Laboratorio # 7: Ley de Gauss y Potencial Eléctrico

Por

Juan David Palacio Mejia

Politecnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid

Medellín

2007

Potencial eléctrico

  Se define el potencial se define como el trabajo realizado para trasladar un objeto de un punto a otro. En particular, para el caso eléctrico, definimos el potencial eléctrico del punto A al punto B, como el trabajo realizado para trasladar una carga positiva unitaria q de un punto a otro, desde B hasta A.

Las unidades para el potencial eléctrico son de (Joules/Coulombs o Volts). Nótese además que el trabajo que hemos sustituido en la ecuación proviene de la construcción de trabajo eléctrico.

Si consideramos que hemos construido la noción de potencial eléctrico en base a la construcción de un campo conservativo, esto del hecho de suponer una fuerza que tienda a contrarrestar la fuerza del campo para mantener la partícula cargada en equilibrio estático.

Analicemos el potencial eléctrico necesario para desplazar una carga puntual desde un punto B a un punto A.

Recordemos primero que el campo de una carga puntual esta determinado en forma radial como se muestra a continuación, sin embargo, recordemos que el hecho de haber tomado un campo conservativo le resta importancia a ese hecho.

 

Sustituyendo en la ecuación que define al campo eléctrico tendríamos:

 

Obsérvese que se ha tomado el diferencial de línea de las coordenadas esféricas.

El potencial de una distribución de carga

  Cuando existe una distribución de carga en un volumen finito con una densidad de carga conocida entonces puede determinarse el potencial en un punto externo, esto por que la definición de potencial involucra el campo eléctrico.

Si analizamos el potencial originado por cada diferencial de carga tendremos:

  Finalmente podemos integrar sobre todo el volumen para obtener:

Nótese que la variable R es la distancia a al punto con respecto a cada diferencial de volumen en cada punto del objeto cargado y por tanto depende de las coordenadas, lo cual implica el hecho de no poder sacarlo de la integral. No deberá de confundir la variable r con la variable R.

 

Forma diferencial del potencial eléctrico

Recordamos que el potencial eléctrico puede ser expresado como:

 

También recordemos que el diferencial de una función se puede expresar como:

Por lo que un diferencial de un potencial eléctrico puede ser expresado como:

Si sacamos el diferencial al potencial en la ecuación que relaciona con el campo eléctrico tendremos: 

Pero y por último si consideramos que para tenemos

un desplazamiento pequeño tendremos:

 

 

Ley de Gauss

El teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga en el interior de dicha superficie dividido entre e0.

Para una línea indefinida cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:

1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.

La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada

2. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo

Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L.

El cálculo del flujo, tiene dos componentes

Flujo a través de las bases del cilindro: el campo E y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el flujo es cero.

Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es paralelo al vector superficie dS. El campo eléctrico E es constante en todos los puntos de la superficie lateral,

Por lo que,

El flujo total es por tanto; E2p rL

3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

La carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q=l L, donde l es la carga por unidad de longitud.

4. Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

Bibliografía

Universidad Nacional del NordesteFecha de Publicación Fecha de Consulta 18-04-2006

Universidad Michoacana de de San Nicolás de HidalgoFecha de Publicación 15-12-2002Fecha de Consulta 18-04-2006