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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

C A

Mı Eı M S C 2005

P 6

1. a) ¿A que distancia de 16 basta tomar x para asegurar que:

(i) 1√x ∈

(0, 1

2

)

(ii) 1√x ∈

(15 ,

13

)

(iii) 1√x ∈

(14 − 1

1000 ,14 + 1

1000

)?

b) Para cada β > 0 encontrar un x , 16 tal que∣∣∣∣ 1√

x − 14

∣∣∣∣ < β. ¿Hay mas de uno?, ¿de dos?

2. ¿Tiene sentido buscar un δ > 0 tal que:

a) 3x2 − 5x + 1 > 0 en (1 − δ , 1 + δ)?

b) 1 − x2 > 0 en(

12 − δ , 1

2 + δ)?

c) f (x) > 2 en (1 − δ , 1 + δ) siendo f (x) =

x2 , x > 1

x + 1 , x < 1?

d) f (x) < 12 en (−2 − δ,−2 + δ) siendo f (x) =

1 , x ∈ Q0 , x < Q

?

Si la respuesta es afirmativa, hallarlo.

3. a) Probar por definicion que:

(i) lımx→1

(x − 1) sen(

1x−1

)= 0

(ii) lımx→a

√x =√

a , para a > 0

(iii) lımx→−1

3x2+7x+22x2+7x+3 = 1

b) Enunciar la definicion de lımx→a

f (x) = b , considerando que a, b pueden tomar tanto valoresfinitos como infinitos.

c) Calcular y probar por definicion los siguientes lımites

(i) lımx→0

x+1−x2+1

(ii) lımx→∞

3x2−2x2+x+1

(iii) lımx→1

sen xx−1

4. Demostrar usando solo la definicion que:

a) lımx→3

x2 = 9

b) lımx→7

1x

=17

2 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005

c) lımx→−5

x2 + 3x − 10x2 + 3x

= 0

d) lımx→0

sen x +√

x2 + 1 = 1

5. Analizar la existencia de los siguientes lımites:

a) lımx→0

cos(

1x

)

b) lımx→0

x cos(

1x

)

c) lımx→0

x + sen(

1x

)

6. Calcular:

a) lımx→− π2

2 cos3 x2x+π

b) lımx→ π

2

(tg2 x)cos2 x

c) lımx→0+

e1/x

log x

d) lımx→+∞

log(x2 + 3) − log(x2 + 2)

e) lımx→+∞

log(1+ex)x

f) lımx→0

(1 + x)1/ tg x

g) lımx→0

(cos x)1/x

h) lımx→+∞

ex+sen xex+cos x

7. ¿Que informacion necesitarıa tener sobre las funciones g y h para poder decidir si la siguientefuncion

f (x) =

g(x) , x < 5

−12 , x = 5

h(x) , x > 5

a) es continua en 92?

b) es continua a derecha en 5?

c) es continua en 214 ?

d) es continua en 5?

8. Probar que si f es una funcion que verifica | f (x)| 6 |x| para todo x ∈ R, entonces f escontinua en 0. ¿Hace falta realmente pedir que verifique esa desigualdad en todo R?

FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2005 3

9. Para cada una de las siguientes funciones

� estudiarla en cada punto de su dominio

� en los puntos que no pertenezcan al dominio, definirla —si es posible— de modo queresulte continua

a) f1(x) =

x , x ∈ Q−x , x /∈ Q

b) f2(x) =

cos(πx2

), |x| 6 1

|x − 1| , |x| > 1

c) f3(x) = x . arctg(

1x + 1

x−1

)

d) f4(x) =

sen xx , x < 0

−x2 + 52 x , x > 1

e) f5(x) =

sen xx2 , x > 0

x2 + 1 , x 6 0

f) f6(x) =

sen(e2 x)x , x < 0

(1 + 2x)1/x , 0 < x < 1

x2−1x2−4x+3 +

1−√x1−x , x > 1

10. Sea f continua y tal que f (x) = 0 para todo x ∈ Q.

a) Calcular f (√

2)

b) Calcular Im( f ).

