1 Práctica 5: Variables aleatorias en 2 o más dimensiones

1. Dos líneas de producción manufacturan cierto tipo de artículos. Suponga que la capacidad (encualquier día dado) es 2 artículos para la línea I y 3 para la línea II. La tabla adjunta muestra ladistribución de probabilidades conjunta para la producción de articulos:

XI�XII 0 1 2 30 0 0,04 0,02 0,091 0,02 0,14 0,21 0,142 0,07 0,06 0,07 0,14

Obtener: a) las funciones de probabilidad marginales; b) la probabilidad de que la línea I produzca1 o 2 artículos y la línea II 2 o más; c) la probabilidad de que la línea I produzca más que la II; d)la probabilidad de que se produzcan en total 3 artículos; e) la probabilidad de que se produzcan2 en total si se sabe que la línea I produce menos de 2; f) ¿Son X e Y independientes?

2. De un cajón de frutas que contiene 3 naranjas, 2 manzanas y 3 bananas, se seleccionan al azar 4frutas. Si X es el número de naranjas obtenidas e Y el número de manzanas obtenidas: a) Hallarla distribución de probabilidad conjunta y las distribuciones de probabilidad marginales. b) ¿Cuáles la probabilidad de que la cantidad total de naranjas y manzanas obtenidas no supere a 2?

3. Se tiran simultáneamente un dado y dos monedas. Sea X: cantidad de caras obtenidas al tirar lasdos monedas, e Y : cantidad de ases obtenidos al tirar el dado. a) Hallar la función de probabilidadconjunta para (X; Y ) b) Hallar las funciones de probabilidad marginales. c) Si se obtiene por lomenos una cara al arrojar las monedas y el dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un as? d)Si se obtiene un as, ¿cuál es la probabilidad de obtener a lo sumo una cara? e) Hallar la funciónde probabilidad de X si se sabe que salió una sola vez as en el dado.

4. Un juego consiste en tirar una moneda 4 veces, siendo X la cantidad de caras obtenidas, y tirarluego tantos dados como caras se hubieran obtenido en el paso anterior. Si Y cuenta la cantidad deases, se pide: a) Encontrar la función de probabilidad conjunta; b) Hallar las f.de prob marginales.c) ¿Cuál es la probabilidad de que en el juego se tiren 4 dados? d) ¿Cuál es la función deprobabilidad de X condicional a saber que se tiraron 4 dados?

5. Sea T el triángulo en el plano con vértices en (1; 0); (0; 1) y (2; 1): Si el punto aleatorio (X; Y )se distribuye uniformemente en T ; hallar: a) la densidad conjunta f(x; y):b) las densidades mar-ginales.c) la probabilidad P (X > 1); d) la probabilidad P (X > 1=Y > 0:5);e) la probabilidadP (X > 1=Y = 0:5)

6. Dos jóvenes han quedado en encontrarse entre las 20 y las 21 horas, pero cada uno no esperaráal otro más de 10 minutos. Calcular la probabilidad de que se encuentren. ¿Qué condición debesuponer para la resolución del problema?

7. Dada la función de densidad conjunta f(x; y) = a(2 � x � 2y) para 0 < x < 2; 0 < y < 1 � x2:

Calcular: a) la constante a b) P (Y > 0; 25�X = 1); c) P (Y > 0; 25�X < 1): Resp.: a) a = 1; 5b) 0,25 c) 13/28

8. Una vinatería cuenta con instalaciones para atender a clientes que llegan en automóvil y a quienesllegan caminando. En un día seleccionado al azar, sean X e Y , respectivamente, los períodosde tiempo que se utilizan para cada caso y suponga que la función de densidad conjunta es:

1

f(x; y) = 23(x + 2y) para 0 � x � 1 e 0 � y � 1; f(x; y) = 0 para otro (x; y). a) Hallar las

distribuciones de probabilidad marginales. b) ¿Cuál es la probabilidad de que las instalaciones paraquienes lleguen en automóvil se utilicen menos de la mitad del tiempo de lo que se utilizan para los

peatones? Resp: a) f(x) =�

23(x+ 1) 0 < x < 10 En otro caso

; f(y) =

�23(2y + 1

2) 0 < y < 1

0 En otro caso;b)

1=4

9. Sean X e Y las duraciones en años de dos componentes en un sistema electrónico cuya funciónde densidad de probabilidad conjunta es: f(x; y) = e�(x+y) para x > 0; y > 0; f(x; y) = 0 en otro(x; y). a) ¿Son X e Y independientes? b) Encontrar la P (0 < X < 1=Y = 2):Resp: a) si b) 0,63

10. Se elige un punto al azar en el intervalo (0; 1) y se llama X a la distancia de este punto al origen.Luego se elige otro punto al azar en el intervalo [x; 1] y se llama Y a la distancia de éste al origen.Hallar la función de densidad de Y . Rta: f(y) = � ln(1� y) si 0 < y < 1; 0 en otro caso.

