Práctica 10Formula de Cauchy

ySeries de potencias.

1

Problema 1.

15.1 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Dada la sucesión , con , demuestre que es convergente utilizando

la definición 4, con

Solución

Primero, vamos a identificar algunos términos de la sucesión dada:

No sabemos a priori cual es el posible límite; sin embargo, pareciera que la parte real del mismo es aproxi-

madamente 2 y la parte imaginaria aproximadamente 1, pero esto sería “inducción mal empleada”. Por tal motivo,

acudiremos al teorema 23, según el cual si el límite existe debe ser .

Demostremos entonces que mediante la definición 4:

Queremos probar que, escogido un (real) tan pequeño como se quiera, existe (real) función detal que a partir de cierto valor del subíndice, , , se tiene que .

Ahora bien, y

Por tanto, si y , entonces

Problema 2Demuestre que si una sucesión es convergente entonces su límite es único.

SoluciónSi es convergente a, digamos , el teorema 23 nos afirma que converge a y converge a

pero como es único (propiedad de unicidad del límite para sucesiones reales) y (por la misma razón)

también es único entonces se tiene que es único

Problema 3

Estudiar el carácter de la serie1

Solución

Vamos a utilizar el criterio del cociente: , , y

la serie dada es Abs. (C) y por el teorema 12: Serie Abs. (C) serie convergente.

Obsérvese que con el criterio de la raiz: , . Aquí es más difícil estudiar ; sin

embargo, vamos a introducir un recurso útil para algunos ejercicios:FACTORIAL DE STIRLING PARA INFINITOS EQUIVALENTES:

Cuando en alguna expresión en donde aparezca como factor, se puede reemplazar por ,

es decir,

infinito equivalente

Por lo tanto, Serie

Abs. (C) Serie (C), ya que y .

Problema 4

Estudiar el carácter de la serie ,

SoluciónSi aplicamos el criterio del cociente:

y .

1Estudiar el carácter de una serie significa determinar si la serie dada es (C) o (D)

176

15.1 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Dada la sucesión , con , demuestre que es convergente utilizando

la definición 4, con

Solución

Primero, vamos a identificar algunos términos de la sucesión dada:

No sabemos a priori cual es el posible límite; sin embargo, pareciera que la parte real del mismo es aproxi-

madamente 2 y la parte imaginaria aproximadamente 1, pero esto sería “inducción mal empleada”. Por tal motivo,

acudiremos al teorema 23, según el cual si el límite existe debe ser .

Demostremos entonces que mediante la definición 4:

Queremos probar que, escogido un (real) tan pequeño como se quiera, existe (real) función detal que a partir de cierto valor del subíndice, , , se tiene que .

Ahora bien, y

Por tanto, si y , entonces

Problema 2Demuestre que si una sucesión es convergente entonces su límite es único.

SoluciónSi es convergente a, digamos , el teorema 23 nos afirma que converge a y converge a

pero como es único (propiedad de unicidad del límite para sucesiones reales) y (por la misma razón)

también es único entonces se tiene que es único

Problema 3

Estudiar el carácter de la serie1

Solución

Vamos a utilizar el criterio del cociente: , , y

la serie dada es Abs. (C) y por el teorema 12: Serie Abs. (C) serie convergente.

Obsérvese que con el criterio de la raiz: , . Aquí es más difícil estudiar ; sin

embargo, vamos a introducir un recurso útil para algunos ejercicios:FACTORIAL DE STIRLING PARA INFINITOS EQUIVALENTES:

Cuando en alguna expresión en donde aparezca como factor, se puede reemplazar por ,

es decir,

infinito equivalente

Por lo tanto, Serie

Abs. (C) Serie (C), ya que y .

Problema 4

Estudiar el carácter de la serie ,

SoluciónSi aplicamos el criterio del cociente:

y .

1Estudiar el carácter de una serie significa determinar si la serie dada es (C) o (D)

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Problema 2.

15.1 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Dada la sucesión , con , demuestre que es convergente utilizando

la definición 4, con

Solución

Primero, vamos a identificar algunos términos de la sucesión dada:

No sabemos a priori cual es el posible límite; sin embargo, pareciera que la parte real del mismo es aproxi-

madamente 2 y la parte imaginaria aproximadamente 1, pero esto sería “inducción mal empleada”. Por tal motivo,

acudiremos al teorema 23, según el cual si el límite existe debe ser .