11. a) Probar que existe x ∈ (1, 2) tal que x3 − 3x + 1 = 0.

b) Probar que existe x ∈ R tal que cos x = x.

c) Encontrar un numero r tal que f (x) = x9 − 100x4 + 3x3 + 12 tenga al menos una raız realen el intervalo (−r, r).

12. Sea f : R→ R tal que Im( f ) = [a, b] ∪ [c, d], con a < b < c < d. ¿Es continua?

13. ¿Como deben ser las funciones continuas que solo toman valores racionales?


14. Probar que las siguientes funciones son uniformemente continuas en el intervalo indicado:

a) f (x) = x3 en (2, 3)

b) f (x) = xx2+1 en R

c) f (x) = 1x en [2,+∞)

d) f (x) = ex en (−1, 1]

15. Sea A ⊂ R y f : A → R una funcion tal que existen sucesiones (xn) , (yn) ⊂ A y un numeroα > 0 que satisfacen:

� xn − yn −→n→∞

0

� | f (xn) − f (yn)| > α para todo n > n0

Probar que f no es uniformemente continua en A.

16. Probar las siguientes funciones no son uniformemente continuas en el intervalo indicado:

a) f (x) = 1x en (−1, 0)

b) f (x) = 3x2 en R

c) f (x) = ex en R>1

17. a) Probar que si una funcion f es uniformemente continua en [a, b] y en [b,+∞), entonceslo es en [a,+∞).

b) Usar el resultado anterior para probar que√

x es uniformemente continua en R>0.

c) Sea f continua en R y tal que lımx→∞

f (x) = 0. Probar que f es uniformemente continua.

18. Calcular y graficar el dominio de las siguientes funciones:

a) f (x, y) =1x

b) f (x, y) =1√

x + y

c) f (x, y) =1

sen(x − y)d) f (x, y) = xy

e) f (x, y, z) = arcsen x + arcsen y + arcsen z

f) f (x, y) =1√

1 − x2 − y2+

√y − x2

g) f (x, y) =ln(x + y)

sen xh) f (x, y, z) = ln(1 − x2 − y2 − z2)

i) f (x, y) =

√9 − x2

1 +√

1 − y2

j) f (x, y, z) =ln(1 − x2) +

√4 − y2

√9 − z2


19. En cada uno de los casos siguientes, determinar el dominio y la imagen de cada funcion ycomparar los resultados

a) f (x) =√

x , g(x, y) =√

x , h(x, y, z) =√

x

b) f (x, y) = cos(πx) sen(πy) , g(x, y, z) = cos(πx) sen(πy).

20. Una empresa petroquımica esta disenando un deposito cilındrico con extremos semiesfericospara utilizarlo en el transporte de sus productos. Expresar el volumen del deposito en funcionde su radio r y la longitud h de su porcion cilındrica.

21. Identificar las siguientes superficies

a) x2 + 4y2 − 16z2 = 0

b) x2 + 4y2 + 16z2 − 12 = 0

c) x2 − 4y2 − 2z = 0

d) x − y2 + 2z2 = 0

e) x2 + 2y2 − 4z = 0

22. Identificar las siguientes superficies, hallar sus intersecciones con los planos coordenados ydibujar

a) 9x2 + 4y2 − 36z = 0

b) 9x2 + 4y2 + 36z2 − 36 = 0

c) 9x2 + 4y2 − 36z2 = 0

d) 9y2 − 4x2 − 36z2 − 36 = 0

23. a) La ecuacion:√

x2 + y2 = kz (k > 0) representa la hoja superior de un cono converice en el origen y el eje de las z positivas como eje de simetrıa. Dibujar la seccion enel plano z = z0 , (z0 > 0)

b) Sea S una hoja de un cono con vertice en el origen. Escribir una ecuacion para S sabiendoque

(i) el eje de las z negativas es el eje de simetrıa y la seccion en el plano z = −2 es unacircunferencia de radio 6

(ii) el eje de las y positivas es el eje de simetrıa y la seccion en el plano y = 3 es unacircunferencia de radio 1.

