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REPÚBLICA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA NÚCLEO ARAGUA – SEDE MARACAY

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS BASICOS CATEDRA DE FÍSICA

GUÍA PRACTICA DE FÍSICA I

PRÁCTICA N° 6. CINEMÁTICA Y DINÁMICA ROTACIONAL

OBJETIVOS GENERALES:

Determinar las características de un movimiento circular Determinar el momento de inercia, rapidez y aceleración de una rueda.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

l. Determinar experimentalmente: velocidad, aceleración y desplazamiento angular empleando un giroscopio.

2. Obtener experimentalmente el momento de inercia de una rueda.

3. Identificar en el experimento el tipo de movimiento. CINEMÁTICA ROTACIONAL.

Materiales a utilizar: (1) 1 Giróscopo (2) 2 Relojes electrónicos (3) 4 Barreras luminosas (Interruptor doble) (4) 1 Fuente variable de tensión de (0-5) V cc. (5) 16 Cables de experimentación. (6) 2 Varillas de soporte de 100 cm. (7) 1 Juego de pesas de 100 - 150 - 200 - gramos. (8) 2 Mordazas de mesa. (9) 4 Mordazas múltiples. (10) 1 Cuerda de Nylon de 1m de largo.

Información Fundamental

Rotación: el movimiento más general que puede experimentar un cuerpo es una combinación de traslación y rotación. Hasta aquí solo hemos considerado el caso especial de movimiento de traslación a lo largo de una recta o una curva.

En ésta práctica trataremos el movimiento de rotación alrededor de un eje

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fijo, o sea del movimiento de rotación sin traslación. Veremos que muchas de las ecuaciones que definen la rotación alrededor de un eje fijo son exactamente análogas a las encontradas en el movimiento rectilíneo.

Velocidad Angular: la figura N° 1 representa un cuerpo rígido de forma arbitraria, que gira alrededor de un eje fijo que pasa por el punto O y es perpendicular al plano del dibujo.

[Z, eje de rotación]

El segmento de recta OP es fija respecto al cuerpo y gira con él. La posición del cuerpo, en conjunto; queda evidentemente determinada mediante el ángulo que la recta OP forma con alguna recta fija de referencia en el espacio, tal como OX se puede determinar que: El movimiento de rotación de un cuerpo es, análogo al movimiento rectilíneo de una partícula, cuya posición está completamente determinada por una sola coordenada, x ó y.

Las ecuaciones del movimiento de rotación se simplifican mucho si el ángulo se expresa en radianes.

Un radian es el ángulo central de una circunferencia que corresponde a un arco de longitud igual al radio de la misma, como se representa en la figura N° 2 puesto que el radio está contenido 2 veces en la circunferencia.

1 radian = 360/2 = 57,296 grados.

Figura Nº 2

En general si representa un ángulo arbitrario correspondiente a un arco de longitud s sobre la circunferencia de radio r, como se muestra en la figura Nº 3, el ángulo (en radianes) es igual a la longitud del arco s dividida por el

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radio r:

Como = s/r, entonces s = r

Figura N° 3

En la figura Nº 4, una línea de referencia r = op de un cuerpo de rotación, forma en el instante t1, un ángulo , con la recta fija ox. Se define la velocidad angular media w del cuerpo, durante el intervalo comprendido entre t1 y t2, como la razón del desplazamiento angular 2 - 1 = , al tiempo transcurrido t2 – t1 = t:

Figura Nº 4

Se define la velocidad angular instantánea w como el límite a que tiende esta relación cuando t tiende a cero.

= lim t 0 / t = d /dt, donde viene expresado en rad/seg, ó rev/seg.

Sí, w es constante; integramos d = t.

Lo que implica que:

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Sí no hay desplazamiento angular inicial 0 = 0 por lo tanto, la velocidad angular = /t (rad/seg), sí es igual a radianes y t es un periodo de tiempo una vuelta = 2 /P = 2 f (rad/seg), donde P es período y frecuencia expresada c.p.s.

Cuando hablamos de velocidad angular constante nos estamos refiriendo a que gira el mismo ángulo en el mismo tiempo. Sí la velocidad angular de un cuerpo varía, se dice que éste tiene aceleración angular. Sean l y 2, las velocidades angulares en los instantes t1 y t2; se define la aceleración angular media por:

= ( 2 - l)/( t2 - t1) = / t

La aceleración instantánea , es el limite de esta relación cuando t tiende a cero, o sea,

= lim t 0 / t = d /dt

La aceleración angular se expresa en radianes por segundos al cuadrado (rad/s2) o rev/seg2.