11. Dada la función de densidad conjunta f(x; y) = ax para 0 < x < 1;x2 < y < 1:Hallar: a) ladensidad condicional de Y dado X; b) la varianza condicional de Y dado X c) P (Y > X) Resp:a) f(y=x) = 1=(1� x2) para x2 < y < 1; b) 1

12(1� x2)2; c) 2/3

12. Dada la función de densidad conjunta f(x; y) = 24x2y(1 � x) para 0 < x < 1; 0 < y < 1 a)Demostrar que las variables X e Y son estadísticamente independientes. b) Calcular la funciónde regresión de Y condicional a X. Resp: a) al ser un dominio rectangular y expresarse f(x; y)como un producto f1(x)f2(y), queda probada la independencia; b) E(Y=X) = 2=3

13. Dada la función de densidad conjunta f(x; y) = 24y(1 � x) para 0 < x < 1; 0 < y < x. Hallar:a) la función de regresión de Y dado X b) P (x > 0; 5�y = 0; 25) c) P (x > 0; 5�y > 0; 25):Rta:a)E[y=x] = 2

3x para 0 < x < 1; b) 4=9; c) 0; 80

14. Dada la función de densidad conjunta f(x; y) = x + y para 0 < x < 1; 0 < y < 1. Calcular: a)P (Y > X) b) P (XY < 0; 5) c) el coe�ciente de correlación entre X e Y . Resp: a) 0,5; b) 0,375;c) �0,0909

15. Una compañía dulcera distribuye cajas de chocolate con una mezcla de tres tipos de chocolate:blanco, con leche y al licor. Suponga que el peso de cada caja es de 1 kg, pero los pesos individualesde las blancos, con leche y de licor varían de una caja a otra. Para una caja seleccionada al azar,X e Y representan los pesos de chocolate blanco y con leche, respectivamente, y suponga que lafunción de densidad de probabilidad conjunta es: f(x; y) = 24xy para 0 � x � 1 , 0 � y , x+y � 1; f(x; y) = 0 en otro (x; y). a) Hallar la probabilidad de que en una determinada caja el pesode los chocolates al licor sea más de 1/2 del peso total. b) Hallar la distribución de probabilidadmarginal del peso del chocolate blanco y la distribución condicional de X dado Y . c) Hallar laprobabilidad de que el peso de los chocolates con leche en una caja sea menos de 1/8, si se sabeque el chocolate blanco constituye el 2/4 del peso. d) ¿Cuál es el grado de correlación lineal deX e Y ? e) ¿Cuál es el peso medio del chocolate blanco y el chocolate con leche para una de estascajas de chocolate?

16. La cantidad de querosene en un tanque al principio del día es una variable aleatoria Y (en milesde litros) de la cual una cantidad aleatoria X se vende durante el día. Suponga que el tanque nose recarga durante el día, de tal forma que X � Y , y suponga que la función de densidad conjuntaes f(x; y) = 2 para 0 < x < y; 0 < y < 1; f(x; y) = 0 en otro (x; y). a) Determinar si X e Y

2

son independientes. b) Hallar la P (1=4 < X < 1=2=Y = 3=4) c) Hallar la cantidad media dequerosene que queda al �nal del día. Rta: a) X e Y no son independientes; b) 1=3; c) 1=3

17. Sea X el peso en toneladas de sandías que tiene almacenado un intermediario a principio desemana, con X uniforme en (0; 3). El peso total de lo que vende en una semana es una variableY tal que f(y=x) es uniforme en (0; x):a) Si el intermediario vendió en una semana 1 tonelada,¿cuál es la probabilidad de que haya tenido almacenadas más de 2 tn.? b) Hallar la densidad deY . c) Hallar el valor medio de la cantidad que queda sin vender a �nal de semana . Rta: a) 0; 37;

b) f(y) =�

13(ln 3� ln y) 0 < y � 3

0 En otro caso;c) 3/4

18. Dada la función de densidad conjunta f(x; y) = axy para y2 < x < 1; 0 < x < 1:Hallar: a)la varianza condicional de Y dado X y compararla con la varianza de Y b) el coe�ciente decorrelación entre X e Y ; c) P (x + y < 1) d) P (y < 0; 5�x = 0; 4):Resp: a) �2Y=X = x

18; �2Y

= 0; 0485; b) 0,3723; c) 0; 1824; d) 0,625

19. Sean X e Y las variables de�nidas en el ejercicio 5, hallar la función de regresión de Y condicionala X:

20. Sean X e Y las variables de�nidas en el ejercicio 3, se pide: f) ¿Cuál es la distribución deprobabilidad de la suma S = X + Y ? g) Hallar de dos formas diferentes la media de la suma S ysu varianza. h) Suponga un juego en el que en un solo tiro de dado y dos monedas se obtiene unaganancia G dada por la siguiente fórmula: G = 2X + 3Y . Hallar la ganancia media y su varianzaresolviendo de dos formas distintas.