24. Hallar las curvas de nivel de las siguientes funciones

a) z = x + y

b) z =yx2

c) z = x2 + y2

d) z =√

xy


e) z = ln(x2 + y)

f) z = x2 − y2

25. Hallar las superficies de nivel de las siguientes funciones

a) u = x + y + z

b) u = x2 + y2 + z2

c) u = x2 + y2 − z2

d) u = x2 + y2 + 2y

e) u = x2 + y2 + z2 + 2y + 4x − z

26. Hallar una ecuacion para la curva de nivel de f que contenga el punto P dado

a) f (x, y) = 1 − 4x2 − y2 , P = (0, 1)

b) f (x, y) = (x2 + y2)exy , P = (1, 0)

27. Hallar una ecuacion para la superficie de nivel de f que contenga el punto P dado

a) f (x, y, z) = x2 + 2y2 − 2xyz , P = (−1, 2, 1)

b) f (x, y, z) =√

x2 + y2 − ln z , P = (3, 4, e)

28. Encontrar la relacion entre los elementos de los tres grupos siguientes: funciones, mapas decurvas de nivel y graficos.

F

1. f (x, y) = 2x2 + 4y2

2. f (x, y) = sen x sen y

3. f (x, y) = xye−(x2+y2)1/2

4. f (x, y) = y2 − y3

5. f (x, y) = cos(√

x2 + y2) , −10 6 x, y 6 10

6. f (x, y) = sen x , 0 6 x 6 2π

C

a.

–1

–0.5

0.5

1

1.5

y

–3 –2 –1 1 2 3

x


b.

0

1

2

3

4

5

6

y

–6 –4 –2 2 4 6

x

c.

–10

–5

0

5

10

y

–10 –5 5 10

x

d.

–2

–1

1

2

y

–2 –1 1 2

x

e.

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

y

–1.5 –1 –0.5 0.5 1 1.5

x


f.

0

2

4

6

8

10

12

y

2 4 6 8 10 12

x

G

A.

–10

–5

0

5

10

x

–10

–5

0

5

10

y

B.

0

2

4

6

8

10

12

x

0

2

4

6

8

10

12

y

–1

0

1

C.

–1.5–1

–0.50

0.51

1.5

x

–1.5–1

–0.50

0.51

1.52

y

–4

–2

0

2

4


D.

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

–0.15

–0.1

–0.05

0

0.05

0.1

0.15

E.

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

0

2

4

6

8

F.

0

1

2

3

4

5

6

x

0

1

2

3

4

5

6

y

–1

0

1

29. Dibujar los siguientes subconjuntos de R2 y verificar graficamente que son abiertos

a) A = {(x, y) ∈ R2 / 1 < x2 + y2 < 7}b) B = {(x, y) ∈ R2 / 2x + y > 1}c) C = {(x, y) ∈ R2 / x , 0 , y , 0}

¿Alguno de estos conjuntos es conexo?

30. Dibujar los siguientes subconjuntos de R2 y verificar graficamente que son cerrados

a) A = {(x, y) ∈ R2 / 1 6 x 6 2 , 0 6 y 6 1}b) B = {(x, y) ∈ R2 / x + y > 1}c) C = {(x, y) ∈ R2 / x = 0 o y = 0}

¿Alguno de estos conjuntos es compacto?


31. Dibujar los siguientes subconjuntos de R2 y verificar graficamente que no son abiertos nicerrados

a) A = {(x, y) ∈ R2 / 1 < x2 + y2 6 7}b) B = {(x, y) ∈ R2 / x , 0 , y = 0}

32. a) Comprobar graficamente que el parelelepıpedo P dado por: −1 < x < 1 , 0 < y < 2 ,0 < z < 3 es un conjunto abierto.

b) Calcular la adherencia de P.

