Engineering equation solver (EES) Por: Nstor Fonseca, Ph.D. Editado por: Juan E. Tibaquir, Ph.D. Profesores Facultad de Ingeniera Mecnica Universidad Tecnolgica de Pereira 1. GENERALIDADES Engineering Equation Solver (EES) permite proveer solucin numrica a un set de ecuaciones algebraicas lineales o no lineales, diferenciales e integrales, tambin para optimizacin, anlisis de incertidumbre, regresin lineal y no lineal y generar directamente textos y ecuaciones para publicaciones. Dos diferencias con respecto a otros programas: Las ecuaciones y variables desconocidas pueden ser ingresadas en cualquier orden. Posee una base de informacin enorme de propiedades matemticas y termofsicas tiles en el mbito de la ingeniera. Por ejemplo, las tablas de vapor son implementadas de tal forma que cualquier propiedad termodinmica puede ser obtenida a partir de otras dos propiedades. De forma similar para la mayora de refrigerantes, amoniaco, metano, dixido de carbono y otros fluidos. Las propiedades del aire son obtenidas a partir de las funciones sicromtricas y para los gases y slidos mas comunes a partir de los datos JANAF. Este es un programa externo desarrollado por la Nasa para definir el calor especfico (Cp), entalpa total (H) y entropa total (S) de ms de 400 sustancias en funcin de la temperatura. De acuerdo a la experiencia a nivel de docencia, est demostrado que el estudiante debe resolver problemas como parte de su formacin y para esto debe revisar y extrapolar datos de tablas de propiedades de los fluidos y resolver un sistema de ecuaciones que en algunas ocasiones resulta complejo sabiendo que lo que se est evaluando no es algebra. Cuando el estudiante se ha familiarizado con las tablas apropiadas, el uso repetitivo de las tablas no contribuye a su formacin. El tiempo y esfuerzo requerido por el estudiante para resolver el problema y buscar los valores indicados en las tablas impide que se profundice en lo realmente importante que es el anlisis del problema, el diseo o mejora (optimizacin) de nuevos sistemas o equipos. EES esta diseado para ensear. Dentro del proceso de optimizacin de sistemas trmicos, EES es una herramienta especialmente til para los anlisis en rgimen permanente. Sin embargo permite encontrar soluciones preliminares en sistemas donde el componente dinmico es importante. Un anlisis ms en detalle para optimizacin puede partir de los resultados de la modelacin de sistema con EES y considerar el efecto dinmico, por ejemplo el efecto de la radicacin solar en un edificio o la variacin de la energa interna de un sistema de un colector solar, sistemas en los cuales su comportamiento depende del paso del tiempo. Para este anlisis en rgimen transiente en el rea de ciencias trmicas se utilizan programas como TRNSYS desarrollado tambin por la University of Wisconsin (UW). En el ejemplo del edificio mostrado a continuacin EES fue usado como una fotografa instantnea para detectar los problemas ms significativos con respecto a las cargas trmicas y el funcionamiento del equipo de ventilacin y acondicionamiento de aire para

buscar soluciones rpidas a los problemas de los ocupantes. Luego se efectu un segundo modelo usando TRNSYS el cual incluy el efecto de la radiacin solar sobre muros y ventanas para optimizar el sistema de control de los equipos, considerando la carga trmica acumulada en los muros, muebles y equipos dentro del edificio para producir finalmente un ahorro significativo de la demanda de energa.

2. CARACTERSTICAS DE EES Resuelve simultneamente 6,000 ecuaciones no lineales (12,000 en versin profesional) Las ecuaciones pueden ser ingresadas en cualquier orden en el editor. Velocidad computacional es extremadamente rpida. Contiene propiedades termodinmicas y funciones de transporte de alta precisin para fluidos. Es posible graficar diagramas T-s, P-v, P-h, etc. de fluidos. Maneja tanto el Sistema Internacional (SI) de unidades como el Ingls. Realiza conversin de unidades y chequeo automtico de consistencia de las unidades utilizadas. Es posible ejecutar de estudios paramtricos mediante el uso de tablas Capacidad simple y multivariada de optimizacin de una variable. Usa funciones definidas, mdulos y subprogramas y DLLs (dynamic link libraries). Construcciones lgicas como If-Then-Else y otras pueden ser usadas.