Demostremos entonces que mediante la definición 4:

Queremos probar que, escogido un (real) tan pequeño como se quiera, existe (real) función detal que a partir de cierto valor del subíndice, , , se tiene que .

Ahora bien, y

Por tanto, si y , entonces

Problema 2Demuestre que si una sucesión es convergente entonces su límite es único.

SoluciónSi es convergente a, digamos , el teorema 23 nos afirma que converge a y converge a

pero como es único (propiedad de unicidad del límite para sucesiones reales) y (por la misma razón)

también es único entonces se tiene que es único

Problema 3

Estudiar el carácter de la serie1

Solución

Vamos a utilizar el criterio del cociente: , , y

la serie dada es Abs. (C) y por el teorema 12: Serie Abs. (C) serie convergente.

Obsérvese que con el criterio de la raiz: , . Aquí es más difícil estudiar ; sin

embargo, vamos a introducir un recurso útil para algunos ejercicios:FACTORIAL DE STIRLING PARA INFINITOS EQUIVALENTES:

Cuando en alguna expresión en donde aparezca como factor, se puede reemplazar por ,

es decir,

infinito equivalente

Por lo tanto, Serie

Abs. (C) Serie (C), ya que y .

Problema 4

Estudiar el carácter de la serie ,

SoluciónSi aplicamos el criterio del cociente:

y .

1Estudiar el carácter de una serie significa determinar si la serie dada es (C) o (D)

176

15.1 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Dada la sucesión , con , demuestre que es convergente utilizando

la definición 4, con

Solución

Primero, vamos a identificar algunos términos de la sucesión dada:

No sabemos a priori cual es el posible límite; sin embargo, pareciera que la parte real del mismo es aproxi-

madamente 2 y la parte imaginaria aproximadamente 1, pero esto sería “inducción mal empleada”. Por tal motivo,

acudiremos al teorema 23, según el cual si el límite existe debe ser .

Demostremos entonces que mediante la definición 4:

Queremos probar que, escogido un (real) tan pequeño como se quiera, existe (real) función detal que a partir de cierto valor del subíndice, , , se tiene que .

Ahora bien, y

Por tanto, si y , entonces

Problema 2Demuestre que si una sucesión es convergente entonces su límite es único.

SoluciónSi es convergente a, digamos , el teorema 23 nos afirma que converge a y converge a

pero como es único (propiedad de unicidad del límite para sucesiones reales) y (por la misma razón)

también es único entonces se tiene que es único

Problema 3

Estudiar el carácter de la serie1

Solución

Vamos a utilizar el criterio del cociente: , , y

la serie dada es Abs. (C) y por el teorema 12: Serie Abs. (C) serie convergente.

Obsérvese que con el criterio de la raiz: , . Aquí es más difícil estudiar ; sin

embargo, vamos a introducir un recurso útil para algunos ejercicios:FACTORIAL DE STIRLING PARA INFINITOS EQUIVALENTES:

Cuando en alguna expresión en donde aparezca como factor, se puede reemplazar por ,

es decir,

infinito equivalente

Por lo tanto, Serie

Abs. (C) Serie (C), ya que y .

Problema 4

Estudiar el carácter de la serie ,

SoluciónSi aplicamos el criterio del cociente:

y .

1Estudiar el carácter de una serie significa determinar si la serie dada es (C) o (D)

176¿Entonces?

3

Problema 3.

Por lo tanto, la serie es Abs. (C) y, por teorema 12, la serie es (C).

Se deja al alumno la aplicación del criterio de la raiz. El camino será más largo y tendrá que aplicar el factorial

de Stirling.

Problema 5

Demostrar que la serie geométrica :

(a) converge a para todo en el interior del círculo unitario

(b) diverge fuera de , es decir, para y para

Solución

Empecemos con (a). Criterio del cociente: , luego serie Abs. (C) si y, por

teorema 12 serie (C) si . Al mismo tiempo, tenemos demostrado (b), puesto que si entonces, por el

criterio del cociente se deduce que la serie (D).

Resta probar que con , la serie converge precisamente a .