21. Sean X e Y las variables de�nidas en el ejercicio 5, hallar la función de densidad de S = X + Y .

22. Sean X e Y las variables de�nidas en el ejercicio 9, hallar la función de densidad de R = X � Y .

23. Demostrar que la suma de dos variables aleatorias exponenciales negativas independientes y delmismo parámetro � es una variable aleatoria tipo gamma.

24. Se elige al azar un punto P en el intervalo (3; 8) del eje X y un punto Q en el intervalo (2; 5) del ejeY. Calcular la probabilidad de que la longitud del segmento PQ sea mayor que 5. Resp: 0,8757

25. Las barras provenientes de un tren de laminación tienen sección rectangular y sus lados X eY tienen longitudes variables con distribuciones uniformes independientes entre 1 < x < 1; 1 y2 < y < 2; 2 respectivamente. Determine la probabilidad de que el área de una barra sea superiora 2; 2. Resp: 11(1� 10:ln (1; 1)) = 0; 5159

26. Dada f(x; y) = ax+ y2 en el dominio 0 < x < 2; 0 < y < 1. Hallar: a) el coe�ciente de correlación

entre X e Y . b) la densidad de Z =X

Y. Resp: a) �0,1327; b) h(z) =

�z18+ 1

40 < z < 2

49z2 + 4

z4z � 2

27. En una línea de montaje se arma un mecanismo que tiene un eje que gira dentro de un buje.Un eje y un buje ajustan satisfactoriamente si el diámetro del segundo excede al del primero enno menos de 0,005 y no más de 0,035. a) Si los diámetros de los ejes y los bujes son variablesaleatorias con distribuciones uniformes independientes en el intervalo (0:74; 0:76) para los ejes y(0:76; 0:78) para los bujes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un eje y un buje tomados al azarajusten satisfactoriamente? b) Considere ahora que las variables son normales con las mismasmedias y desvíos que en (a) y recalcule la misma probabilidad. Resp: a) 0,9375; b) 0,934

3

28. El porcentaje de votos que puede obtener el candidato A es una variable X y el porcentaje devotos para el candidato B es una variable Y tales que la función densidad conjunta es

f(x; y) =

�kx2y si 0 < x < 1 y 0 < y < 1� x0 en otro caso

(a)¿Cuál es la probabilidad de que A saque más votos que B? (b) Si Z es la variable que da el %de votos que suman entre ambos candidatos,¿Cómo se distribuye Z? Rta: a) k = 60; 11=16; b)

F (z) =

8<:0 si z � 0z5 0 < z < 11 z � 1

; f(z) =

�5z4 0 < z < 10 En otro caso

29. En verano los días en que llueve pueden considerarse eventos según un proceso Poisson de tasa 1cada 5 días. Cada día de lluvia, la cantidad de agua que cae es una variable Normal (� = 40;� =10) en mm:

(a) Si hubo 8 días de lluvia este mes, ¿cuál es la probabilidad de que se hayan acumulado másde 300 mm?

(b) Describa la función densidad conjunta f(x; k); donde x es la cantidad de agua caída en unmes y k es la cantidad de días que llovió en ese mes (30 días).

(c) ¿Cómo describiría la densidad marginal de X?

30. El precio por kg de papas en $, es una variable aleatoria X~U [4; 5]. La demanda diaria de papas(en cientos de kg) en un supermercado es una v.a. Y tal que

f(y=x) =

�1 si � x+ 5 � y � �x+ 60 otro y

(a) Si el precio de un kilo de papas se �ja en $4,50, ¿cuál es la demanda esperada?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda diaria sea mayor a 100 kg de papas?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso diario por ventas de papas sea mayor a $400?

4

2 Práctica 6: Inferencia estadística

1. Suponga que la distribución de las concentraciones de SO4 para una estación de contaminación esnormal con un desvío estándar de 4 p.p.m. (partes por millón). Captando 16 muestras de una horade duración cada una, seleccionadas al azar en un período de estudio, se obtuvo un promedio de 9p.p.m. Se pide: a) hallar un intervalo de con�anza del 95% para estimar la verdadera media; b)¿cuál debe ser el tamaño de la muestra si se desea que el error sea igual o inferior a 0,25 p.p.m., conuna con�anza del 90%?; c) ¿cuál es el intervalo de con�anza del 95% para estimar la media si eldesvío fue estimado a partir de los datos de la muestra (igual a 3,8 p.p.m.)? Rta: a) [7; 04; 10; 96];b) n = 689