Es posible realizar anlisis de incertidumbre Ejecuta regresiones linales y no lineales, Interpola automticamente datos tabulados Grafica en dos y tres dimensiones con actualizacin automtica de los datos. Salida de archivos en LATEX o PDF. Usa diagramas con ventanas de acceso de informacin de entradas y salidas. La versin profesional permite el uso de animaciones de procesos. Adems posee la capacidad de resolver sistemas de hasta 12,000 variables y ecuaciones con capacidad limitada de las tablas de datos (solo por la capacidad del equipo). 3. INSTALACIN La licencia EES de la UTP es acadmica e indefinida, renovable cada ao solo si es usada en equipos de la UTP para fines de docencia. Para instalarlo es necesario ejecutar SETUP. EES del CD de instalacin. Si se est copiando debe asegurarse que en la carpeta del programa est un archivo con extensin *.dft.

4. INICIANDO EES Ayudas: Con botn F1 o en el men, se encuentran ejemplos e indicaciones para usar cada una de la funciones de EES. Se puede usar el buscador para encontrar algn tema especfico, por ejemplo diagram, plots. Barra de herramientas: File y Edit: operan de forma similar que otros programas bajo Windows para guardar abrir imprimir etc. Libreras y textos creados por el usuario usando EES, pueden ser agregados aqu para ser utilizados mediante funciones o subrutinas en otros programas. Se tiene la opcin de generar archivos en Latex para publicaciones. Search: permite encontrar y modificar palabras en el programa.

Options:

Variable info: Es utilizado para ver el estado de las variables y resolver problemas de convergencia asignando valores posibles que ayuden a resolver el problema.

Funtion Info: Permite usar funciones matemticas, propiedades de fluidos y slidos como variables dentro de las ecuaciones. Se pueden agregar como libreras externas nuevas bases de datos producto de la investigacin y/o experimentacin.

Unit convertion Info: Permite conocer los factores de conversin mas usados a nivel de ingeniera y aplicar la conversin dentro de programa.

Ejemplo:TF=convertTEMP('C'; 'F';100) (si se usa solo(,) como dice el manual error, usar (;) en algunos computadores) Longitud=2*convert(ft;in) Presin=29,9*convert(inHg;kPa) Constants: Permite incorporar directamente al programa constante utilizadas comnmente Ej g# (gravedad) R# (constante de los gases, sigma# constante de radiacin)

Units systems: Permite definir el sistema de unidades en que se ejecutar el programa y las propiedades utilizadas, para que la solucin sea consistente. Para fijar condiciones permanentemente se utiliza store o para llamar alguna configuracin utilizada antes Load.

Ej:h=ENTHALPY(AirH2O;T=T1;P=P1;r=r1) P1=101325 T1=20 r1=0,7 Valor correcto 46.05 kJ/kg

Stop criteria: Permite fijar los parmetros de iteracin del programa cuando esta buscando una solucin. En algunos casos es necesario modificar estos valores para buscar la convergencia del problema. Nmero de iteraciones, mximo residual relativo, mximo cambio admisible de la variable, tiempo transcurrido. Cuando alguno de estos criterios se cumple el clculo termina.

Al ejecutar el programa este siempre muestra los resultados de la convergencia.

Default info: Permite cambiar simultneamente propiedades a variables de acuerdo a la primera letra con la que fue creada, por ejemplo si se quiere cambiar el tipo de unidad a todas las variables que comiencen por T de C a K, solo se modifica aqu y automticamente cambia todo dentro del programa. De igual manera para los lmites y el formato de la respuesta.