33. a) Probar que

(i) lım(x,y)→(1,0)

x + y = 1

(ii) lım(x,y)→(−1,9)

xy = −9

(iii) lım(x,y)→(7,2)

x2 + y2 − xy = 39

(iv) lım(x,y)→(0,0)

sen(x2y)x2 + y2 = 0

(v) lım(x,y)→(0,1)

xexy = 0

(vi) lım(x,y)→(0,1)

y2 + cos(π − x)y

= 0

(vii) lım(x,y)→(0,2)

sen(xy)x

= 2

(viii) lım(x,y)→(0,104)

sen(x cos y)

b) Para cada ε = 1, 1100 , hallar un δ > 0 tal que:

‖(x, y) − (−1, 9)‖ < δ =⇒ |xy + 9| < ε

34. a) Sea f : B((a, b), r) −→ R tal que lım(x,y)→(a,b)

f (x, y) = 0. Probar que

lım(x,y)→(a,b)

sen( f (x, y))f (x, y)

= 1

b) Sea f : B((a, b), r) −→ R tal que lım(x,y)→(a,b)

f (x, y) = +∞. Probar que

lım(x,y)→(a,b)

ln( f (x, y))f (x, y)

= 0

c) Calcular

lım(x,y)→(0,0)

sen(x2 + y2)x2 + y2 y lım

(x,y)→(0,0)(x2 + y2) ln(x2 + y2)


35. Analizar la existencia de los lımites de las siguientes funciones en el origen:

a) f (x, y) =x − yx + y

b) f (x, y) =xy

x2 + y2

c) f (x, y) =7x2 − 2y2

x2 + y2 − 1

d) f (x, y) =sen x

y

e) f (x, y) = |x|y

f) f (x, y) =sen(x − y)|x − y|

g) f (x, y) =1x

+1y

h) f (x, y) =x2 + y2

x2 − y2

i) f (x, y) = y sen( xy )

j) f (x, y) =x2

x2 + y2

k) f (x, y) =xy

|x| + |y|

l) f (x, y) =x2 + y2

√x2 + y2 + 1 − 1

m) f (x, y) =sen(x3 + y3)

x2 + y2

n) f (x, y) = (x2 + y2) sen( 1xy )

36. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados

a) f (x, y) =

x − yx2 + y2 si (x, y) , (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)en (1, 0) y en (0, 0)

b) f (x, y) =

|y|x(1 + x)y si (x, y) , (0, 0) , x > −1

1 si (x, y) = (0, 0)en (1, 1) y en (0, 2)

c) f (x, y) = sen(x cos y) en (1, 1) y en (0, 2)

d) f (x, y) =

x + y si x , 0 e y , 0

0 en otro casoen (0, 0) y en (1, 1)

e) f (x, y) =

1 si xy , 0

0 si xy = 0en (1, 0) y en (−1, 2)


f) f (x, y) =

2x − y − 1x2 − y2 si |x| , |y|

12

si |x| = |y|en (1, 1)

37. Dada la funcionf (x, y) = xy sen( 1

x ) sen( 1y )

a) calcular su dominio

b) definirla —si es posible— en R2 − Dom( f ) de modo que resulte continua en todo R2.

38. Hallar el dominio y los puntos de discontiuidad de las siguientes funciones

a) f (x, y) = ln(x2 + y2)

b) f (x, y) =1

1 − x2 − y2

c) f (x, y) =sen(x − y)

x − y

d) f (x, y) =xy + 1x2 − y

e) f (x, y) =

2xyx2 + y2 si (x, y) , (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

f) f (x, y) = |y|39. Demostrar que la funcion

f (x, y) =

2xyx2 + y2 si (x, y) , (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

es continua respecto de cada una de las variables por separado pero que no lo es comofuncion de ambas.

40. Sea f : R2 −→ R definida por

f (x, y) =

3|x − y| si |x| 6 6

x2y si |x| > 6

Determinar los puntos de continuidad de f .