Lo mismo que para el movimiento rectilíneo, puede obtenerse otra expresión útil de la aceleración angular.

= d /dt

Por la regla de la cadena se tiene:

a = (d /dt)(d /d ) = (d /dt)(d /d ) = d /d ); entonces la aceleración angular queda en función del ángulo barrido .

Rotación con aceleración angular constante. El movimiento de rotación acelerado más sencillo es el de aceleración angular constante. En este caso, se obtienen fácilmente partiendo de la definición de aceleración angular.

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Relación entre las características Cinemáticas Lineales y Angulares de una partícula en el Movimiento Circular.

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, cada partícula en el cuerpo se mueve en un círculo. Por consiguiente, podemos descubrir el

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movimiento de tal partícula, ya sea como variables lineales o como variables angulares.

La relación entre éstas variables, nos permite describir el movimiento indistintamente en una forma o en otra, la cual es muy útil.

Consideremos una partícula P en el cuerpo rígido, (figura 5), a una distancia r del eje que pasa por O. Esta partícula se mueve en un círculo de radio r cuando gira el cuerpo. La posición de referencia es OX. La partícula se mueve una distancia a lo largo del arco cuando el cuerpo gira el ángulo , tal que S = r en donde está en radianes.

Figura N. 5

Derivando ambos miembros de esta ecuación con respecto al tiempo y notando que r es constante obtenemos:

ds/dt = (d /dt)r; donde ds/dt es la velocidad lineal de la partícula en P y d /dt es la velocidad angular del cuerpo que gira de modo que:

v = r (m/s)

Derivando esta ecuación con respecto al tiempo:

dv/dt = (d /dt)r

Pero dv/dt es la magnitud de la componente tangencia} de la aceleración de la partícula y d /dt es la magnitud de la aceleración angular del cuerpo que gira, de modo que:

La componente radial de la aceleración de una partícula que se mueve en un círculo, se determina mediante el análisis de a = du/dt. Analicemos el movimiento de la partícula en la figura N°. 6, que nos permite obtener la ecuación: an=V2/r.

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Apliquemos la teoría de la cinemática a la figura Nº 7

Si consideramos que el cuerpo m parte del reposo, el desplazamiento angular es igual al desplazamiento h

En esta práctica, entre los instrumentos a utilizar está el Giróscopo: aparato ideado por FOUCAUL T con el objeto de probar la existencia del movimiento de la tierra. Consta de un volante que gira alrededor de su eje de simetría que es un eje libre estable.

El Giróscopo tiene dos tipos de movimiento:

a) Precesión en el Giróscopo: Es el movimiento del eje de rotación alrededor de un eje fijo debido a la presencia de fuerzas externas, lo que origina la reacción giroscópica y es lo que explica este movimiento.

b) Nutación: Es el movimiento del eje de rotación cuando éste oscila entre dos planos.

Aplicaciones del Giróscopo:

Son hoy muchas e interesantes, pero todas ellas basadas en los fenómenos de inercia que "presenta". Ella son:

a) En la dirección de torpedos, en que el giróscopo acciona el timón mediante aire comprimido y mantiene el azimut de partida.

b) Como piloto mecánico, para permitir descansar al verdadero piloto y guía a plena velocidad.

c) Como estabilizadores para combatir el efecto de oleaje de los navíos.

d) Como ayuda para mantener el equilibrio en ferrocarriles monorrieles.

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e) En los proyectiles para mantener la dirección de su eje.

PARTE EXPERIMENTAL

Experiencia 1.

l. Construya un sistema como el que se ilustra en la figura Nº. 8. (Ver el diagrama eléctrico de ésta figura, montaje en la página siguiente).

Figura Nº. 8

2. Sujete el nylon sobre el diámetro menor del giróscopo de tal manera que no deslice, dejando libre el otro extremo.

3. Enrolle sobre el diámetro de 50 mm. el nylon y sujete sobre el extremo libre una masa de 100 gr., una vez sujeta la masa, déjela libre para que se desplace hasta alcanzar la distancia a elegir.

