PRACTICA DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1. Hallar y representar gráficamente el dominio de las siguientes funciones.

a)f ( x , y )=arc sen( y−1x )

b) f ( x , y )=ln ¿c) f ( x , y )=√ ysenxd) f ( x , y )=|x|+√1− y2

e) f ( x , y )=√x2−4+√4− y2

LIMITES

2. Calcular los siguientes límites si existen:

a)

lim(x , y )→(0,0)

x2+ y2

√x2+ y2+1−1 Rpta. 2

b)lim

(x , y )→(0,0)

√x2 y2+1−1

x2+ y2 Rpta 0

c)lim

(x , y )→(0,0)

1−cos ( x2+ y2 )( x2+ y2 ) x2 y2

Rpta. ∄

d)lim

(x , y )→(3,1)

x2 y−6 xy−x2+6 x+9 y−9)( x−3 )4+( y−1 )2

Rpta.∄

e)lim

(x , y )→(0,2)

senxyx Rpta 2

CONTINUIDAD

3. Determinar si la función

f ( x , y )=¿ {sen2( x− y )|x|+|y|, para |x|+|y|≠0 ¿¿¿¿

es continua en todo R2

4. Estudiar la continuidad de la función f en (0,0), donde

f ( x , y )=¿ { xy

√ x2+ y2, ( x , y )≠(0,0 )¿ ¿¿¿

5. Analizar la continuidad de la función

f ( x , y )=¿ {xcos √x2+ y2

√ x2+ y2− sen

2 xx2+ y2

, si ( x , y )≠( 0,0) ¿¿¿¿

6. Determinar si la función f es continua en (0,0) donde

f ( x , y )=¿ { x2 yy2+x4

, si ( x , y )≠( 0,0) ¿¿¿¿

7. Determinar que la función

f ( x , y )=¿ { y2

x+3, si ( x , y )≠(−3,0) ¿ ¿¿¿

no es continua en (-3,0)

DERIVADAS PARCIALES

8. Aplicando la regla de la cadena, hallar

∂w∂ x y

∂w∂ y si w=u2+v2

, u= x+1

y , v= y+1

x ,cuando

x=1 ; y=2

9. Demostrar que la función z= y y /x sen y

x , satisface la ecuación x2 ∂ z

∂ x+xy ∂ z

∂ y= yz

10. Siz=ln(ex+e y) mostrar que

∂ z∂ x

+ ∂ z∂ y

=1 y que

∂2 z∂ x2

∂2 z∂ y2

−( ∂2 z∂ x∂ y )

2

=0

∂ z∂ x

+ ∂ z∂ y

=1

11. Si z=f ( x

y) demostrar que

x2 ∂2 z∂ x2

+2xy∂2 z

∂ x ∂ y+ y2 ∂2 z

∂ y2=0

12. Si z=(x+ y ) f ( y

x) , siendo

f una arbitraria , demostrar que

x∂ z∂ x

+ y ∂ z∂ y

=z

13. Si z= y

f (x2− y2 ) mostrar que

1x

∂ z∂ x

+ 1y

∂ z∂ y

= z

y2

14. Si f ( x , y )=xyex / y

, hallar el valor de la constante n tal que:

∂2 f∂ x2

+ ∂∂ y ( y ∂2 f

∂ x2 )=ex / y( n− xy− x2

y2)