41. Encontrar los valores de a , b y c que hagan que f sea continua en (0, 0), siendo

f (x, y) =

3ay sen( 3

y ) + cos(πx) si y , 0

bx + c si y = 0

42. Sea f : Rn −→ R una funcion y K > 0 una constante tal que para cada x, y ∈ Rn se tiene

| f (x) − f (y)| 6 K ‖x − y‖Probar que f es uniformemente continua y –en consecuencia– continua. Deducir que todatransformacion lineal de Rn en R es uniformemente continua.


A: D R

Campo escalar

Llamaremos campo escalar a cualquier funcion f : Rn −→ R.

Conjuntos de nivel

Sean f : A ⊂ Rn −→ R y c ∈ R. El conjunto de nivel de valor c se define como

f −1(c) = {x ∈ A / f (x) = c}

N: para n = 2 se llama curva de nivel y para n = 3 superficie de nivel.

Conceptos topologicos

B r > 0: B(a, r) = {x ∈ Rn / ‖x − a‖ < r}

B r > 0: B(a, r) = {x ∈ Rn / ‖x − a‖ 6 r}

C : si esta contenido en B(0, r) para algun r > 0

E ∈ Rn: es un conjunto E que contiene una bola abierta centrada en a

C : es un conjunto que es entorno de cada uno de sus puntos. Es decir, unconjunto A ⊂ Rn es abierto si para cada a ∈ A existe un r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A.

A

a

B(a,r)

P : a ∈ A es un punto interior de A si existe un entorno de a contenido en A.

I :◦A = {a ∈ A / a es un punto interior de A}

C : es un conjunto cuyo complemento es un conjunto abierto. Es decir, unconjunto A ⊂ Rn es cerrado si para cada a < A existe un r > 0 tal que B(a, r) ∩ A = ∅.


A

R -A

a

B(a,r)

n

F: ∂A = {x ∈ Rn / B(x, r) ∩ A , ∅ y B(x, r) ∩ (Rn − A) , ∅ para todo r > 0}

AR -A

B(x,r)

n

x

A C: A = A ∪ ∂A

C : es un conjunto cuyos puntos se pueden unir mediante caminos cuyastrazas estan contenidas en el.

A Bx

a g

f

y

b

la traza de f está contenida en A

A es arcoconexo B no es arcoconexo

cualquier camino g que una 'a' con 'b' tiene parte

de su traza fuera de B

C : es un conjunto cerrado y acotado.

ProposicionSean a ∈ Rn y r > 0, entonces

(i) B(a, r) es un conjunto abierto

(ii) B(a, r) es un conjunto cerrado

(iii) B(a, r) = B(a, r)

(iv) ∂B(a, r) = ∂B(a, r) = {x ∈ Rn / ‖x − a‖ = r}


Proposicion

Sea A ⊂ Rn. Se tiene

(i)◦A es un conjunto abierto

(ii) A es abierto si y solo si A =◦A

Proposicion

Sea A ⊂ Rn. Se tiene

(i) A es un conjunto cerrado

(ii) A es cerrado si y solo si A = A

Funcion acotada

Sea f : A ⊂ Rn −→ R. Se dice que f es acotada si existe M > 0 tal que | f (x)| 6 M paratodo x ∈ A.

Lımite — Continuidad

Lımite

Sean f : A ⊂ Rn −→ R un campo escalar, a ∈ A y ` ∈ R, decimos que el lımite de f cuandox tiende a a es ` —y lo notamos lım

x→af (x) = `— cuando para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

x ∈ A y 0 < ‖x − a‖ < δ =⇒ | f (x) − `| < ε

Proposicion (Unicidad del lımite)

Sea f : A ⊂ Rn −→ R un campo escalar y a ∈ A. Si lımx→a

f (x) = `1 y lımx→a

f (x) = `2, entonces`1 = `2.

Proposicion

Sea f : A ⊂ Rn −→ R un campo escalar, a ∈ A y α ∈ R. Si lımx→a

f (x) = ` > α (resp. ` < α),entonces f (x) > α (resp. f (x) < α) para x en un entorno de a , x , a.