4. Repita la experiencia anterior, pero esta vez utilizando las masas de 150 y 200 gramos.

5. Deje libre el giróscopo hasta desenrollar todo el nylon, mida distancia y tiempo entre las barreras luminosas.

6. Anote los valores de longitud y tiempos observados.

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7. Repita esta operación para pesas diferentes y anote los valores en una tabla.

8. Tome los valores necesarios para aplicar la teoría de errores.

Nota: La barrera luminosa le permite poner en marcha el reloj y detenerlo en los puntos elegidos.

PREGUNTAS.

l. ¿A qué se le llama velocidad angular en este movimiento?

2. ¿A qué se le llama velocidad tangencial?

3. ¿Qué da origen el cambio de dirección de la velocidad tangencial en este movimiento?

4. ¿Cuáles son las unidades de la velocidad tangencial?

5. ¿Cuáles son las unidades de la velocidad angular?

6. ¿Cuál es la frecuencia?

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7. Determine mediante las ecuaciones de cinemática

a) Velocidad angular del Giróscopo

b) Velocidad tangencial del Giróscopo.

c) Aceleración angular del Giróscopo.

d) Aceleración tangencial del Giróscopo.

e) Aceleración radial del Giróscopo.

f) Aceleración total del Giróscopo.

g) Angulo de barrido del Giróscopo.

8. Graficar:

a) Angulo en función del tiempo.

b) Distancia en función del tiempo.

9. Compare las gráficas y escriba sus conclusiones.

DINÁMICA ROTACIONAL.

Materiales utilizados:

. 1 Vernier

. 1 Balanza

. 2 Relojes Electrónicos

. 4 Barreras de luz

. 1 Cuerda de Nylon de un metro

. 1 Rueda de Maxwell

. 1 Fuente de tensión variable de c.c.

. 2 Rieles de 100 cm

. 2 Mordazas para tubos

. 1 Masa de 200 gramos

. 2 Mordazas de mesa

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Información fundamental:

Cuando se realiza un estudio sobre el equilibrio estático de un cuerpo rígido, se encuentra que la condición necesaria para que un cuerpo no gire, e~ que el momento resultante respecto a cualquier punto sea igual a cero. Aunque esta condición es necesaria, no es una condición suficiente para que un cuerpo se encuentre estático. Si se hace girar un cuerpo con respecto a un eje y no actúa ningún momento externo sobre él, continuara girando con velocidad angular constante, esto mismo ocurre en el movimiento lineal (Primera Ley de Newton).

Demostrar que existe un momento externo resultante actuando respecto a un punto de giro de un cuerpo rígido, la velocidad angular del cuerpo no permanece constante, sino que varía con una aceleración angular que es proporcional al momento externo. En la figura Nº 1 hay una fuerza Fi actuando sobre la partícula mí de una rueda que gira respecto a su centro.

El momento producido por la fuerza Fi respecto al centro de la rueda (O)

viene dado por:

i = Fi ri (1)

Figura Nº 9

Como Fi es la fuerza que actúa sobre la partícula mi, la aceleración tangencia] de ésta viene dada por 2da. Ley de Newton

Fit = mi ait entonces: F it = mi ri (2)

Si sustituimos 2 en 1 queda que

it = mi ri2

Si aplicamos este resultado a todas las partículas obtenemos

it = mi ri2

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La suma mi ri2 es una propiedad del cuerpo llamada momento de inercia I, la aceleración angular es la misma para todas las partículas; ya que el momento de inercia depende de la distribución de masa respecto al eje de rotación del cuerpo:

I = mi ri2 entonces = I .. Podemos afirmar que el momento resultante es análogo a la fuerza resultante, el momento de inercia es análogo a la masa y la aceleración angular es análoga a la aceleración lineal.

Tómese como ejemplo de referencia para el cálculo de v el siguiente caso:

Considérese un cuerpo m sujeto a una cuerda enrollada alrededor de una rueda que puede girar libremente sobre su eje, como el que se ilustra en la Fig. Nº 2. Cuando la rueda gira un ángulo , se desenrolla una longitud de cuerda Re y la masa desciende una altura h = R .