2. De un conjunto de datos sobre la demanda bioquímica de oxígeno en una cierta estación �uvialse obtuvo que para 25 días seleccionados al azar, dicho parámetro indicador de contaminaciónarrojaba una media muestral de 35 mg/l . Asumir que el nivel diario de demanda bioquímica deoxígeno obedece a una distribución normal con varianza de 0,184 (mg/l)2. a) Halle el intervalo decon�anza del 99% de nivel de con�anza para estimar el verdadero valor medio de la D.B.O. b) Siun ingeniero no está de acuerdo con la amplitud del intervalo establecido en (a) y quisiera reducirloen un 10% considerando el mismo nivel de con�abilidad, ¿cuántas mediciones diarias adicionalesdebería realizar? Rta: a) [34; 79; 35; 21];b) n=6

3. Suponga que una muestra de 9 barras extraídas al azar de una producción arrojan una media de20 cm y que la longitud de las barras es una v.a.Normal con desvío � = 3 cm. a) ¿Cuál es elintervalo de con�anza del 90% de nivel de con�anza para estimar la longitud media de las barras?b) ¿Cuántas barras adicionales deben ser medidas para aumentar la con�anza del mismo intervaloal 95%? c) Si el desvío poblacional se desconoce pero las 9 mediciones arrojaron un valor de9Pj=1

(xj � 20)2 = 84; 5 ¿cuáles son los intervalos de con�anza del 90% para estimar la media, la

varianza y el desvío de la longitud de las barras? a) [18; 35; 21; 65]; b) Debera agregar 4 barras;c)I.C Media [18; 22; 21; 78];I.C Varianza [5; 45; 30; 92]; I.C Desvio [2; 33; 5; 56]

4. Los neumáticos fabricados en una empresa deben tener una utilidad media de al menos 60000km. Para veri�car dicha especi�cación, se prueban 20 neumáticos y se observa que el promedio

de duración (en miles de km) fue x = 59 y que20Pj=1

xj2 = 69810:Suponiendo que la utilidad de

esos neumáticos se distribuye como variable aleatoria normal, a) Hallar los intervalos del 95%de con�anza para estimar la media y la varianza de la utilidad en base a la muestra dada. b)¿Cuántos neumáticos habría que relevar para que el intervalo de con�anza de la media tenga unnivel de con�anza del 99%, con la misma amplitud que el hallado en a)?

5. Una muestra aleatoria de 100 obreros extraída de una población expuesta durante más de 15 añosde trabajo en minas de plomo, reveló mediante análisis apropiados que el 55% de ellos se hallabaafectado de saturnismo (la enfermedad del plomo). Halle los intervalos de con�anza del 95% y99% de N.C. para la verdadera proporción de obreros afectados en la población. Rta: Para unN.C del 95% , I..C [0; 45; 0; 65];Para un N.C del 99% , I..C [0; 42; 0; 68]

6. Las valijas producidas por una cierta compañía fueron capaces de resistir en promedio una presiónde 500 libras. Se utilizó una nueva clase de material y se examinó una muestra aleatoria de 25valijas, encontrándose que su resistencia media a la rotura fue de 512,5 libras y su varianza de1296 libras2. Suponga que la resistencia a la rotura de las valijas está distribuida normalmente.

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a) Halle un intervalo de con�anza del 90% de NC para estimar la media, la varianza y el desvíode la resistencia a la rotura de las valijas. b) Suponga que se conoce la varianza poblacional iguala 2401 libras2, ¿hay alguna evidencia que pueda probar que la resistencia media a la rotura hayaaumentado signi�cativamente? (Tome una decisión a un nivel de signi�cación del 5%). c) Para elensayo de hipótesis del ítem anterior, gra�que la curva característica con al menos 4 puntos.

7. A una muestra aleatoria de 100 amas de casa que han escuchado un cierto programa se les preguntósobre la efectividad de la propaganda de un determinado producto y 39 de ellas dijeron que habíansido inducidas a comprar dicho producto. a) Construya un intervalo de con�anza del 98% de nivelde con�anza para la verdadera proporción de amas de casa que son inducidas a comprar un ciertoproducto. b) ¿Hay su�ciente evidencia para que los patrocinadores del programa a�rmen que lamayoría de las amas de casa serán inducidas a comprar el producto? Suponga que existe un 5%de probabilidad de creer que los patrocinadores NO tienen razón cuando el porcentaje de amasde casas que son inducidas a comprar el producto es del 50%. c) ¿Cuál es la probabilidad de darla razón a los patrocinadores del programa cuando en realidad el 40% de las amas de casa soninducidas a comprar el producto?