15. Si z=(x− y ) ln( x+ y ) , probar que

∂2 z∂ x2

−2∂2 z

∂ x∂ y+ ∂2 z

∂ y2=0

16. Si z= yex+xe y , probar que

∂2 z∂ x ∂ y

= ∂3 z∂ x2∂ y

+ ∂3 z∂ y2∂ x

17. Si z= f ( xy )+√ xy g ( y

x) demostrar que

x2 ∂2 z∂ x2

− y2 ∂2 z∂ y2

=0

DERIVADA DIRECCIONAL

18. Hallar la derivada direccional de la función z=arctg( yx ) en el punto ( 12, √3

2 ) en la dirección del vector

u=( 12, √3

2 ) 19. En cada ejercicio calcular Du⃗f en el punto P para el cual u⃗ es un vector unitario en la dirección P⃗Q

a) f ( x , y , z )=ln (x+ y+z) P(1,0,0) ; Q(4,3,1)

b) f ( x , y , z )=√x2+ y2+z2 P(1,1,1) ; Q(7,8,0)

c) f ( x , y )=ex cosy+ey senx P(1,0) ; Q(-3,2)

20. Hallar la derivada de la función z=ln(ex+e y) en el punto (1,2) perteneciente a la parábola y2=4 x en

la dirección de la tangente a ésta. Rpta

√22

21. Si C es la curva de intersección de dos superficies S1 : x2+ y2=z2 y S2 :25+z2=2 x2+2 y2

.

Hallar la derivada direccional de la función f ( x , y , z )=x2+ y2−z2

en el punto (3,4,5). Rpta. 0

22. Hallar la derivada direccional de la función f ( x , y , z )=x2+ y2−z2

en el punto (1,1,1) en la dirección

del producto vectorial de la normal a la superficie S :2x+ y2−z=2 en el punto (1,1,1) y el vector

a→=(1,0,1 ). Rpta.

Du→ f (1,1,1 )=0

23. Hallar los valores de las constantes a ,b y c tales que la derivada direccional de en el punto (1, 2,-1)

tenga el valor máximo 64 en la dirección paralela al eje Z. Rpta. a=6 , b=24 y c=−8PLANO TANGENTE

24. Hallar la ecuación del plano tangente perpendicular a la recta

x+22

= y+22

= z−1−1 para la superficie

z=xy Rpta. P :2x+ y−z=2

25. Hallar la ecuación del plano que pasa por (1 ,

12,−1

2)que es tangente a

z=3 x2+ y2

4 en el punto

(2 , a , b) y es ortogonal al plano y+z=0 . Rpta. 12 x+ y−z=13

26. Sea P un plano tangente a la superficie x2+3 y2+4 z2=8 en el punto (a ,b ,1) y sea x+3 y=8 , la ,

ecuación de la intersección del plano P con el plano XY. Hallar la ecuación del plano P. Rpta.

x+3 y+4 z=8

27. Sea S una superficie de ecuación x2+ y2+ z2−4 y−2 z+2=0 , por el punto (1,1,2) de S pasa el plano

x+ y−z=0 y la superficie 3 x2+2 y2−2 z=1 que originan las curvas de intersección con S

respectivamente. Hallar la ecuación que pasa por las tangentes a dichas curvas en el punto dado. Rpta.

x− y+z=2 .

28. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie

( x−1 )2

4+( y+2 )2

9+z2=1

que se paralelo al plano

que pasa por los puntos (1 ,−1,2 ), (2,2 ,−1 )y perpendicular al plano x+ y−z=0 . Rpta. y+z−2=0

29. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie x2+2 y2+3 z2=21 que son paralelos al

plano x+4 y+6 z=0 . Rpta. x+4 y+6 z±21=0

30. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie 6 x2− y2−3 z2+4=0 , que pasa por la recta

4 x−3 z=0 , y−4=0 .

EXTREMOS RELATIVOS

Hallar los extremos relativos de f si existe

31. f ( x , y )=x3+ y3−3 x−12 y+20

32. f ( x , y )=x2+xy+ y2−3x−6 y

33. f ( x , y )=x3+ y3+3 y2−3 x−9 y+2

34. f ( x , y , z )=4 x+xy− yz−x2− y2−z2

35. f ( x , y , z )=4 x+xy− yz−x2− y2−z2

36. f ( x , y , z )=x2+ y2+ z2−xy+x−2 z

Msc. Waymer A. Barreto Vega