Proposicion

Sean f , g : A ⊂ Rn −→ R , a ∈ A y α, β ∈ R. Entonces, si lımx→a

f (x) = `1 y lımx→a

g(x) = `2,

(i) lımx→a

(α f + βg)(x) = α`1 + β`2


(ii) lımx→a

f (x)g(x) = `1`2

(iii) lımx→a

f (x)g(x)

=`1

`2(si `2 , 0)

ProposicionSean f , g : A ⊂ Rn −→ R , a ∈ A tales que lım

x→ag(x) = 0 y f es acotada en un entorno de

a ∈ A. Entonces,lımx→a

f (x)g(x) = 0

ProposicionSean f : A ⊂ Rn −→ R y a ∈ A tales que lım

x→af (x) = `. Sean ε > 0 , h : (` − ε, ` + ε) −→ R

tal que lımy→`

h(y) = L y g : (t0 − ε, t0 + ε) −→ B(a, r) tal que lımt→t0

g(t) = a. Entonces,

lımx→a

h ◦ f (x) = L y lımt→t0

f ◦ g(t) = `

ProposicionSea f : A ⊂ R2 −→ R y a ∈ A. Entonces, lım

x→af (x) = ` si y solo si

f (xn, yn) −→ `

para toda sucesion((xn, yn)

) ⊂ A , (xn, yn) , a, que converge a a.N: lo mismo vale para A ⊂ Rm (m ∈ N).

CorolarioSi ((xn, yn)) , ((un, vn)) son dos sucesiones que convergen al punto (a, b) ∈ R2 para las cuales

f (xn, yn) −→ `1 y f (un, vn) −→ `2

con `1 , `2, entonces no existe el lımite de f cuando (x, y)→ (a, b).N: lo mismo vale en Rm (m ∈ N).

ProposicionSi existe lım

(x,y)→(a,b)f (x, y) = ` y ϕ(x) −−−→

x→ab , ψ(y) −−−→

y→ba, entonces

lımx→a

f (x, ϕ(x)) = ` y lımy→b

f (ψ(y), y) = `

ContinuidadSea f : A ⊂ Rn −→ R. Se dice que f es continua en a ∈ A si lım

x→af (x) = f (a).

Se dice que f es continua en A si es continua en cada uno de sus puntos.


Proposicion

Sean f : A ⊂ Rn −→ R y a ∈ A. Entonces, f es continua en a si y solo si para todo ε > 0existe δ > 0 tal que

x ∈ A y ‖x − a‖ < δ =⇒ | f (x) − f (a)| < ε

Proposicion

Sean f , g : A ⊂ Rn −→ R continuas en a ∈ A y α, β ∈ R. Entonces,

(i) α f + βg es continua en a

(ii) f g es continua en a

(iii)fg

es continua en a siempre que g(a) , 0

(iv) si h : ( f (a) − ε, f (a) + ε) −→ R es continua en f (a), h ◦ f es continua en a.

Teorema (Bolzano)

Sea f : A −→ R continua y A ⊂ Rn conexo por arcos. Si f toma un valor positivo y otronegativo, entonces existe a ∈ A tal que f (a) = 0.

Corolario

Sea f : A −→ R continua y A ⊂ Rn conexo por arcos. Si f (x) , 0 para todo x ∈ A, entonces

f > 0 en A o f < 0 en A

Teorema (de los valores intermedios)

Sea f : A −→ R continua y A ⊂ Rn conexo por arcos. Si f (x1) = a , f (x2) = b y a < c < b,entonces existe x0 ∈ A tal que f (x0) = c.

Continuidad uniforme

Sea f : A ⊂ Rn −→ R. Se dice que f es uniformemente continua en A si para cada ε > 0existe δ > 0 tal que

‖x1 − x2‖ < δx1, x2 ∈ A

=⇒ | f (x1) − f (x2)| < ε

Teorema (Heine-Cantor)

Sea K ⊂ Rn un conjunto compacto y f : K −→ R continua. Entonces f es uniformementecontinua en K.

practica ´ 6 · practica´ 6 1. a) ¿a que distancia de 16 basta tomar´ x para asegurar que: (i)...

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