pontificia universidad católica del ecuador · 2012-12-14 · identificación de ecuaciones...

Pontificia Universidad Católica del Ecuador

1. DATOS INFORMATIVOS

FACULTAD: INGENIERIA

CARRERA: SISTEMAS

Asignatura/Módulo: ECUACIONES DIFERENCIALES Código:

Plan de estudios: 11437 Nivel: III

Prerrequisitos:

Correquisitos:

Período académico: N° Créditos: 4

DOCENTE.

Nombre: Urvina Mayorga Ménthor Oswaldo

Grado académico o título profesional: Magister en Investigación Operativa

[email protected]

Breve reseña de la actividad académica y/o profesional: Ecuaciones Diferenciales, Probabilidades y Estadística, Análisis Numérico

Indicación de horario de atención al estudiante: lunes, martes y jueves de 15h00 a 16h00

Teléfono: Domicilio: 2449823, Celular: 099713593

2. DESCRIPCIÓN DEL CURSO (Señalar naturaleza, propósito y grandes temas) Le permite al estudiante de Ingeniería de Sistemas, obtener una ecuación diferencial ordinaria como modelo de problemas reales, resolverla mediante métodos clásicos e interpretar la solución. 3. OBJETIVO GENERAL Resolver problemas relacionados con situaciones concretas de la realidad mediante la construcción de modelos matemáticos, y la aplicación de los conocimientos apropiados, correspondientes al planteamiento y solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. 4. RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Al finalizar el curso, el/a estudiante estará en capacidad de

Nivel de desarrollo de los resultados de aprendizaje

Inicial / Medio / Alto

Aplicar los métodos que permiten resolver una ecuación diferencial

medio

Identificar el tipo de ecuación diferencial y sus condiciones iniciales

medio

Aplicar las ecuaciones diferenciales en algunos


modelos matemáticos

Validar la solución de acuerdo al problema planteado

inicial

Aplicar métodos alternativos como la Transformada de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales

medio

Aceptar con responsabilidad social las consecuencias de los resultados obtenidos en la solución de los problemas

alto


5. RELACIÓN CONTENIDOS, ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Y RESULTADOS DE APRENDIZAJE

CONTENIDOS (UNIDADES Y TEMAS)

SE

MA

NA

N° HORAS TRABAJO AUTÓNOMO

DEL/A ESTUDIANTE

ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA - APRENDIZAJE

RESULTADOS DE APRENDIZAJE

EVIDENCIAS

CLASES

Tu

torí

a

Actividades

N°

de h

ora

s

Descripción

Va

lora

ció

n

Teó

ric

as

Prá

cti

cas

1.Introducción:

1.1. Definiciones generales:

Ecuación diferencial ordinaria

(EDO)

Orden de una ecuación diferencial

Solución de una EDO

1 4

Solución de ejercicios y

problemas que constan en el

documento preparado por el

profesor, referentes a

identificación de ecuaciones

diferenciales, su orden, solución.

Consulta individual sobre lo

aprendido en los cursos de

Cálculo diferencial e integral

4

Clases expositivas


problemas en clase con la

participación de los

estudiantes, sobre tipos de

ecuaciones diferenciales y

sus soluciones.

Identificar los tipos de

ecuaciones

diferenciales y

comprobar que una

función dada sea

solución.

Presentación individual de

la solución de problemas

sobre tipos de ecuaciones

con sus soluciones.

Prueba escrita individual

sobre tipos de ecuaciones

diferenciales, orden y

solución.



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1.2. Tipos de soluciones

General

Particular

Singular

1.3. Origen de las EDO`s

2 4





identificación de tipos de

soluciones, familias de curvas.

4

Clases expositivas




estudiantes, sobre tipos de

soluciones y EDO`s de

familias de curvas.

Identificar los tipos

de soluciones, de

acuerdo a las

condiciones del

problema.

Determinar la EDO

que representa a una

familia de curvas en

coordenadas

cartesianas o polares

Presentación

individual de la

solución de problemas

sobre tipos de

soluciones de una

EDO y representación

de una familia de

curvas con una EDO..

Prueba escrita

individual sobre tipos

de EDO`s, sus stipos

de soluciones y

familias de curvas.

2.0



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2. Ecuaciones de Primer Orden

2.1. Ecuaciones separables

2.1.1. Cambios de variables que

transforman una EDO en separable

2.1.2. Ecuación homogénea

3 4





identificación de ecuaciones de

primer orden que son separables

o que se transforman en

separables con cambio de

variables

4

Clases expositivas




estudiantes, sobre

ecuaciones de primer

orden y ecuaciones que se

transforman en separables

con cambio de variables

Ecuaciones homogéneas

Identificar una EDO

que es de variables

separables

Determinar cambios

de variables para

transformar una EDO

en separable.

