practica07 edo ii

Ampliacion de Calculo 14/15. Escuela Politecnica Superior. Practica 7

Ampliacion de Calculo

Escuela Politecnica Superior

I. Electrica, I. Electronica Industrial, I. Mecanica e

I. Diseno Industrial y Desarrollo del Producto

Curso 20142015

Practica 7. Transformadas de Laplace y

ecuaciones diferenciales ordinarias

de orden superior

Transformadas directa e inversa de Laplace,

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior,

Problemas de Cauchy

El objetivo principal de este material es servir de gua para la septima practica. Se

estructura en cuatro bloques:

1. En el primer bloque se describen los aspectos teoricos de Ecuaciones Diferen-

ciales de Primer Orden necesarios para abordar la practica.

2. En el segundo bloque se detallan algunos elementos de Derive que se utili-

zaran a lo largo de la practica as como un listado de los programas elaborados

para resolver los distintos ejercicios. Para cada uno de estos programas se des-

criben tanto su sintaxis como un ejemplo de utilizacion.

3. En el tercer bloque se presentan los ejercicios basicos que deben ser utilizados

para la comprension de la materia a desarrollar en esta practica (resueltos en

los ficheros practica7.dfw y practica7.pdf). Estos ejercicios se desarrollan y

explican en el vdeo de la Practica 7.

Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matematica Aplicada. Universidad de Malaga. 1


4. Por ultimo, en el cuarto bloque se presenta el listado de ejercicios propuestos

para que cada grupo los resuelva de forma autonoma. A la semana siguiente

a la propuesta para que cada grupo trabaje con esta practica, se subira un

fichero con la solucion de estos ejercicios en la web de la asignatura, con el fin

de que cada grupo pueda chequear su trabajo realizado.

Se recuerda que los grupos no tienen que entregar esta practica. Las practicas se

evaluaran como se indica en el apartado Practicas con DERIVEde la caja 0 de la

asignatura.

Para el correcto desarrollo de la practica es necesario cargar previamente el fichero

de utilidades EDOyEDP.mth (usar File - Load - Utility File). Este fichero

contiene la definicion de los programas elaborados para la realizacion de los ejercicios

y problemas.

Importante: Tanto la practica como el fichero de aplicaciones han sido desarrolla-

dos para la version 6.1 de Derive. Por lo tanto SOLO SE DEBE UTILIZAR

LA VERSION 6.1.

Bloque I: Aspectos Teoricos

Para un estudio teorico detallado se remite al lector a los apuntes de clase de los temas 1 y

3.



Bloque II: Elementos de Derive y programas

elaborados

Programas elaborados

Transformadas de Laplace

Transformada de Laplace de una funcion

- Sintaxis: TRANSFORMADALAPLACE(funcion)

- Ejemplo: transformadalaplace(t3) para calcular L [t3]

Transformada inversa de Laplace de una funcion

- Sintaxis: TRANSFORMADAINVERSALAPLACE(funcion)

- Ejemplo: transformadainversalaplace(1/(s3+s)) para calcular L1[

1

s3 + s

]

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior

E.D. lineales homogeneas con coeficientes constantes

- Sintaxis: LINEALORDENNHOMOGENEA(polinomio caracterstico)

- Ejemplo: linealordennhomogenea(r2-2r+1) para resolver la ecuacion diferencial

lineal homogenea con coeficientes constantes y 2y + y = 0

E.D. lineales con coeficientes constantes

- Sintaxis: LINEALORDENN(polinomio caracterstico,)

- Ejemplo: linealordenn(r2-2r+1,cosx) para resolver la ecuacion diferencial lineal

con coeficientes constantes y 2y + y = cosx



Problemas de Cauchy

Problema de Cauchy asociado a una E.D. lineal con coeficientes constantes

- Sintaxis: PROBLEMACAUCHYORDENN(polinomio caracterstico,,x0,v)

- Ejemplo: problemacauchyordenn(r4-2r2+1,e^x,0,[1,2,3,4]) para determinar

la solucion de yIV 2y + y = ex que verifica que y(0) = 1 ; y(0) = 2 ; y(0) = 3 ey(0) = 4.

Bloque III: Ejercicios resueltos

1. Calcular las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:

(a) t8 (b) sen(9t) (c) t9/2 (d) t2 cos t

(e) e2t (f) e3t cos(2t) (g)sen t

t(h)

cos t

t

2. Calcular las transformadas inversas de Laplace de las siguientes funciones:

(a)1

s4(b)

2s 1s2 + 4

(c)2s3 1s2 + 4

(d) arctan

(5

s

)(e)

2s 1s2 + s+ 1

(f)s+ 2

s5 s4 s3 7s2 20s 12

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogeneas con coeficientes cons-

tantes:

(a) y 2y = 3y (b) y + y = 2y

(c) y + y + y = 0 (d) yIV 5y = 36y

(e) yV = y (f) yV I 2yV + 3yIV + 3y 2y + y = 4y



4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes:

(a) y 6y + 9y = e3x

x2(b) y + y = cosx

5. Resolver los siguientes problemas de Cauchy:

(a)

y 3y + 3y y = x2exy(0) = 1

y(0) = 0

y(0) = 2

(b)

y + y = 2yy(1) = 0

y(1) = e1

(c)

y + 2y = 3y

y(0) = 2

y(0) = 3

(d)

y 2y = 3yy(1) = 0

y(1) = e3

Bloque IV: Ejercicios propuestos

1. Calcular las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:

(a) t5 (b) cos(3t) (c) t13/2 (d) t2 sen(2t)

(e) e4t (f) et sen t (g)et cos t

t(h)

e2t sen t

t

2. Calcular las transformadas inversas L1[f(s)] siendo f(s):

(a)2

s2(s+ 1)2(b)

2s 3s2 + 2s+ 7

(c)s4 + 2s3 + s2 + 1

s3(s3 s2 s+ 1)

(d) ln

(s

s+ 1

)(e)

2s3 + 3s2 + 10s+ 3

(s2 2s+ 5)(s2 + 4s+ 13) (f)s2

s2 + 2

(g)1

s(s 1) (h)6s

s2 + 2s+ 50(i) arctg

(1 +

sen(s)

s

)Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matematica Aplicada. Universidad de Malaga. 5


3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogeneas con coeficientes cons-

tantes:

(a) y y = y (b) y + 2y = 3y

(c) yIV 11y + 41y + 30y = 61y (d) yIV = y

(e) yIV + 8y = 16y (f) yV I + 2yIV + y = 0

4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes:

(a) y + y = x3 (b) y + 4y + 4y = e2xlnx

(c) yIV y = cosx ex (d) yV I y = ex

(e) y + 3y + 2y =1

ex + 1(f) y y y + y = 7

(g) y + y = x2 + 13 e5x (h) y + y =1

senx

5. Resolver los siguientes problemas de Cauchy:

(a)

y + 2y + y = xex

y(0) = 1

y(0) = 2

(b)

y + 2y = 3y

y(0) = 0

y(0) = 1

(c)

y + y = 0

y(pi) = 0

y(pi) = 1(d)

y = y

y(1) = e

y(1) = 0

(e)

yIV 11y + 41y + 30y = 61yy(0) = 0

y(0) = 0

y(0) = 0

y(0) = 0

(f)

y + 2y = yy(0) = 0

y(0) = 1


practica07 edo ii

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