Geometrıa DiferencialCiencias Basicas - F. Ingenierıa - UNRC 2015

Practico N◦4

Curvatura Gaussiana

Ejercicio 1. Calcular las primeras formas fundamentales de las superficies, dondesean regulares, parametrizadas por:

a) x(u, v) = (a sin(u) cos(v), b sin(u) sin(v), c cos(u)); elipsoide.

b) x(u, v) = (au cos(v), bu sin(v), u2); paraboloide elıptico.

c) x(u, v) = (au cosh(v), bu sinh(v), u2); paraboloide hiperbolico.

d) x(u, v) = (a sinh(u) cos(v), b sinh(u) sin(v), c cosh(u)); hiperboloide de dos ho-jas.

Ejercicio 2. a) Parametrizar la curva

C = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0, y > 0 e y2 − z2 = 1}

b) Demostrar que la superficie de revolucion M que se obtiene al hacer girar dichacurva es una superficie regular.c) Clasificar los puntos de la superficie M .

Ejercicio 3. a) Encontrar las cartas propias necesarias para cubrir la superficie derevolucion T (toro) generada por la circunferencia

C ={(x, y, z) ∈ R3 : x = 0, (y − b)2 + z2 = a2

}alrededor del eje de las z, donde 0 < a < b.b) Clasificar los puntos de la superficie T .c) Calcular el area del toro dado.

Ejercicio 4. Sea S una superficie regular y p ∈ S. Mostrar que la curvatura mediaH en p es

H =1

π

∫ π

0

kn(θ)dθ

donde kn(θ) es la curvatura normal de una curva que forma un angulo θ con unadireccion fija.

1

Geometrıa DiferencialCiencias Basicas - F. Ingenierıa - UNRC 2015

Ejercicio 5. Consideremos la superficie regular parametrizada por

x(u, v) = (u, v, u2 − v2), u, v ∈ R.

Hallar la curvatura normal km en el origen.

Ejercicio 6. Hallar el vector curvatura normal, knU , de la curva u = t2, v = t, dela superficie parametrizada por

x(u, v) = (u, v, u2 + v2), u, v ∈ R,

en el punto t = 1.

Ejercicio 7. Mostrar que si la curvatura media H ≡ 0 en S y S no tiene puntosplanos, entonces

Sp(w1).Sp(w2) = −K(p)(w1.w2),

para p ∈ S y w1, w2 ∈ Tp(S), siendo K la curvatura Gaussiana.

Ejercicio 8. Sea S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = axy}. Probar que:

a) S es superficie regular.

b) La curvatura Gaussiana K(p) = −a2 si p = (0, 0, 0).

c) La curvatura media H = 0 en p = (0, 0, 0).

Ejercicio 9. ¿Como son los puntos de la esfera de radio a y cuales son sus direc-ciones principales?.

Ejercicio 10. Hallar las curvaturas principales y direcciones principales de la su-perficie dada por la siguiente parametrizacion

x(u, v) = (u, v, 4u2 − v2),

en p = (0, 0, 0).

Ejercicio 11. Sea S la superficie reglada parametrizada por

x(u, v) = α(u) + vT (u),

donde T (u) es el vector tangente a la curva regular α(u).

2

Geometrıa DiferencialCiencias Basicas - F. Ingenierıa - UNRC 2015

a) Clasificar los puntos de S.

b) Determinar las curvaturas y las direcciones principales.

c) Verificar que la superficie es plana.

Ejercicio 12. Considerando

x(u, v) =

(u− u3

3+ uv2, v − v3

3+ vu2, u2 − v2

),

mostrar que

a) E = G = (1 + u2 + v2)2

y F = 0.

b) l = 2, n = −2 y m = 0.

c) Las curvaturas principales son k1 =2

(1+u2+v2)2y k2 = − 2

(1+u2+v2)2.

Ejercicio 13. Considerando la superficie parametrizada por

x(u, v) = (u, v, u2 + v2).

a) Encontrar los primeros y segundos coeficientes fundamentales.

b) Calcular la curvatura Media y Gaussiana.

c) Calcular las curvaturas principales.

3