8. La longitud de los cables de acero fabricados por una máquina es una v.a. Normal. Se deseaestimar la media y la varianza de la longitud de dichos cables. A tal �n un operario toma unamuestra aleatoria de 12 cables obteniendo las siguientes longitudes (en metros): 9,2; 9,7; 9,8; 10,2;10,4; 10; 9,4; 9,5; 10,3; 9,9; 9,7;9,5. a) ¿Cuáles son los intervalos de con�anza del 95% de nivelde con�anza para la media y la varianza de la longitud de los cables? b) ¿Rechazaría Ud. laa�rmación del operario de que la longitud media es de 10 metros? Considere que la probabilidadde rechazar la a�rmación del operario cuando los cables miden 10 metros es del 1%. Supongaconocido el desvío poblacional igual a 0,35 metros. c) ¿Cuál es la probabilidad de equivocarnos alcreer que la longitud media de los cables es de 10 metros, si la longitud media verdadera fuese de10,5 metros?

9. Una determinada universidad a�rma que sus profesores cobran un sueldo medio anual no inferiora 7200 dólares con una desviación standard de 2000 dólares. En una muestra de 400 profesores seencontró un salario medio anual de 6900 dólares. a) Con un nivel de signi�cación del 5% compruebedicha a�rmación. b) Si el salario medio anual fuese de 7000 dólares, ¿cuál es la probabilidad decreer que la Universidad tiene razón? Rta: a) Rechazo la a�rmacion;punto critico = 7036; b) 0; 36

10. Una máquina automática de embolsado de papas es diseñada para ubicar en promedio por lomenos 112 kilos en cada bolsa. Alguna variación es inevitable, pero un inspector de pesas ymedidas sospecha que está embolsando por debajo del peso. Elige 8 bolsas al azar y encuentra queel peso de cada bolsa arroja los siguientes valores: 115, 110, 109, 107, 108, 102, 111, 113. a) ¿Quéconclusiones puede el inspector extraer, considerando que existe una probabilidad de equivocarse,(al creer que la máquina embolsa por debajo del peso) del 5%, cuando el peso medio de las bolsases de 112 kilos. b) ¿cuál es la probabilidad de que el inspector se equivoque, (al creer que lamáquina embolsa correctamente) cuando el peso medio de las bolsas es de 109 kilos.

11. La e�ciencia de los operarios de una gran empresa es una v.a. Normal. Una muestra de 10operarios arroja los siguientes valores de e�ciencia: 100, 115, 70, 115, 75, 80, 100, 90, 100, 95.a) Encuentre los intervalos de con�anza del 98% de nivel de con�anza para estimar la media, lavarianza y el desvío de la e�ciencia de los operadores. b) El jefe de planta a�rma: "La e�cienciade los operarios es a lo sumo de 90". De comprobarse dicha creencia, la empresa despedirá a uno

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de los operarios.Diseñe un ensayo para veri�car la a�rmación del Jefe de planta, suponiendo que eldesvío es conocido e igual a 15. Asimismo asuma que se �ja en 5% la probabilidad de no tener quedespedir al operario cuando en realidad, el jefe tiene razón? c) Si Ud contabilizara la e�ciencia de10 operarios y obtuviera los valores dados en el item a),¿Estaría de acuerdo o no con la decisiónde despedir al personal? d) ¿Aceptaría Ud. la hipótesis planteada en (b) si se quiere diferenciaruna alternativa de 92? ¿Qué conclusiones extrae de este resultado? d) ¿Cómo modi�ca el testplanteado en (b) si el desvío poblacional no es conocido? Rta: a) c) I.C Media [80; 23; 107; 77];I.CVarianza [98; 77; 1024; 91]; I.C Desvio [10; 35; 33; 33];b) Se acepta la hipotesis, Xc=97; 77;c) 0; 88;

12. Una de las más celebres Leyes de Murphy establece que �si se deja caer al suelo una tostadauntada con dulce, la probabilidad de que caiga del lado del dulce es mayor que la de que caiga dellado del pan�. Para veri�carla, se desea realizar un experimento en la University de SouthwesternLouisana, en el que se dejan caer n tostadas untadas con mermelada de grosellas y se observacuántas caen del lado del dulce. El comité de investigaciones de la universidad decreta que, paraque el experimento sea considerado concluyente, deberá cumplir las sigueintes condiciones:

si la Ley de Murphy es falsa (la probabilidad de caer del lado del dulce es 12), el riesgo de decir

que es verdadera es de 0,02

si la Ley es cierta, y la probabilidad de caer del lado del dulce es igual a 0.6, entonces la proba-bilidad de con�rmarla debe ser de 0.9.