En efecto, sea . Ahora, recordando que

, tenemos que , de donde

puesto que y como y son funciones acotadas, entonces se tiene que

acotado acotadosi , es decir, si

en el caso

En el segundo, resulta

Resta el caso . Si , entonces , luego el término general de la serie de los valores

absolutos no tiende a cero y por tanto la serie diverge (Contra-recíproco del teorema 13).

CONCLUSION: La serie geométrica

(a) converge a para todo con

(b) diverge para todo con

Problema 6

En el ejercicio 4 se demostró que la serie es convergente . Demuestre que si entonces

existe y es igual a

Solución

Por el ejercicio 4 y el teorema 17, se cumple que existe convergente y como

entonces .

Más adelante veremos que

Problema 7

Demuestre que , (fijo) es convergente y halle su dominio y radio de convergencia

Solución

y, por el criterio del cociente, la serie dada es convergente

177

Por lo tanto, la serie es Abs. (C) y, por teorema 12, la serie es (C).

Se deja al alumno la aplicación del criterio de la raiz. El camino será más largo y tendrá que aplicar el factorial

de Stirling.

Problema 5

Demostrar que la serie geométrica :

(a) converge a para todo en el interior del círculo unitario

(b) diverge fuera de , es decir, para y para

Solución

Empecemos con (a). Criterio del cociente: , luego serie Abs. (C) si y, por

teorema 12 serie (C) si . Al mismo tiempo, tenemos demostrado (b), puesto que si entonces, por el

criterio del cociente se deduce que la serie (D).

Resta probar que con , la serie converge precisamente a .

En efecto, sea . Ahora, recordando que

, tenemos que , de donde

puesto que y como y son funciones acotadas, entonces se tiene que

acotado acotadosi , es decir, si

en el caso

En el segundo, resulta

Resta el caso . Si , entonces , luego el término general de la serie de los valores

absolutos no tiende a cero y por tanto la serie diverge (Contra-recíproco del teorema 13).

CONCLUSION: La serie geométrica

(a) converge a para todo con

(b) diverge para todo con

Problema 6

En el ejercicio 4 se demostró que la serie es convergente . Demuestre que si entonces

existe y es igual a

Solución

Por el ejercicio 4 y el teorema 17, se cumple que existe convergente y como

entonces .

Más adelante veremos que

Problema 7

Demuestre que , (fijo) es convergente y halle su dominio y radio de convergencia

Solución

y, por el criterio del cociente, la serie dada es convergente

177si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el círculo y el

radio de convergencia es precisamente

Observación 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y sólo queremos conocer el radio de (C), utilizamos sólo la

definición 16: con

Problema 8

Sabemos, de capítulos anteriores, que son analíticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Además, es trivial demostrar, utilizando las

definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas

Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.

Solución

(a) , Luego, . Así, la serie de

Taylor es y,

por el teorema 18, es convergente.

Vamos a hallar círculo y radio de convergencia: ,

radio de convergencia “ ” Dom. de Conv.

De manera análoga puede ud. demostrar que

(b) con y Dom. de (C)

(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9

Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)

Solución

Sabemos que es analítica en

Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si está en el mayor disco donde la serie converge:

es el mayor disco en donde la serie converge y

,

,

,

178

4

Ejercicio 1.

Ejercicio 2.

Por lo tanto, la serie es Abs. (C) y, por teorema 12, la serie es (C).

Se deja al alumno la aplicación del criterio de la raiz. El camino será más largo y tendrá que aplicar el factorial

de Stirling.

Problema 5

Demostrar que la serie geométrica :

(a) converge a para todo en el interior del círculo unitario

(b) diverge fuera de , es decir, para y para

Solución

Empecemos con (a). Criterio del cociente: , luego serie Abs. (C) si y, por

teorema 12 serie (C) si . Al mismo tiempo, tenemos demostrado (b), puesto que si entonces, por el

criterio del cociente se deduce que la serie (D).

Resta probar que con , la serie converge precisamente a .

En efecto, sea . Ahora, recordando que

, tenemos que , de donde

puesto que y como y son funciones acotadas, entonces se tiene que

acotado acotadosi , es decir, si

en el caso

En el segundo, resulta

Resta el caso . Si , entonces , luego el término general de la serie de los valores

absolutos no tiende a cero y por tanto la serie diverge (Contra-recíproco del teorema 13).

