potencial eléctrico. el trabajo realizado por la fuerza aplicada en un desplazamiento dl será:
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EqF
EqFa
Potencial eléctrico
El trabajo realizado por la fuerza aplicada en un desplazamiento dl será:
cosdlFldFdW aa
aF
ld
ld
Luego el trabajo realizado por la fuerza aplicada (externa) en un desplazamiento desde un punto A a un punto B es:
B
A
B
A
aa ldEqldFW
Supongamos que traemos, en línea recta, una carga desde el infinito hasta una distancia rB de una carga puntual Q; el trabajo realizado por la fuerza aplicada será:
B
r
o
r
oa
rqQ
rqQ
rdrQ
qWBB
14
144
0
2
Se trata de un trabajo positivo, es decir,se le entrega energía a la carga qpara que se acerque a Q, siempre queambas tengan el mismo signo.
Para mover la carga desde A hasta B se requiere un trabajo:
UUUrr
rqQ
rdrQ
qW
ABAB
r
ro
r
roa
B
A
B
A
)11
(4
144
0
2
diferencia de energía potencial
Potencial eléctrico:
qU
V
Diferencia de potencial:
qU
V
CJ
V11
1
Unidad de potencial eléctrico:
Volt
CJ
V11
1
mV
CmJ
CN 1
Unidad de campo eléctrico:
Volt
eV es la energía que un electrón gana cuando es acelerado a través de la diferencia de potencial de 1volt
JVoltCeV 1919 106,1106.11
Br
B ldEV
Ar
A ldEV
A
B
A
B
B A
r
r
r
r
r r
AB
ldEldEldE
ldEldEVVV
Diferencia de potencial
+
En estaspartes no serealiza trabajo.
ala
Problema 5
Considere el campo eléctrico yxyxyE ˆˆ2
1 2
i) ¿Es conservativo?
ii) Encuentre la ecuación para las líneas de campo en el plano x-y.
iii) Encuentre la ecuación para las líneas equipotenciales en el plano x-y.
iv) Esquematice las líneas anteriores en un plano x-y.
Protón en un campo eléctrico uniforme.
E
+
A B
AB
B
A
xxEldEV
Cambio de energía potencial del protón:
VqU pVelocidad del protón en B
Se suelta desde A:
Cambio en el potencial eléctricoentre los puntos A y B.
Problema 2
+
E
1E
b d0
La figura muestra un protón en reposo en presencia de dos regiones con sus
respectivos campos eléctricos: xEE ˆ
yEE ˆ11
,
x
y
i) Encuentre la posición y la velocidad del protón cuando x=b
ii) Encuentre la posición y la velocidad del protón cuando x=b+d
Si en t=0 soltamos el protón:
Energía potencial eléctrica
1q 12r 2q
3q
13r23r
23
32
13
31
12
21
rqq
rqq
rqq
kU e
Para N cargas discretas:
iq Ni ,...,1
N
i
N
ijj ij
ji
r
qqU
1 121
A partir del potencial eléctrico se puede obtener el campo eléctrico
dzEdyEdxEsdEdV zyx
dzzV
dyyV
dxxV
dV
pero:
luego:
zV
EyV
ExV
E zyx
,,
VE
321 ˆˆˆ ez
ey
ex
operador gradiente
Ilustración: Obtengamos el campo eléctrico a partir del potencial de una carga puntual.
21222 zyxr
rq
kV e
23222
23222
23222
221
221
221
zyx
zqk
zV
zyx
yqk
yV
zyx
xqk
xV
e
e
e
luego:
23222
3
23222
2
23222
1
ˆ2
21
ˆ221
ˆ221
zyx
ezqk
zyx
eyqk
zyx
exqkE
e
e
e
rrq
krrq
kezeyexr
qk eee ˆˆˆˆ1
233213
Teorema de Kelvin-Stokes (Teorema del rotor)
Def: Rotor de un vector en coordenadas cartesianas:
...ˆ
ˆˆˆ
1
321
eFF
FFF
eee
F yzzy
zyx
zyx
curva
STeorema de Kelvin-Stokes:
S
sdFadF
rdFLimFrotS
0
SF
rd
Esta curva es para determinaruna de las componentes del rotor.Para determinar las otras debemos tomar otras dos superficies perpendiculares a esta y perpendiculares entre sí.
(Explicarlo en clase)
Explicar en clase la noción del teorema del rotor.
Calculemos el rotor del campo eléctrico de una carga:
rrq
kE e
3
Consideremos la componente x de este vector:
))()(()( 33 ry
rz
qkEEE zyeyzzyx
0))3()3(( 55 zryyrzqkeDe manera análoga las otras componentes también se anulan, luego:
0 E
Entonces, por el teorema de Stokes:
S
sdEadE 0
A
A
B
B
A
sdEsdEsdE21 ,,
1
2
B
B
A
B
A
B
A
B
A
sdEsdE
sdEsdE
21
21
,,
,,
0
indica el caminoque hayque usar
B
A
B
A
sdEsdE21 ,,
es decir, la integral es dependiente del camino, o sea el campo es conservativo y entonces es posible definir una función potencial eléctrico.
Ejemplo: Potencial eléctrico de un anillo cargado uniformemente con carga Q.
x0
Pr
Pr
adq
ardq
krdq
krVP
ee )(
Calculemos este potencial en el punto xP exr ˆ
Calculemos este potencial en el punto xP exr ˆ
2122 0ˆ)ˆ(
ax
dqk
aexdq
kexV ex
ex
212222
1
ax
Qkdq
axk ee
VE
El campo eléctrico en ese punto se calcula usando:
Ejemplo: Disco con carga uniforme. Potencial en el punto
Aprovechamos el resultado del anilloxexr ˆ
x
))((2
2
2122
02122
xaxk
rx
rdrkdVV
e
ae
VE
El campo eléctrico en ese punto se calcula usando:
Ejemplo: potencial eléctrico de una esfera aislante con carga uniforme Q
rQ
krdr
QksdEV e
r
e
r
2
Caso i) Fuera de la esfera.
r
sdEV
R
Rr
Caso ii) Sobre la esfera.
RQ
kRV e)(
Caso iii) Dentro de la esfera.
2233 2
)()( rRRQk
rdrRQk
RVrV er
R
e luego:
2
2
32
)(Rr
RQk
rV e Rr
R0 r
RQke
23
V
Ejemplo: Esfera conductora de radio R
+
+
++ 2r
QkE e
0ERQk
V e
rQk
V e
2r
Qke
r
QkeRQke
r
V
R R r
E