¿Cuántas tostadas hay que arrojar para que se cumplan estas condiciones? Indique el ensayo dehipótesis elaborado.Rta: a) n = 273; Criterio: "digo que la ley es falsa si bp < 0:56"

13. Dos personas A y B juegan a cara y cruz con una moneda. Al cabo de 100 partidas A, que eligiócara, ha ganado 62 veces. Tras este resultado, B a�rma que la moneda está cargada, y que laprobabilidad de obtener cara es al menos 2/3. A sostiene que la moneda no está cargada. ¿Quiéntiene razón? Analice ambas posibilidades realizando los ensayos de las hipotesis correspondientesa un nivel de signi�cación del 5%. Indique riesgos implícitos y las condiciones bajo las cuales esválido el desarrollo de cada ensayo.

14. El diámetro de los ejes producidos por un torno automático es una v.a. con una desviación típicaigual a 0,24 mm. A los efectos de veri�car el posicionado de la herramienta se tornean 40 ejes,resultando un diámetro medio de 12,1 mm. a) Determine un intervalo de con�anza del 95% de N.C. para el valor del diámetro medio de los ejes. b) ¿Cuántos ejes adicionales deberán tornearse sise desea que la amplitud de dicho intervalo sea de 0,12 mm? c) ¿Aceptaría Ud. la hipótesis deque el diámetro medio de los ejes es de 12 mm a un nivel de signi�cación del 10%?

15. El contenido de las cajas de cereal llenada por una determinada máquina tiene, en condicionesdeseables, una distribución Normal de media 360 gr. y un desvío de 30 gr. La media podría variarpor desajustes, no así el desvío. Se desea establecer un control periódico para el proceso de llenadoy se �ja en un 5% la probabilidad de detener la máquina innecesariamente cuando el peso mediode las cajas es igual a 360 gr. y en 2% la probabilidad de no detenerla cuando la media di�ere porcaja en un 10% del valor. Indique el criterio de decisión y el tamaño de la muestra adecuado quele permitirá a la persona encargada, controlar el proceso de llenado.

16. Una ONG a la cual le preocupa la contaminación ambiental cree que por lo menos el 60% de lasplantas industriales de la zona están observando las normas contra la contaminación atmosférica.

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Al controlar 60 plantas de la zona, se encuentra que 33 están cumpliendo las normas. A un nivelde signi�cación de 0,02, ¿Hay evidencia para no darle la razón a la ONG? Informe sobre los riesgosinvolucrados con el criterio adoptado. Si el porcentaje real de plantas industriales que cumplencon la norma llegara a ser del 40%, la ONG quisiera detectar dicha situación con alta probabilidad.¿Considera que la prueba diseñada satisface este requerimiento?

17. Un industrial ha comprado una máquina con el objeto de fabricar una pieza metalúrgica. Elvendedor le asegura que la máquina produce como máximo un 3% de piezas defectuosas. Elindustrial quiere con�rmarlo con una probabilidad de 94%. Además, debido a compromisos deventa de estas piezas, si el porcentaje de defectuosas fuera mayor que 3.5% se le aplicará unamulta, por ello quiere tener una probabilidad de ser multado de a lo sumo 4%. Establezca unprocedimiento que satisfaga las necesidades del industrial e informe sobre los riesgos involucrados.

18. Una empresa petrolera ha decidido competir en el ámbito de los aceites semisintéticos multigrade.Para ello han decidido utilizar una mezcla de dos de sus mejores aceites, el Helox y el Elajon. Vana mezclar 18 barriles de Helox con 13 de Elajon. La capacidad de los barriles de Helox es unav.a. Normal con desvío 15 cm3 mientras que la de los barriles de Elajon es una v.a. Normal condesvío 13 cm3. El químico que de�ne las proporciones asegura que el volumen medio que resultaráserá superior a 2300 cm3 con 96% de probabilidad. El técnico responsable de la elaboraciónsostiene que el volumen medio será inferior a 2250 cm3 con 97% de probabilidad. Establezca algúnprocedimiento que permita decidir a cuál de los dos creer. Haga un informe detallado de los pasosa seguir. Calcule los riesgos involucrados.

19. Un analista político asegura que el candidato A sacará, en las próximas elecciones, más del 50%de los votos. Establezca cómo realizar un ensayo de hipótesis para con�rmar o no esta apelación.Indique riesgos implícitos y las condiciones bajo las cuales es válido el desarrollo del ensayo.