CONCLUSION: La serie geométrica

(a) converge a para todo con

(b) diverge para todo con

Problema 6

En el ejercicio 4 se demostró que la serie es convergente . Demuestre que si entonces

existe y es igual a

Solución

Por el ejercicio 4 y el teorema 17, se cumple que existe convergente y como

entonces .

Más adelante veremos que

Problema 7

Demuestre que , (fijo) es convergente y halle su dominio y radio de convergencia

Solución

y, por el criterio del cociente, la serie dada es convergente

177

Por lo tanto, la serie es Abs. (C) y, por teorema 12, la serie es (C).

Se deja al alumno la aplicación del criterio de la raiz. El camino será más largo y tendrá que aplicar el factorial

de Stirling.

Problema 5

Demostrar que la serie geométrica :

(a) converge a para todo en el interior del círculo unitario

(b) diverge fuera de , es decir, para y para

Solución

Empecemos con (a). Criterio del cociente: , luego serie Abs. (C) si y, por

teorema 12 serie (C) si . Al mismo tiempo, tenemos demostrado (b), puesto que si entonces, por el

criterio del cociente se deduce que la serie (D).

Resta probar que con , la serie converge precisamente a .

En efecto, sea . Ahora, recordando que

, tenemos que , de donde

puesto que y como y son funciones acotadas, entonces se tiene que

acotado acotadosi , es decir, si

en el caso

En el segundo, resulta

Resta el caso . Si , entonces , luego el término general de la serie de los valores

absolutos no tiende a cero y por tanto la serie diverge (Contra-recíproco del teorema 13).

CONCLUSION: La serie geométrica

(a) converge a para todo con

(b) diverge para todo con

Problema 6

En el ejercicio 4 se demostró que la serie es convergente . Demuestre que si entonces

existe y es igual a

Solución

Por el ejercicio 4 y el teorema 17, se cumple que existe convergente y como

entonces .

Más adelante veremos que

Problema 7

Demuestre que , (fijo) es convergente y halle su dominio y radio de convergencia

Solución

y, por el criterio del cociente, la serie dada es convergente

177

5

Problema 4.

si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el círculo y el

radio de convergencia es precisamente

Observación 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y sólo queremos conocer el radio de (C), utilizamos sólo la

definición 16: con

Problema 8

Sabemos, de capítulos anteriores, que son analíticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Además, es trivial demostrar, utilizando las

definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas

Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.

Solución

(a) , Luego, . Así, la serie de

Taylor es y,

por el teorema 18, es convergente.

Vamos a hallar círculo y radio de convergencia: ,

radio de convergencia “ ” Dom. de Conv.

De manera análoga puede ud. demostrar que

(b) con y Dom. de (C)

(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9

Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)

Solución

Sabemos que es analítica en

Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si está en el mayor disco donde la serie converge:

es el mayor disco en donde la serie converge y

,

,

,

178

si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el círculo y el

radio de convergencia es precisamente

Observación 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y sólo queremos conocer el radio de (C), utilizamos sólo la

definición 16: con

Problema 8

Sabemos, de capítulos anteriores, que son analíticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Además, es trivial demostrar, utilizando las

definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas

Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.

Solución

(a) , Luego, . Así, la serie de

Taylor es y,

por el teorema 18, es convergente.

Vamos a hallar círculo y radio de convergencia: ,

radio de convergencia “ ” Dom. de Conv.

De manera análoga puede ud. demostrar que

(b) con y Dom. de (C)

(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9

Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)

Solución

Sabemos que es analítica en

Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si está en el mayor disco donde la serie converge:

es el mayor disco en donde la serie converge y

,

,

,

178

Recuerde Problema 2 y Ejercicio 2

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Problema 4.

si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el círculo y el

radio de convergencia es precisamente

Observación 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y sólo queremos conocer el radio de (C), utilizamos sólo la

definición 16: con

Problema 8

Sabemos, de capítulos anteriores, que son analíticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Además, es trivial demostrar, utilizando las

definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas

Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.

Solución

(a) , Luego, . Así, la serie de

Taylor es y,

por el teorema 18, es convergente.

Vamos a hallar círculo y radio de convergencia: ,

radio de convergencia “ ” Dom. de Conv.