Aplicando la segunda Ley de Newton.

mg - T = ma (1) Tomando el momento con respecto al centro de rotación tenemos que:

M0 = TR

= I

Figura Nº 10

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Movimiento combinado para obtener la velocidad al final de la rueda de MAXWELL en desplazamiento vertical hacia abajo (en un plano inclinado)

Considere ahora un cuerpo que está girando alrededor de un eje y también tiene un movimiento de traslación, lo que origina los efectos combinados de la traslación del centro de masa y de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa, lo que equivale a una rotación pura con la misma velocidad angular alrededor de un eje que pasa por el punto de contacto de un cuerpo que rueda.

Como la energía cinética de un cuerpo que rota y se traslada es: Y2 Ipoo2 aplicando el teorema de los ejes paralelos: Ip = 10+ mR2, la energía de la rotación pura es:

K = (I0 + MR2)w2

Para ilustrar este resultado consideremos la velocidad instantánea en varios puntos del cilindro que rota en la figura Nº 3.

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Figura Nº 11

"A" es el eje de rotación instantáneo del movimiento combinado (rotación y translación)

Figura Nº 12

Si aplicamos el método dinámico a la figura Nº.4, en la cual:

M = fR (Momento estático); T = I A (Momento cinético)

Como M = T entonces; fR = IA

f = IA/R = 1/2ma

De la figura 4 tomamos:

(1) mgsen0 – f = ma

(2) N – mgcos = 0 => N = mgcos

donde: a = 2/3gsen (3)

como v2 = v02 + 2ad (4)

Sustituyendo (3) en (4), resulta la ecuación:

V0 V0 = wr

-V0 = -wr

2V0

A

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V2 = 4/3dgsen

Considérese el caso anterior, pero esta vez aplicando el principio energético:

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

Procedimiento

Experiencia 2.1

l. Desarrolle el montaje de acuerdo a la figura Nº 13. (Ver diagrama eléctrico de la figura Nº 8).

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Figura Nº 13

2. Enrolle sobre el diámetro menor del giróscopo el nylon hasta llevar a la parte superior una masa de 200 gr que se encuentra atada en el mismo.

3. Lleve el contador de los relojes a cero (O), y deje libre la masa hasta que active y desactive los dos relojes del sistema mediante las barreras luminosas.

4. Mida la distancia entre las barreras de luz y el tiempo de recorrido.

5. Mida el diámetro y la masa del giróscopo. Experiencia 2

l. Desarrolle el montaje según figura N° 14

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Figura Nº 14

2. Sujete la rueda de Maxwell por los extremos de sus ejes con la cuerda de nylon, y llévela a la parte superior de la barra donde están atados los extremos de la cuerda.

3. Lleve los relojes a cero y suelte la rueda, hasta que se desactive el ultimo reloj, mediante las barreras luminosas.

4. Mida la distancia recorrida, el tiempo, la masa y el diámetro de la rueda.

5. Detenga la rueda mediante un sistema de amortiguación o con sus manos, antes de finalizar el recorrido total de la cuerda.

PREGUNTAS

l. Calcule la velocidad de la masa a una distancia h determinada en la experiencia 2.

2. Calcule la aceleración con que desciende la masa.

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3. Calcule la tensión de una de las cuerdas en la experiencia 2.2.

4. Compare la aceleración calculada con la de caída libre, en función de las mediciones de h y t para ambas experiencias.

5. Compare el tiempo experimental con el analítico y explicar las diferencias si las hay para ambas experiencias.

6. ¿Cuál es la diferencia entre energía de traslación y energía de rotación al final del recorrido de la experiencia 1?

7. ¿El momento de inercia de un cuerpo depende de la velocidad angular? Explique.

8. Determine la velocidad del giróscopo a través de sus masas (M y m) y la distancia recorrida.

9. Mediante la aplicación de las ecuaciones I = 1/2 MR2, I = MR2(g/a+l), compare el momento de inercia.

10. ¿Determine, aceleración y tensión, mediante la relación de las masas de la experiencia 1?

BIBLIOGRAFÍA:

FEYNMAN Richard; Leighton Robert. Física Volumen I. Editorial Fondo

Addison-Wesley Iberoamericana. 1971.

CATALOGO GENERAL DE FÍSICA. Editorial Leybold Didactic GMBA.

1978.

SERWAY Raymond. Física Tomo I. Editorial McGraw-Hill. Tercera

edición 1993.

DIAS De Deus Jorge; Pimenta Mario; Noronha Ana; Peña Teresa; Brogueira

Pedro. Introducción a la física. Editorial McGraw-Hill. 2001. Segunda edición