20. Una empresa pesquera proveedora de sardinas a una planta envasadora recibe la siguiente in-dicación por parte de la envasadora: A todo lote recibido se la hará un control de recepciónconsistente en pesar 30 sardinas seleccionadas al azar del lote y rechazar el lote completo si elpeso promedio es mayor que 264 gr ya que se considera que serían demasiado grandes para en-vasarlas. El peso de las sardinas tiene un desvío de 35gr. A continuación se ha gra�cado la curvacaracterística del control.

a) ¿Cuál es la variable de decisión y el criterio de aceptación-rechazo? ¿cómo se calcula cada puntode esta curva característica? b) Si la media verdadera es de 256gr ¿qué porcentaje de lotes será

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rechazado con el criterio adoptado? ¿y si la media fuera 268 gr? c) Explicar el signi�cado de lacurva característica del control y lectura. d) Indicar cuáles son los pesos medios de los lotes que�suelen ser rechazados�y cuales son �generalmente aceptados�. ¿Qué pasa con los pesos mediosque no están en estos dos grupos (aceptados-rechazados)? e) Si se toman para el control muestrasde 60 sardinas con el mismo criterio de aceptación-rechazo ¿en qué cambia la curva de control?Indique el signi�cado del punto B y del punto A. ¿Cambian las conclusiones del ítem d)?

21. En una planta de procesamiento químico es importante que el rendimiento de cierto tipo deproducto en lote se mantenga por arriba de 80%. Si permanece por debajo de 80% por untiempo prolongado la compañía pierde dinero, entonces si varios lotes por dia resultan defectuosos,la planta se detiene y se llevan a cabo los ajustes. Se sabe que el rendimiento se distribuyenormalmente con desviación estandar de 4%. a) ¿cuál es la probabilidad de una �falsa alarma�cuando el rendimiento medio es de 85%? b) ¿cuál es la probabilidad de una �falsa alarma�cuandoel rendimiento medio es de 80%? c) ¿cuál es la probabilidad de no detectar que el rendimientomedio es de 76%? d) Identi�que los tipos de errores que pueden cometerse; e) Realizar la curvade control (curva característica) en función del rendimiento medio utilizando Excel . Resp: a)0,10565; b) 0.5; c) 0,15866

22. Una empresa compra bulones a proveedores . El control de recepción establece seleccionar unamuestra al azar de 20 bulones de la partida y rechazarla si se encuentra 1 o mas defectuosos.a) Si la P de que un bulón sea defectuoso es el 4% ¿Cual es la P de rechazar la partida? ¿Quéconsideraciones tuvo que hacer para este calculo? b) Gra�car la P de aceptar la partida enfunción de los posibles valores de P de defectuosos. c) Si se considera razonable un lote con un %de defectuosos de a lo sumo 3% ¿Cual es la máxima probabilidad de rechazar un lote razonable?d) Para ahorrar costo de control se veri�can los bulones uno a uno y se detiene el control y rechazala partida ante el primer bulón defectuoso ¿Cual es la P de que el rechazo se produzca con el quintobulón controlado?; e) Identi�que los distintos tipos de errores que pueden cometerse. f) Gra�carla Curva Característica.

23. Un proceso se controla en cuanto a su porcentaje defectuoso mediante un grá�co de control. Lasmuestras extraídas son de tamaño n = 10 y el proceso se revisa deteniéndolo toda vez que seencuentra alguna defectuosa en la muestra. a) ¿Qué probabilidad hay de detenerlo sin necesidadcuando el porcentaje de defectuosas es el estándar, es decir p = 0; 01? b) Si el proceso está fuerade control y p es del 4% ¿cuántas muestras de 10 unidades cree Ud. que podrán ser necesarias,como máximo, para que la probabilidad de detectarlo sea del 90% por lo menos? Resp: a) 0,0956;b) 6; c) Identi�que los distintos tipos de errores que pueden cometerse. d) Gra�que e interpretela Curva Característica.

24. Diferencia de medias: Considere las siguientes longitudes de cables (en cm) obtenidas de unamuestra extraída de cada uno de 2 lotes A y B:

Lote A: 134; 146; 105; 119; 124; 161; 107; 83; 113; 129; 97; 123. LoteB: 70; 118; 101; 85; 107; 132;94. Suponiendo que las longitudes de los cables en dichos lotes tienen una distribución normal,realice un informe para personas no expertas en estadística que permita comparar las longitudesde los cables provenientes de dichos lotes.

25. Bondad de Ajuste: Se desea determinar si la cantidad de accidentes que ocurre por semana enun cruce de caminos sigue una ley Poisson. En una muestra de 50 semanas se obtuvo la siguiente

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tabla de frecuencias:No de accidentes Frecuencia

0 241 162 73 2

4 ó más 1

¿Puede a�rmarse a un nivel del 5% que la cantidad de accidentes se distribuye según una leyPoisson?

26. Bondad de Ajuste: La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias de la duración deciertas baterías en años:

intervalos Frecuencia1,45-1,95 21,95-2,45 12,45-2,95 42,95-3,45 153,45-3,95 103,95-4,45 54,45-4,95 3

¿Puede a�rmarse a un nivel del 5% que la duración de las baterías se ajusta a una distribuciónnormal con media 3,5 años y desvío estándar 0,7 años?