De manera análoga puede ud. demostrar que

(b) con y Dom. de (C)

(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9

Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)

Solución

Sabemos que es analítica en

Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si está en el mayor disco donde la serie converge:

es el mayor disco en donde la serie converge y

,

,

,

178

si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el círculo y el

radio de convergencia es precisamente

Observación 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y sólo queremos conocer el radio de (C), utilizamos sólo la

definición 16: con

Problema 8

Sabemos, de capítulos anteriores, que son analíticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Además, es trivial demostrar, utilizando las

definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas

Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.

Solución

(a) , Luego, . Así, la serie de

Taylor es y,

por el teorema 18, es convergente.

Vamos a hallar círculo y radio de convergencia: ,

radio de convergencia “ ” Dom. de Conv.

De manera análoga puede ud. demostrar que

(b) con y Dom. de (C)

(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9

Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)

Solución

Sabemos que es analítica en

Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si está en el mayor disco donde la serie converge:

es el mayor disco en donde la serie converge y

,

,

,

178

si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el círculo y el

radio de convergencia es precisamente

Observación 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y sólo queremos conocer el radio de (C), utilizamos sólo la

definición 16: con

Problema 8

Sabemos, de capítulos anteriores, que son analíticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Además, es trivial demostrar, utilizando las

definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas

Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.

Solución

(a) , Luego, . Así, la serie de

Taylor es y,

por el teorema 18, es convergente.

Vamos a hallar círculo y radio de convergencia: ,

radio de convergencia “ ” Dom. de Conv.

De manera análoga puede ud. demostrar que

(b) con y Dom. de (C)

(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9

Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)

Solución

Sabemos que es analítica en

Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si está en el mayor disco donde la serie converge:

es el mayor disco en donde la serie converge y

,

,

,

178

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si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el círculo y el

radio de convergencia es precisamente

Observación 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y sólo queremos conocer el radio de (C), utilizamos sólo la

definición 16: con

Problema 8

Sabemos, de capítulos anteriores, que son analíticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Además, es trivial demostrar, utilizando las

definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas

Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.

Solución

(a) , Luego, . Así, la serie de

Taylor es y,

por el teorema 18, es convergente.

Vamos a hallar círculo y radio de convergencia: ,

radio de convergencia “ ” Dom. de Conv.

De manera análoga puede ud. demostrar que

(b) con y Dom. de (C)

(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9

Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)

Solución

Sabemos que es analítica en

Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si está en el mayor disco donde la serie converge:

es el mayor disco en donde la serie converge y

,

,

,

178

si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el círculo y el

radio de convergencia es precisamente

Observación 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y sólo queremos conocer el radio de (C), utilizamos sólo la

definición 16: con

Problema 8

Sabemos, de capítulos anteriores, que son analíticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Además, es trivial demostrar, utilizando las

definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas

Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.

Solución

(a) , Luego, . Así, la serie de

Taylor es y,

por el teorema 18, es convergente.

Vamos a hallar círculo y radio de convergencia: ,

radio de convergencia “ ” Dom. de Conv.

De manera análoga puede ud. demostrar que

(b) con y Dom. de (C)

(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9

Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)

Solución

Sabemos que es analítica en

Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si está en el mayor disco donde la serie converge:

es el mayor disco en donde la serie converge y

,

,

,

178

Solución

Si , con circunferencia de centro y radio donde, es entera, aplique la fórmula

integral de Cauchy (complete las condiciones del teorema).

Si .

(Complete las condiciones del teorema de la fórmula integral de Cauchy para derivadas)y como y se concluye el resultado.

Problema 17

Demostrar que , con en sentido negativo.

Solución

Poner es entera . Verifique condiciones de la fórmula integral de Cauchy

Figura 14.7:

para concluir que la integral vale de allí se sigue el resultado.

Problema 18

Calcular , donde es el borde del cuadrado en sentido positivo.

Solución

Los puntos donde no es analítica son , los cuales no pertenecen

al cuadrado. Verifique que se cumplen las condiciones de la fórmula integral de Cauchy para las derivadas con

de donde,

166

Solución

Si , con circunferencia de centro y radio donde, es entera, aplique la fórmula

integral de Cauchy (complete las condiciones del teorema).

Si .

(Complete las condiciones del teorema de la fórmula integral de Cauchy para derivadas)y como y se concluye el resultado.

Problema 17

Demostrar que , con en sentido negativo.

Solución

Poner es entera . Verifique condiciones de la fórmula integral de Cauchy

Figura 14.7:

para concluir que la integral vale de allí se sigue el resultado.