Preferences: Permite seleccionar las opciones del programa, en cuanto a sistema de unidades, parmetros de iteracin, criterios de integracin, opciones del programa, displays, ecuaciones, impresin, dibujos y nmeros complejos.

Calculate: Permite chequear, ejecutar un set de ecuaciones, maximizar o minimizar, la solucin, realizar el anlisis de incertidumbre. Revisar la consistencia de las unidades, actualizar y/o eliminar condiciones de borde del problema o valores iniciales seleccionados para ayudar la convergencia.

Tables: Contiene comandos para crear, editar tablas paramtricas y tablas tipo lookup que pueden ser usadas dentro de funciones y subprogramas.

Plots: Provee comandos para crear grficos a partir de tablas paramtricas tipo lookup y la capacidad de generar las ecuaciones de aproximacin a estas curvas.

Windows: Permite un acceso centralizado a la mayora de las ventanas de EES (ecuaciones, tablas, grficos, solucin etc..) y mtodos de presentacin de estas ventanas.

Ejemplo: ciclo Rankine

Equations: La funcin bsica de EES es resolver sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales. Para demostrar esta capacidad se puede plantear el siguiente problema:

Ejemplo1:x^2+y^3=77 sqrt(x/(y^2+1))=2 alpha+x=1,234

Ejemplo2: Clculo de prdidas por friccin de un fluido en un ducto

D, Z V S L

"A) Perdidas por friccin calculadas a partir de la ecuacin de Darcy -Weisbach " Delta_P_f=f*(L/D)*(ro_r*V^2/2) "[Pa]" "donde" "L=longitud del tubo [m] " "D= Dimetro interno [m] " "V=velocidad promedio del fluido [m/s]"

"f= factor de friccin, utilizando la ecuacin de Colebrooks se tiene: " (1/(sqrt(f)))=1,14+2*log10(D/epsilon)-2*log10(1+(9,3/(Re*(epsilon/D)*sqrt(f)))) Re=D*V*ro_r/mu "Numero de Reynolds" D=0,05 V=8,7 L=1 mu=VISCOSITY(fluid$ ;x=1;T=T_r_evap) "viscosidad cinematica kg/m-s" ro_r=DENSITY(fluid$ ;x=1;T=T_r_evap) "Densidad del fluido refrigerante [kg/m3]" epsilon=0,000001524 "[m]" "epsilon=rugosidad de la pared de los tubos cobre"

fluid$ = 'R22' T_r_evap=-40 "temperatura de evaporacin"

2 EJEMPLO DE APLICACIN Un ejemplo tpico donde puede ser de utilidad EES. Modelo de Vlvula de expansin ideal En un ciclo de refrigeracin, se tiene una vlvula de expansin que opera con fluido R134a. El rea de entrada y salida del fluido es 0.011 m2 Determinar: la temperatura, flujo de masa y velocidad del fluido a la descargada de la vlvula.

Las condiciones a la entrada y salida de la vlvula son las siguientes.

Desarrollo:Balance de masa :

Donde: Flujo de masa [kg/s] rea transversal del ducto [ m2] Velocidad del fluido [m/s] Volumen especifico del fluido [m3/kg] Se sabe que:

Balance de energa: Se asume que la vlvula esta aislada, no hay partes mviles es decir el efecto del trabajo y transferencia de calor son nulos.

Usualmente el efecto de la energa cintica no se considera por su escasa influencia en el resultado y por la dificultad en resolver el sistema con este trmino. En EES este efecto puede ser evaluado fcilmente. Se recomienda seguir la siguiente metodologa: Definicin del problema. Definir el sistema de unidades.(kPa, kJ). Definir datos suministrados. Definir el sistema de ecuaciones: Balance de masa y de energa Definicin de propiedades. Chequear unidades (kJ/kg por m2/s2) Definir variables de optimizacin