111111111111111111111111111111111111111Ejercicios Adicionales

Parcial I

1. Un proceso químico debiera producir en media 800 toneladas de un producto por día. Se relevaronproducciones diarias durante 10 días y se obtuvo los siguientes datos:

805 790 790 780 770 800 790 800 780 790

(Resolver indicando los supuestos que se requieren para que sea válido el procedimiento utilizado)

(a) Hallar los intervalos del 90% de con�anza para estimar la media y la varianza de la produccióndiaria.

(b) ¿Cuántos días habría que relevar la producción para que el intervalo de con�anza de la mediatenga la mitad de amplitud que el hallado?

(c) En base a los datos y considerando que el desvío es de 10tn, ¿puede a�rmarse que la producciónmedia es de 800 toneladas? Decida a un nivel de signi�cación del 5%.

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2. El consumo de energía Y (en miles de kw) está asociado a la producción X (en tn) mediante ladensidad conjunta

f(x; y) =

�k(x� 10) si 10 � x � 20 ; 10 � y � x

0 en otro caso

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo supere los 15000 kw si la producción superó las13 tn?

(b) Hallar la curva de regresión de Y dado X = x (esto es, �y=x), gra�carla e interpretarla.

3. La longitud (en metros) de ciertas varillas es una variable X con densidad

f(x=a) =

8<: 4x3

a4si 0 � x � a

0 en otro x

(a) Estime en forma bayesiana el parámetro a si en una muestra de cuatro varillas se obtuvieronlas siguientes longitudes: 1, 1, 4, 2. Encuentre un intervalo de con�anza para a y tambiénuna estimación puntual.

(b) Con la información dada por la muestra, ¿cuál es la probabilidad de que el parámetro seamenor a 5?

(c) Con la estimación puntual dada para a, calcule la probabilidad de que una varilla mida menosde 3 metros.

4. El contenido de los paquetes de cereal llenados por una determinada máquina tiene una distribuciónnormal con desvío estándar de 30 gr. La máquina se regula para descargar, en media, 360 gr. Sedesea establecer un control periódico del proceso de llenado y se establece en un 5% la probabilidadde detener la máquina innecesariamente cuando el peso medio de los paquetes es igual a 360gr.(que es el peso neto indicado en el envase), y en 2% la probabilidad de no realizar las correccionesnecesarias en el proceso cuando el peso medio de cereal volcado por la máquina se aleja en 10gr de loespeci�cado (o sea, es 360�10gr). Indique el criterio de decisión y el tamaño de muestra adecuadoque daría Ud. a la persona encargada de controlar el proceso. Gra�que la curva característica delensayo identi�cando al menos 5 puntos.

Parcial II

1. Un empacador de frutillas tiene un contrato de provisión donde se establece que el peso medio delas frutillas que envía debe ser de al menos 20 gr. Se desea diseñar un ensayo de hipótesis paradecidir si un

camión de frutillas debe ser despachado o no, suponiendo que el desvío del peso es de 8 gr. Lascondiciones para establecer el ensayo se �jan del siguiente modo:

� Si el peso de las frutillas es correcto, debe obtenerse esa conclusión con probabilidad 0:95 y� Si el peso medio fuese de 15 gr., se quiere poder reconocerlo con probabilidad 0:90:

Establezca con detalle el ensayo de hipótesis incluyendo además la curva característica.

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2. Sean X e Y variables aleatorias con densidad conjunta:

f(x; y) =

�e�(x+y) si 0 � x;� y0 en otro caso

(a) Calcular P (X > 1/ Y = 1)

(b) Hallar la curva de regresión de X dado Y

(c) Calcular la función de distribución de la variable Z = X + Y y utilizarla para calcular P (Z> 2).

3. Para estimar la longitud de rollos de alambre de determinado tipo, se midieron 50 de estos dando

como resultado50Xi=1

xi = 500 y50Xi=1

x2i = 8200

(a) Hallar un intevalo de con�anza del 95% para la longitud media.

(b) ¿Cuántos rollos adicionales deben ser medidos para aumentar la con�anza del mismo intervaloal 98%?

(c) Suponiendo que X (longitud de un rollo) es una v.a. normal, dé un intervalo de con�anzadel95% para la varianza de X.

4. Sea X una v.a. cuya función de densidad es:

f(x=a) =

�a:e�ax si 0 > x0 en otro caso

Si se tomó una muestra que arrojó como resultado, los siguientes valores de X : 4; 6; 7, se quiere:

(a) Actualizar la información de a luego de observar la muestra encontrando la función a poste-riori.

(b) Dar una estimación puntual y un intervalo de con�anza para a.

(c) Con la estimación puntual obtenida para a, estimar la probabilidad de que un próximo valorde X tome valores entre 2 y 5.

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