Problema 18

Calcular , donde es el borde del cuadrado en sentido positivo.

Solución

Los puntos donde no es analítica son , los cuales no pertenecen

al cuadrado. Verifique que se cumplen las condiciones de la fórmula integral de Cauchy para las derivadas con

de donde,

166

8

Problema 5.

si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el círculo y el

radio de convergencia es precisamente

Observación 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y sólo queremos conocer el radio de (C), utilizamos sólo la

definición 16: con

Problema 8

Sabemos, de capítulos anteriores, que son analíticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Además, es trivial demostrar, utilizando las

definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas

Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.

Solución

(a) , Luego, . Así, la serie de

Taylor es y,

por el teorema 18, es convergente.

Vamos a hallar círculo y radio de convergencia: ,

radio de convergencia “ ” Dom. de Conv.

De manera análoga puede ud. demostrar que

(b) con y Dom. de (C)

(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9

Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)

Solución

Sabemos que es analítica en

Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si está en el mayor disco donde la serie converge:

es el mayor disco en donde la serie converge y

,

,

,

178

si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el círculo y el

radio de convergencia es precisamente

Observación 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y sólo queremos conocer el radio de (C), utilizamos sólo la

definición 16: con

Problema 8

Sabemos, de capítulos anteriores, que son analíticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Además, es trivial demostrar, utilizando las

definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas

Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.

Solución

(a) , Luego, . Así, la serie de

Taylor es y,

por el teorema 18, es convergente.

Vamos a hallar círculo y radio de convergencia: ,

radio de convergencia “ ” Dom. de Conv.

De manera análoga puede ud. demostrar que

(b) con y Dom. de (C)

(c) , y Dom. de (C)

(d) , y Dom. (C)

(e) , y Dom. (C)

Problema 9

Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)

Solución

Sabemos que es analítica en

Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si está en el mayor disco donde la serie converge:

es el mayor disco en donde la serie converge y

,

,

,

178

9

Figura 15.1:

Por inducción sobre se demuestra que , de donde ,

Así,

Es obvio que el radio de (C) es y el dominio de (C) es . Ver figura 15.1

Problema 10

Demuestre que:

(a)

(b) ,

Problema 11

Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin (Taylor con ) de

Solución

Es obvio que el desarrollo existe puesto que y son funciones elementales y, por tanto, es

analítica en (lo que incluye a ). El presente ejercicio nos servirá para mostrarnos que, a veces,

no es necesario el cálculo de las derivadas para usar la fórmula de Mc Laurin. En efecto,

puesto que representa a una

“serie geométrica” convergente si .

Ahora, utilizamos el teorema 22 (Producto de Cauchy) con , , , , . . . , ,

. . . y , , , , . . . , ,. . .

Luego, con

...

179

10

Figura 15.1:

Por inducción sobre se demuestra que , de donde ,

Así,

Es obvio que el radio de (C) es y el dominio de (C) es . Ver figura 15.1

Problema 10

Demuestre que:

(a)

(b) ,

Problema 11

Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin (Taylor con ) de

Solución

Es obvio que el desarrollo existe puesto que y son funciones elementales y, por tanto, es

analítica en (lo que incluye a ). El presente ejercicio nos servirá para mostrarnos que, a veces,

no es necesario el cálculo de las derivadas para usar la fórmula de Mc Laurin. En efecto,

puesto que representa a una

“serie geométrica” convergente si .

Ahora, utilizamos el teorema 22 (Producto de Cauchy) con , , , , . . . , ,

. . . y , , , , . . . , ,. . .

Luego, con

...

179

Figura 15.1:

Por inducción sobre se demuestra que , de donde ,

Así,

Es obvio que el radio de (C) es y el dominio de (C) es . Ver figura 15.1

Problema 10

Demuestre que:

(a)

(b) ,

Problema 11

Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin (Taylor con ) de

Solución

Es obvio que el desarrollo existe puesto que y son funciones elementales y, por tanto, es

analítica en (lo que incluye a ). El presente ejercicio nos servirá para mostrarnos que, a veces,

no es necesario el cálculo de las derivadas para usar la fórmula de Mc Laurin. En efecto,

puesto que representa a una

“serie geométrica” convergente si .

Ahora, utilizamos el teorema 22 (Producto de Cauchy) con , , , , . . . , ,

. . . y , , , , . . . , ,. . .

