso.
(x3 − x2 − x)(x3 + x2 + x) = (x3)2 − (x2 + x)2
Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando.
(x3 − x2 − x)(x3 + x2 + x) = x6 − (x4 + 2x2x + x2)= x6 − x4 − 2x3 − x2)
5Cubo de un binomio (a± b)3
Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cubo de un binomio es el cubo del primero másel triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundomás el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
1. (m + 3)3
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(m + 3)3 = m3 + 3(m)2(3) + 3(m)(3)2 + (3)3
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(x3 − x2 − x)(x3 + x2 + x) = x6 − (x4 + 2x2x + x2)= x6 − x4 − 2x3 − x2)
En el caso del signo negativo, el cubo de un binomio es el cubo del primero menos el triple delcuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo menos elcubo del segundo.
(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
1. (1− 2n)3
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(1− 2n)3 = 13 − 3(1)2(2n) + 3(1)(2n)2 − (2n)3
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(1− 2n)3 = 1− 6n + 12n2 − 8n3
6Producto de la forma (mx + a)(nx + b)
Este tipo de productos siguen una fórmula, pero no es difícil obtenerla, multiplicando lo dos binomios.
(mx + a)(nx + b) = (mn)x2 + (m + n)x + ab
1. (x + 3)(x + 2)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(x + 3)(x + 2) = x2 + (2 + 3)x + 6
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(x + 3)(x + 2) = x2 + 5x + 6
2. (x2 − 1)(x2 + 3)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(x2 − 1)(x2 + 3) = x4 + (3− 1)x− 3
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(x2 − 1)(x2 + 3) = x4 + 2x− 3
3. (ax+1 − 6)(ax+1 − 5)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(ax+1 − 6)(ax+1 − 5) = a2x+2 + (−6− 5)ax+1 + 30
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(ax+1 − 6)(ax+1 − 5) = a2x+2 − 11ax+1 + 30
7Cocientes de la forma
a2 − b2
a± b
Este tipo de cocientes se puede resolver fácilmente al substituir la diferencia de cuadrados (a2 − b2)por el producto (a + b)(a− b). De ahí se siguen las fórmulas siguientes (es necesario que a 6= b):
a2 − b2
a + b= (a− b)
a2 − b2
a− b= (a + b)
7.1. Cocientes de la formaa3 ± b3
a± b
7.1.1. Cocientes de la formaa3 + b3
a + b
a3 + b3
a + b= a2 − ab + b2
7.1.2. Cocientes de la formaa3 − b3
a− b
a3 − b3
a− b= a2 + ab + b2
En las otras combinaciones de signos no es exacta la división.