T_1=50 [C]: P_1=700 [kPa]: Vel_1=15 [m/s]: A_1=0,0110 [m^2] P_2=300 [kPa] m_dot_1=m_dot_2 m_dot_1=A_1*Vel_1/v_1 m_dot_2=A_2*Vel_2/v_2 A_2=A_1

m_dot_1*(h_1+Vel_1^2/2)=m_dot_2*(h_2+Vel_2^2/2)

v_1=volume(R134a;T=T_1;P=P_1): h_1=enthalpy(R134a;T=T_1;P=P_1) v_2=volume(R134a;T=T_2;P=P_2): h_2=enthalpy(R134a;T=T_2;P=P_2) *convert(m^2/s^2;kJ/kg) chequear unidades e incluir: se selecciona la variable y con el botn derecho se selecciona variable info y se le asignan unidades. Otra forma es por variable info directamente. Si se dejan sin nombrar detectara problemas de unidades. Cuando se tiene un sistema consistente de ecuaciones y unidades se puede obviar los mensajes de error en las unidades o desactivar en las preferencias, pero en la mayora de los casos ayuda para detectar errores en la formulacin del problema.

Escribiendo en EES: Cuando se nombran las variables, el programa no hace diferencia si se utiliza letras maysculas o minsculas para nombrar la misma variable. Todo texto dentro de comillas o corchetes es considerado como comentario. Si se pone dentro de comillas es mostrado dentro de las ecuaciones formateadas y archivos en Latex, si se pone dentro de corchetes es eliminado de este tipo de aplicaciones. Los espacios y lneas en blanco son ignorados por el programa. Las variables deben ser nombradas con letras al inicio y pueden ser combinadas con caracteres diferentes a: ( ), *, /, +, -, { }, ^, ,.,:. Por ejemplo los Arrays son nombrados con [ ] (eje: b[1]=30) o las variables intercambiables con $ (eje: d$='2'). El mximo nmero de caracteres para nombrar una variable es 30. Varias ecuaciones pueden ser montadas sobre la misma lnea, pero deben ser separadas por : ; dependiendo de la configuracin dada en la configuracin regional de Windows. El mximo numero de caracteres por lnea es 255. Se puede usar para radicales o potencias el smbolo ^ **. No se requiere un orden especfico de las ecuaciones. Solo el criterio de ordenamiento del usuario y facilitar la revisin del programa, para detectar problemas. La posicin de datos conocidos e incgnitas no afecta la ejecucin del programa.

Las unidades de variables constantes pueden ser ingresadas en parntesis cuadrados y aparecern en todos los despliegues de resultados, tablas y grficos.

Luego de chequera las unidades y la consistencia del problema se ejecuta el programa. Al regresar a la ventana de las ecuaciones los comentarios aparecen en color azul por defecto pero puede ser modificado en preferencias. Las propiedades termodinmicas pueden ser ingresadas fcilmente mediante el comando funtion info. El primer argumento de la funcin es el nombre de la sustancia. Los dems argumentos son una o dos variables independientes sin importar cual, designadas con las siguientes letras T,P,H,S,U,V y X que corresponden a la temperatura, presin, entalpa especfica, entropa especfica, energa interna especfica, volumen especfico y calidad. Para el aire hmedo es necesario adems incluir W, R, D y B que corresponden a humedad especfica, humedad relativa, temperatura de dew point y temperatura de bulbo hmedo.

Es usualmente buena idea definir los valores mnimos o mximos de las variables calculadas, para facilitar la convergencia del problema. Esto se puede hacer una vez compilado el programa y chequeado que no hay errores de sintaxis, mediante el men opciones y variable info. Por defecto las variables tienen un valor probable de 1.