Identificar una EDO

homogénea

Presentación

individual de la

solución de EDO`s de

primer orden

separables y con

cambios de variables

que transforman una

EDO en separable

.



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2.2. Ecuación exacta

2.2.1. Factor integrante 4 4




profesor, referentes a ecuaciones

exactas y ecuaciones que se

resuelven con factor integrante.

Métodos de determinación de

factores integrantes.

4

Clases expositivas




estudiantes, sobre


orden exactas. Deducción

de factores integrantes y

aplicación a problemas de

ecuaciones que se

transforman en exactas

con factores integrantes

Identificar una EDO

que es exacta a través

de la condición

necesaria y

suficiente.

Determinar si una

EDO no exacta

admite factor

integrante y hallar el

correspondiente

factor integrante y la

solución de la EDO.

Presentación

individual de la


primer orden que

pueden resolverse con

factor integrante.

separables y con

cambios de variables

que transforman una

EDO en separable.

Prueba escrita

individual sobre


orden.

3.0



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2.2.2. Ecuación lineal de Primer

Orden

2.2.3. Ecuaciones especiales

2.2.3.1. Ecuación de Bernoulli

2.2.3.2. Ecuación de Riccati

2.2.3.3. Ecuación de Clairaut

5 4





lineales y ecuaciones que se

transforman en lineales a través

de cambios de variables

4

Clases expositivas sobre

la ecuación lineal,

determinación de un

factor integrante.




estudiantes, sobre

ecuaciones lineales y otras

ecuaciones que se

transforman en lineales

con cambio de variable

Identificar una EDO

lineal de primer

orden.

Determinar un factor

integrante de una

EDO de primer

orden.

Encontrar un cambio

de variable que

transforme algunas

ecuaciones

especiales en una

EDO lineal.

Presentación

individual de la


primer orden lineales

y ecuaciones

especiales.

Prueba escrita

individual sobre


orden lineales y

especiales.

5.0



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2.3. Aplicaciones de EDO`s de primer

orden

2.3.1. problemas geométricos

6 4




profesor, referentes a modelos

matemáticos que se modelizan

con EDO`s de primer orden

4


interpretación de la

derivada y modelización

con EDO`s de primer

orden.




estudiantes, sobre

modelización y resolución

de la EDO con su

condición inicial.

Identificar las

condiciones y leyes o

propiedades que

rigen un problema.

Determinación de la

EDO que representa

el problema

modelizado con su

correspondiente

condición.

Solución del

problema de valor

incial e


solución..

Presentación

individual de la


de aplicación de las

EDO`s de primer

orden .



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2.3.2. Problemas de movimiento

2.3.3. Problemas de crecimiento

7 4







4




con EDO`s de primer

orden.




estudiantes, sobre


de la EDO con su

condición inicial.

Identificar las


propiedades que

rigen un problema.


EDO que representa

el problema

modelizado con su

correspondiente

condición.

Solución del

problema de valor

incial e


solución..

Presentación

individual de la



EDO`s de primer

orden .

1.0



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2.3.4. Problemas de mezclas

2.3.5. Problemas diversos 8 4







4




con EDO`s de primer

orden.




estudiantes, sobre


de la EDO con su

condición inicial.

Identificar las


propiedades que

rigen un problema.


EDO que representa

el problema

modelizado con su

correspondiente

condición.

Solución del

problema de valor

incial e


solución..

Presentación

individual de la



EDO`s de primer

orden .

Prueba escrita

individual sobre

aplicaciones de las

EDO`s de primer

orden

5.0



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3. Ecuaciones Lineales de orden

superior

3.1. Definiciones

3.2. Independencia lineal: Wronskiano

3.3. Solución general

9 4





definiciones, solución

general,solución particular y

solución complementaria de una

ecuación lineal de orden n

4


definiciones

fundamentales de

ecuaciones lineales,

idependencia lineal e

funciones, wronskiano, y

solución complementaria

y particular de una

ecuación lineal de orden

n.

Identificar una

ecuación lineal,

comprobar que un

conjunto

fundamental de

funciones es

linealmente

independiente y es

solución de la

ecuación homogénea,

probar que una

función es solución

particular de la

ecuación no

homogénea.

Presentación

individual de la


sobre definiciones

básicas de ecuaciones

lineales, solución

complementaria,

solución particular y

solución general.



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3.4. Ecuación lineal homogénea

3.4.1. Ecuación de segundo orden:

fórmula de Abel

3.4.2. Ecuación lineal homogénea a

coeficientes constantes

10 4





homogénea de segundo orden

4


definiciones

fundamentales de

ecuaciones lineales,

idependencia lineal e

funciones, wronskiano, y

solución complementaria

y particular de una

ecuación lineal de orden

n.

Identificar una

ecuación lineal,

comprobar que un

conjunto

fundamental de

funciones es

linealmente

independiente y es

solución de la

ecuación homogénea,

probar que una

función es solución

particular de la

ecuación no

homogénea.

Presentación

individual de la


sobre definiciones

básicas de ecuaciones

lineales, solución

complementaria,

solución particular y

solución general.



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3.5. Ecuación lineal no homogénea

3.5.1. Método de coeficientes

indeterminados o anuladores

3.5.2. Ecuación lineal homogénea a

coeficientes constantes

11 4





no homogéneas con coeficientes

constantes que pueden resolverse

con anuladores y con variación

de parámetros

4


anuladores y

determinación de

soluciones particulares de

ecuaciones no

homogéneas.


el método de variación de

parámetros y solución de

ejercicios en clase con la


estudiantes sobre

determinación de

soluciones particulares de

ecuaciones no

homogéneas

Determinar

anuladores de una

combinación lineal

de funciones.

Encontrar una

solución particular de

una EDO no

homogénea con el

método de los

anuladores.

Hallar una solución

particular de una

EDO no homogénea

con el método de

variación de

parámetros

Presentación

individual de la


de ecuaciones no

homogéneas con los

métodos de anuladores

o variación de

parámetros.

Prueba escrita

individual sobre la

solución de ecuaciones

homogéneas y no

homogéneas.

4.0



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3.6. Ecuaciones lineales con

coeficientes variables

3.6.1. Ecuación de Cauchy-Euler

3.7. Aplicaciones

3.7.1 Movimiento armónico simple

12 4





con coeficientes no constantes:

ecuación de Cauchy- Euler.

Consulta sobre leyes de

movimiento armónico.

4


cambios de variables que

transforman una ecuación

con coeficientes variables

a una de coeficientes

constantes, caso

particular: ecuación de

Cauchy-Euler.


modelización del

problema de movimiento

armónico simple

Determinar cambios

de variables que

transforman una

EDO con

coeficientes variables

en una de

coeficientes

constantes.

Identificar y resolver

una ecuación de

Cauchy-Euler.

Modelar el problema

de movimiento

armónico simple

Presentación

individual de la


de ecuaciones no

homogéneas con

coeficientes variables.



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3.7.2. Movimiento armónico

amortiguado

3.7.3. Movimiento armónico forzado:

resonancia

3.8. Cable colgante

3.9. Péndulo simple

13 4




profesor, referentes movimiento

armónico, cable colgante y

péndulo simple

4


modelización general del

movimiento armónico,

cable colgante y péndulo

simple.




estudiantes, sobre


cable colgante y péndulo

simple

Determinar y

resolver el modelo de

problemas de

movimiento

armónico

Determinar y

resolver el modelo

del problema del

cable colgante.

Determinar y

resolver el modelo

del problema del

péndulo simple.

Presentación

individual de la


de movimiento

armónico general, del

cable colgante y del

péndulo simple

Prueba escrita

individual sobre

problemas que se

modelizan con

ecuaciones lineales.

3.5



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4. Transformada de Laplace

4.1. Definición y transformadas

básicas

4.2. Propiedades de la transformada de

Laplace

4.2.1. Linealidad

4.2.2. Transformada de la derivada

4.2.3. Transformada de la integral

14 4




profesor, referentes a la

determinación de transformada

de Laplace, condiciones

necesarias para la existencia de la

transformada

4


la definición y existencia

de la transformada de

Laplace. Determinación

de la tabla de las

principales transformadas

de Laplace.




estudiantes, sobre

existencia de

transformada de Laplace y

aplicaciones de las

propiedades.

Determinar la

existencia de la

transformada de

Laplace.

Encontrar

transformadas de

Laplace usando la

definición y/o

propiedades.

Obtener la solución

de EDO`s

elementales con la

trasformada de

Laplace.

Presentación

individual de la


de existencia de la

transformada de

Laplace.

Obtención de la

transformada de

Laplace de funciones

especiales y de

combinaciones de

funciones usando la

definición o

propiedades.

1.0



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4.2.4. Primer teorema de traslación

4.2.5. Segundo teorema de traslación

4.2.6. Función de impulso unitario

4.2.7. transformada de una función

periódica

15 4




profesor, referentes a la

determinación de transformada

de Laplace usando propiedades

4


propiedades de la

transformada de Laplace y

sus equivalencias en

términos de la

transformada inversa.




estudiantes, sobre la

determinación de la

transformada de Laplace

usando propiedades.

Encontrar

transformadas de

Laplace usando la

propiedades.

Obtener la solución

de EDO`s

elementales con la

trasformada de

Laplace.

Presentación

individual de la


de la transformada de

Laplace.

Obtención de la

transformada de

Laplace de funciones

especiales y de

combinaciones de

funciones usando la

definición o

propiedades.

Prueba escrita

individual sobre

determinación de

transformadas de

Laplace.

2.5



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4.2.8. Función de Heaviside

4.3. Función de impulso unitario

4.4. Convolución

4.4.1. Teorema de convolución

16 4




profesor, referentes a funciones

de Heaviside y de impulso

unitario.

Solución de problemas de

convolución

4


funciones de Heaviside,

Función de impulso

unitario, convolución de

dos funciones y sus

propiedades.




estudiantes, sobre

funciones salto unitario o

Heaviside, funciones de

impulso unitario y

convolución

Identificar una

función de salto

unitario.

Identificar una

función de impulso

unitario y su

correspondiente

transformada de

Laplace

.

Presentación

individual de la


donde aparecen

funciones de salto

unitario y/o funciones

de impulso unitario.


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RESULTADOS DE

APRENDIZAJE EVIDENCIAS


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4.5. Aplicaciones de la Transformada

de Laplace

4.5.1. Problemas de valor inicial

4.5.2. Problemas integrales

4.5.3. Problemas de movimiento

armónico, mezclas, deflexión de vigas,

etc.

17 4




profesor, referentes a problemas

de valor inicial, problemas

integrales, integro-diferenciales,

modelos de movimiento

armónico, deflexión de vigas,

mezclas, etc.

4



diferenciales, integrales,

integro-diferenciales,


armónico, deflexión de

vigas, mezclas, etc.




estudiantes, sobre

diversos problemas:

diferenciales, integrales,


armónico, deflexión de

vigas, mezclas, etc.

Resolver una

ecuación diferencial

usando

Transformadas de

Laplace.

Resolver modelos de

problemas de

movimiento

armónico, deflexión

de vigas, mezclas,

etc. usando

transformadas de

Laplace.

.

Presentación

individual de la


diferenciales,

integrales, modelos de


deflexión de vigas,

mezclas.

Prueba escrita sobre

las aplicaciones de la

transformada de

Laplace.

3.0


6. METODOLOGÍA Y RECURSOS (Debe enunciarse de manera general: se refiere a las estrategias de enseñanza - aprendizaje y a los recursos didácticos que se utilizarán para alcanzar los objetivos planteados).

a. METOLOGÍA Se trabaja a partir de la explicación de la teoría, propiedades, y resultados dados por el profesor, con base a los conocimientos matemáticos adquiridos por los estudiantes en asignaturas aprobadas en cursos anteriores, especialmente en Cálculo Diferencial y Cálculo Integral. Para la solución de las diferentes situaciones, preguntas y alternativas que se encuentran en el desarrollo del conocimiento, se trabaja a partir de clases magistrales, con la participación de todo el curso en forma individual o con grupos. Las conclusiones, en general, se analizan y discuten globalmente, con la participación de todos los estudiantes.

b. RECURSOS Para la realización de todas las actividades dentro del aula, es indispensable contar con pizarra y marcadores y que todos los estudiantes revisen de manera previa los conocimientos que se van a dar, de manera que se vuelva fácil la comprensión de los resultados a impartir por parte del profesor.

7. EVALUACIÓN

TIPO DE EVALUACIÓN CRONOGRAMA CALIFICACIÓN

1. PARCIAL Lo tratado en las 5 primeras semanas

10

2. PARCIAL Lo tratado desde la sexta semana hasta la décima primera semana.

10

3. PARCIAL Lo tratado desde la décima segunda hasta la décima séptima semana.

10

FINAL En la semana de exámenes finales

20

8. BIBLIOGRAFÍA

a. BÁSICA


Bibliografía

(basarse en normas APA) ¿Disponible en Biblioteca a la

fecha?

No. Ejemplares (si está

disponible) Espinosa Herrera, Ernesto Javier., Ecuaciones diferenciales ordinarias : introducción, Ed. Reverté, Barcelona, España , 2010

si 1

Bronson, Richard, Ecuaciones Diferenciales, McGraw-Hill, México, 2008.

si 2

Zill, Dennis G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. McGraw-Hill, México, 1982

si 1

b. COMPLEMENTARIA

Bibliografía (basarse en normas APA)

¿Disponible en Biblioteca a la

fecha?


disponible) Ayres, Frank, Teoria y problemas de ecuaciones diferenciales, Ed. Reverte, México, 1969.

si 4

Braun, M.,Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones.

si 1

c. RECOMENDADA

Bibliografía (basarse en normas APA)

¿Disponible en Biblioteca a la

fecha?


disponible) Ricardo, Henry, Ecuaciones diferenciales : una introducción moderna, Ed.Reverté, Barcelona, España, 2008

si 1

d. BIBLIOTECAS VIRTUALES Y SITIOS WEB RECOMENDADOS


Revisado:

_______________________ f) Coordinación de Docencia Fecha: ____________ Aprobado: _______________________ f) Decano Fecha: ____________ _______________________ Por el Consejo de Facultad Fecha: ____________

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