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Ampliacion de Calculo 14/15. Escuela Politecnica Superior. Practica 7
Ampliacion de Calculo
Escuela Politecnica Superior
I. Electrica, I. Electronica Industrial, I. Mecanica e
I. Diseno Industrial y Desarrollo del Producto
Curso 20142015
Practica 7. Transformadas de Laplace y
ecuaciones diferenciales ordinarias
de orden superior
Transformadas directa e inversa de Laplace,
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior,
Problemas de Cauchy
El objetivo principal de este material es servir de gua para la septima practica. Se
estructura en cuatro bloques:
1. En el primer bloque se describen los aspectos teoricos de Ecuaciones Diferen-
ciales de Primer Orden necesarios para abordar la practica.
2. En el segundo bloque se detallan algunos elementos de Derive que se utili-
zaran a lo largo de la practica as como un listado de los programas elaborados
para resolver los distintos ejercicios. Para cada uno de estos programas se des-
criben tanto su sintaxis como un ejemplo de utilizacion.
3. En el tercer bloque se presentan los ejercicios basicos que deben ser utilizados
para la comprension de la materia a desarrollar en esta practica (resueltos en
los ficheros practica7.dfw y practica7.pdf). Estos ejercicios se desarrollan y
explican en el vdeo de la Practica 7.
Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matematica Aplicada. Universidad de Malaga. 1
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4. Por ultimo, en el cuarto bloque se presenta el listado de ejercicios propuestos
para que cada grupo los resuelva de forma autonoma. A la semana siguiente
a la propuesta para que cada grupo trabaje con esta practica, se subira un
fichero con la solucion de estos ejercicios en la web de la asignatura, con el fin
de que cada grupo pueda chequear su trabajo realizado.
Se recuerda que los grupos no tienen que entregar esta practica. Las practicas se
evaluaran como se indica en el apartado Practicas con DERIVEde la caja 0 de la
asignatura.
Para el correcto desarrollo de la practica es necesario cargar previamente el fichero
de utilidades EDOyEDP.mth (usar File - Load - Utility File). Este fichero
contiene la definicion de los programas elaborados para la realizacion de los ejercicios
y problemas.
Importante: Tanto la practica como el fichero de aplicaciones han sido desarrolla-
dos para la version 6.1 de Derive. Por lo tanto SOLO SE DEBE UTILIZAR
LA VERSION 6.1.
Bloque I: Aspectos Teoricos
Para un estudio teorico detallado se remite al lector a los apuntes de clase de los temas 1 y
3.
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Bloque II: Elementos de Derive y programas
elaborados
Programas elaborados
Transformadas de Laplace
Transformada de Laplace de una funcion
- Sintaxis: TRANSFORMADALAPLACE(funcion)
- Ejemplo: transformadalaplace(t3) para calcular L [t3]
Transformada inversa de Laplace de una funcion
- Sintaxis: TRANSFORMADAINVERSALAPLACE(funcion)
- Ejemplo: transformadainversalaplace(1/(s3+s)) para calcular L1[
1
s3 + s
]
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior
E.D. lineales homogeneas con coeficientes constantes
- Sintaxis: LINEALORDENNHOMOGENEA(polinomio caracterstico)
- Ejemplo: linealordennhomogenea(r2-2r+1) para resolver la ecuacion diferencial
lineal homogenea con coeficientes constantes y 2y + y = 0
E.D. lineales con coeficientes constantes
- Sintaxis: LINEALORDENN(polinomio caracterstico,)
- Ejemplo: linealordenn(r2-2r+1,cosx) para resolver la ecuacion diferencial lineal
con coeficientes constantes y 2y + y = cosx
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Problemas de Cauchy
Problema de Cauchy asociado a una E.D. lineal con coeficientes constantes
- Sintaxis: PROBLEMACAUCHYORDENN(polinomio caracterstico,,x0,v)
- Ejemplo: problemacauchyordenn(r4-2r2+1,e^x,0,[1,2,3,4]) para determinar
la solucion de yIV 2y + y = ex que verifica que y(0) = 1 ; y(0) = 2 ; y(0) = 3 ey(0) = 4.
Bloque III: Ejercicios resueltos
1. Calcular las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:
(a) t8 (b) sen(9t) (c) t9/2 (d) t2 cos t
(e) e2t (f) e3t cos(2t) (g)sen t
t(h)
cos t
t
2. Calcular las transformadas inversas de Laplace de las siguientes funciones:
(a)1
s4(b)
2s 1s2 + 4
(c)2s3 1s2 + 4
(d) arctan
(5
s
)(e)
2s 1s2 + s+ 1
(f)s+ 2
s5 s4 s3 7s2 20s 12
3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogeneas con coeficientes cons-
tantes:
(a) y 2y = 3y (b) y + y = 2y
(c) y + y + y = 0 (d) yIV 5y = 36y
(e) yV = y (f) yV I 2yV + 3yIV + 3y 2y + y = 4y
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4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes:
(a) y 6y + 9y = e3x
x2(b) y + y = cosx
5. Resolver los siguientes problemas de Cauchy:
(a)
y 3y + 3y y = x2exy(0) = 1
y(0) = 0
y(0) = 2
(b)
y + y = 2yy(1) = 0
y(1) = e1
(c)
y + 2y = 3y
y(0) = 2
y(0) = 3
(d)
y 2y = 3yy(1) = 0
y(1) = e3
Bloque IV: Ejercicios propuestos
1. Calcular las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:
(a) t5 (b) cos(3t) (c) t13/2 (d) t2 sen(2t)
(e) e4t (f) et sen t (g)et cos t
t(h)
e2t sen t
t
2. Calcular las transformadas inversas L1[f(s)] siendo f(s):
(a)2
s2(s+ 1)2(b)
2s 3s2 + 2s+ 7
(c)s4 + 2s3 + s2 + 1
s3(s3 s2 s+ 1)
(d) ln
(s
s+ 1
)(e)
2s3 + 3s2 + 10s+ 3
(s2 2s+ 5)(s2 + 4s+ 13) (f)s2
s2 + 2
(g)1
s(s 1) (h)6s
s2 + 2s+ 50(i) arctg
(1 +
sen(s)
s
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3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogeneas con coeficientes cons-
tantes:
(a) y y = y (b) y + 2y = 3y
(c) yIV 11y + 41y + 30y = 61y (d) yIV = y
(e) yIV + 8y = 16y (f) yV I + 2yIV + y = 0
4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes:
(a) y + y = x3 (b) y + 4y + 4y = e2xlnx
(c) yIV y = cosx ex (d) yV I y = ex
(e) y + 3y + 2y =1
ex + 1(f) y y y + y = 7
(g) y + y = x2 + 13 e5x (h) y + y =1
senx
5. Resolver los siguientes problemas de Cauchy:
(a)
y + 2y + y = xex
y(0) = 1
y(0) = 2
(b)
y + 2y = 3y
y(0) = 0
y(0) = 1
(c)
y + y = 0
y(pi) = 0
y(pi) = 1(d)
y = y
y(1) = e
y(1) = 0
(e)
yIV 11y + 41y + 30y = 61yy(0) = 0
y(0) = 0
y(0) = 0
y(0) = 0
(f)
y + 2y = yy(0) = 0
y(0) = 1
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