Como se explico antes, aqu se puede ingresar las unidades de cada variable. Tambin se puede definir las variables clave de la solucin, con lo cual permite ingresar comentarios sobre la misma y ver la solucin de estas variables en una ventana independiente. En la columna de display se puede seleccionar el formato en que los resultados son presentados A : automticamente selecciona el formato adecuado. Es la opcin por defecto. F: para fijar una cantidad determinada de dgitos, en la segunda columna del display. E: para expresar el resultado en forma exponencial. La tercera columna del display permite seleccionar la forma de presentar los resultados.(subrayados, negrilla en recuadro, escondidos, normal). Especialmente con ecuaciones no lineales es necesario definir algunas veces valores probables de la solucin para ayudar la convergencia. En este ejemplo no es necesario pero cuando se requiera se debe tener en cuenta la fsica del problema para asignar estos valores. Por ejemplo valores negativos de volumen especfico no tendran sentido en este caso, luego se puede poner como lmite inferior cero. Al ejecutar el programa aparece un cuadro de dialogo donde se indica el tiempo transcurrido para el clculo, el mximo valor residual (diferencia entre igualdades) y mxima variacin de las variables respecto a la ltima iteracin. En este ejemplo el tiempo de ejecucin del programa es muy pequeo por las caractersticas del problema y cantidad de ecuaciones, sin embargo cuando el programa se acerca al lmite de su capacidad (6000 ecuaciones) toma su tiempo en encontrar la solucin y muestra en el mismo cuadro de dialogo el nmero de bloque y nmero de iteraciones. Un bloque es set de ecuaciones que EES genera y que puede ser resuelto independientemente. EES utiliza por defecto como criterio de parada de la ejecucin del programa 100 iteraciones, 60 segundos de duracin, mximo residual de 10-6 y mxima variacin entre iteraciones de 10-9 que pueden ser modificadas en el men options y preferencias. Si el residual es mayor al seleccionado el sistema no es correctamente resuelto.

Una de las ms tiles herramientas de EES es el anlisis paramtrico por medio de tablas. En este ejemplo resultara interesante evaluar el efecto de la presin de salida sobre la velocidad y temperatura de salida: Con esta herramienta se pueden generar grficos que permiten evaluar el efecto de esta variable. El procedimiento para generar la tabla es mediante el men tables, new parametric table. Aqu se selecciona la variable que se requiere parametrizar y las variables resultado para ver su efecto.

Simplemente se seleccionan en la columna izquierda y se pasan a la columna derecha mediante el botn Add. En este cuadro se puede tambin definir el nmero de filas de la tabla y se le puede asignar un nombre. Por defecto se considera 10 filas y las tablas son numeradas en forma secuencial. Luego de ejecutar mediante OK, aparece la tabla. Es aqu donde se asigna valores a la variable parametrica (P_2) de 100 a 550 para este ejemplo.

Esto de puede hacer manualmente o mediante alguno de los criterios disponibles que se explicaran mas adelante. Luego se debe ejecutar el programa desde el men calculate usando solve table. Previamente se debe borrar o bloquear la variable parametrizada P_2 dentro del programa ya que fue definida dentro de la tabla, si no es borrada aparecer un mensaje de error que indica que hay esta definida dos veces P_2.

En solve table se puede seleccionar la tabla y el nmero de filas que se quiere entren en el clculo. Cuando se selecciona actualizar los valores probables el programa toma la ltima fila para esta actualizacin y para la ventana de resultados. Al oprimir OK aparecer la tabla con los valores calculados en azul y los valores parametrizados en negro. (Esto puede ser modificado en preferencias, se vera mas adelante)

La relacin entre P_2 y las dems variables de salida es aparente, pero puede verse mas claramente mediante un grafico. Se debe relacionar en el men Plots, New plot window.

Se debe seleccionar el tipo de grfico, para este ejemplo se selecciona el tipo X-Y (los dems sern detallados mas adelante). Aparece el siguiente cuadro de dialogo:

Aqu se selecciona que variable debe ir en cada eje, el formato de las cifras, tipo de grilla, la tabla seleccionada el nmero de filas que se requiere aparezca en el grfico y otras funciones que sern detalladas mas adelante. Luego de seleccionar estos parmetros se selecciona OK y se obtiene: