Departamento de Matematica Aplicada

FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS.Ingenierıa Quımica (Curso 2005-06)

Graficas con Matlab. Practica 2

1. Introduccion

Con el programa MATLAB podemos dibujar graficas de curvas y funciones en el plano y en el espacio enmultiples formatos y con diferentes presentaciones. Por ejemplo, podemos representar graficas de funciones encoordenadas cartesianas, dadas en forma explıcita, es decir, de la forma y = f(x) (aunque no se pueden dibujardirectamente curvas en forma implıcita, es decir, de la forma g(x, y) = 0), curvas en forma parametrica, es decir,de la forma ~r(t) = (x(t), y(t)) con a ≤ t ≤ b y curvas en coordenadas polares, de la forma r = r(θ) con θ1 ≤ θ ≤ θ2.Al final hemos incluido dos secciones que muestran como representar curvas en el espacio y graficas de funcionesde dos variables, respectivamente.

2. Comandos basicos para graficos 2D

Para dibujar una grafica 2D con MATLAB los pasos basicos son los siguientes:En primer lugar hay que generar una tabla de valores para la x y para la y de la funcion a dibujar, por ejemplo,>>x=linspace(0,2*pi,30);

>>y=sin(x);

A continuacion utilizar un comando para dibujar, que puede ser,>>plot(x,y)

>>bar(x,y)

>>stairs(x,y)

>>stem(x,y)

que generarıan cada una de las cuatro graficas siguientes:

0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1Comando plot

−2 0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1Comando bar

0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1Comando stairs

0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1Comando stem

Figura 1: Graficas 2D

El color y el estilo de las lıneas que se utilizan para hacer las graficas se pueden modificar, por ejemplo, con elcomando

>>plot(x,y,’r:’)

obtenemos la grafica en color rojo y punteada, en lugar de con lınea continua. Para ver los colores y estilosdisponibles consultar el comando plot:

4

>>help plot

3. Coordenadas cartesianas

Ejemplo 1 Dibujar la grafica de la funcion

y = x2

Creamos una tabla de valores:>>x=linspace(-3,3,40);

>>y=x.^2;

Y ahora utilizamos alguno de los comandos de dibujo, por ejemplo,>>plot(x,y,’m’)

que producira una grafica en color magenta.

Ejercicio 1 Dibujar las graficas de las siguientes funciones eligiendo, en cada caso, una tabla de valores adecuadapara que aparezcan los aspectos mas representativos de la funcion:

a) f(x) = x(x2 + 4)2

b) f(x) = x −√

x

c) f(x) =log x

x

d) f(x) =x(x − 2)

(x + 1)(x − 2)

e) f(x) = sen

(

1

x

)

f) f(x) =x

e|x−1|

4. Ecuaciones parametricas

Ejemplo 2 Dibujar la grafica de la curva

~r(t) = (cos(t), sen(t)) ; −π ≤ t ≤ π

En primer lugar generamos los valores de t en el intervalo indicado,t=linspace(-pi,pi,100);

Y ahora lo podemos dibujar de dos formas distintas:>>plot(cos(t),sin(t))

o bien,>>comet(cos(t),sin(t))

Los dos comandos producen el mismo resultado, sin embargo la forma de ejecucion es diferente, la segunda esmas divertida. Tambien podemos dibujar los vectores velocidad con el comando quiver (que quiere decir “carcaj”),pero conviene reducir el numero de puntos:

>>t=linspace(-pi,pi,15);

>>quiver(cos(t),sin(t),-sin(t),cos(t))

Ejercicio 2 Dibujar las curvas en parametricas siguientes, en los apartados a) y b) dibujar ademas los vectoresvelocidad, utilizando el comando quiver:

a)~r(t) = (2 cos3 t, 2 sen3 t); −π ≤ t ≤ π

b)~r(t) = (3 sen t, 2 sen(2t)); −π ≤ t ≤ π

5

c)~r(t) =

(

t

π

(

12(t

π)2 − 9

)

,

(

((t

π)2 − 1)16(

t

π)2 + 2

))

; −3 ≤ t ≤ 3

d)~r(t) =

(

3

2cos t(cos t + 1), 2 sen(2t)

)

; −π ≤ t ≤ π

e)~r(t) = (sen(2t) + sen t,− cos(2t) − cos t); −π ≤ t ≤ π

f)~r(t) =(

et

4 sen(2t), et

4 cos(2t))

; −π ≤ t ≤ π

g)~r(t) =

(

2

3t cos(

7t

2),

2

3t sen(

7

t)

)

; −π ≤ t ≤ π

h)~r(t) =

(

t − 11

10sen(3t),−22

10cos(3t)

)

; −3π ≤ t ≤ 3π

5. Curvas en el espacio

Se generan de una manera similar a las curvas en el plano, con la diferencia de que aquı se utilizan los comandosplot3 o comet3, tambien existe un comando quiver3 para dibujar vectores velocidad sobre las curvas.

Ejemplo 3 Dibujar la curva~r(t) = (sen(t), cos(t), t) 0 ≤ t ≤ 4π

y sobre ella los vectores velocidad.Generamos los valores de t:>>t=linspace(0,4*pi,500);

Y ahora podemos utilizar dos comandos, plot3 que nos da el dibujo completo:>>plot3(sin(t),cos(t),t)

O bien, comet3 que funciona de manera analoga a como lo hacıa el comando comet en las curvas en el plano.>>comet3(sin(t),cos(t),t)

Para dibujar algunos vectores velocidad sobre la curva hay que utilizar el comando quiver3(vector posicion,vector

velocidad). Tambien conviene volver a generar los valores de t de manera que no sean demasiados para que sepueda apreciar mejor la grafica:

>>t=linspace(0,4*pi,20);

>>quiver3(sin(t),cos(t),t,cos(t),-sin(t),1)

Ejercicio 3 Representar las curvas siguientes y representar en grafica aparte algunos vectores velocidad de la curvaen los intervalos indicados:

a)~r(t) = (2 cos3 t, 2 sen3 t, t) − 4 ≤ t ≤ 3.

b)~r(t) = (cos t, 2 cos2 t,1

4sen t) − π ≤ t ≤ π.

c)~r(t) = (t

6cos t,

t

6sen t,

t

36) − 12 ≤ t ≤ 19.

d)~r(t) = (et

4 sen(2t), et

4 cos(2t),t

4) − 10 ≤ t ≤ 4,8.

e)~r(t) = (sen(2t) + sen(t),− cos(2t) − cos(t),t

6) − 9 ≤ t ≤ 10.

f)~r(t) = (cos(3t), 2 cos2(t), sen(2t)) − π ≤ t ≤ π.

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6. Graficos de funciones z = f(x, y)

Para dibujar graficos de funciones de dos variables z = f(x, y), al igual que para funciones de una variable, enprimer lugar hay que generar tablas de valores para las variables x e y. En realidad ahora lo que tenemos que haceres generar un mallado sobre un rectangulo del plano XY . Para eso se utiliza el comando meshgrid.

Por ejemplo, queremos dibujar la grafica de la funcion

z = e−x2−y

2

en la region del plano D = {(x, y)/ − 2 ≤ x ≤ 2, − 3 ≤ y ≤ 3}Habra que efectuar los pasos siguientes:Generamos el mallado>>[x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-3:.2:3);

Sustituimos en la funcion para calcular los valores de z:>>z=exp(-x.^2-y.^2);

Y ahora podemos dibujar el grafico con alguno de los siguientes comandos:>>plot3(x,y,z)

>>mesh(x,y,z)

>>surf(x,y,z)

>>surf(x,y,z),shading flat %efecto de sombreado distinto

Ejercicio 4 Representar las graficas de las siguientes funciones de 2 variables, utilizando alguno de los comandosdescritos anteriormente.

a)z =1

9 + x2 + y2

b)z = −√

|xy|

c)z =cos(x

2+y2

4 )

3 + x2 + y2

d)z =y2

5− 3|x|

e)z = e−(x2+y2)

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