Luego, con

...

179

11

Problema 6.

Así, convergente en

Problema 12

Demuestre que es convergente en .

Problema 13

(a) Hallar la serie de Taylor de alrededor de sin utilizar el teorema 18

(b) Dibujar el disco de convergencia,

(c) Estudiar la convergencia en un punto del borde (a su elección)

Solución

(a) Primero, obsérvese que

Ahora, es una serie geométrica convergente si (esto

no sabemos si es cierto en nuestro caso) pero converge si

. Luego, es cierto Círculo de centro -1 y radio 2.

Por lo tanto, tenemos que

(b)

Figura 15.2:

(c) Por ejemplo, si elegimos , , luego, el término general de la serie,

no tiende a cero y, por tanto, la serie dada diverge.

(En general, para en el borde del disco, , ,

)

180

Así, convergente en

Problema 12

Demuestre que es convergente en .

Problema 13

(a) Hallar la serie de Taylor de alrededor de sin utilizar el teorema 18

(b) Dibujar el disco de convergencia,

(c) Estudiar la convergencia en un punto del borde (a su elección)

Solución

(a) Primero, obsérvese que

Ahora, es una serie geométrica convergente si (esto

no sabemos si es cierto en nuestro caso) pero converge si

. Luego, es cierto Círculo de centro -1 y radio 2.

Por lo tanto, tenemos que

(b)

Figura 15.2:

(c) Por ejemplo, si elegimos , , luego, el término general de la serie,

no tiende a cero y, por tanto, la serie dada diverge.

(En general, para en el borde del disco, , ,

)

180

12

Así, convergente en

Problema 12

Demuestre que es convergente en .

Problema 13

(a) Hallar la serie de Taylor de alrededor de sin utilizar el teorema 18

(b) Dibujar el disco de convergencia,

(c) Estudiar la convergencia en un punto del borde (a su elección)

Solución

(a) Primero, obsérvese que

Ahora, es una serie geométrica convergente si (esto

no sabemos si es cierto en nuestro caso) pero converge si

. Luego, es cierto Círculo de centro -1 y radio 2.

Por lo tanto, tenemos que

(b)

Figura 15.2:

(c) Por ejemplo, si elegimos , , luego, el término general de la serie,

no tiende a cero y, por tanto, la serie dada diverge.

(En general, para en el borde del disco, , ,

)

180

13

Así, convergente en

Problema 12

Demuestre que es convergente en .

Problema 13

(a) Hallar la serie de Taylor de alrededor de sin utilizar el teorema 18

(b) Dibujar el disco de convergencia,

(c) Estudiar la convergencia en un punto del borde (a su elección)

Solución

(a) Primero, obsérvese que

Ahora, es una serie geométrica convergente si (esto

no sabemos si es cierto en nuestro caso) pero converge si

. Luego, es cierto Círculo de centro -1 y radio 2.

Por lo tanto, tenemos que

(b)

Figura 15.2:

(c) Por ejemplo, si elegimos , , luego, el término general de la serie,

no tiende a cero y, por tanto, la serie dada diverge.

(En general, para en el borde del disco, , ,

)

180

14

Ejercicio 3.

Ejercicio 4.Problema 30

Hallar cuatro términos del desarrollo de Taylor alrededor de y el mayor disco de convergencia para

Solución

Emplee el desarrollo de y trate de calcular los cuatro primeros términos del producto. Así obtendrá

Problema 31

Hallar cuatro términos del desarrollo de Taylor alrededor de y el mayor disco de convergencia para

Solución

en el disco

187

Problema 14

Hallar serie de Taylor de alrededor de . Hallar dominio y radio de convergencia sin utilizar el

teorema 18.Solución

(15.1)

Veamos si la serie geométrica converge. Esto sucederá si y solamente si

(15.2)

Luego, por (15.1),

Círculo de convergencia: , ( )

Problema 15

Demostrar que las series dadas a continuación son convergentes y hallar los radios de convergencia respectivos

(a)

(b)

(c)

Solución

(a) Criterio del cociente: . Así, la serie es (C) si , es decir, si .

Dom. de (C): , . Además, si entonces la serie (D). Si entonces

y, por tanto, la serie (D).

(b)

Por lo tanto, la serie (C) si

Dom. de (C): , .

La serie (D) si ; si entonces (D)

181

15